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浙江省嘉兴市桐乡高中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷(创新班)


2015-2016 学年浙江省嘉兴市桐乡高中高一(上)期中数学试卷 (创新班)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若角 600°的终边上有一点(﹣4,a) ,则 a 的值是( ) A. B. C. D.

2.已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,则与向量 A

. B.

同方向的单位向量为( D.



C.

3.设向量 =(cosα, ) ,若 的模长为 A.﹣ B.﹣ C. D.

,则 cos2α 等于(



4.平面向量 与 的夹角为 A. B. C.4

,若 D.12 )



,则

=(



5.函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为(

A.

B.

C.

D.

6.为了得到 g(x)=cos2x 的图象,则需将函数 A.向右平移 单位 B.向左平移 单位

的图象(



C.向右平移

单位

D.向左平移

单位

7.在△ ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足 λ∈R.若 A. B. =﹣2,则 λ=( C. D.2 )





8.若 sin2α= A. B.

,sin(β﹣α)= C. 或

,且 α∈[ D. 或

,π],β∈[π,

],则 α+β 的值是(



二.填空题(本大题共 7 小题,第 9-11 小题每空 3 分,第 12 小题每空 2 分,第 13-15 小题 每空 4 分,共 36 分) . 9.已知向量 =(3,1) , =(1,3) , =(k,2) ,当 ∥ 时,k= )⊥ ,则 k= . ;当( ﹣

10.已知 α 为第二象限的角,sinα= ,则

=

,tan2α=



11.E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF= cos∠BCF= .



12. 函数 y= ω= ,φ= .

的图象如图, 则 k=



13.设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 恒成立,则 ① ② ; ;

对一切 x∈R

③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ④f(x)的单调递增区间是 ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号) . ;

14.已知 围 .





=

,则



上的投影的取值范

15.已知

,∠APB=60°,则

的取值范围是



三.解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知向量 (1)当 (2)求 ∥
2

, 时,求 2cos x﹣sin2x 的值; 在 上的值域.

17.已知函数 f(x)=sin(ωx+?) (ω>0,0≤?≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点 之间的距离为 2π. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 ,求 的值.

18.已知函数 f(x)=

sin (x+

2

)﹣cos x﹣

2

(x∈R) .

(1)求函数 f(x)最小值和最小正周期; (2)若 A 为锐角,且向量 =(1,5)与向量 =(1,f( ﹣A) )垂直,求 cos2A.

19.已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosx,sinx) , =(sinx+2sinα,cosx+2cosα) ,其中 0 <α<x<π.

(1)若

,求函数 f(x)= ? 的最小值及相应 x 的值; ,且 ⊥ ,求 tan2α 的值.

(2)若 与 的夹角为

20.定义向量 的“相伴向量”为 的集合为 S. (1)设

的“相伴函数”为 f(x)=asinx+bcosx;函数 f(x)=asinx+bcosx (其中 O 为坐标原点) . 记平面内所有向量的“相伴函数”构成

,试判断 g(x)是否属于 S,并说明理由;

(2)已知 h(x)=cos(x+α)+2cosx,且 h(x)∈S,求其“相伴向量”的模; (3)已知 M(a,b)是函数 的图象上一动点,向量 的“相伴函数”f(x)

在 x=x0 处取得最大值.当点 M 运动时,求 tan2x0 的取值范围.

2015-2016 学年浙江省嘉兴市桐乡高中高一(上)期中数 学试卷(创新班)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若角 600°的终边上有一点(﹣4,a) ,则 a 的值是( ) A. B. C. D. 【考点】运用诱导公式化简求值;任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题. 【分析】先利用诱导公式使 tan600°=tan60°,进而根据 【解答】解:∵ ∴ . 故选 A 【点评】本题主要考查了用诱导公式化简求值的问题.属基础题. 求得答案. ,

2.已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,则与向量 A. B.

同方向的单位向量为( D.



C.

【考点】平行向量与共线向量;单位向量. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由条件求得 求得结果. 【解答】解:∵已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,∴ | |= =5, 同方向的单位向量为 = , =(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4) , =(3,﹣4) ,| |=5,再根据与向量 同方向的单位向量为

则与向量

故选 A. 【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法,属于基础题.

