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江苏省新海高级中学2009届高三年级第一次阶段测试(数学)


江苏省新海高级中学 2009 届高三年级第一次阶段测试 数学试题
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.命题 p : “ ?x ? R, x2 ? 1 ”的否定是
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br />
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2.若函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a ? 1 是区间 ? , ? 上的单调函数,则实数 a 的取值范围 2 2 是
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?3 7? ? ?

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3.已知 P ? { y | y ? x2 ? 2 x, x ? R} , Q ? {x | y ? 1 ? 2x } ,则 P ? Q ?

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4. 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称. 若当 x ? 1 时,f ( x) ? x2 ? 1 , 则当 x ? 1 时,f ( x) ?
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5.若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为________ 6.设命题 p :|4x-3| ? 1;命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 .若 ? p 是 ? q 的必要不 充分条件,则实数 a 的取值范围是
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7.函数 f ( x) ? lg x ? 8 ? 2 x 在区间 (k , k ? 1).(k ? Z ) 内有零点,则 k ? 8.函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 4 的定义域为 ?m,3? ,值域为 ? 4,
2
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? 25 ? ,则实数 m 的取值范围是 ? 4? ?

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?2? x ? 1 ( x ? 0 ) ? 9.已知 f ( x) ? ? 1 则不等式 f ( x ? 1) ? 1 的解集是 2 ? ? x (x ? 0) .
10.设集合 {x | 2 ? ? x ? ax ? 1 ? 3, x ? R} 中只有一个元素,则实数 a =
2

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11.已知 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? 值等于__________ 12.已知函数 f ( x) ? loga (2 ? b ?1)(a ? 0,a ? 1)
x

? f (28 ) 的

y O x

的图象如图所示,则 a, b , a , b 的从小到大的 顺序是
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13.若函数 f ( x) ? l o ga (2 ? a x ) 在区间 ? 0, 2? 上是 x 的减函数,则实数 a ? 14 若 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f (1 ? x) .给出下列四个结论:

① f (2) ? 0 ;② f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数;③ f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称;④

f ( x ? 2) ? f (? x) .其中正确结论的序号有
二 、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分)

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15. (12 分)求函数 f ( x) ? l o g2 ( x ? 2) ? l o g4 ( x ? 3) 的最小值,并求取得最小值时对应的 自变量 x 的值.

16. ( 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? a |, g ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 ( a ? R ) (1)判断 f ( x ) 的对称性和奇偶性;

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(2)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像在 y 轴上的截距相等,且 a ? R ,求 a 的值; (3)在(2)的条件下,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间
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17. ( 16 分) 已知函数 f ( x) ? l o g a ( x ? 1)(a ? 1) , 若函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x)

的图象关于原点对称. (1)写出函数 g ( x) 的解析式; (2)求不等式 2 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集 A ; (3)问是否存在 m ? R ,使不等式 f ( x) ? 2g ( x) ? loga m 的解集恰好是 A ?若存在,请 求出 m 的值;若不存在,请说明理由.
?

18. ( 16 分)随着我国加入 WTO ,我市某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投 资生产,打入国际市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位:万美元) 项目 类别 甲产品 乙产品 年固定 成本 20 40 每件产品 成本 每件产品 销售价 10 18 每年可最多 生产的件数 200 120

a
8

其中年固定成本与年生产的件数无关, a 为常数,且 3 ? a ? 8. 另外,年销售 x 件乙产品需 上交 0.05 x 万美元的特别关税。 ( 1 )写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润 y1 、 y2 与生产相应产品的件数
2

x( x ? N ? ) 之间的关系;
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润; (3)如何决定投资方可获得最大利润?

19. ( 16 分)已知函数 f ( x) ? x? | x ? a | ( a ? R ) . (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 x ??1,2? 时, f ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围
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(3)当 x ??1, b? 时,存在 a ? R ,使 f ( x) ? 1 恒成立,求实数 b 的最大值 .

20. ( 18 分)已知函数 f ( x) ? log4 (4 ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数
x

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(1)求 k 的值; (2)证明:对任意实数 b ,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ?

1 x ? b 最多只有一个交 2

点; (3)设函数 g ( x) ? log 4 (a · 2 ?
x

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有且只有一个公 3

共点,求实数 a 的取值范围

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答案 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. ?x ? R, x2 ? 1 4. x ? 4 x ? 5
2

2. a ? 4, 或a ? 2

3. [?1, 0]

5.

