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2013届高考理科数学第一轮基础复习课件3


第六节 椭



1.椭圆的定义 等于常数 平面内到两定点F1、F2的距离的和 _____________(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,

且a,c为常数;
2a>|F1F2| (1)若____________

___,则集合P为椭圆; 2a=|F1F2| (2)若_______________,则集合P为线段; 2a<|F1F2| (3)若_______________,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y 2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

图形

范围

a -a ______≤x≤_____ -b b _______≤y≤_____

b -b ______≤x≤____ a _____≤y≤_____ -a

对称性 性质 顶点

坐标轴 原点 对称轴:________;对称中心:_______

A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)

离心率 a、b、c间的关系

e=________∈(0,1)
c2=a2-b2

1.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? b 【提示】 a 和 b 分别是椭圆长半轴长和短半轴长, = a

1-e2.故离心率越接近 1,椭圆越扁;离心率越接近 0,椭 圆就越接近于圆.

x2 y2 2. 对于椭圆 2+ 2=1(a>b>0), 1, 2 为其左、 F F 右焦点. 当 a b 点 P(x0,y0)落在椭圆外、椭圆上、椭圆内时,|PF1|+|PF2|与 2a 有怎样的大小关系?与方程有怎样的关系? x2 y2 0 0 【提示】 当点 P 落在椭圆外时,|PF1|+|PF2|>2a, 2+ 2> a b 2 x2 y0 0 1;当点 P 落在椭圆上时,|PF1|+|PF2|=2a, 2+ 2=1; a b
2 x0 y2 0 当点 P 落在椭圆内时,|PF1|+|PF2|<2a, 2+ 2<1. a b

1.(教材改编题)若椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,且经过 点 P(3,0),则椭圆的标准方程是( ) x2 2 A. +y =1 9 2 2 y B.x + =1 9 2 x y2 C. +y2=1,或 x2+ =1 9 9 2 2 x y x2 2 D. +y =1,或 + =1 9 81 9
【解析】 若椭圆的焦点在 x 轴上, a=3, 则 从而 b=1, 2 x 椭圆方程为 +y2=1,若椭圆的焦点在 y 轴上,则 b=3,从 9 y 2 x2 而 a=9,椭圆方程为 + =1. 81 9
【答案】 D

x2 y2 2.已知 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直 16 4 线交椭圆于 A、 两点. 2A|+|F2B|=10, B 若|F 则|AB|=________.

【解析】

如图,由椭圆的定义可知:

|F1A|+|F2A|=2a=8,|F1B|+|F2B|=2a=8, ∴|AB|=16-|F2A|-|F2B|=6.

【答案】

6

x2 y2 3.(2012· 广州模拟)椭圆 + =1 的一个焦点为 F1, 12 3 点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是________.
【解析】 设椭圆另一个焦点为 F2,由题意 F2P 垂直于 x 9 y2 3 0 轴,不妨设 P(3,y0),则有 + =1,∴y0=± , 12 3 2 3 ∴点 M 的纵坐标为± . 4

【答案】 ±

3 4

4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则

该椭圆的离心率是________.

【解析】

2a+2c 由题意可知 =2b,即 a+c=2b, 2

两边平方有 a2+2ac+c2=4b2=4(a2-c2), 整理知 3a2-2ac-5c2=0,两边同除以-a2,得 5e2+2e-3 3 =0,解得 e= 或-1(舍去). 5

3 【答案】 5

椭圆的定义及标准方程
x2 y2 (1)(2011· 江西高考)若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上, a b 1 过点(1, )作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 2 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. x2 y2 (2)已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点, a b → → P 为椭圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b =________.

【思路点拨】 (1)过圆外一点作圆的两条切线,这点和圆 心的连线与过切点的直线垂直,从而直线 AB 的方程可求. ?|PF1|+|PF2|=2a, ? 2 2 2 (2)利用?|PF1| +|PF2| =4c ,可求 b. ?|PF1|· 2|=18 |PF ?
【尝试解答】 (1)∵x=1 是圆 x2+y2=1 的一条切线, 1 1 ∴椭圆的右焦点为(1,0),即 c=1,设 P(1, ),则 kOP= , 2 2 ∵OP⊥AB,∴kAB=-2,则直线 AB 的方程为 y=-2(x-1), 它与 y 轴的交点为(0,2),∴b=2. x2 y2 2 2 2 ∴a =b +c =5,故椭圆的方程为 + =1. 5 4

把①平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2, 把②、③代入上式得4c2+36=4a2,

∴a2-c2=9,即b2=9,∴b=3.

