当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年浙江省温州市永嘉中学高二(上)第一次月考数学试卷


2014-2015 学年浙江省温州市永嘉中学高二(上) 第一次月考数学试卷

菁优网

www.jyeoo.com

2014-2015 学年浙江省温州市永嘉中学高二(上) 第一次月考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. (5 分)等腰△ ABC 的三个顶点的坐标是 A(﹣3,4) ,B(﹣5,0) ,C(﹣1,0) ,则 BC 边的中线 AD 所在直线 的方程是( ) A.x=﹣3 B.y=﹣3 C.x+y=1 D.x=2y 2. (5 分)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( A .π S B.2πS C.4πS D. )

3. (5 分) (2014?郴州三模)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是(



A.

B.

C.

D.

4. (5 分)直线 a,b 是异面直线是指 ① a∩ b=?,且 a 与 b 不平行; ② a?面 α,b?面 β,且平面 α∩ β=?; ③ a?面 α,b?面 β,且 a∩ b=?; ④ 不存在平面 α,能使 a?α 且 b?α 成立. 上述结论正确的有( ) ④ ③ A .① B.②

④ C .③

④ D.②

5. (5 分)直线 xcosθ+y+m=0 的倾斜角范围是( ) A. B. C. [ , ] [0, ]∪ [ ,π) [0,
2 2

]

D. [



)∪ (



]

6. (5 分)过直线 x+2y+1=0 上点 P 作圆 C: (x+2) +(y+2) =1 的切线,切点为 T,则|PT|的最小值为( A. B. C. D.2 7. (5 分)实数 x,y 满足 x +y ﹣4x+1=0,则 A. B.
2 2



的最大值为( C.

) D.
2 2

8. (5 分)已知 a,b,c 是三角形的三边,且直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相离,则此三角形( A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不确定



?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 9. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A′ B′ C′ D′ 的棱线长为 1,线段 AC′ 上有两个动点 E,F,且 EF= 中正确的是( ) ① 直线 AA′ 与 CF 是异面直线 ② 三棱锥 B′ BEF 体积为定值 ③ 异面直线 DD′ 与 BE 所成角的余弦值范围是 ④ BD⊥ EF. ,则下列结论

② ④ A .①
2 2

④ B.②
2 2

③ C .②

③ ④ D.②

10. (5 分)已知圆 O:x +y ﹣4=0,圆 C:x +y +2x﹣15=0,若圆 O 的切线 l 交圆 C 于 A,B 两点,则△ OAB 面积 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. (4 分)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _________
2 2 2 2

. ,则 a= _________ .

12. (4 分) (2009?天津)若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为

13. (4 分)如图梯形 O′ A′ B′ C′ 是一个平面图形的直观图,在直观图中,O′ C′ =C′ B′ =2O′ A′ =3,则原平面图形的 面积为 _________ .

14. (4 分) (2009?辽宁)设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为 _________ m .

3

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

15. (4 分) (2008?温州模拟)圆 x +y +2x﹣4y+1=0 关于直线 2ax﹣by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是 _________ . 16. (4 分) (2008?武汉模拟)已知圆 C:x +(y﹣3) =4,一动直线 l 过 A(﹣1,O)与圆 C 相交于 P、Q 两点, M 是 PQ 中点,l 与直线 x+3y+6=0 相交于 N,则|AM|?|AN|= _________ . 三、解答题:本大题共 4 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的方程为 2x+(k﹣3)y﹣2k+4=0,k∈R. (Ⅰ )若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O′ 坐标为(a,2) ,求 k 的值. (Ⅱ )求坐标原点 O 到直线 l 距离的最大值. 18. (12 分)已知点 M(3,﹣2)及圆 C:x +y ﹣2x﹣4y+1=0. (Ⅰ )求过点 M 的圆 C 的切线方程; (Ⅱ )过点 M 作直线 l 圆 C 交于 A,B 两点,求弦 AB 中点 N 的轨迹方程. 19. (12 分)已知三棱柱 ABC﹣A′ B′ C′ ,侧棱与底面垂直,且所有的棱长均为 2,E 为 AA′ 的中点,F 为 AB 的中 点. (Ⅰ )求多面体 ABCB′ C′ E 的体积; (Ⅱ )求异面直线 C'E 与 CF 所成角的余弦值.
2 2 2 2

