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高三数学选修4-4课外班上课用资料1


一、坐标系的有关概念 1 极坐标系的建立: 在平面上取一个定点 常取 线 OX 称为 , 自点 O 引一条射线 , 同时确定一个单位长度和计算角度的正方向 (通 称为 ,射

练习:①将下列各点的极坐标化为直角坐标: (1)A(2,

方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐标系。 (其中 O ) , ? 表示 OM 的长度,

r />3? 4

);(2)B(4,

? ? )(3)M(-5, 3 6

)(4)N(-3,-

? ) (5) ?5, ? ? =

②将下列各点的直角坐标化为极坐标:

2.如图,设 M 是平面上的

? 表示以射线

OX 为始边,射

?
3、

2, 2

?

=



? ?1, ?1? =



? ?3, 0 ?=
2、ρcosθ=1



? 0,5? =



??

3,1

?

=

线 OM 为终边所成的角。 那么有序数对 ( 为 ,

? ,? ) 称为点 M 的极坐标。

其 中

?



四、极坐标方程化为普通方程 1、ρ=cosθ

? 称为

.

由极径的意义可知

? ? 0 .当极角 ?

的取值范围是

?0, 2? ? 时 , 平 面 上 的 点 ( 除 去 极 点 ) 就 与 极 坐 标

? ?2 5、 ? ? 4sin ?

4、

? cos? ? 3 sin ? ? 6

?

?

6、

? ?,? ?? ? ? 0? 建立
约定:极点的极坐标是 ? =0,

的关系.

五、普通方程化为极坐标方程 1

.x=1

2.

y=2

3.

x+y=1

? 可以取任意角.

3.极坐标统一形式一般地,如果

? ?,? ? 是点 M 的极坐标,那么
?
的取值范围



? k ? Z ? ,都可以作为

4. x2+y2=1

5.

( x ?1)2 ? y 2 ? 1
参数方程

点 M 的极坐标. 但是,由于我们限定了极角

?0, 2? ? , 所 以 平 面 内 的 任 一 个 点 的 极 坐 标

? ?,? ?? ? ? 0? 就变为唯一一个了。
4、指出下列坐标在极坐标平面的位置

一、圆的参数方程 1、x2+y2=r2 2、 ( x ? a)
2

? ( y ? b)2 ? r 2
2、 ?

二、圆的参数方程化为普通方程 1、 ?

? x ? cos ? (? 为参数) ? y ? sin ?
? x ? ?2 ? 10 cos? ? ? ? y ? 10 sin ?

? x ? 1 ? cos? (?为参数) ? y ? sin ?
? x ? 3 ? 2 cos ? (? ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

3、 ?

4、

三、圆的普通方程化为参数方程 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化

x2 ? y 2 ? 4 2 2 3、 x ? y ? 2 y
1、 在两坐标系中取相同的单位长度 和( 5、x2+y2-2x-2y=0 7、

2、 ( x ? a)

2

? ( y ? b)2 ? r 2

4、x2+y2-x-y=0 6、 x
2

以直角坐标系的 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,且 平面内的任一点 P 的直角坐标极坐标分别为 (x, y)

? y2 ? 4 y ? 0
8、 ( x ? 1)
2

? ,? ) ,

( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1

? y2 ? 1

x?
y?

?2 ?
tan ? ?
四、直线的参数方程 1、经过点 P ( x0,y0 )倾斜角为?的参数方程 推导

② ③

当 t=0 时,点 P 与点 P0 重合; 当 t<0 时,点 P 在点 P0 的下方;

例.写出经过点 M0(-2,3) ,倾斜角为 坐标. 五、直线参数的方程化为普通方程。

3? 4

的直线 l 的标准参数方程,并且 求出直线 l 上与点 M0 相距为 2 的点的

3 ? 4 ? ?x ? ? 5 t ? 2 x ? 1? t 1、 、? , 2、 ? ? 5 4 ? ?y? t 3 ? y ? ?1 ? t 5 ?
? ?
六、直线普通方程化为参数的方程 1、已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角

1 ? x ? ?2 2 ? t ? 2 3、 ? (t为参数) ? 1 ? y ? 1? t ? ? 2 5

? 2 t ?x ? 1 ? 1.已知直线了 L 过点 P(1,1) ,倾角 45 ,参数方程为 ? ,点 A 对应的参数 t= 2 , 2 (t为参数) ? ?y ? 1? 2 t ? 2 ?
0

求 A 坐标,以及 AP 距离。 2.已知直线 l 过点 M(1,-5),参数方程: ?

??

?
6
3

.写出直线 l 的参数方程;

x ? 1? t ? y ? ?5 ? 3 t ?