【答案】

x2 y2 (1) + =1 (2)3 5 4

1.(1)求椭圆的标准方程的主要方法是:①定义法;②待定系数 法. (2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件,两个“定量”条件, “定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定a、 b的值,常用待定系数法. 2.根据条件求椭圆的标准方程的思想是“选标准、定参数”,关 键在于焦点的位置是否确定.当焦点位置不确定时有两种处理 方法,一是分类讨论,二是可设为Ax2 +By2 =1(A>0,B>0,且

A≠B).
3.对于焦点三角形△F1PF2有关计算,要充分利用椭圆定义、余弦 定理及面积公式.

若本例(2)的所有条件不变,求使|PF1|+|PF2|最小时椭圆的方程.

【解】 由本例(2)知,b=3,|PF1|· 2|=18, |PF ∴|PF1| + |PF2|≥2 |PF1||PF2| = 2 18 ( 当 且 仅 当 |PF1| = |PF2|= 18时取“=”), 即|PF1|+|PF2|的最小值为 2 18,此时 a= 18, x2 y2 椭圆方程为 + =1. 18 9

椭圆的几何性质

x2 y2 如图 8-6-1,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1、F2 a b 分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭 圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率; → → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.

图8-6-1

【思路点拨】 由△AF1F2 为等腰直角三角形找 a,c 的等 c → → 量关系→计算 e= ; 利用AF2=2F2B把点 B的坐标用点 A(0, a b)表示→代入椭圆求 a,b 的值→写出椭圆方程.
【尝试解答】 (1)∵|AF1|=|AF2|=a, 且∠F1AF2=90° 1F2|=2c, ,|F ∴2a2=4c2, c 2 ∴a= 2c,∴e= = . a 2

(2)由题知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y), 3 b → → 由AF2=2F2B,解得 x= ,y=- , 2 2 9 b2 4 4 x2 y2 代入 2+ 2=1,得 2+ 2=1, a b a b 9 1 即 2+ =1,解得 a2=3, 4a 4 ∴b2=a2-c2=2. x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2

x2 y2 1.(1)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点 P(x,y), a b 则当 x=0 时,|OP|有最小值 b,这时,P 在短轴端点处;当 x=± 时,|OP|有最大值 a,这时 P 在长轴端点处. a (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角 三角形,其中 a 是斜边,a2=b2+c2. c 2.离心率 e= ,在求法中要有整体求值思想或变形为 a b2 2 e = 1-( ) . a

x2 y 2 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 4 3 → FP → 点 P 为椭圆上的任意一点,则OP· 的最大值为( A.2 B.3 C.6 D.8 )

【解析】 由题意知,O(0,0),F(-1,0),设 P(x,y), → → 则OP=(x,y),FP=(x+1,y), → FP → ∴OP· =x(x+1)+y2=x2+y2+x, x2 y 2 又∵ + =1, 4 3 3 ∴y2=3- x2, 4

1 → FP 1 → ∴OP· = x2+x+3= (x+2)2+2, 4 4 → FP → ∵-2≤x≤2,∴当 x=2 时,OP· 有最大值 6.
【答案】

C

直线与椭圆的位置关系 x2 y2 (2011· 北京高考)已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离 a b

心率为

6 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 3

交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(- 3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.
【思路点拨】 (1)根据离心率和右焦点坐标直接求出a、b. (2)设出直线l的方程,表示出线段AB的中点E的坐标,利用

PE⊥AB,求出直线l的方程.

c 6 【尝试解答】 (1)由已知得 c=2 2, = ,解得 a=2 3. a 3 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m,

?y=x+m, ? 2 2 由? x y 得 + =1, ?12 4 ?
4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点 为 E(x0,y0),则 x1+x2 3m m x0= =- ,y0=x0+m= . 2 4 4

因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB, m 4 所以 PE 的斜率 k= =-1, 3m -3+ 4 2- 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0,所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2, 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= |-3-2+2| 3 2 1 9 = ,所以△PAB 的面积 S= |AB|· . d= 2 2 2 2

1.解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程 联立,消去 x(或 y)建立一元二次方程,然后借助根与系数 的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= ?1+k2??x1-x2?2 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2.

x2 y2 (2012· 佛山质检)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦 a b 点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l → 的倾斜角为 60° → =2FB. ,AF (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= 15 ,求椭圆 C 的方程. 4

【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2.

?y= 3?x-c?, ? 2 2 联立?x y 得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0. ?a2+b2=1, ?
- 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 解得 y1= ,y2= . 3a2+b2 3a2+b2

→ → 因为AF=2FB,所以-y1=2y2. 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 即 =2· . 3a2+b2 3a2+b2 c 2 得离心率 e= = . a 3 (2)因为|AB|= 1 2 4 3ab2 15 1+ |y2-y1|,所以 · 2 2= . 3 4 3 3a +b

c 2 5 5 15 由 = 得 b= a,所以 a= ,得 a=3,b= 5. a 3 3 4 4 x2 y 2 椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5

从近两年的高考试题看,椭圆的定义、标准方程和几何 性质是高考的热点内容,特别是标准方程和离心率几乎年年涉

及,三种题型均有可能呈现,其中解答题以中高档题目为主,
其命题特征是常与向量、不等式、最值等知识结合命题,并注 重通性通法的考查,在解答时,一定要注意解题的规范化.