2

2

20. (12 分) 如图, 圆 C 与 y 轴相切于点 T (0, 2) , 与 x 轴正半轴相交于两点 M、 N (点 M 在点 N 的左侧) , 且|MN|=3, (Ⅰ )求圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ )过点 M 任作一条直线与圆 O:x +y =4 相交于两点 A、B,连接 AN、BN.求证:∠ ANM=∠ BNM.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

2014-2015 学年浙江省温州市永嘉中学高二(上) 第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)等腰△ ABC 的三个顶点的坐标是 A(﹣3,4) ,B(﹣5,0) ,C(﹣1,0) ,则 BC 边的中线 AD 所在直线 的方程是( ) A.x=﹣3 B.y=﹣3 C.x+y=1 D.x=2y 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的一般式方程. 直线与圆. 由已知条件得 BC 边中点 D(﹣3,0) ,A(﹣3,4) ,由此求出 BC 边的中线 AD 所在直线的方程:x=﹣3. 解:∵ 等腰△ ABC 的三个顶点的坐标是 A(﹣3,4) ,B(﹣5,0) ,C(﹣1,0) , ∴ BC 边中点 D(﹣3,0) , ∴ BC 边的中线 AD 所在直线的方程:x=﹣3. 故选:A. 点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意中点坐标公式的合理运用.
菁优网版权所有

2. (5 分)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( A .π S B.2πS C.4πS D.



考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱的结构特征. 空间位置关系与距离. 通过圆柱的底面积,求出底面半径,进而求出圆柱的高,然后求圆柱的侧面积.
菁优网版权所有

解:圆柱的底面积为 S,所以底面半径为:

,底面周长为:2



∵ 侧面展开图为一个正方形, 所以圆柱的高为:2 , 2 所以圆柱的侧面积为: (2 ) =4πS 故选 C. 点评: 本题考查棱柱的结构特征,考查计算能力,正确认识圆柱的侧面展开图与几何体的关系,是解题的突破口, 基础题. 3. (5 分) (2014?郴州三模)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( )

A.

B.

C.

D.

?2010-2014 菁优网

菁优网
考点: 专题: 分析: 解答:

www.jyeoo.com 简单空间图形的三视图. 规律型;空间位置关系与距离. 根据题意几何体是球缺,利用球的视图是圆,看不到的线要画虚线,可得答案. 解:用一个平行于水平面的平面去截球,截得的几何体是球缺, 根据俯视图的定义,几何体的俯视图是两个同心圆,且内圆是截面的射影,∴ 内圆应是虚线, 故选:B. 点评: 本题考查了几何体的三视图,要注意,看不到的线要画虚线
菁优网版权所有

4. (5 分)直线 a,b 是异面直线是指 ① a∩ b=?,且 a 与 b 不平行; ② a?面 α,b?面 β,且平面 α∩ β=?; ③ a?面 α,b?面 β,且 a∩ b=?; ④ 不存在平面 α,能使 a?α 且 b?α 成立. 上述结论正确的有( ) ④ ③ A .① B.② 考点: 专题: 分析: 解答:

④ C .③

④ D.②

空间中直线与直线之间的位置关系. 空间位置关系与距离. 利用空间中线线、线面、面面的位置关系和异面直线的性质求解. 解:在① 中,∵ 异面直线即不相交又不平等,∴ a∩ b=?,故① 正确; 在② 中,a?面 α,b?面 β,平面 α 与 β 相交或平行,故② 错误; 在③ 中,a?面 α,b?面 β,且 a∩ b=?,此时 a,b 平行或异面,故③ 错误; 在④ 中,不存在平面 α,能使 a?α 且 b?α 成立,由异面直线的概念得④ 正确. 故选:A. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.
菁优网版权所有

