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解析空间向量在立体几何中的应用


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解析空间向量在立体几何中的应用
一、空间里角的向量求法
空间中各种角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是难点,借助于向量的夹角公式可以很方便的 避开寻找角的过程,而是通过对向量夹角的计算来实现。 夹角公式:设 a ? (a1 , a 2 , a 3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) 则 cos ? a, b ??

a?b ab

?

a1b` ? a 2 b2 ? a3 b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32

现以近几年的高考题来分析这个公式在求解异面直线所成角及二面角的平面角问题中的应用。

⒈异面直线所成角的计算问题
求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ,通过求这两个向量的夹角得出 异面直线所成角 例 1 (2006 广东卷)如图 5 所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD= 8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE//AD. ⑴ 求直线 BD 与 EF 所成的角 解:以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则 O(0,0,0),A (0, ? 3 2 ,0),B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8),E(0,0,8),F(0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2 ,?3 2 ,8), FE ? (0,?3 2 ,8)

cos ? BD, EF ??

BD ? FE | BD || FE |

?

0 ? 18 ? 64 100 ? 82

?

82 10

设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? ,则

cos? ?| cos ? BD, EF ?|?

82 10 82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

方法小结:空间向量在解决异面直线所成角的计算时,通常要先建立空间直角坐标系,然后利用计算出 两个向量的坐标在带入夹角公式中计算, 特别注意的是由于向量夹角的范围是 ?0, ? ?, 而异面直线所成角的范 围确是 (0,

?
2

] ,所以一定要注意最后计算的结果应该取正值。

⒉关于二面角的二面角的计算

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二面角的计算可以采用平面的法向量间的夹角来实现,进而转化为对平面法向量的求解。最后要注意法 向量如果同向的话,其夹角就是二面角平面角的补角,异向的话就是二面角的平面角。 例 2 (2005 年福建卷)如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是 边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小;

D

C

解:以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点 平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图 ∵AE⊥平面 BCE,BE ? 面 BCE, ∴AE⊥BE,在直角三角形 AEB 中,AB=2,O 为 AB 的中点 ∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2), AE ? (1,1, 0), AC ? (0, 2, 2)

F A E B

??? ?

????

设平面 AEC 的一个法向量 n =(x,y,z),

?

??? ? ? ? AE ? n ? 0 ? x ? y ? 0 ? y ? ? x, ? 则 ? ???? ? 即? 解得 ? ? z ? x. ? AC ? n ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0, ?
令 x=1,得 n =(1,-1,1)是平面 EAC 的一个法向量,又平面 BAC 的一个法向量为 m =(1,0,0),

?

??

?? ? ?? ? m?n 1 3 ? ? ? ∴cos( m , n )= ?? 3 | m |?| n | 3
∴二面角 B-AC-E 的大小为 arccos

3 . 3

方法小结:借助平面的法向量求解二面角的平面角时,一定要注意判断法向量间的方向。

二、空间里距离的计算

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借助向量求解距离主要有两种方法,通过距离公式或者向来能够的正投影。 ⑴设 A( x1 , y1 , z1 ), B( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则

A
2 2

? n
A1 B

d AB ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2

? ⑵如图,点 A 到平面?的距离等于?的斜线段 AB 在?的法向量 n 上的正射影长,
即:d=A1B1=

| AB ? n | |n|

?

B1



? ? ⑶a、b 为异面直线,,若 b??,a∥?, n 为?的向量,A1、B1 分别为 a、b 上两点在 n 上的正射影,
则 a、b 的距离 d=A1B1=

| AB ? n | |n|

例 3 (03 年高考试题)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?,侧棱 AA1 =2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G. (Ⅰ)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小; (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离. 解(Ⅰ)如图所示,建立坐标系,坐标原点为 C,设 CA=2a,则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0, 1),A1(2a,0,2),E(a,a,1), G( 2a , 2a , 1 ) ,

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ∵ GE ? ? a , ? a , ? 2 , BD ? ? 0, ?2a,1? , GE ?BD ? 2 a 2 ? 2 ? 0 , 3 3 3 3 3 ???? ? ??? ? A1 ∴ a=1, GE ? ? 1 , ? 1 , ? 2 , A1 B ? ? ?2, 2, ?2 ? 3 3 3 ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??? ? A1 B ?GE 2 ∵ GE 为平面 ABD 的法向量,且 cos A1 B, GE ? ???? ??? ? ? ? 3 A B GE

?

?

?

3

3 3

z C1

?

B1 DD

1

E

? 2 (即 arccos 7 ). ∴ A1B 与平面 ABD 所成角是 ? arccos 2 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)有 A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1), D(0,0,1),设 A1 在平面 AED 上的射影为 K(m,n,p),则 ??? ? ???? ???? ? x AE ? ? ?1,1,1? , DE ? ?1,1,0 ? , A1 K ? ? m ? 2, n, p ? 2 ?

K A

G

C

B

y

∵ A1K⊥DE,A1K⊥AE, ???? ??? ? ? ???? ???? ? m?2?n ∴ A1 K ?AE ? 0, A1 K ?DE ? 0 ,即 p ? 2 ? 2n ???? ? ???? ? ∵ A1K 为平面 AED 的法向量,且 A1 K ? ? ?n, n, ?2n ? , A1 E ? ? ?1,1, ?1?

?

???? ???? ? ? A1 E ?A1 K ? ?1? ? ? ?n ? ? 1? n ? ? ?1? ? ? ?2n ? 2 6 ∴ 点 A1 到平面 AED 的距离 d ? ???? . ? ? ? 2 2 3 A1 K ? ?n ? ? n2 ? ? ?2n ?
以上依托于平面的法向量给出的解法十分简捷, 解题的关键是先确定与问题相关的平面及其法向量.如果 图中的法向量没有直接给出,那么必须先创设法向量. 空间向量在解决空间中角和距离计算时有着得天独厚的条件。在应用的过程中要注意的是对角计算要判 断向量间的方向,对于平面需准确的计算出平面的法向量。


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