(5, 7)

6. [0, ]

1 2

7. 3

8.

3 [0, ] 2

9. (??, ?2) ? (0, ??)

10.

?2

11. 2008

12. a , b, b , a

?1

?1

13 . (0,1) ? (1, 2)

14. ①②④

二 、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (12 分) 解:由 ?

?x ? 2 ? 0 ?x ? 3 ? 0

得定义域为 x ? (3, ??) .?(2 分)

f ( x) ? l o g4 ( x ? 2)2 ? l o g4 ( x ? 3)
( x ? 2) 2 ? l o g4 ?(5 分) x ?3
令 u ? x ? 3 ,则 x ? u ? 3 (u ? 0)

f ( x) ? l o g 4
∵u ?

u 2 ? 2u ? 1 1 ? l o g 4 (u ? ? 2) ?(8 分) u u
∴ f ( x) ? 1 ?(10 分)

1 ?2?4 u

当且仅当 u ? 1 即 x ? 4 时,函数 y ? f ( x) 取得最小值时 1.?(12 分) 16. ( 12 分) 解: (1)由 f ( x) ? ?

?x ? a ( x ? a ) 可知, f ( x ) 的图像关直线 x ? a 对称 ?? x ? a (x ? a) .

当 a ? 0 时, f ( x) ?| x | 是偶函数; 当 a ? 0 时, f (? x) ?| x ? a |? ? f ( x) , f ( x) ?| x ? a | 是非奇非偶函数?4 分 (2)∵ a ? R? , f (0) ? g (0) ?| a |?1

?a ?1

?5 分

(3) f ( x) ?| x ? 1|, g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 即 h( x) ?| x ?1| ? x2 ? 2 x ?1. ① 当 x ? 1 时, h( x) ? ? x2 ? 3x ,对称轴 x ? ?

3 , 2

3 3 h( x) 单调递增区间是 (??, ? ] ,单调递减区间是 ( ? ,1) . ?7 分 2 2 1 2 ② 当 x ? 1 时, h( x) ? ? x ? x ? 2 ,对称轴 x ? ? ? 1 , 2

h( x) 无单调递增区间,单调递减区间是 [1, ??) ?9 分
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又∵当 x ? (? ,1) 时, h( x) ? h(1) ? ?4 ;当 x ? [1, ??) 时 h( x) ? h(1) ? ?4 ∴ h( x) 在区间 (?

3 2

3 , ??) 上也是减函数 2

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?1 1 分

综上,函数 f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间是 (??, ? ] 单调递减区间是 (? 17. ( 16 分) 解: (1)设 P( x, y) 为 y ? g ( x) 图象上任意一点,

3 2

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3 , ??) 2

?12 分

则 P 关于原点的对称点 Q(? x, ? y ) 在 y ? f ( x) 的图象上, 所以 ? y ? loga (? x ? 1) ,即 g ( x) ? ? log a (1 ? x) ?4 分 (2)由 ?

?x ?1 ? 0 (1 ? x) 2 ?0 ? ?1 ? x ? 1,原不等式可化为 log a 1? x ?1 ? x ? 0


∵a ?1

(1 ? x) 2 ? 1,且 ?1 ? x ? 1 1? x

? 0 ? x ?1

即 A ? [0,1) ?10 分 (3)假设存在 m ? R 使命题成立,则
?

由 f ( x) ? 2g ( x) ? loga m ,得 ∵ a ? 1 ,∴不等式组 ?

loga (1 ? x) ? loga [m(1 ? x)2 ]

??1 ? x ? 1 的解集恰为 A ? [0,1) , 2 ?m(1 ? x) ? 1 ? x

只需不等式 1 ? x ? m(1 ? x)2 ,即 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的 解集为 A ? [0, b) ,且 b ? 1 ,易得 m ? 1 即为所求,故存在实数 m ? 1 使命题成立。?16 分 18. ( 16 分) 解: (1) y1 ? (10 ? a) ? x ? 20

(1 ? x ? 200, x ? N ? ) (1 ? x ? 200, x ? N ? ) ?4 分

y2 ? ?0.05x2 ? 10x ? 40

(2) 10 ? a ? 0 ,故 y1 为关于 x 的增函数,∴当 x ? 200 时

y1 获得最大利润 s1 ? (1980 ? 200a) 万美元.