3.设向量 =(cosα, ) ,若 的模长为

,则 cos2α 等于(



A.﹣

B.﹣

C.

D.

【考点】二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 由| |= ﹣1 的值. 【解答】解:由题意可得| |= ∴cos2α=2cos α﹣1=﹣ , 故选:A. 【点评】本题主要考查求向量的模,二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
2

=

, 求得 cos α= , 再利用二倍角的余弦公式求得 cos2α=2cos α

2

2

=

,∴cos α= .

2

4.平面向量 与 的夹角为

,若



,则

=(



A. B. C.4 D.12 【考点】向量的模;平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】分析由向量 ,求出向量 ,要求 ,先求其平方,展开后

代入数量积公式,最后开方即可. 【解答】解:由 =(2,0) ,所以 所以 = = = ,

= 所以 .

=12.

故选 B. 【点评】点评本题考查了向量的模及向量的数量积运算,考查了数学转化思想,解答此题的 关键是运用 .

5.函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为(



A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除 B,然后利用区特 值排除 A 和 C,则答案可求. 【解答】解:因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数,所以排除选项 B, 由当 x= 时, ,

当 x=π 时,y=π×cosπ+sinπ=﹣π<0. 由此可排除选项 A 和选项 C. 故正确的选项为 D. 故选 D. 【点评】本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题.

6.为了得到 g(x)=cos2x 的图象,则需将函数 A.向右平移 C.向右平移 单位 B.向左平移 单位 D.向左平移 单位 单位

的图象(



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题;数形结合;分析法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:∵y=sin(﹣2x+ ∴将函数 y=sin(﹣2x+ )=cos[ ﹣(﹣2x+ )]=cos(2x+ )=cos[2(x+ )],

)图象上所有的点向右平移

个单位,即可得到 g(x)=cos2x

的图象. 故选:A. 【点评】本题主要考查诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

7.在△ ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足 λ∈R.若 A. B. =﹣2,则 λ=( C. D.2 )





【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由题意可得 求得 λ 的值. 【解答】解:由题意可得 由于 =( ﹣λ )?( =0, )=[ ﹣ ]?[ ﹣ ] =0,根据 =﹣(1﹣λ) ﹣λ =(λ﹣1)4﹣λ×1=﹣2,

=0﹣(1﹣λ) 解得 λ= ,

+0=(λ﹣1)4﹣λ×1=﹣2,

故选 B. 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义, 两个向量的数量积的运算,属于中档题.

8.若 sin2α= A. B.

,sin(β﹣α)= C. 或

,且 α∈[ D. 或

,π],β∈[π,

],则 α+β 的值是(



【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】依题意,可求得 α∈[ , ],2α∈[ ,π],进一步可知 β﹣α∈[ ,π],于是可

求得 cos(β﹣α)与 cos2α 的值,再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案. 【解答】解:∵α∈[ ∴2α∈[ 又 sin2α= ∴2α∈[ ,2π], >0, ,π],cos2α=﹣ ,β﹣α∈[ ,π], =﹣ , =﹣ ; ,π],β∈[π, ],

又 sin(β﹣α)= ∴cos(β﹣α)=﹣

∴cos(α+β)=cos[2α+(β﹣α)]=cos2αcos(β﹣α)﹣sin2αsin(β﹣α)=﹣ ﹣ × = , . ],β∈[π, ,2π], ],

×(﹣



又 α∈ [

∴(α+β)∈[ ∴α+β= ,

故选:A. 【点评】 本题考查同角三角函数间的关系式的应用, 着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦, 考查转化思想与综合运算能力,属于难题. 二.填空题(本大题共 7 小题,第 9-11 小题每空 3 分,第 12 小题每空 2 分,第 13-15 小题 每空 4 分,共 36 分) . 9.已知向量 =(3,1) , =(1,3) , =(k,2) ,当 ∥ 时,k= 则 k= 0 . 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;平行向量与共线向量. 【专题】计算题;转化思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】利用向量的坐标运算和向量平行、垂直的性质求解即可. 【解答】解:∵向量 =(3,1) , =(1,3) , =(k,2) , ∵ ∥ ,∴ 解得 k= . ∵向量 =(3,1) , =(1,3) , =(k,2) , ∴ =(3﹣k,﹣1) , , ;当( ﹣ )⊥ ,

∵( ﹣ )⊥ , ∴(3﹣k)?1+(﹣1)?3=0, 解得 k=0. 故答案为: ,0. 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量平行和向量垂直 的性质的合理运用.

