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2013-2014学年度第一学期期末考试高二数学参考答案


2013—2014 学年度第一学期期末考试 高二数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-12 BCADA DDBAC AB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分. 13. 2x-y-3>0; 14.2
n-1

15.

2 6 3

/>
16.(文)a<3 (理)

2a 4

三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 15 分,共 60 分。 2 (17) (10 分)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x =2py(p>0)相交于 B,C 两点.当直线 l 的 1 → → 斜率是 时,AC=4AB. 2 (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2), 1 1 当直线 l 的斜率是 时, l 的方程为 y= (x+4), 2 2

? ? ? ?x =2py, 2 ? 即 x=2y-4.由 得 2y -(8+p)y+8=0,∴? 8 +p ?x=2y-4, ②, ? ?y1+y2=
2

y1y2=4①,
2

?

→ → 又∵AC=4AB,∴y2=4y1,③ 2 由①②③及 p>0 得 y1=1,y2=4,p=2,得抛物线 G 的方程为 x =4y. (2)设 l:y=k(x+4) (k≠0),BC 的中点坐标为(x0,y0),
? ?x =4y, 2 由? 得 x -4kx-16k=0,④ ?y=k(x+4), ?
2

(5 分)

∴x0=

x1+x2
2

=2k,y0=k(x0+4)=2k +4k.

2

1 2 ∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k -4k=- (x-2k),

k 2 2 ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b=2k +4k+2=2(k+1) . 2 对于方程④,由 Δ =16k +64k>0 得 k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞).

(10 分)
2 2 2

a b (a+b) (18)(12 分)(1)已知 a,b 是正常数, a≠b,x,y∈(0,+∞),求证: + ≥ ,并指出 x y x+y 等号成立的条件; 2 9 ? ? 1?? (2)利用(1)的结论求函数 f(x)= + ?x∈?0, ??的最小值,并指出取最小值时 x 的值. x 1-2x? ? 2??

?a b ? 2 2 2y 2x 2 2 18.(1)证明:? + ?(x+y)=a +b +a +b ≥a +b +2
x ?x y? a2 b2 (a+b)2 故 + ≥ , x y x+y a b 2y 2x 当且仅当 a =b ,即 = 时上式取等号. x y x y y

2

2

y x a2 ·b2 =(a+b)2, x y

(6 分)

2 3 (2+3) (2)由(1)得 f(x)= + ≥ =25, 2x 1-2x 2x+(1-2x) 2 3 1 当且仅当 = ,即 x= 时上式取最小值, 2x 1-2x 5 即 f(x)min=25.

2

2

2

(12 分)

cosA b (19)(12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 = 且 sinC=cosA. cosB a (1)求角 A, B,C 的大小;
[中_教_网 z_ z_s_te p]

(2)设函数 f(x)=sin(2x+A)+cos2x- ,求函数 f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的 2 距离. cosA b cosA sinB 19.解:(1)由 = 结合正弦定理得 = , cosB a cosB sinA π 则 sin2A=sin2B,则有 A=B 或 A+B= , 2 1 ①当 A=B 时,由 sinC=cosA 得 cosA=sin2A=2sinAcosA 得 sinA= 或 cosA=0(舍), 2 π 2π ∴A=B= ,C= , 6 3 π ②当 A+B= 时,由 sinC=cosA 得 cosA=1(舍). 2 π 2π 综上,A=B= ,C= , (6 分) 6 3 π π π π π (2)由(1)知 f(x)=sin(2x+ )+cos(2x- )=sin(2x+ )+cos(- +2x+ ) 6 3 6 2 6
[中教网]

C

π =2sin(2x+ ). 6 π π π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 2 6 2 3 6 π π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为(kπ - ,kπ + )(k∈Z),相邻两对称轴间的距离为 .(12 分) 3 6 2 (20) (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a(Sn-an+1)(a 为常数,且 a≠0,a≠1)(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+Sn·an,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值. 解:(1)当 n=1 时,S1=a(S1-a1+1), 当 n≥2 时,Sn=a(Sn-an+1), 两式相减得,an=a·an-1,即 ∴a1=a,
[中教网]

*

2

Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),

an =a.即{an}是等比数列, an-1
(6 分) 2n n (2a-1)a -aa 即 bn= .① a-1

an=a·an-1=an. a(an-1) n n 2 (2)由(1)知 bn=(a ) + a, a-1 2 若{bn}为等比数列,则有 b2=b1b3,
2 3 4 2

而 b1=2a ,b2=a (2a+1),b3=a (2a +a+1). 1 3 2 2 4 2 故[a (2a+1)] =2a ·a (2a +a+1),解得 a= . 2