(t 为参数)与直线 m: x ?

y ? 2 3 ? 0 交于 P

2、 l是过点 P ( ?1,2), 倾斜角为 2 ?的直线. 圆方程 ? ? 2 cos(? ? (1)求直线 l 的参数方程 3.已知直线 l 经过点 P(?2,0) 倾斜角

?
3

).

点,求点 M(1,-5)到点 P 的距离.

??

?
4

3.已知直线了 L 过点 P(0,1) ,倾角 60 ,与抛物线 y=x 交于 A,B.求|PA||PB|,|PA|+|PB|, .写出直线 l 的参数方程; ||PA|-|PB||

0

2

4.直线 ?

? x ? 3 ? t sin 20?
? ? y ? 4 ? t cos 20

(t 为参数)的倾斜角

.

5.求过点(6,7),倾斜角的余弦值是

3 的直线 l 的标准参数方程. 2

1 ? x ?1? t ? ? 5 6.直线 ? (t 为参数)的斜率和倾斜角分别是( 2 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
直线参数方程的几何意义

)

4.已知直线 l 经过点

P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

.①写出直线 l 的参数方程 ;②设 l 与圆

x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点

A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.
5. 已知直线 l是过点 P(?1,2), 倾斜角为 2 ?的直线.圆方程 ? ? 2 cos(? ? ? ).

3

3

(1) 求直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆相交于 M、N 两点,求 PM· PN 的值.

t 几何意义:有向直线 l 上从已知点 P0( ①

x0 , y0 )到点

P(

x , y )的有向线段的数量,且|P0P|=|t|

当 t>0 时,点 P 在点 P0 的上方;

总结 l 被 C 截得的弦 AB 的长|AB|=|t1-t2|;P0A·P0B= t1·t2;弦 AB 中点 M 点对应的参数为

t1 ? t 2 2

;| P0M

2、已知曲线 C1: ?

|=

t1 ? t 2
)

? x ? cos ? (? 为参数) ,曲线 C : ? ?x ? ? y ? sin ? ?
2

2 ? x ? 1? t 2 2 1.直线 ? (t 为参数)与椭圆 x ? 2 y ? 8 交于 A、B 两点,则|AB|等于( ? y ? ?2 ? t ?x ? x0 ? t cos? 2、直线 ? (t 为参数)与二次曲线 A、B 两点,则|AB|等于( ) ? y ? y0 ? t sin ?
A |t1+t2| B |t1|+|t2| C |t1-t2| D

? ?y ? ? ?

2 t? 2 2 t 2


2 (t为参数)

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数;
? 3

3、已知曲线 C 的极坐标方程是 ?

? 2 sin?

,设直线

L 的参数方程是 ? x ? ? 5 t ? 2
? 4 ? y ? t 5 ?

,

(t 为

t1 ? t 2 2

参数) . (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 L 与

x 轴的交点是 M , N

曲线 C 上一动点,求

MN

的最大值.

1 ? 2 t 3.直线 ? x ? 2 ? 2 (t 为参数)与圆 x ? 1 ? y ? ?1 ? t 2 ?
标为(2,-1),则|PA|·|PB|= 4、过点 P(6,

? y 2 ? 1 有两个交点 A、B,若 P 点的坐

x ? 1? 4、求直线 ? ?

?

4 t ( t为参数 )被曲线 x2 5 ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

? y 2 ? x ? y ? 0, 所截的弦长.

7 2

)的直线 ?

? x ? 6 ? 2t 2 ? y ? 7 ? t (t 为参数)与抛物线 y =2 x 相交于 A、B 两点,则点 P 到 A,B 距离之积 ? 2 ?

5.直线 ? x ? 2 ?

1 ? 2 t 被圆 x ? 2 (t为参数) ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。

5.过点 P (

2 10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x 2

? 12 y2 ? 1 交于点 M , N ,



PM ? PN

的值及相应的

? 的值。

? 7.已知点 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,直线 l 的参数方程为 ? x ? 2 ? 2 t . ? 2 (t为参数, t ? R) ? 2 ?y ? t ? 2 ?
(1)求直线 l 的普通方程; (2)求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和.

6.经过点 P(?1,2),倾斜角为

? 的直线 l 与圆 x2 +y2 = 9 相交于 A,B 两点,求 PA +PB 和 PA · PB 4 8、已知曲线

1. 已 知 曲 线

C1

的 参 数 方 程 为

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ? ? ? y ? 10 sin ?



?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? C1 的 参 数 方 程 为 ? ? ? y ? 10 s i n?



?

为参数) ,曲线

C2

的极坐标方程为

为 参 数 ), 曲 线

C2



? ? 2 cos? ? 6 sin ? . (1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方
程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,说明理由.

(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程, ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 . 相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

(2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若


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