10.已知 α 为第二象限的角,sinα= ,则 【考点】二倍角的正切.

=

3 ,tan2α=



【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】先由已知求得 的范围,求出 tanα 的值,再由正切函数的二倍角公式可得答案.

【解答】解:∵α 为第二象限的角, ∴可得: ∴tan ∈(kπ ,k ) ,k∈Z,

>0, =﹣ ,

又∵sinα= ,∴cosα=﹣ ,tanα=

∴tanα=﹣ =

,整理可得:3tan

2

﹣8tan

﹣3=0,解得:tan

=3 或﹣ (舍

去) . tan2α= = .

故答案为:3,



【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同 时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 11.E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF= .

,cos∠BCF=

【考点】三角形中的几何计算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 取 AB 中点 D, 连接 CD, 设 AB=6, 则 AC=BC=3 , 由余弦定理求出 CE=CF= , 再由余弦定理得 cos∠ECF,由此能求出 tan∠ECF.由半角公式求出 cos∠DCF,sin∠DCF, 再由 cos∠BCF=cos(45°﹣∠DCF) ,能求出结果. 【解答】解:取 AB 中点 D,连接 CD, 设 AB=6,则 AC=BC=3 , 由余弦定理可知 cos45°= 解得 CE=CF= , = = , = = ,

再由余弦定理得 cos∠ECF=

∴sin



∴tan∠ECF= = .

cos∠DCF=cos

=

=

,sin∠DCF=sin

=

= (

, )= .

cos∠BCF=cos(45°﹣∠DCF)=cos45°cos∠DCF+sin45°sin∠DCF= 故答案为: , .

【点评】本题考查角的正切值、余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意正弦定 理、余弦定理、半角公式的合理运用.

12.函数 y= ,φ= .

的图象如图,则 k=

,ω=

【考点】函数的图象. 【专题】计算题;数形结合;函数的性质及应用. 【分析】由直线 y=kx+1 过点(﹣2,0)得 k= ;可确定 = 再代入点求 φ 即可. 【解答】解:∵直线 y=kx+1 过点(﹣2,0) , ∴k= ; ∵ = ﹣ =π, ﹣ =π,从而确定 ω= ,

∴T=4π, ∴ω= ( = , ,﹣2)代入 y=2sin( x+φ)得,

sin(

+φ)=﹣1, ; .

解得,φ=

故答案为: , ,

【点评】本题考查了分段函数及数形结合的思想应用. 13.设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 恒成立,则 ① ② ; ; 对一切 x∈R

③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ④f(x)的单调递增区间是 ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是 ①②③ (写出所有正确结论的编号) . 【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 【专题】计算题. 【分析】先化简 f(x)的解析式,利用已知条件中的不等式恒成立,得到 角函数的最大值,得到 x= 是三角函数的对称轴,将其代入整体角令整体角等于 kπ+ 是三 求 ;

出辅助角 θ,再通过整体处理的思想研究函数的性质. 【解答】解:∵f(x)=asin2x+bcos2x= ∵ ∴2× +θ=kπ+ sin(2x+θ)

∴θ=kπ+ ∴f(x)═ 对于① 对于②, ∴ sin(2x+kπ+ =± = )=± + sin(2x+ )

sin(2× sin(

)=0,故①对 )|= sin( ) ,

) ,|f(

,故②正确.