5. (5 分)直线 xcosθ+y+m=0 的倾斜角范围是( ) A. B. C. [ , ] [0, ]∪ [ ,π) [0,

]

D. [



)∪ (



]

考点: 直线的一般式方程. 分析: 由直线 xcosθ+y+m=0 的斜率 k=﹣cosθ∈[﹣1, 1] , 得﹣1≤tanα<0 或 0≤tanα≤1, 由此能求出直线 xcosθ+y+m=0 的倾斜角范围. 解答: 解:直线 xcosθ+y+m=0 的斜率 k=﹣cosθ∈[﹣1,1], ∴ ﹣1≤tanα<0 或 0≤tanα≤1,
菁优网版权所有



或0

. ]∪ [ ,π) .

∴ 直线 xcosθ+y+m=0 的倾斜角范围是[0,

故选:B. 点评: 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法,是基础题,解题时要注意直线的斜率的合理运用. 6. (5 分)过直线 x+2y+1=0 上点 P 作圆 C: (x+2) +(y+2) =1 的切线,切点为 T,则|PT|的最小值为( A. B. C. D.2 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆.
2 2



菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析: 求出圆心 C(﹣2,﹣2)到直线 x+2y+1=0 的距离 d,可得|PT|的最小值为 解答: 解:要使|PT|最小,需圆心 C(﹣2,﹣2)到直线 x+2y+1=0 上的点 P 的距离最小, 而 CP 的最小值即圆心 C(﹣2,﹣2)到直线 x+2y+1=0 的距离 d= 故|PT|的最小值为 = =2, =

,计算求得结果.



故选:D. 点评: 本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.
2 2

7. (5 分)实数 x,y 满足 x +y ﹣4x+1=0,则 A. B.

的最大值为( C.

) D.

考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 2 2 把方程 x +y ﹣4x+1=0 化为标准形式,求出圆心和半径,设 z=
菁优网版权所有

,即 y=(z﹣1)x,该方程表示一条过 ,由此可得 z 的最大值. 的圆.

原点且斜率为 z﹣1 的一条直线,当此直线和圆相切时,求得 z=1±
2 2 2 2

解答: 解:方程 x +y ﹣4x+1=0,即 (x﹣2) +y =3,表示以(2,0)为圆心、半径等于 设 z= ,即 y=(z﹣1)x,该方程表示一条过原点且斜率为 z﹣1 的一条直线, = ,求得 z=1± ,

当此直线和圆相切时,由 r=

可得 z 的最大值为 1+ , 故选:C. 点评: 本题主要考查圆的一般方程,直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式,体现了转化的数学思想,属于 基础题. 8. (5 分)已知 a,b,c 是三角形的三边,且直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相离,则此三角形( A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不确定
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先根据 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相离,可得到圆心到直线 ax+by+c=0 的距离大于半径 1,进而可得到 c2>
菁优网版权所有

a +b ,可得到 cosC= 解答:

2

2

<0,从而可判断角 C 为钝角,故三角形的形状可判定.

解:由已知得,圆心到直线的距离 d=

>1,

∴ c >a +b ,∴ cosC=

2

2

2

<0,

故△ ABC 是钝角三角形. 故选 C. 点评: 本题主要考查三角形形状的判定、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系.考查基础知识的综合运用.
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 9. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A′ B′ C′ D′ 的棱线长为 1,线段 AC′ 上有两个动点 E,F,且 EF= 中正确的是( ) ① 直线 AA′ 与 CF 是异面直线 ② 三棱锥 B′ BEF 体积为定值 ③ 异面直线 DD′ 与 BE 所成角的余弦值范围是 ④ BD⊥ EF. ,则下列结论

② ④ A .① 考点: 专题: 分析: 解答:

