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2014年人教A版选修4-5教案 一 不等式(3)——三个正数的算术—几何平均不等式式


三个正数的算术—几何平均不等式
目的要求: 了解三个正数的算术—几何平均不等式及其一般形式. 重点难点:三个正数的算术—几何平均不等式及其应用。

教学设计: 一、 引入: 思考:类比基本不等式的形式,猜想对于 3 个正数 a,b,c,可能有怎样的不等 式成立? 类比基本不等式的形式,猜想对于 3 个正数 a,b,c,可能有:若

>a, b, c ? R?

,那么

a?b?c 3 ? abc ,当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 3

二、给出定理 证明: 若a, b, c ? R? , 则a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc,当且仅当a ? b ? c时, 等号成立 .
3 3 2 2 3 和的立方公式:( x ? y) ? x ? 3x y ? 3xy ? y

立方和公式: x 3 ? y 3 ? ( x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 ) a?b?c 3 ? abc 当且仅当 a=b=c 时, 定理 如果 a, b, c ? R? , 那么 等号成立. 3 (三个正数的算术平均不小于它们的几何平均) 说明: (1)若三个正数的积是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它 们的和有最小值. (2)若三个正数的和是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它们的积 有最大值. 定理推广:n 个正数的算术—几何平均不等式:

若a 1 , a 2 , a 3 ,?, a n ? R? , 则

a 1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n n ? a 1 a 2 a 3 ?an , n

当且仅当a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n时, 等号成立.
三、教学实例

( 1 )出示例5 已知x, y, z ? R? , 求证?x ? y ? z ? ? 27xyz. x? y?z 3 证明 因为 ? xyz ? 0, 3 3 ?x ? y ? z ? ? xyz,即?x ? y ? z ?3 ? 27xyz. 所以 27
3

(三个正数的算术—几何平均不等式的一个简单变形, 主要是这种变形的意识很 重要). (2)出示例 6 如下图,把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的 小正方形,再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边

长 是 多少时,才能使盒子的容 积最 大? 解:设切去的正方形边长为 x,无盖方 底盒子的容积为 V,则

a

V ? (a ? 2x) 2 x ?
当且仅当

3 3 1 (a ? 2 x)( a ? 2 x) ? 4 x ? 1 ? (a ? 2 x) ? (a ? 2 x) ? 4 x ? ? 2a 4 ? 4? 3 27 ? ?

a 时,不等式取等号,此时V取最大 6 1 值.即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的 时,盒子的容积最大. 6 四、小结:
a ? 2x ? a ? 2x ? 4x

,即当 x ?

回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件, 应用 它们时的注意点。 五、课后作业


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