对于③,f(x)不是奇函数也不是偶函数

对于④,由于 f(x)的解析式中有±,故单调性分情况讨论,故④不对 对于⑤∵要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,则此直线须与横轴平行, 且|b|> ,此时平方得 b >a +b 这不可能,矛盾,
2 2 2

∴不存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交故⑤错 故答案为:①②③. 【点评】 本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、 考查研究三角函数的性质常用整 体处理的思想方法.

14.已知 .





=

,则



上的投影的取值范围

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】综合题;分类讨论;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】由已知求出 元法结合配方法求得 【解答】解:∵ ∴ = = 在 ,再求出 ,代入投影公式,转化为关于 t 的函数,利用换

上的投影的取值范围. ,且 = , , = = =4﹣2t+t .
2







上的投影等于
2

=
2



令 4﹣t=m,则 t=4﹣m,t =16﹣8m+m . ∴上式=f(m)= 当 m=0 时,f(m)=0; 当 m>0 时,f(m)= = ∈(0,1]; .

当 m<0 时,f(m)=﹣

=﹣

∈(

,0) .

综上,



上的投影的范围为(﹣ ,1].

故答案为: (﹣ ,1]. 【点评】本题考查向量在几何中的应用,综合考查向量的线性运算,向量的数量积的运算及 数量积公式,熟练掌握向量在向量上的投影是解题的关键,是中档题.

15.已知

,∠APB=60°,则

的取值范围是



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;运动思想;数形结合法;平面向量及应用. 【分析】由题意画出图形,取 AB 中点 C,把问题转化为求 【解答】解:如图, 取 AB 的中点 C,连接 PC, 则 = = . = ,∠APB=60°, 的取值范围解决.

由图可知,P 为图中优弧上的点(不含 A、B) . ∴ ∴ (PC⊥AB 时 的取值范围是(0, ]. 最大) ,

故答案为: (0, ].

【点评】本题考查平面向量的数量积运算,由题意画出图形是解答该题的关键,是中档题. 三.解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知向量 (1)当 (2)求 ∥
2

, 时,求 2cos x﹣sin2x 的值; 在 上的值域.

【考点】正弦函数的定义域和值域;三角函数的恒等变换及化简求值. 【专题】计算题.

【分析】 (1)利用向量平行的坐标运算,同角三角函数间的关系,得到 tanx 的值,然后化 简 2cos x﹣sin2x 即可 (2) 先表示出 的最大值及最小值. 【解答】解: (1)∵ ∴ ∴ , , (3 分) ∥ , 在= (sin2x+ ) , 再根据 x 的范围求出函数 f (x)
2



. (6 分)

(2)∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴函数 f(x)的值域为 ,∴

, , (8 分) , , (10 分) , (12 分) . (13 分)

【点评】 本题主要考查平面向量的坐标运算. 考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小 综合题.是高考的热点问题. 17.已知函数 f(x)=sin(ωx+?) (ω>0,0≤?≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点 之间的距离为 2π. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 ,求 的值.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)函数 f(x)=sin(ωx+?) (ω>0,0≤?≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个 最高点之间的距离为 2π,确定函数的周期,求出 ω,确定 ? 的值,求出 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 公式化简 ,求出, ,然后再用二倍角公式求出它的值. ,利用诱导

【解答】解: (Ⅰ)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π,

∴T=2π,则



∴f(x)=sin(x+?) . (2 分) ∵f(x)是偶函数, ∴ ∴ . ,又 0≤?≤π,

则 f(x)=cosx. (5 分) (Ⅱ)由已知得 ∴ 则 ∴ . (12 分) 【点评】 本题是中档题, 考查函数解析式的求法, 诱导公式和二倍角的应用, 考查计算能力, 根据角的范围求出三角函数值是本题的解题依据.
2 2

, . . (8 分)

18.已知函数 f(x)=

sin (x+

)﹣cos x﹣

(x∈R) .

