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数学必修5第一章解三角形练习(含答案)


数学必修 5 第一章解三角形练习
一、选择题 1.已知锐角三角形 ABC 中,| AB | ? 4, | AC | ? 1, ?ABC 的面积为 3 ,则 AB ? 的值为( ) A.2 B . -2 C . 4
2

AC

D. -4
2

2.已知一个三角形的三边为 a ? b ? a

b , a和b ,则这个三角形的最大角是(

)

A.75?

B.90?

C .120?

? D.1 5 0

3. 在 ?ABC 中, AB ?

3 , AC ? 1, 且?B ? 30? ,则 ?ABC 的面积为(
C.

)

A.

3 2

B. 3

3 或 3 2

D.

3 3 或 4 2
)

4.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? ( 3 5 3 D. ? 5 3

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5.设△ABC 的三个内角为 A、 B、 C, 向量 m ? ( 3 sin A, sin B), n ? (cos B, 3 cos A), 若 m ? n ? 1 ? cos( A ? B ), 则 C=( A. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

6. 设△ABC 中,已知 ( b ? c ) : ( c ? a) : ( a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则 sin A : sin B : sinC 的值 是__________ A. 4 : 5 : 6
2

B . 7:5:3
2

C.

3:5:7

D. 6 : 5 : 4
).

7. 在 ?ABC 中,已知 a tan B ? b tan A ,则此三角形是(

A.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
5 b, A ? 2 B, 则 cos B 等 2

8. 设△ABC 的三个内角为 A、B、C 的对边为 a、b、c,若 a ? 于( A. )

5 3

B.

5 4

C.

5 5

D.

5 6

9. 设△ABC 的三个内角为 A、B、C 的对边为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B 等于( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

10.在△ABC 中,BC=3

A?

?
3

2 4

D.

2 3
)

, 则△ABC 的周长( C .6 sin(B ?
4 5 6

A.4 3 sin(B ? D.6 sin(B ?

?
3

)?3

B.4 3 sin(B ?
题号 答案 二.填空题 1 2

?
6

)?3
3

?
3

)?3
7 8

?
6

)?3

9

10

11.在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 , B ? 45? ,则 A ? ______
? ?

12.甲,乙两楼相距 20 m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角是 30 , 则甲、乙两楼的高分别是__________.

AC 的值等于_______ , AC 的取值范围为_______ cos A b a 14.. 在 锐 角 三 角 形 ABC , A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , ? ? 6 cos C ,则 a b tan C tan C ? ? _______ tan A tan B
13.在锐角△ABC 中, BC=1, B=2A, 则 三.解答题 15.已知锐角△ABC 中,边 a、b 为方程 x ? 2 3 x ? 2 ? 0 的两根,角 A、B 满足
2

2 sin(A ? B) ? 3 ? 0 ,求角 C、边 c 及 S?ABC

16 已知△ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ?

2 sinC ,

(1)求边 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为

1 sinC , 求角 C 的度数. 6

17.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , B ? , cos A ? , b ? 3 5 (1)求 sinC的值 (2) 求△ABC 的面积

?

4

3

18. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,设向量 m ? ( a, b )

若m (2)

n ? (sin B, sin A) p ? ( b ? 2, a ? 2) , (1) 若 m // n ,求证:△ABC 是等腰三角形; ?

? p , 边长c ? 2, 角C ? ,
3

△ABC 的面积

? 19.某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 ,距离为 12 6 n mile ,在 A 处看灯塔

? C 在货轮的北偏西 30 ,距离为 8 3n mile ,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯

塔 B 在北偏东 120 ,求: (1)A 处与 D 处的距离 (2)灯塔 C 与 D 处的距离。


?

D C
30
?

120?

120?

B

A

20.在锐角在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 角 C 的大小 。(2) 若 c ? 7 , △ABC 的面积为 3 3

3a ? 2c sin A ,(1)确定

2

, 求a ? b

答案

一.选择题
题号 答案 1 A
?

2 C
?

3 D

4 A

5 C

6 B

7 D

8 B

9 B

10 D

二.填空题 11. 60 或120 三解答题 15.已知锐角△ABC 中,边 a、b 为方程 x ? 2 3 x ? 2 ? 0 的两根,角 A、B 满足
2

12. 20 3m,

40 3m 3

13.____2_

( 2, 3 )

14. 4

2 sin(A ? B) ? 3 ? 0 ,求角 C、边 c 及 S?ABC
解:由 x ? 2 3 x ? 2 ? 0 得 x1 ?
2

3 ? 1, x2 ? 3 ? 1 。因 sin(A ? B ) ?

