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§3.2.2 直线的两点式和截距式方程基础知识过关检测


株洲健坤外国语学校

高二数学◆必修 2◆基础过关检测

编写:颜家其

审核:高二数学备课组

§3.2.2 直线的两点式和截距式方程基础知识过关检测
姓名
1. 方程的两点式与截距式 名称 已知条件 两点式 P(x1, 1) P(x2, y ,2 1 y2 ) 其中 x1≠x2

, y1≠y2 在 x、y 轴上的截 距 a、b 且 ab≠0 示意图

评价
方程 适用范围

截距式

2. 线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 ,设 M(x,y)是线段 P1P2 的中点,
?x ? 则? ?y ?

3. 一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程( A.可以写成两点式或截距式 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 C.可以写成点斜式或截距式 D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 4. 过点(2,4)(2,-5)的直线方程是( , ) A. x ?



1 2

B. x ? 2

C. x ? y ? 2 )

D. y ? 0

5. 在 x 、 y 轴上的截距分别是-3,4 的直线方程是( A.

x y ? ?1 ?3 4

B.

x y ? ?1 3 ?4

C.

x y ? ?1 ?3 ?4

D.

x y ? ?1 4 ?3

6. 经过(5,-3)(-7,3)两点的直线的方程是_________. , 7. 已知 A? ?3,2 ?, B ?5, ?4 ?, C ?0, ?2 ? ,在 ?ABC 中, (1)求 BC 边的方程; (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程.

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能力提升 8. 已知点 A?3,4? ,求 (1)经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程; (2)经过点 A 且在且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程; (3)经过点 A 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; (4)经过点 A 且与两坐标轴围成的三角形面积是 1 的直线方程; (5)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程.

9.如图所示,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购 买行李票,行李票费用 y (元)与行李重量 x ( kg )的关系用直线 AB 的方程表示.试求:

(1)直线 AB 的方程; (2)旅客最多可免费携带多少行李.

10. 过点 P ? 2,1? 作直线 l 分别交 x, y 轴于 A, B 两点,求: (1) PA ? PB 取得最小值时直线 l 的方程; (2) OA ? OB 取得最小值时直线 l 的方程.

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§3.2.2 姓名

直线的两点式和截距式方程基础知识过关检测
评价
示意图 方程 适用范围

1. 方程的两点式与截距式 名称 已知条件 两点式 P(x1, 1) P(x2, y ,2 1 y2 ) 其中 x1≠x2 , y1≠y2 在 x、y 轴上的截 距 a、b 且 ab≠0

截距式

2. 线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 ,设 M(x,y)是线段 P1P2 的中点,
?x ? 则? ?y ?

3. 一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程( A.可以写成两点式或截距式 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 C.可以写成点斜式或截距式 D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 4. 过点(2,4)(2,-5)的直线方程是( , ) A.x=



1 B.x=2 C.x+y=2 2 5. 在 x 、 y 轴上的截距分别是-3,4 的直线方程是( ) x y x y x y ? ?1 ?1 ? ?1 A. B. ? C. ?3 4 3 ?4 ?3 ?4
6. 经过(5,-3)(-7,3)两点的直线的方程是_________. , 7. 已知 A? ?3,2 ?, B ?5, ?4 ?, C ?0, ?2 ? ,在 ?ABC 中,

D.y=0

D.

x y ? ?1 4 ?3

(1)求 BC 边的方程; (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程. 思路点拨:首先判定是否满足直线方程两点式的条件,若满足,则应用公式求解;若不满足,则根据具 体条件写出方程. 解: (1)∵BC 边过两点 B(5,-4) C(0,-2) , , ∴由两点式得

x?5 y ? (?4) = , (?2) ? (?4) 0 ? 5

即 2x+5y+10=0. 故 BC 边的方程为 2x+5y+10=0(0≤x≤5). (2)设 BC 的中点为 M(x0,y0) , 则 x0=

(?4) ? (?2) 5?0 5 = ,y0= =-3. 2 2 2

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∴M(

5 ,-3) , 2
y ? 2 x ? (?3) = , ?3?2 5 ? (?3) 2

又 BC 边上的中线经过点 A(-3,2). ∴由两点式得

即 10x+11y+8=0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x+11y+8=0. 规律方法:①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求,对字母则需分类讨论;②注意问 题叙述的异同,本题中第一问是表示的线段,所以要添加范围;第二问则表示的是直线. 能力提升 8. 已知点 A?3,4? ,求 (1)经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程; (2)经过点 A 且在且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程; (3)经过点 A 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; (4)经过点 A 且与两坐标轴围成的三角形面积是 1 的直线方程; (5)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程. 解析: (1)4x-3y=0 或 x+y-7=0 [当直线经过原点时,方程为 4x-3y=0,当直线不经过原点时,设方程为 标得直线方程 x+y-7=0] (2)2x-y-2=0 或 8x-9y+12=0;[设直线方程为

