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人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念教案


第一章
【探索新知】 在小学、初中我们就接触过“集合”一词。 例子: (1)自然数集合、正整数集合、实数集合等。





1 、1、1 集合的含义

(2)不等式 2 x ? x ? 7 ? 0 解的集合(简称解集) 。
2

(3)方程 x ? 3x ?

2 ? 0 解的集合。
2

(4)到角两边距离相等的点的集合。 (5)二次函数 y ? x 2 图像上点的集合。 (6)锐角三角形的集合 (7)二元一次方程 2 x ? y ? 1 解的集合。 (8)某班所有桌子的集合。 现在,我们要进一步明确集合的概念。 问题 1、从字面上看,怎样解释“集合”一词? 2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”,那么集合又是什 么呢? 知识点一:1、集合、元素的概念

再看例子 (9)质数的集合。 (10)反比例函数 y ?

1 图像上所有点。 x

(11) x 、 xy ? y 、 ? 2 y 2
2

2

(12)所有周长为 20 厘米的三角形。 问题 3、从集合中元素个数看,上面例子(1) (2) (4) (5) (6) (7) (9) (10) (12)与例 子(3) (8) (11)有什么不同? 知识点二 2、有限集和无限集

指出:集合论是德国数学家 Cantor(1845~1918)在十九世纪创立的,集合知识是现代数 学的基本语言,为进一步研究数学提供了极大的便利。

知识点三 集合、元素的记法 问题 4、 (1)集合、元素各用什么样的字母表示?

(2) N 、 N ? ( N ? ) 、 Z 、 Q 、 R 等各表示什么集合?

知识点四 元素与集合的关系 阅读教材填空: 如果 a 是集合 A 的元素 , 就记作_________,读作“____________”; 如果 a 不是集合 A 的元素,就记作__ 用 ? 或 ? 填空: ____,读作“______ _____”.

1 3 ______Q , _______Z , 3.14 _______Q ? _______Q, 3 2 2、设不等式 2 x ? 1 ? 0 的解集为 A,则 5_______A , ? 3 _______A
1、6______N , ? 3、2 x ? y ? 1 ? 0 的解集为 B, 则 (?1,4) _______B , (1,3) _______B , ? 2 _______B 问题 5、元素 a 与集合 A 有几种可能的关系? 知识点五 集合的性质 ① 确定性: 例子 1、下列整体是集合吗? ①个子高的人的全体。②某本数学资料中难题的全体。③中国境内的海拔高的山峰的全体。

2、集合 A 中的元素由 x=a+b 2 (a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合 A 的关系? (1)0 (2)

1 2 ?1

(3)

1 3? 2

②互异性: 例子、集合 M 中的元素为 1,x,x2-x,求 x 的范围?

③无序性:

反思总结:

【课堂检测】 1、实数 x,-x,|x|, x 2 ,?3 x 3 是集合 P 中的元素,则 P 最多含( A 2 个元素 B 3 个元素 C 4 个元素 D 5 个元素 ) )
王新敞
奎屯 新疆

2、设 a、b 都是非零实数,y= A.3 反思总结: B. 3,2,1

a b ab + + 可能的取值为( | a | | b | | ab |
C. 3,1,-1 D. 3,-1

【拓展提升】--活动与探究 数集 A 满足条件:若 a∈A,则

1 ∈A(a≠1). 1? a

(1)若 2∈A,试求出 A 中其他所有元素. (2)设 a∈A,写出 A 中所有元素.

【练习】 1、设一边长为 1 且有一内角为 40° 的等腰三角形组成集合 P,试问 P 中有多少个元素?

2 2、已知集合 A 有三个元素 a ? 2 , (a ? 1) , a ? 3a ? 3
2

(1)若 1 ? A ,则集合 A 中还有哪些元素? (2)若 1 ? A ,则 a 应满足什么条件?