y2 ? ?0.05( x ?100)2 ? 460

(1 ? x ? 200, x ? N ? )

∴当 x ? 100 时 , y2 获得最大利润 s2 ? 460 万美元.?10 分 (3) s1 ? s2 ? 200(7.6 ? a) , 故当 3 ? a ? 7.6 时, s1 ? s2 , 投资生产 200 件甲产品可获较大利润; 当 a ? 7.6 时, s1 ? s2 ,投资生产 200 件甲产品与 100 件乙产品可获相同利润; 当 7.6 ? a ? 8 时, s1 ? s2 ,投资生产 100 件乙产品可获较大利润.?16 分 19. ( 16 分) 解: (1) a ? 0 时, f ( x ) ? ?

? x 2 ? ax ( x ? a )
2 ? ? x ? ax ( x ? a )

由图可知 f ( x ) 的单调增区间为 ( ??, ],[ a, ??) ?4 分 (2)当 x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 1 即 x? | x ? a |? 1 ?

a 2

1 1 1 1 ? x ? a ? ? x ? ? a ? x ? ?7 分 x x x x 1 1 3 因为 x ? 在 x ? [1, 2] 上增,最大值是 2 ? ? , 2 2 x 1 3 x ? 在 x ? [1, 2] 上 z 增,最小值是 2 ,故只需 ? a ? 2 .?11 分 x 2

?1 ? x 2 ? ax ? 1 ? ?

(3)当 x ? [1, b] 时, ( x ? ) min ? 2 , ( x ? ) max ? b ? 故要使 a 存在,只需 b ?

1 x

1 x

1 , b

1 ? 2 ,即 b2 ? 2b ? 1 ? 0 ,?14 分 b

解之,得 1 ? 2 ? b ? 1 ? 2 ,又 b ? 1 ,所以 1 ? b ? 1 ? 2 , 所求 b 的最大值是 1 ? 2 .?16 分 20. ( 18 分) (1)解: f (? x) ? f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立, 即 log4 (4? x ?1) ? kx ? log4 (4x ?1) ? kx ? 0 ? log 4

4? x ? 1 ? 2kx 4x ? 1

?

4? x ? 1 ? 42 kx ? 4? x ? 42kx ? (2k ? 1) x ? 0 对 x ? R 恒成立, 4x ? 1
∴k ? ?

1 2

?3 分

? y ? f ( x) 1 1 1 ? ? f ( x ) ? x ? b 即 log 4 (4 x ? 1) ? x ? x ? b (2)证明:由 ? 1 2 2 2 y= x+b ? ? 2
? 4 x ? 1 ? 4 x ?b
假设函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? ?5 分

1 x ? b 有两个交点,即存在 2
?7 分

x1 、 x2 ? R 且 x1 ? x2 ,使 4x1 ? 1 ? 4x1 ?b , 4 x2 ? 1 ? 4 x2 ?b
两式相减得:

4x1 ? 4x2 ? 4x1 ?b ? 4x2 ?b ? 4b (4x1 ? 4x2 ) ,∵ x1 ? x2 ? 0,
∴4 1 ?4
x x2

? 0 ∴ 4b ? 1 ? b ? 0 ,而当 b ? 0 时 4 x ? 1 ? 4 x 是不可能有解的,
?10 分

故假设为假,原命题成立 (3) f ( x) ? g ( x) ? log 4 (4 ? 1) ?
x

1 4 x ? log 4 ( a · 2 x ? a ) ? 2 3

log 4

4 4 4x ? 1 4x ? 1 4 x 2 ? a ) ? ? a(2 x ? ) ? 4 x ? 1 ? a(4 x ? ? 2 x ) ?12 分 · ? log ( a 4 x x 3 3 2 3 2

2 x 令 t ? 2 ,即 t ? 0 ,则关于 t 的方程 ( a ? 1)t ?

4 at ? 1 ? 0 有且只有一个正实根, 3

从而有

3 (舍去)?14 分 4 16 2 3 a ? 4(a ? 1) ? 0 即 a ? 或 a ? ?3 ,经检验 a ? ?3 符 ②若 a ? 1 ? 0 即 a ? 1 时,△ ? 9 4
①若 a ? 1 ? 0 即 a ? 1 时, t ? ? 合?16 分 ③ 若有一正一负根,则 ? 综上, a ? 1 或 a ? ?3

1 ? 0 即 a ? 1 符合 a ?1
?18 分


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