④ B.②

③ C .②

③ ④ D.②

空间中直线与直线之间的位置关系;异面直线及其所成的角. 空间位置关系与距离. 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解:在① 中,∵ A′ F∥ AC,∴ A′ 、F、C、F 四点共面, ∴ 直线 AA′ 与 CF 是共面直线,故① 错误; 在② 中,∵ 线段 AC′ 上有两个动点 E,F,且 EF= 点 B′ 到直线 A′ C′ 的距离为定值, ∴ 三棱锥 B′ BEF 体积为定值,故② 正确; 在③ 中,当点 E 在 A′ 处时, 异面直线 DD′ 与 BE 所成角的余弦值取最小值 当点 E 在 A′ C′ 中点位置时, 异面直线 DD′ 与 BE 所成角的余弦值取最大值 ,故③ 正确; , ,

菁优网版权所有

在④ 中,∵ BD⊥ AC,AC∥ EF,∴ BD⊥ EF,故④ 正确. 故选:D. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 10. (5 分)已知圆 O:x +y ﹣4=0,圆 C:x +y +2x﹣15=0,若圆 O 的切线 l 交圆 C 于 A,B 两点,则△ OAB 面积 的取值范围是( ) A. B. C. D. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: △ OAB 面积的大小与线段 AB 的大小有关,要求△ OAB 面积的取值范围,只需求出 AB 的范围,即可求解. 解答: 解:圆 O 的切线 l 交圆 C 于 A,B 两点,则△ OAB 面积,S= ,
菁优网版权所有

2

2

2

2

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 2 2 2 2 圆 O:x +y ﹣4=0,的半径为 r=2,AB 是圆 C:x +y +2x﹣15=0 的弦长, 2 2 圆 C:x +y +2x﹣15=0 的圆心(﹣1,0) ,半径为:4, 圆心到 AB 的距离最小时,AB 最大,圆心到 AB 的距离最大时,AB 最小,如图: AB 的最小值为:2 AB 的最大值为:2 ∴ △ OAB 面积的最小值为: ∴ △ OAB 面积的最大值为: △ OAB 面积的取值范围是: 故选:A. . =2 =2 ; ; . .

点评: 本题考查两个圆的位置关系,直线与圆的位置关系,考查计算能力. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. (4 分)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x﹣y=0 或 x+y﹣3=0 . 考点: 直线的两点式方程. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 分两种情况考虑,第一:当所求直线与两坐标轴的截距不为 0 时,设出该直线的方程为 x+y=a,把已知点坐 标代入即可求出 a 的值,得到直线的方程;第二:当所求直线与两坐标轴的截距为 0 时,设该直线的方程 为 y=kx,把已知点的坐标代入即可求出 k 的值,得到直线的方程,综上,得到所有满足题意的直线的方程. 解答: 解:① 当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时,设该直线的方程为 x+y=a, 把(1,2)代入所设的方程得:a=3,则所求直线的方程为 x+y=3 即 x+y﹣3=0; ② 当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时,设该直线的方程为 y=kx, 把(1,2)代入所求的方程得:k=2,则所求直线的方程为 y=2x 即 2x﹣y=0. 综上,所求直线的方程为:2x﹣y=0 或 x+y﹣3=0. 故答案为:2x﹣y=0 或 x+y﹣3=0 点评: 此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程,考查了分类讨论的数学思想,是一道综合 题.
菁优网版权所有

12. (4 分) (2009?天津)若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为 考点: 圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 画出草图,不难得到半径、半弦长的关系,求解即可.
菁优网版权所有

2

2

2

2

,则 a= 1 .

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 解答: 2 2 解:由已知 x +y +2ay﹣6=0 的半径为

,圆心(0,﹣a) ,

公共弦所在的直线方程为,ay=1.大圆的弦心距为:|a+ | 由图可知 故答案为:1. ,解之得 a=1.

点评: 本小题考查圆与圆的位置关系,基础题. 13. (4 分)如图梯形 O′ A′ B′ C′ 是一个平面图形的直观图,在直观图中,O′ C′ =C′ B′ =2O′ A′ =3,则原平面图形的 面积为 27 .

