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2014一轮复习课件 第7章 第6节 空间向量及其运算(理)


考纲要求 1.了解空间向量的概念, 了解空间向量的基本定量 及其意义,掌握空间向量 的正交分解及其坐标表 示. 2.掌握空间向量的线性运 算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积 及其坐标表示,能运用向 量的数量积判断向量的共 线与垂直. 考情分析 1.从考查内容看,对本考点 的考查以空间向量的运算为 主,特别是数量积的运算及 其应用,更是考查的热点. 2.从考查题型看,若对空间 向量单独考查,则以选择 题,填空题的形式出现.若 作为解题的工具,则出现在 解答题中,且与线面关系、 求角、求距离等问题结合在 一起考查,属中档题. 一、空间向量的有关概念 名称 空间向量 单位向量 零向量 相等向量 相反向量 定义 在空间中,具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量,其大小叫做向 模 量的长度 或___ 长度或模为 1 的向量 的向量 方向 相同 且模 相等 的向量 方向 相反且 模 相等的向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行 或 重合 , ∥b 则称这些向量叫做共线向量或 平行向量 ,a平行于b记作a _____ 平行于同一 平面 的向量叫做共面向量 模为0 共线向量 共面向量 二、空间向量中的有关定理 定理 定理 内容 对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条 件是存在实数λ,使 a=λb . 共线向 量定理 推论 → = OA → 如图所示,点P在l上的充要条件是: OP +t a①其中a叫做直线l的方向向量,t∈R,在l上 → =a,则①可化为OP →= 取AB → +tAB → OA → =(1-t)OA → +tOB →. __________ 或OP 定理 如果两个向量a、b 定理 共面向 量定理 推论 内容 不共线 ,则向量p与向量a、b p=xa+yb. 共面的充要条件是存在实数对x、y,使 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序 → =x MA → +y MB → 或对空间任一定点 实数对x、y使 MP → =OM → +xMA → +yMB →. O,有OP 如果三个向量a、b、c 不共面 ,那么对任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组x、y、z, 空间向 量基本 定理 定理 使 p=xa+yb+zc . 我们把{a,b,c}叫做空间的 一个 基底,a、b、c都叫做 基向量 . 推论 设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点 →= P,都存在唯一的三个有序实数x、y、z使OP → +yOB → +zOC → xOA . 设不共线向量,a与b确定平面为α,若存在惟一的有序实数 对λ,μ使c=λa+μb,则表示c的有向线段与α的关系是怎样的? 提示:可能与α平行,也可能在α内. 三、向量的运算 1.空间向量的加法和减法 类似于平面向量,我们可以定义空间向量的加法和减法运 算(如图): → → → → → OB=OA+AB= OC+CB , → → → → → CA=OA-OC= BA-BC . 2.空间向量的数乘 实 数 λ 与 空 间 向 量 a 的 乘 积 λa 为 数乘 .当λ>0时,λa与a方向 相同 向 相反 ;λa的长度是a的长度的|λ|倍. 仍然是一个向量,称 ;当λ<0时,λa与a方 四、空间向量的数量积 1.数量积及相关概念 (1)两向量的夹角 → 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 OA = → a, OB =b,则 ∠AOB b〉,其范围是 [0,π] b 垂直 ,记作 a⊥b . 叫做向量a

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