1、1、2 集合的表示法
【复习检测】 一、集合、元素的概念;集合如何按元素个数分类? 二、集合、元素的记法 三、元素与集合的关系 四、集合的性质。 问题: 1、 在初中我们曾用 实数集等又怎样表示呢? 2、在初中人们常说不等式 ? 3 x ? 1 ? 0 的解集为 x ? 当的,究竟应该这样表示这些集合呢? 【探索新知】集合的表示法 知识点一 列举法 1,2,3,4? 表示 N ? , 但是象抛物线 y ? x 2 上的点的集合、

1 ,但在高中这样的说法就是不恰 3

例 1、用列举法表示下列集合 (1)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 解的集合。

(2)24 与 18 的公约数的集合。

(3)大于 5 且小于 30 的质数的集合。

(4)二元一次方程 2 x ? y ? 10 的正整数解的集合。 又如:下列集合也可以用列举法表示 (1)自然数集

(2)正整数的倒数集合

(3)小于 50 的且被 3 除余 1 的正整数的集合。

问题 1、下列集合可以用列举法表示吗? (1)直角三角形的集合。 (2)不等式

x ?1 x ? ? ?2 的解集。 2 3

(3)某农场的拖拉机的集合。 知识点二 描述法

例 2、用描述法表示下列集合 (1)直角三角形的集合。

(2)不等式

x ?1 x ? ? ?2 的解集。 2 3
x?4 x ? ? 1 ? x 2 的解集。 2 3

(3)不等式

(4)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 解的集合。
2

方程 x 2 ? 1 ? 0 解的集合。

问题 2、设方程 x 2 ? 1 ? 0 解的集合为 ? , ? 中有元素吗? 你能再举一些这方面的例子吗?

(5)二元一次方程 2 x ? y ? 1 的解的集合。

?2 x ? y ? 2 (6)二元一次方程组 ? 的解集。 ?x ? y ? 4

(7)抛物线 y ? x 2 ? 1 上点的集合。

二次函数 y ? x 2 ? 1 的函数值

y 的集合。

二次函数 y ? x 2 ? 1 的自变量 x 的取值范围。

(8)被 3 除余 1 的整数的集合。

指出:有些集合还可以用 Venn 图表示。 例如、下列集合可以用 Venn 图表示 ① ? 1,4,7,9? ② ? 1,4,7,9 ??

反思总结:

【课堂检测】 1、下列集合中哪些具有相同的元素?

A ? x | y ? x 2 ?1 D ? y ? x 2 ?1

?

?

B ? ( x, y) | y ? x 2 ? 1
E ? ?x | x ? ?1?

?

?

C ? y | y ? x 2 ?1

?

? ?

?

?

F ? y | y ? t 2 ? 1, t ? R ,

?

G ? x | x ? y 2 ? 1, y ? R ;

?

?

2.关于方程组 ?

?x ? y ? 1 的解集,下面表达正确的是________. ?x ? y ? 3
?

?x=2 ①{(x,y)|?y=-1} ;

②{(2,-1)} ; ③{(x,y)| (2,-1)}; ④{2,?1}

【拓展提升】 :试用列举法表示下列集合 (1)A={ x ? N |

12 ?N } 6? x

(2)已知 B={

12 ? N | x? N } 6? x

【练习】

1.用列举法表示下列集合 (1) A={x|x=2n n∈Z };
B={x|x=2n-4 n∈Z };

C={x|x=4n n∈NZ};

D={x|x=4n+2 n∈NZ};

(2) A={x|x=2n-1 n∈Z };

B={x|x=2n+1 n∈Z};

C={x|x=4n± 1 n∈Z};

D={x|x=2n+1 n∈N };

2.用列举法表示下列集合 |a| |b| ? (a, b ? R) 所确定的实数集合. (1)由 a b

(2) {(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N }.

3.设 A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R} ①若 A=?,求 a 的值; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值集合.