考点: 专题: 分析: 解答:

斜二测法画直观图. 计算题;空间位置关系与距离. 由原图和直观图的关系,可得原图中,上底长 6,下底长 3,高为 6 的梯形的面积. 解:∵ 直观图中,O′ C′ =C′ B′ =2O′ A′ =3,
菁优网版权所有

∴ 原图中,上底长 6,下底长 3,高为 6 的梯形的面积 S=

=27,

故答案为:27. 点评: 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本知识的考查. 14. (4 分) (2009?辽宁)设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为 4 m .
3

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题;压轴题. 由三视图可知几何体是三棱锥,明确其数据关系直接解答即可. 解:这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3,
菁优网版权所有

体积等于 ×2×4×3=4 故答案为:4 点评: 本题考查三视图求体积,三视图的复原,考查学生空间想象能力,是基础题. 15. (4 分) (2008?温州模拟)圆 x +y +2x﹣4y+1=0 关于直线 2ax﹣by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是 .
2 2

考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和半径,由已知圆关于直线 2ax﹣by+2=0 对称,得到圆心在直线 上,故把圆心坐标代入已知直线方程得到 a 与 b 的关系式,由 a 表示出 b,设 m=ab,将表示出的 b 代入 ab 中,得到 m 关于 a 的二次函数关系式,由二次函数求最大值的方法即可求出 m 的最大值,即为 ab 的最大 值,即可写出 ab 的取值范围. 2 2 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x+1) +(y﹣2) =4, ∴ 圆心坐标为(﹣1,2) ,半径 r=2, 根据题意可知:圆心在已知直线 2ax﹣by+2=0 上, 把圆心坐标代入直线方程得:﹣2a﹣2b+2=0,即 b=1﹣a, 2 则设 m=ab=a(1﹣a)=﹣a +a,
菁优网版权所有

∴ 当 a= 时,m 有最大值,最大值为 则 ab 的取值范围是(﹣∞, ]. 故答案为(﹣∞, ].

,即 ab 的最大值为



点评: 本题以直线与圆为载体,考查对称性,考查了直线与圆相交的性质,以及二次函数的性质.根据题意得到 圆心在已知直线上是解本题的关键. 16. (4 分) (2008?武汉模拟)已知圆 C:x +(y﹣3) =4,一动直线 l 过 A(﹣1,O)与圆 C 相交于 P、Q 两点, M 是 PQ 中点,l 与直线 x+3y+6=0 相交于 N,则|AM|?|AN|= 5 .
?2010-2014 菁优网
2 2

菁优网

www.jyeoo.com 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: 设连接 CA 并延长交直线 x+3y+6=0 相交于 G,可得 CG⊥ NG,由垂径定理得 CM⊥ PQ,可得△ AGN∽ △ AMC, 将比例线段转化为等积式,得|AM|?|AN|=|AC|?|AG|=5 解答: 解:设连接 CA 并延长交直线 x+3y+6=0 相交于 G,连接 CM
菁优网版权所有

可得 AC 的斜率为 ∵ ∴ 直线 AC 与直线 x+3y+6=0 垂直 又∵ 圆 C 中,M 为弦 PQ 的中点 ∴ CM⊥ PQ 因此△ AGN∽ △ AMC,可得 ∴ |AM|?|AN|=|AC|?|AG| 又∵ ,

∴ |AC|?|AG|= 故答案为 5

点评: 本题考查了直线与圆相交的性质,属于中档题,利用垂径定理得到三角形相似是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的方程为 2x+(k﹣3)y﹣2k+4=0,k∈R. (Ⅰ )若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O′ 坐标为(a,2) ,求 k 的值. (Ⅱ )求坐标原点 O 到直线 l 距离的最大值.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (I)把线段 OO′ 的中点 M
菁优网版权所有

代入直线 l 的方程即可解出;

(II)利用点到直线的距离公式、基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: (I)线段 OO′ 的中点 M 化为 k=a+1. (II)坐标原点 O 到直线 l 距离 d= , ,代入直线 l 的方程可得 2× +(k﹣3)×1﹣2k+4=0,

考虑 k>2 时,d=



=

,当且仅当 k=2+

时取等号.