3 2

sin(A ? B) ? sin(? ? C ) ? sinC
?
2 2

?s i n C?
2

3 ∵△ABC 是锐角三角形, 2
2 1

∴∠C= 60 . 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? x = ( 3 ? 1) ? ( 3 ? 1) ? 2( 3 ? 1)( 3 ? 1) ?
2 2

? x 2 2 ? 2 x1 x2 cos 60?

1 ?6 2

?c ? 6

又 S?ABC ?

3 3 1 1 = ab sinC ? ( 3 ? 1)( 3 ? 1) 2 2 2 2

16.已知△ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? (1)求边 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为 解: (1)正弦定理,得 因为 sin A ? sin B ?

2 sinC ,

AB =sinC 2R

1 sinC , 求角 C 的度数. 6 BC AC =sinA =sinB 2R 2R
2 A, B

2 sin C

? 把上式代入并解得 B C? A C

又 AB+ BC +AC= 2 ? 1

两式相减,解得 AB ? 1 .

(2)由 △ABC 的面积 S? ? 由余弦定理,得

1 1 1 BC ? AC sinC ? sinC 得 BC ·AC= 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB2 ( AC ? BC ) 2 ? 2 AC ? BC ? AB2 cos C ? ? 2 AC ? BC 2 AC ? BC
? C ? (0, ? )∴ C ? 60?

=

1 2

17.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , B ? , cos A ? , b ? 3 5 (1)求 (2) 求△ABC 的面积 sinC的值

?

4

3

3 4 ? 0 A ? (0, ? ) ? sin A ? 1 ? cos 2 A = 5 5 ? 2 2 又 B ? ,所以,C= ? ? A ,于是 sinC ? sin( ? ? A) 3 3 3
解:在△ABC 中, ? cos A ? = sin

2? 2? 3 4 1 3 3?4 3 cos A ? cos sin A ? ? ? ? = 3 3 2 5 2 5 10

(2)由(1)知 sinC = 由正弦定理得 a ?

3?4 3 3 ? , sin A ? 又 B ? ,b ? 3 10 5 3

b sin A 6 ? ,于是△ABC 面积 sin B 5

S?

1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 1 ? ab sinC = ? ? 3 ? 2 5 10 50 2

18. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,设向量 m ? ( a, b )

若m (2)

n ? (sin B, sin A) p ? ( b ? 2, a ? 2) , (1) 若 m // n ,求证:△ABC 是等腰三角形; ?

? p , 边长c ? 2, 角C ? ,
3

△ABC 的面积

解:在△ABC 中, ? m // n ? a sin A ? b sin B ? 0

由正弦定理

a ?sin A 2R

b a b ? sin B ? a ?b ? 0 其中 R 是△ABC 外接圆的半径 ? a ? b 2R 2R 2R
所以△ABC 是等腰三角形; (2)由题意知
2

m? p

=0,则 a( b ? 2) ? b( a ? 2) ? 0 ? a ? b ? ab
2

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C 即 4 ? a ? b ? 2ab cos
2

2

2

?
3

= ( a ? b ) ? 3ab
2

? ( ab) 2 ? 3ab ? 4 ? 0
于是△ABC 面积

解得 ab ? 4, 或ab ? ?1 (舍去)

S?

1 1 ? ab sinC = ? 4 sin ? 3 2 2 3

? 19.某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 ,距离为 12 6 n mile ,在 A 处看灯塔 ? C 在货轮的北偏西 30 ,距离为 8 3n mile ,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯

塔 B 在北偏东 120 ,求: (1)A 处与 D 处的距离 (2)灯塔 C 与 D 处的距离。


?

D C

? 120

30?

75?
A

B

解: (1)在△ABD 中,由题意知 ?ADB ? 60 ,B= 45

?

?

由正弦定理得,

AD ?

AB sin B ? sin?ADB

12 6 ? 3 2

2 2 =24 ( ( n mile)

(2)在△ACD 中,由余弦定理得,

CD2 ? AD2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC cos 30? ? 242 ? (8 3 ) 2 ? 2 ? 24 ? (8 3 ) ?
= 8 3 ? 14( n mile) 答 (略)

3 2

20.在锐角在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 3a ? 2c s i n A ,(1)确定 角 C 的大小 。(2) 若 c ? 7 , △ABC 的面积为 3 3 , 求a ? b

2
解:在锐角在△ABC 中,由

3a ? 2c s i n A 及正弦定理得 a ? 2 sin A ? sin A c sinC 3

3 ? ? ∵△ABC 是锐角三角形,? C ? ? A ? (0, ) ? sin A ? 0 ? sinC ? 2 2 3
(2)? C ?

?
3

由三角形面积公式得,

1 3 3 ? ab sinC ? 即 ab sin ? 3 3 2 2 3

ab ? 6 ① 又由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

( 7 ) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
( a ? b) 2 ? 25

?
3



7 ? a 2 ? b 2 ? ab ②

①②联立得

故 a?b?5


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