1 1n 将 a= 代入①得 bn= 成立. 2 2
2 2

1 ∴a= . 2

(12 分)

x y 3 (21)(12 分)设 A,B 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右顶点,P(1, )为椭圆上一点,椭圆 a b 2 长半轴的长等于焦距. (1)求椭圆的方程;
(2)设 P(4,x)(x≠0),若直线 AP,BP 分别与椭圆相交于异于 A,B 的点 M,N,求 证:∠MBN 为钝角. 解:(1)依题意,得 a=2c,b =a -c =3c ,
2 2 2 2

x y 3 x y 2 设椭圆方程为 2+ 2=1,将 1, 代入,得 c =1,故椭圆方程为 + =1. 4c 3c 2 4 3

2

2

2

2

(6 分)

(2)证明:由(1)知 A(-2,0),B(2,0), 3 6y0 2 2 设 M(x0,y0),则-2<x0<2,y0= (4-x0),由 P,A,M 三点共线,得 x= , 4 x0+2 →
2 6y0 6y0 5 → → → BM=(x0-2,y0),BP=2, ,BM·BP=2x0-4+ = (2-x0)>0, x0+2 x0+2 2

[中教网]

即∠MBP 为锐角,则∠MBN 为钝角.
2

(12 分)
x

(22) (文)(12 分) 己知函数 f(x)=(x -ax+a)e (a<2,e 为自然对数的底数). (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若存在 x∈[-2,2],使得 f(x)≥3a e ,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=(x -x+1)e ,切点为(1,e), 于是有 f′(x)=(x +x)e ,k=f′(1)=2e, 所以切线方程为 y=2ex-e. (2)f′(x)=x(x-a+2)e ,
x
2 2 2 2

x

x

(6 分) 令 f′(x)=0,得 x=a-2<0 或 x=0,

①当-2≤a-2<0,即 0≤a<2 时,
[中教网]

x f′(x) f(x)
所以 f(a-2)=e

-2

(-2,a-2) +

a-2
0 极大值

(a-2,0) - ?

0 0 极小值

(0,2) + ?

2

[zzstep. com]

?
2

a-2

(4-a),f(2)=e (4-a),

当 0≤a<2 时,有 f(2)≥f(a-2), 4 2 2 2 2 2 若存在 x∈[-2,2]使得 f(x)≥3a e ,只需 e (4-a)≥3a e ,解得- ≤a≤1,所以 0≤a≤1. 3 ②当 a-2<-2,即 a<0 时, 所以 f(-2)= =e (4-a), 因为 e (4 + 以 f(2)>f(-2), 若存在 x∈[-2,2]使得 f(x)≥3a e ,只需 e (4-a)≥3a e ,
2 2 2 2 2 -2 2

x f′(x) f(x)

-2

(-2,0) - ?

0 0 极小值

(0,2) + ?

2

e (4 + 3a) , f(2)

-2

3a)<e (4 - a) ,所

2

4 4 解得- ≤a≤1,所以- ≤a<0. 3 3 4 综上所述,有- ≤a≤1. (12 分) 3 (22)(理) (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1 AD C 的余弦值; (3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使 AE 与 DC1 成 60° 角? 若存在,确定 E 点位置,若不存在,说明理由. (1)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD. 由 ABC A1B1C1 是直三棱柱,得四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点. 又 D 为 BC 的中点,所以 OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD. 因为 OD? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. (4 分) (2)解:由于 ABC A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故 BA、BC、BB1 两两垂直. 如图所示建立空间直角坐标系. 设 BA=2,则 B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),D(0,1,0). 所以 错误!未找到引用源。=(-2,1,0),错误!未找到引用源。=(-2,2,1). 设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z),则有错误!未找到引用源。 所以 错误!未找到引用源。 取 y=1,得 n=(错误!未找到引用源。,1,-1). 易知平面 ADC 的一个法向量为 v=(0,0,1). 由于二面角 C1 AD C 是锐角且 cos<n,v>=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 所以二面角 C1 AD C 的余弦值为错误!未找到引用源。. (8 分) (3)解:假设存在满足条件的点 E. 因为 E 在线段 A1B1 上,A1(2,0,1),B1(0,0,1),故可设 E(λ ,0,1),其中 0≤λ ≤2. 所以 错误!未找到引用源。=(λ -2,0,1),错误!未找到引用源。=(0,1,1). 因为 AE 与 DC1 成 60°角,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 即错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, 解得λ =1 或λ =3(舍去). 所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角. (12 分)


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