∴ d 的最大值为:



点评: 本题考查了中点坐标公式、点到直线的距离公式、基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题. 18. (12 分)已知点 M(3,﹣2)及圆 C:x +y ﹣2x﹣4y+1=0. (Ⅰ )求过点 M 的圆 C 的切线方程; (Ⅱ )过点 M 作直线 l 圆 C 交于 A,B 两点,求弦 AB 中点 N 的轨迹方程. 考点: 轨迹方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ )化圆的一般式方程为标准式,求出圆心坐标和半径,然后分切线的斜率存在和不存在求解,当斜率不 存在时直接写出切线方程,斜率存在时,设出切线方程的点斜式,化为一般式,由圆心到切线的距离等于 半径求斜率,则曲线方程可求; (Ⅱ )直接利用点差法求得弦 AB 中点 N 的轨迹方程. 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ )由圆 C:x +y ﹣2x﹣4y+1=0,得(x﹣1) +(y﹣2) =4, ∴ 圆 C 的圆心坐标 C(1,2) ,半径为 2, 当过点 M 的圆 C 的切线的斜率不存在时,圆的切线方程为 x=3; 当过点 M 的圆 C 的切线的斜率存在时, 设过点 M 的圆 C 的切线方程为 y+2=k(x﹣3) ,即 kx﹣y﹣3k﹣2=0.
菁优网版权所有

2

2

由题意得:

,解得 k=﹣ .

∴ 过点 M 的圆 C 的切线方程为 综上,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x=3 或 3x+4y﹣1=0; (Ⅱ )设 N(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=2x,y1+y2=2y, ① , ② ,

,即 3x+4y﹣1=0.

两式作差得:

=



?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com ∴
2


2

整理得:x +y ﹣4x﹣2y+11=0. 点评: 本题考查了圆的切线方程的求法,考查了点差法求与弦中点有关的曲线的轨迹方程,是中档题. 19. (12 分)已知三棱柱 ABC﹣A′ B′ C′ ,侧棱与底面垂直,且所有的棱长均为 2,E 为 AA′ 的中点,F 为 AB 的中 点. (Ⅰ )求多面体 ABCB′ C′ E 的体积; (Ⅱ )求异面直线 C'E 与 CF 所成角的余弦值.

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I) 分别求出直三棱柱 ABC﹣A′ B′ C′ 的体积 V. 三棱锥 E﹣A′ B′ C′ 的体积 V1. 即可得出多面体 ABCB′ C′ E 的体积=V﹣V1; (II) 如图所示, 取 A′ B′ 的中点 D, 连接 C′ D, DF, DE. 可得四边形 CFDC′ 是矩形. C′ D∥ CF. 因此∠ EC′ D 即是异面直线 C′ E 与 CF 所成角. 解答: 解: (I)直三棱柱 ABC﹣A′ B′ C′ 的体积 V= =2 .
菁优网版权所有

三棱锥 E﹣A′ B′ C′ 的体积 V1= ∴ 多面体 ABCB′ C′ E 的体积=V﹣V1= ;

A′ E=

=



(II)如图所示,取 A′ B′ 的中点 D,连接 C′ D,DF,DE. 可得四边形 CFDC′ 是矩形. ∴ C′ D∥ CF. ∴ ∠ EC′ D 即是异面直线 C′ E 与 CF 所成角. 在 Rt△ C′ DE 中,C′ D= ,C′ E= . ∴ cos∠ EC′ D= = = .

∴ 异面直线 C′ E 与 CF 所成角的余弦值为



?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

点评: 本题考查了直三棱柱的体积及其性质、异面直线所成的角、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题. 20. (12 分) 如图, 圆 C 与 y 轴相切于点 T (0, 2) , 与 x 轴正半轴相交于两点 M、 N (点 M 在点 N 的左侧) , 且|MN|=3, (Ⅰ )求圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ )过点 M 任作一条直线与圆 O:x +y =4 相交于两点 A、B,连接 AN、BN.求证:∠ ANM=∠ BNM.