x y ? ? 1 ,代入点 A 的坐 a a

x y 3 4 ? ? 1 ,由 ? ? 1 和 | ab |? 2 求得 a, b 的 a b a b

值] (3)x-y+1=0 或 x+y-7=0;[斜率为 1 或-1,由点斜式易得] (4)x+2y-11=0 或 4x-3y=0;[当直线经过原点时,方程为 4x-3y=0,当直线不经过原点时,设 直线方程为

x y 3 4 ? ? 1 ,由 ? ? 1 和 a ? 2b 求得 a, b 的值] a b a b

(3)点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题,本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线, 应警惕。 解:当直线过原点时,方程为 y ?

4 x y x ;当直线不经过原点时,设方程为 ? ? 1 ,把 P(3,4) 代入得 3 a 2a

a ? 5 , ? 2 x ? y ? 10
综上,所求方程为 y ?

4 x 或 2 x ? y ? 10 3

【例 2】 已知直线 l 经过点(3,-2),求直线 l 的方程. , 思路点拨:截距相等并不能确定直线方程存在截距式,需分类讨论,其解题流程图为:

解:法一:由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0,设其斜率为 k,则可得直线的方程为 y+2=k(x-3).
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令 x=0,得 y=-2-3k,令 y=0,得 x=

2 +3. k

2 +3, k 2 解得 k=-1 或 k=- . 3
由题意-2-3k= 所以直线 l 的方程为

y+2=-(x-3)或 y+2=-

2 (x-3). 3

即为 x+y-1=0 或 2x+3y=0. 法二:设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a. ①若 a=0,则直线 l 过原点,此时 l 的方程为 2x+3y=0; ②若 a≠0,则 l 的方程可设为 因为直线 l 过点(3,-2) , 知

x y + =1, a a

3 ?2 + =1,即 a=1.所以直线 l 的方程为 x+y=1, a a

即 x+y-1=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x+y-1=0 或 2x+3y=0. 规律方法:①应用直线方程的形式要看准条件,一是问题给出的条件,选择合理形式;二是方程形式存 在的条件,准确应用形式. ②直线方程的截距式中一定要注意的是截距是否为 0 以及是否存在. 变式训练 2-1:已知直线过点 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,求直线的方程. 解:设直线与两坐标轴的交点为(a,0)(0,b). , (1)当 ab≠0 时,直线方程为 由点 P 在此直线上,有

x y + =1. a b

2 3 + =1,① a b

又由已知有|a|=|b|,② 联立方程①、②可得, a=b=5 或 a=-1,b=1, 所以直线方程为 x+y-5=0 或 x-y+1=0. (2)当 a=b=0 时,直线过原点和 P(2,3) ,易知直线方程为 3x-2y=0. 综上所述,所求直线方程为 x+y-5=0 或 x-y+1=0 或 3x-2y=0. 9.如图所示,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购 买行李票,行李票费用 y (元)与行李重量 x ( kg )的关系用直线 AB 的方程表示.试求:

(1)直线 AB 的方程; (2)旅客最多可免费携带多少行李. 解: (1)由题图可知, 点 A(60,6) B(80,10) , , 所求直线 AB 的方程是:
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y?6 x ? 60 = , 10 ? 6 80 ? 60
即 x-5y-30=0. (2)令 y=0,则 x=30. 即旅客最多可免费携带 30 kg 行李. 10. 过点 P ? 2,1? 作直线 l 分别交 x, y 轴于 A, B 两点,求: (1) PA ? PB 取得最小值时直线 l 的方程; (2) OA ? OB 取得最小值时直线 l 的方程. 解:显然直线 l 的斜率不存在时不符合题意,设直线 l 的方程为:y-1=k(x-2)(k<0),则点 A 的坐标是

1 1 (2 ? , 0) ;点 B 的坐标为(0,1-2k),所以 PA ? PB ? ( 2 ? 1)(4 ? 4k 2 ) k k
= 8 ? 4(

1 ? k 2 ) ? 4 ,当且仅当 k=-1 时取等号,所求直线 l 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0. 2 k
x y 2 1 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 因为点 P∈l,所以 ? ? 1 ,故 ab ? 2b ? a ? 2 2ab ,?ab ? 8 . a b a b

(2)设直线为

当且仅当 a=2b,即 a=4,b=2 时取等号,所求的直线为:x+2y-4=0.

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