规范解答之十六 由直线与椭圆的位置关系求参数的值 x2 y2 (12 分)(2012· 揭阳模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心 a b 率 e= 3 ,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. 2

(1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标 → 为(-a,0), 若点 Q(0, 0)在线段 AB 的垂直平分线上, → · = y 且QA QB 4.求 y0 的值.

c 3 【规范解答】 (1)由 e= = ,得 3a2=4c2. a 2 再由 c2=a2-b2,解得 a=2b.········ 分 ········2 1 由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2
?a=2b, 解方程组? 得 a=2,b=1. ?ab=2,

x2 2 所以椭圆的方程为 +y =1.·········4 分 ········ 4
(2)①由(1)可知点 A 的坐标是(-2,0). 设点 B 的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

?y=k?x+2? ? 2 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x , 2 ? 4 +y =1 ?
消去 y 并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 2-8k2 4k 由-2x1= ,得 x1= .从而 y1= . 1+4k2 1+4k2 1+4k2 8k2 2k 设线段 AB 的中点为 M,则 M(- , ). 1+4k2 1+4k2 以下分两种情况: ①当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平 → → → 分线为 y 轴, 于是QA=(-2, 0), =(2, 0). → · -y QB -y 由QA QB =4,得 y0=± 2.··············· 分 2 ···············9

②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 2k 1 8k2 y- =- (x+ ). k 1+4k2 1+4k2 6k 令 x=0,解得 y0=- . 1+4k2 → → 由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0), → QB → QA· =-2x1-y0(y1-y0), -2?2-8k2? 6k 4k 6k = + ( + ) 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 4?16k4+15k2-1? 14 2 = =4,整理得 7k =2.故 k=± .所 7 ?1+4k2?2 2 14 以 y0=± .·················11 分 ················ 5 2 14 综上,y0=± 2或 y0=± 2 .········12 分 ······· 5

【解题程序】 第一步:根据离心率,确定 a、b 的关系. 第二步:根据菱形的面积求 a、b,确定椭圆方程. 第三步:设直线 l 的方程,联立椭圆方程,求出线段 AB 的 中点 M 的坐标. 第四步:当 k=0 时,求 y0. 第五步:当 k≠0 时,用 k 表示线段 AB 的垂直平分线,根 → QB → 据QA· =4,求出 k 值,从而求出 y0 的值.

易错提示:(1)在用k表示|AB|时易因计算失误而出错.
(2)在第(2)题中②的求解过程中,忽视对斜率k的讨论而 失分.

防范措施:(1)在应用弦长公式时应注意两个方面,一是
直线方程和椭圆方程联立后得到的一元二次方程应正确无误; 二是化简过程应认真仔细,做到万无一失.

(2)解题过程中,应预测参数值对后面解题过程的影响,
因需要求线段AB的垂直平分线方程,而当k=0时,线段AB的 垂直平分线斜率不存在,故需分类求解.

1.(2011· 课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 2

F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那 么 C 的方程为________. 2 2 x y 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),因为 AB 过 a b

F1 且 A、 在椭圆上, B 则△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16, ∴a=4. c 2 ∵e= = ,∴c=2 2,∴b2=a2-c2=8, a 2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 16 8

x2 y2 【答案】 + =1 16 8

x2 y 2 2.(2011· 天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右 a b 焦点分别为 F1,F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 5 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= 8 |AB|,求椭圆的方程.

【解】 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为|PF2|=|F1F2|, c2 c 所以 ?a-c? +b =2c.整理得 2( ) + -1=0, a a c c 1 1 解之得 =-1(舍),或 = .所以 e= . a a 2 2
2 2

(2)由(1)知 a=2c, b= 3c, 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).
?3x2+4y2=12c2, ? A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并 ?y= 3?x-c?. ?

8 整理,得 5x2-8cx=0.解得 x1=0,x2= c.得方程组的解 5

?x2=8c, ? ?x1=0, 5 ? ? 或? ? ?y1=- 3c, ?y2=3 3c. ? 5
8 3 3 不妨设 A( c, c),B(0,- 3c), 5 5 所以|AB|= 8 3 3 16 ? c?2+? c+ 3c?2= c. 5 5 5

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 |- 3- 3- 3c| 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 d= = 2 3|2+c| . 2 |MN| 2 因为 d2+( ) =42, 2 3 所以 (2+c)2+c2=16. 4 整理得 7c2+12c-52=0. 26 得 c=- (舍),或 c=2. 7 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 12

课时知能训练


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