考 圆的标准方程;圆与圆的位置关系及其判定. 点 : 专 计算题. 题 : 分 (1)设圆的圆心为(a,2) ,则半径为 a,根据|MN|=3,圆心 C 到弦 MN 的距离为 2,得 析 ,求得 r=a= ,从而可以写出圆的标准方程. : 2 2 (2)写出 M,N 的坐标,设出直线 AB 的方方程,和圆 x +y =4 联立,根据韦达定理,表示出 NB 和 NA 斜率, 求得斜率互为相反数,故∠ ANM=∠ BNM. 解 解: (Ⅰ )由已知可设 C(a,2) (a>0) ,圆 C 的半径 r=a, (2 分) 答 又∵ |MN|=3 : 圆心 C 到弦 MN 的距离为 2,故 ,所以 a=r= , (4 分)
菁优网版权所有

所以,圆 C 的方程为



(6 分)

(Ⅱ )令 y=0,解得 M(1,0) ,N(4,0) , (7 分) 若直线 AB 斜率不存在,显然∠ ANM=∠ BNM; 2 2 若直线 AB 斜率存在,设为 y=kx﹣k,代入 x +y =4 得, 2 2 2 2 (k +1)x ﹣2k x+k ﹣4=0,① (9 分)
?2010-2014 菁优网

(8 分)

菁优网

www.jyeoo.com 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1、x2 是方程① 的两根, ∴ 则 , (10 分)

=

. (13 分)

∴ ∠ ANM=∠ BNM. (14 分) 点 本题考查了圆的标准方程求法以及圆锥曲线问题中韦达定理的应用,是综合类的题目,考虑到证两条直线的斜 评 率互为相反数是解决此题的关键. :

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;minqi5;清风慕竹;caoqz;刘长柏;qiss;sllwyn;ywg2058;孙佑中; sxs123;733744(排名不分先后)
菁优网 2014 年 11 月 12 日

?2010-2014 菁优网


相关文章:
浙江省温州市永嘉中学2014-2015学年高二上学期第一次月...
求证:∠ANM= ∠BNM. 2 2 2014-2015 学年浙江省温州市永嘉中学高二 (上) 第一次 月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 ...
高二数学-2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷
2014-2015 学年高二(上)第一次月考数学试卷一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.2,8 的等比中项为 . 2.在△ABC 中,有 = ,则 B ...
浙江省温州市永嘉县楠江中学2014-2015学年高一上学期第...
(x)≥2﹣m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2014-2015 学年浙江省温州市永嘉县楠江中学高一(上) 第次月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共...
浙江省温州市乐清市芙蓉中学2015-2016学年高二上学期10...
浙江省温州市乐清市芙蓉中学2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二(上)10 月月考...
2014-2015学年浙江省台州中学高二(下)第一次统练数学试...
2014-2015学年浙江省台州中学高二()第一次统练数学试卷(理科)解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年浙江省台州中学高二()第一次统练数学试卷 (理科...
浙江省温州市永嘉县楠江中学2014-2015学年高一上学期第...
(x)≥2﹣m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2014-2015 学年浙江省温州市永嘉县楠江中学高一(上) 第次月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共...
浙江省永嘉县楠江中学2014-2015学年高二上学期第二次月...
浙江省永嘉县楠江中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试题_数学_高中教育_教育专区。浙江省永嘉县楠江中学2014-2015学年高二上学期第二次月考 ...
2014-2015学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学七年级(...
2014-2015学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学七年级(上)期中数学试卷及答案_数学_初中教育_教育专区。2014-2015 学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学七年级(上) ...
2015学年高二数学,第二次月考卷
2015学年高二数学,第二次月考卷_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015学年高二数学,第二次月考卷 XX 学年度 XX 月考卷 评卷人 得分 一、单项选择 1、已知...
...中学2015-2016学年高二(上)第一次月考数学试卷(解析...
辽宁省沈阳市铁路实验中学2015-2016学年高二(上)第一次月考数学试卷(解析版_数学_高中教育_教育专区。沈阳和平区铁路中学真题2015-2016 学年辽宁省沈阳市铁路实验...
更多相关标签: