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湖北省武汉市2014届高三下学期四月调考理数


湖北省武汉市 2014 届高三下学期四月调考 数学理试题
2014.4.17 本试卷共 5 页,共 22 题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸无效。 3. 填空题和解答题的作答:用签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿 纸上无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

a?i ? 1 ( a 为实数, i 为虚数单位)是纯虚数,则 a ? 3 ? 4i 4 4 A.7 B.-7 C. D. ? 3 3 3 2. 若一元二次不等式 2kx2 ? kx ? <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为 8
1. 若复数 A. ?? 3,0? B. ?? 3,0 ? C. ?? 3,0? D. ( ?3,0)

3. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何 体的 体积是 A.108 cm C.92 cm
3 3

B.100 cm

3

D.84 cm

3

4. 已知命题 p : ?? ? R ,使 f ( x) ? sin(x ? ? ) 为偶函数;命题 q : ?x ? R, cos 2 x ? 4 sin x

? 3<0 ,则下列命题中为真命题的是
A. p ? q B. ??p ? ? q C. p ? ??q ? D. ??p ? ? ??q ?

5. 已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y 2 ? 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 PF ? 4 2 , 则△ POF 的面积为 A.2 B. 2 2 C. 2 3 D.4

6. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,若 A,B,C 成等差数列, 2a,2b,2c 成等比数 列,则 cos A cos B ? A.0 B.

1 6

C.

1 2

D.

2 3

7. 安排 6 名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的 种数是 A.180 B.240 C.360 D.480

8. 设 a1 , a2 , a3 均为正数, ?1<?2<?3 ,则函数 f ( x) ? 分别位于区间 A. (??, ?1 ) ? (?1 , ?2 ) 内 C. (?2 , ?3 ) ? (?3 ,?? ) 内

a a1 a ? 2 ? 3 的两个零点 x ? ?1 x ? ?2 x ? ?3

B. (?1 , ?2 ) ? (?2 , ?3 ) 内 D. (??, ?1 ) ? (?3 ,??) 内

9. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB=1, P 为△ABC 内一点, 过点 P 分别引三边的平行线,与各边围成以 P 为顶点的三个三 角形(图中阴影部分) ,则这三个三角形的面积和的最小值为 A.

1 9

B.

1 8
2

C.

1 6

D.

1 3

10. 设函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3cx 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? ?? 1,0? , x2 ? ?1,2?,则
3

A. ? 10 ? f ( x1 ) ? ?

1 2

B. ?

1 ? f ( x1 ) ? 0 2

C. 0 ? f ( x1 ) ?

7 2

D.

7 ? f ( x1 ) ? 10 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题 卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模凌两可均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11. 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验, 收集数据如下: 零件数 x(个) 加工时间 y(分钟) 10 64 20 69 30 75 40 82 50 90

由表中数据,求得线性回归方程 y ? 0.65x ? a ,根据回归方程,预测加工 70 个零件所 花费的时间为________分钟. 12. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是______. 13. 在计算“1×2+2×3+...+n(n+1) ”时,某同学学到了如 下 一种方法: 先改写第 k 项:k(k+1)= [k (k ? 1)( k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)] 由此得 1×2- (1? 2 ? 3 ? 0 ? 1? 2) .

1 3

1 3

1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) . 3
.............

1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)( n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] . 3 1 相加,得 1×2+2×3+...+n(n+1) ? ( n ? 1)( n ? 2) . 3
类比上述方法,请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+ n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ” ,其结果 是______________.(结果写出关于 n 的一次因式的积的形式) 14. 如图,△OAB 是边长为 2 的正三角形,记△OAB 位于直线

x ? t (0<t ? 2) 左侧的图形的面积为 f (t ) ,则
(I)函数 f (t ) 的解析式为_______;

(II)函数 y ? f (t ) 的图像与直线 t ? 2、t 轴围成的图形面积为______.

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目 序号的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,过 C 作△ABC 的外接圆 的切线 CD,BD⊥CD 于 D.BD 与外接圆交于点 E,已知 DE=5,则△ ABC 的外接圆的半径为______. 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线

1 1 ? x ? (t ? ) ? ? 1 ? 2 t p sin(? ? ) ? 与曲线 ? ( t 为参数)相交于 A,B 两 点,若 M 为线段 AB 的中点, 3 2 ?y ? t ? 1 ? t ?
则直线 OM 的斜率为_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x ? sin x, cos x ? sin x) , b ? (cos x,? sin x) , c ? (2,1) ,其中 x ? ?0, ? ? . (I)若 (3a ? 4b) // c ,求 x ; (II)设函数 f ( x) 是 a 在 b 方向上的投影,在给出的直角坐标系中,画出 y ? f ( x) 在 ?0, ? ? 的图像.

18.(本小题满分 12 分) 在等比数列 ?a n ?中,其前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? (I)求数列 ?a n ?的通项公式; (II)是否存在正整数 n ,使得 S n ? S n ? 2 ?

3 9 , S3 ? . 2 2

3 ?,并说明理由. 32

19.(本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=1,PB=PD= 2 , 点 E 在 PD 上,且 PE=2ED. (I)求二面角 P-AC-E 的大小; (II)试在棱 PC 上确定一点 F,使得 BF//平面 AEC.

20.(本小题 12 分) 一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑 球的概率为

2 7 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率为 . 5 9

(I)若袋中共有 10 个球; (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求 ? 的数学期望 E (? ) . (II)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于

7 . 10

21.(本小题满分 13 分) 如图,A,B 是椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点, M 是椭圆 ? 上位于 x 轴上方的动点, 4

直线 M , BM 与直线 l : x ? 4 分别交于 C , D 两点. (I)若 CD ? 4 ,求点 M 的左边; (II)记△ MAB 和△ MCD 的面积分别为 S 1 和 S 2 .是否存在实数 ? ,使得 S1 ? ?S 2 ?若存 在,求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x . (I)求 f ( x) 的最大值; (II)设 g ( x) ? f ( x) ? ax2 (a ? 0) , l 是曲线 y ? g ( x) 的一条切线,证明:曲线 y ? g ( x) 上的任意一点都不可能在直线 l 的上方;

2 4 8 2n (III)求证: (1 ? )(1 ? )(1 ? )....[ 1 ? n?1 ]<e (其中 e 为自然 2?3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1)
对数的底数, n ? N ).
?


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