(1)求函数 f(x)最小值和最小正周期; (2)若 A 为锐角,且向量 =(1,5)与向量 =(1,f( ﹣A) )垂直,求 cos2A. 【考点】二倍角的余弦;平面向量的综合题. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)根据二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式,由正弦函数的周 期、最值求出结果; (2)根据向量垂直的条件列出方程,代入 f(x)由诱导公式化简求出 三角函数值的符号、 角 A 的范围求出 的范围, 由平方关系求出 ,由 的值,

利用两角差的余弦函数、特殊角的三角函数值求出 cos2A 的值. 【解答】解: (1)由题意得,f(x)= = cos2x﹣1= , =π; ﹣A) )垂直, ﹣ ﹣

∴函数 f(x)最小值是﹣2,最小正周期 T= (2)∵向量 =(1,5)与向量 =(1,f(

∴1+5f( ∴

﹣A)=0,则 1+5[ = >0, ,则 = )﹣ . ]= = , +

]=0,

∵A 为锐角,∴ ∴ 则 cos2A=cos[( = × + =



【点评】本题考查二倍角的余弦公式变形,两角差的正弦、余弦公式,向量垂直的条件,以 及正弦函数的性质等,注意角的范围,属于中档题.

19.已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosx,sinx) , =(sinx+2sinα,cosx+2cosα) ,其中 0 <α<x<π. (1)若 ,求函数 f(x)= ? 的最小值及相应 x 的值; ,且 ⊥ ,求 tan2α 的值.

(2)若 与 的夹角为

【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】 (1)根据向量点乘表示出函数 f(x)的解析式后令 t=sinx+cosx 转化为二次函数解 题. (2)根据向量 a 与 b 的夹角为 确定 ,再由 a⊥c 可知向量 a 点乘向量 c 等于 0 代入即可得到答案.

整理可得 sin(x+α)+2sin2α=0,再将 【解答】解: (1)∵ =(cosx,sinx) , =(sinx+2sinα,cosx+2cosα) , ,

∴f(x)= ? =cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα= 令 t=sinx+cosx(0<x<π) ,则 t= 则 2sinxcosx=t ﹣1,且﹣1<t< 则 ∴ 由于 时, <x<π,故 ,此时 .
2



, . ,﹣1<t< . .

所以函数 f(x)的最小值为 (2)∵ 与 的夹角为 ∴ ,

,相应 x 的值为



. .

∵0<α<x<π,∴0<x﹣α<π,∴

∵ ⊥ ,∴cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0. ∴sin(x+α)+2sin2α=0, ∴ ∴ . , .

【点评】 本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算. 向量一般和三角函数放在一起进 行考查,这种题型是高考的热点,每年必考.

20.定义向量 的“相伴向量”为 的集合为 S. (1)设

的“相伴函数”为 f(x)=asinx+bcosx;函数 f(x)=asinx+bcosx (其中 O 为坐标原点) . 记平面内所有向量的“相伴函数”构成

,试判断 g(x)是否属于 S,并说明理由;

(2)已知 h(x)=cos(x+α)+2cosx,且 h(x)∈S,求其“相伴向量”的模; (3)已知 M(a,b)是函数 的图象上一动点,向量 的“相伴函数”f(x)

在 x=x0 处取得最大值.当点 M 运动时,求 tan2x0 的取值范围. 【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;压轴题;新定义;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)先利用诱导公式对其化简,再结合定义即可得到证明; (2)先根据定义求出其相伴向量,再代入模长计算公式即可; (3)先根据定义得到函数 f(x)取得最大值时对应的自变量 x0;再结合几何意义及基本不 等式求出 的范围,最后利用二倍角的正切公式及正切函数的单调性即可得到结论. 【解答】 (本题满分 15 分) 解: (1)因为: ,g(x)的相伴向量为(4,

3) , 所以:g(x)∈S; (3 分) (2)∵h(x)=cos(x+α)+2cosx=﹣sinαsinx+(cosα+2)cosx,

∴h(x)的“相伴向量”为

, . (7 分)

(3) 当 故

的“相伴函数” 时,f(x)取得最大值, ,∴

,其中









又 M(a,b)是满足 令 ,∴

,所以 ,m>2∵

, 在(1,+∞)上单调递减,



(15 分)

【点评】 本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识. 是对 基础知识的综合考查,需要有比较扎实的基本功.


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