1、2 集合之间的关系
1、2、1 子集与真子集
【复习检测】

?集合、元素的概念 ? ?集合、元素的记法 1、 集合的含义? ?元素与集合的关系 ?集合的性质 ?
?列举法 ? 2、 集合的表示法?描述法 ?Venn图法 ?
问题:1、实数之间存在着相等或不等关系,那么集合间又有怎样的相等或不等关系呢? 2、元素与集合间是“属于”或“不属于”的关系,那么集合间还是这样的关系吗? 【探索新知】 知识点一 子集的定义 阅读下列一段话:

1,2,3?, B ? ? 1,2,3,4,5? 已知 A ? ?
A 中任意一个元素都在 B 中,就说 A 包含于 B,记作 A ? B (或 B 包含 A); 也说 A 是 B 的子集。 在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的子集: 1、 N , N (或 N ? ), Z , Q , R 2、① A ? ?x | x ? ?1?, B ? ?x | x ? 2? ② A ? ?x | x ? ?3? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ③ A ? ?x | ?3 ? x ? 5? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ④ A ? x | x ? ?1或x ? 3 , B ? x | x ? 1或x ? 2
?

?

?

?

? ? ? ?

3、 U ? x | x是三角形 , A ? x | x是锐角三角形 , B ? x | x是钝角三角形

?

?

?

?, D ? ?x | x是斜三角形? C ? ?x | x是直角三角形
问题:集合 A 是集合 A 的子集吗? 指出:对任意的 n ? N , 0 ? n ,类比可以规定: ? 是任何集合 A 的子集,即 ? ? A 。

知识点二 集合相等的定义

例子、 A ? x | x ? 1 ? 0 , B ? ?? 1,1?
2

?

?

问题:集合 A 是集合 B 的子集吗? 集合 B 又是集合 A 的子集吗? 结论:集合 A 是集合 B 的子集,同时集合 B 又是集合 A 的子集,即集合 A 和集合 B 有相 同的元素,就说集合 A 与集合 B 相等。

A ? B? ?? A? B B ? A?
下列两个集合相等吗? 1、 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x ? Z | 0 ? x ? 3?
2

?

?

2、 A ? ?x | 0 ? x ? 3?, B ? ?x ? Z | 0 ? x ? 3? 3、 A ? ?x | 3x - 1 ? 5? , B ? ?x | x ? 2?

知识点三 真子集的定义 阅读下列一段话:

1,2,3?, B ? ? 1,2,3,4,5? 已知 A ? ?
A ? B 且 A ? B (或者说 A ? B 且 B 中至少有一个元素不在 A 中),则说 A 是 B 的真子集,记作 A ? B 。
在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的真子集: 1、 N , N (或 N ? ), Z , Q , R 2、① A ? ?x | x ? ?1?, B ? ?x | x ? 2? ② A ? ?x | x ? ?3? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ③ A ? ?x | ?3 ? x ? 5? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ④ A ? x | x ? ?1或x ? 3 , B ? x | x ? 1或x ? 2
?

?

?

?

? ? ? ?

3、 U ? x | x是三角形 , A ? x | x是锐角三角形 , B ? x | x是钝角三角形

?

?

?

?, D ? ?x | x是斜三角形? C ? ?x | x是直角三角形
应该指出: 1、子集、集合相等和真子集可以用 Venn 图表示。

2、显然:

A ? B? ?? A?C B ? C?



A ? B? A ? B? ? ,或 ? ,那么 A 是 C 的真子集吗? B ? C? B ? C?

问题:集合 ?a, b?有哪些子集,其中又有哪些真子集?有哪些非空真子集? 对于 ?a, b, c?, ?a, b, c, d ?呢? 从中你能得出什么结论呢?

【例题剖析】

? ? y ? x3 ? ? ? A ? ( x , y ) | 例 1、已知集合 ? ? ? ,那么 A 中的非空子集有多少个? ? ?y ? x ? ? ?

0,1? ? A ? ?0,1,2,3,4? 的集合 A 的个数。 例 2、求满足 ?

反思总结:

【课堂检测】
1、指出下列各组中集合 A 与 B 之间的关系: (1) A={-1,1},B=Z; (2) A={1,3,5,15},B={x|x 是 15 的正约数}; (3) A ? N ? ,B=N; (4) A ={x|x=1+a2,a∈ N ? } , B={x|x=a2-4a+5,a∈ N ? };

2、已知{1,2 } ? M ? {1,2,3,4,5},则这样的集合 M 有多少个?分别写出来.

【拓展提升】——活动与探究 设集合 A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R},若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

【练习】 1.已知 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 P 满足:P ? M,且若 ? ? P ,则 10- ? ∈P 则这样的集合 P 有多少个?

2.已知集合 S = {1,3x3+3x2,-3x},集合 A={1,|2x-1|},如果{x|x∈S,x ? A}={0},则这样 的实数 x 是否存在?若存在,求出 x,若不存在,请说明理由.

1、2、2 集合间关系的逆向思维问题
【 复 习 】判断下列两集合间的关系 1、 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | x ? ?1? 2、 A ? ?x | ?3 ≤

x ≤ 2?, B ? ?x | ?1 ≤ x ≤ 3 ? ?
2?

3、 A ? ?x | x ? ?3或x ? 2?, B ? ?x | x ? ?4或x ? 2? 4、 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | x ? 1 ? 0?

?

?

【探索新知】集合间关系的逆向思维问题 指出:将上面四个例子中的结论变为条件,而将条件中的某些常数变为参数 a,这就得到了 集合间关系的逆向思维问题。 【例题剖析】 例 1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x | x ? a? , A ? B ,求实数 a 的取值范围。

例 2、已知 A ? ?x | ?3 ≤
B ? A ,求实数

x ≤ 2? , B ? ?x | m ? 1 ≤ x ≤ 3 ? 2m?

m 的取值范围。

例 3、已知 A ? ?x | x ? ?3或x ? 2?, B ? ?x | x ? 2a ? 1或x ? 5a ? 12? , B ? A ,求实 数 a 的取值范围。

反思总结:

我们再来看有关方程的问题 例 4、已知 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | ax ? 1 ? 0? , B ? A ,求实数 a 的值。

?

?

例 5、已知 A ? ?x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0?, B ? ?x | ax2 ? x ? b ? 0?, B ? ? , B ?

A ,求实数

a、b

的值。

反思总结:

【练习】 (限时 20 分钟) 3? 1、已知 A ? ? ?, A ? B ,求实数 a 的取值 ? x | ?1 ? x ? ? , B ? ?x | x ? a或x ? a ? 1 2? ? 范围。

2、已知

A ? x | x 2 ? 8x ? 0

?

?,
?

B ? x | x2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 4 ? 0
B ? A ,求实数 a 的取值范围。

?

3、已知 A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? ax2 ? x ? 2, x ? R
A ? B ,求实数 a 的取值范围。

?

?

?

?

实际用时为: ( )分钟

1、3 集合的运算
1、3、1 交集与并集
【 复 习 】 1、子集的定义 2、集合相等的定义 3、真子集的定义

?集合的含义与表示法 ? 指出: 集合?集合间的关系 ?集合的运算 ?
这一节课我们来研究:集合的运算。 【探索新知】 阅读下列一段材料: 例子、 A ? ? 1,3,5,9?, B ? ?2,3,5,7? 用 Venn 图表示为: A 1 9 B 2 7

3 5

问题:1、集合 ?3,5? 与集合 A、B 关系如何? 知识点一 交集

结论: 集合 ?3,5? 是由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合, 叫做集合 A 与集合 B 的交集,记作 A ? B .

A ? B ? ?x | x ? A且x ? B?
问题:2、集合 ? 1,2,3,5,7,9?与集合 A、B 关系如何?

知识点二 并集

1,2,3,5,7,9?是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 结论:集合 ?
与集合 B 的并集,记作 A ? B .

A ? B ? ?x | x ? A或x ? B?
显然: A ? B ? B ? A , A ? B ? B ? A

A ?? ? ? ,
A ? A ? A,

A ?? ? A
A? A ? A

【例题剖析】

x | x ? 2n ?1 , n ?Z?, B ? x | x ? 2n, n ? Z 例 1、已知 A ? ?
求 A? B , A? B ; A ? Z , A ? Z .

?

?

x | x ? 3n, n ? Z? , B ? ? x | x ? 3n ? 1 , n ? Z? 又如:已知 A ? ?
求 A? B , A? B ; A? Z , A ? Z .

例 2(1)已知 U

?, A ? ?x | x是锐角三角形?, B ? ?x | x是钝角三角形? ? ?x | x是三角形

求 A ? B , A ? B ; A ? U , A ? U .w

(2) 已知 U

?, A ? ?x | x是等腰三角形?, B ? ?x | x是直角三角形? ? ?x | x是三角形

求 A? B , A? B ; A ?U , A ?U .

问题:若 A ? B ,那么 A ? B , A ? B 如何? 从中你能得出什么结论呢?

例 3(1)已知 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | x ? ?2? ,求 A ? B , A ? B .

(2) 已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 2? , B ? ?x | 1 ≤ x ? 5? 求 A? B, A? B.

(3)已知 A ? ?x | x ? ?2 或 x ≥ 7 ? , B ? ?x | x ≤ ? 3或 x ? 5? 求 A? B , A? B .

(x, y) | y ? ?4x ? 6, x ? R? 例 4(1)已知 A ? ?

B ?? ( x, y) | y ? 5x ? 3, x ? R?
求 A? B

(2)已知 A ? ( x, y ) | y ? ? x ? 1, x ? R
2

?

?

B ? ( x, y ) | y ? 2 x 2 ? x ? 1, x ? R

?

?

求 A? B

2 2 (3)已知 A ? y | y ? ? x ? 1, x ? R , B ? y | y ? 2 x ? x ? 1, x ? R

?

?

?

?

求 A? B ,

A? B

反思总结:

【拓展提升】——活动与探究
2 1、已知 A ? y | y ? ? x ? a, x ? R , B ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 1, x ? R

?

?

?

?

求 A? B , A? B

2 2 2、已知 A ? y | y ? ax ? 1, x ? R , B ? y | y ? 2 x ? x ? 1, x ? R

?

?

?

?

求 A? B , A? B

3、若 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}, (1)若 A∪B=A∩B,求 a 的值; (2) ? ? ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

4、已知集合 A={x|x2-4x+3=0},B={x|x2-ax -1=0},C={x|x2-mx+1=0},且 A∪B=A A∩C=C,求 a,m 的值或取范围.

【练习】
1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x |
x?

?1? ,求 A ? B , A ? B 。

2、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 4?, B ? ?x | 1 ≤

x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

3、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ,求 A ? B , A ? B 。

?

4、已知 A ? ?x | x ? ?1 或

x ? 4? , B ? ?x | 2 ? x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

5、已知 A ? ?x | x ? ?1 或 x ? 4? , B ? ?x | x ? 1或x ? 5?,求 A ? B , A ? B 。

2 2 6、已知 A ? ( x, y) | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? ( x, y ) | y ? x ? x ? 3, x ? R

?

?

?

?

求 A? B 。

2 2 7、已知 A ? y | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? x ? x ? 3, x ? R

?

?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

8、已知

A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? ?y | y ? ax 2 ? x ? 3, a ? 0, x ? R?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

1、3、2 求交集与并集的逆向思维
【 复 习 】再求两集合的交集和并集 1 ① 已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x |
x?

?1? ,求 A ? B , A ? B 。

②已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 4?, B ? ?x | 1 ≤

x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

③ 已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ,求 A ? B , A ? B 。

?

④ 已知 A ? ?x | x ? ?1 或

x ? 4? , B ? ?x | 2 ? x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

⑤ 已知 A ? ?x | x ? ?1 或 x ? 4? , B ? ?x | x ? 1或x ? 5?,求 A ? B , A ? B 。

2 2 2 ①已知 A ? y | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? x ? x ? 3, x ? R

?

?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

②已知

A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? ?y | y ? ax 2 ? x ? 3, a ? 0, x ? R?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

指出:将【 复 习 】1 中五个例子中的结论变为条件,而将条件中的某些常数变为参数 a, 这就得到了求交集与并集的逆向思维问题。 【探索新知】求交集与并集的逆向思维 例 1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x | x ? a

?

(1) A? B ? ? , (2) A ? B ? R ,分别求 a 的取值范围。

例 2、已知 A ? ?x | ?1 ≤ 范围。

x ? a? , B ? ?x | 1 ? x ? 5? , A ? B ? ?x | ?1 ≤ x ? 5? ,求 a 的取值

例 3、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 3? , B ? ?x | x ≥ a , A ? B ? ? , A ? B ? ?x | x ≥ ?1? ,求 a 的取 值范围。

?

例 4、 已知 A ? ?x | x ? ?1 或 的值。

x ? 4? , B ? ?x |b ≤ x ≤ 3 ? a?,A ? B ? ? ,A ? B ? R , 求 a、b

再看【 复

习 】2 中两个例子的逆向思维问题:

2 2 例 5、已知 A ? y | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? ax ? x ? 3, x ? R ,

?

?

?

?

A ? B ? ?y | y ≥ ?

25 ? ? 8 ?

,求 a 的取值范围。

反思总结:

【练习】 (限时 30 分钟) 1、已知 A ? ?x | x ? ?2 或 x ? 5? , B ? ?x |a ≤ x ≤ 8 ? a? , A ? B ? R , 求 a 的取值范围。

2、已知 A ? ?x | ?2 ? x ? 1 或 x ? 4? , B ? ?x |a ≤ x ≤ b ? , A ? B ? ?x | x ? ?2? ,
A ? B ? ?x | 0 ≤ x ? 1? , 求 a、b 的值。

2 2 2,3,5? 3、已知 A ? x | x ? ax ? 15 ? 0, x ? Z , B ? x | x ? 5x ? b ? 0, x ? Z , A ? B ? ?

?

?

?

?

求 a、b 的值。

2 4、已知 A ? y | y ? x ? 2 x, x ? R , B ? y | y ? ax , x ? R ,求 A ? B 、 A ? B

?

2

?

?

?

5、已知 A ? y | y ? x ? 2 x, x ? R , B ? y | y ? ax , x ? R , A ? B ? ?x | ?1 ≤ x ≤ 0?
2 2

?

?

?

?

求 a 的取值范围。

实际用时( )分钟

1、3、3 全集与补集
【复习检测】 交集、并集的定义 ①自然语言 ②符号语言 ③图形语言

这一节课我们研究集合间的另一种运算。 【探索新知】 知识点一 全集的概念 阅读下列一段材料:

在研究集合间的关系和运算时, 我们所研究的集合常常是某一特定集合的子集, 这个特 定的集合叫做全集,记作 U. 例如:1、研究 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | ?1 ? x ? 3?等集合时,A、B 都是 R 的子集 , R 就 是全集。

2、在研究 ① A ? ?x | x ? 2n, n ? Z ? , B ? ?x | x ? 2n ? 1, n ? Z ? ② A ? ?n | x ? 3n, n ? Z ?, B ? ?x | x ? 3n ? 1, n ? Z ?, C ? ?x | x ? 3n ? 2, n ? Z ? 等集合时,A、B、C 都是 Z 的子集,Z 就叫做全集。 3、 在研究质数集 A 与合数集 B 时, 质数集合 A 与合数集合 B 都是 U ? ?n ? Z | n ? 2?的子 集,U 就是全集。 4、在研究有理数集 Q 合无理数集时,有理数集 Q 和无理数集都是实数集 R 的子集,U=R 就是全集。 5、在研究 A ? x | x是斜三角形 , B ? ?x | x是直角三角形 ?等集合时,A、B 都是

?

?

?的子集,U 就是全集。 U ? ?x | x是三角形
知识点二 补集的定义 指出:有时全集也可以规定:

1,2,3,4,5? , A ? ? 1,2,3? 例如: U ? ?
问题:集合 ?4,5?与 U、A 有什么关系? 结论:?4,5?是由全集 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,记作 CU A ? ?4,5?,CU A 叫做 A 在 U 中的补集。

CU A ? ?x | x ? U且x ? A?
在上面五个例子中,求集合 A、B 的补集。 指出:我们也可以用 Venn 图表示补集

U A

显然: CU (CU A) ? A , CU ? ? U , CU U ? ? , (CU A) ? A ? ? , (CU A) ? A ? U 【例题剖析】 例 1、已知 U=R, A ? ?x | ?3 ≤ x ≤ 4? , B ? ?x | x ≤ 2或x ? 5?

CU ( A ? B) ,(CU A) ? (CU B) , (CU A) ? (CU B ) 求 CU ( A ? B ) ,

再看例 1 的逆向思维: 已知 U=R,

A ? ?x | ?3 ≤ x ≤ 4? , B ? ?x | x ≤ a或x ? a ? 3?

CU ( A ? B) ? ?x | 4 ? x ≤ a ? 3? ? ?



a

的取值范围。

2 B ? ?x | x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 , 例 2、 已知 U ? x | x是24与30的公约数 ,A ? ?x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ,

?

?

?

?

求 CU ( A ? B ) , CU ( A ? B ) (CU A) ? (CU B ) , (CU A) ? (CU B ) 。

问题:从例 1 和例 2 的结果看,你能得出什么结论呢? 对于这个结论,你能通过画 Venn 图得到体验吗? 反思总结:

1、3、4 集合运算的逆向思维与用韦恩图解题
【 复习 】
?4,?3,2? ,求 A ? B 1,0,?3?, B ? ? 1、已知 A ? ?

2、已知 U ? ? 3,0,1, 2 , A ? ?0,1, ?3? ,求 CU A

?

?

3、已知 U

? ?x | x是不大于30的质数? , A ? ?2,5,13,17,23? ,

B ? ?2, 11,17,19,29? , 求 A ? (CU B ) , (CU A) ? B , (CU A) ? (CU B )

【探索新知】集合运算的逆向思维与用韦恩图解题 【例题剖析】
2 例 1、已知 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3,2a ? 1, a ? 1 , A ? B ? ??3?

?

2

?

?

?



a

的值。

2 例 2、已知 U ? ?? 3,0,1, 2? , A ? a , a ? 1,?3 , CU A ? ?2? ,求 a 的值。

?

?

例 3、已知 U ? ?x | x是不大于30的质数? ,A、B 是 U 的子集。

11,19,29? A ? (CU B ) ? ?5,13,23? , (CU A) ? B ? ?
(CU A) ? (CU B) ? ? 3,7?
求 A、B.

例 4、 (1) .已知全集 U,M、N 是 U 的子集,若 CU M ? N ,则必有( (A) M ? CU N (B) M ? CU N (C) CU M ? CU N

) (D)M = N

(2) .如图的阴影部分表示的集合为( (A)A∩ (CU B ) ∩ (CU C ) (B)A∪ (CU B ) ∩ (CU C ) (C) (CU A) ∪(B∩C) (D) (CU A) ∩(B∪C)

) U A

B

C

问题:1、已知集合 A、B、 A ? B 的元素个数分别为 Card ( A) 、 Card (B) 、 Card ( A ? B) , 怎样计算 Card ( A ? B) 呢?

结论: Card ( A ? B) = Card ( A) + Card (B) ? Card ( A ? B) 。

例 3.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数是全体的

3 , 5

其余的不赞成;赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成。另外,对 A、B 都不赞成的 学生数比对 A、B 都赞成的学生数的 生各有多少人?

1 多 1 人,问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学 3

问题:2、若对三个集合 A、B、C,又如何求 Card ( A ? B ? C) 呢? 结论: Card ( A ? B ? C) = Card ( A) + Card (B) ? Card (C)
?Card ( A ? B) ?Card (B ? C) ?Card (C ? A) ?Card ( A ? B ? C)

例 4.有 a 、 b 、 c 三本新书,至少读过其中一本的有 18 人,读过 a 的有 9 人,读过 b 的 有 8 人,读过 c 的有 11 人,同时读过 a 、 b 的有 5 人,读过 b 、 c 的有 3 人,读过 c 、 a 的有 4 人,那么全部读过的有多少人?

例 5.为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一只“测绘队”,需要 24 人参加测 量,20 人参加计算,16 人参加绘图。测绘队的成员中很多同学是多面手,有 8 人既参加测 量有参加了计算,有 6 人既参加了测量又会图,还有 4 人既参加了绘图又参加了计算,另有 一些人三项工作都参加了,问这个测绘小组至少有多少人?

反思总结:

【练习】
? 1,5? , 1 、填空:设 U= x ? N | x小于10 , A 、 B 是 U 的子集, A∩B= ?3? , A∩ (CU B) ? ?

?

?

4,6,8? ,则 A=___________.B=____________. (CU A) ∩ (CU B) ? ?
2.高一(1)班期末考试成绩统计如下: (1)36人数学成绩不低于80分 (2)20人物理成绩不低于80分 (3)15人数学和物理成绩都不低于80分 问有多少人这两科成绩至少有一科不低于80分?

3.某校有100名教师,其中订阅中国教育报的有67人,订阅考试报的有45人,两种 都不订的有21人,那么同时订阅两种报纸的教师有多少人?

第一章 集合 分组练习
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A.所有的正数 B.等于 2 的数 C.接近于 0 的数 2.下列四个集合中,是空集的是( ) A. {x | x ? 3 ? 3} B . D.不等于 0 的偶数 C .

{( x, y) | y 2 ? ? x 2 , x, y ? R}

{x | x 2 ? 0}

D. {x | x 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R} 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A. ( A C ) ( B C ) B. ( A B ) ( A C ) C. ( A B ) ( B C ) D. ( A B ) C 4.下面有四个命题,其中正确命题的个数为( ) (1)集合 N 中最小的数是 1 ; (2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ;
2

A

B

(3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? 1,1? ; A. 0 个 5.若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长,则△ ABC 一定不是( A.锐角三角形 6.若全集 U ? ?0,1, 2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 B. 5 个 二、填空题 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 __ N , 5 ___ N , 无理数) C. 7 个 B.直角三角形 C.钝角三角形 ) D. 8 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 )

C
第 3 题图

D.等腰三角形

16 ___ N

(2) ? 1 ___ Q , ? ___Q , e ___C R Q ( e 是 2

(3) 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q 3.若集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,则 A

?

?
B ? _____________ B ? _________

2. 若集合 A ? ?x | x ? 6, x ? N? , B ? {x | x是非质数} , C ? A B ,则 C 的非空子集的个数为 4.设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1} ,且 A ? B ,则实数 k 的取值范围是 5.已知 A ? y y ? ? x ? 2 x ? 1 , B ? y y ? 2 x ? 1 ,则 A
2

?

?

?

?

三、解答题 1.已知集合 A ? ? ?x ? N |
? 8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A 。 6? x ?

2.已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} , B ? A ,求 m 的取值范围。

2 2 3.已知集合 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A B ? ??3? ,求实数 a 的值。

?

?

?

?

4. 设全集 U ? R , M ? {m | 方程mx2 ? x ? 1 ? 0有实根 } , N ? {n | 方程x 2 ? x ? n ? 0有实根} , 求 (CU M ) ? N .

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.下列命题正确的有( ⑴很小的实数可以构成集合;⑵集合 y | y ? x 2 ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x 2 ? 1 是同一个集 合;⑶ 1, 3 , 6 , ? 1 , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素;⑷集合 ??x, y ? | xy ? 0, x, y ? R? 是指第二 2 4 2 和第四象限内的点集。 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2.若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为( ) A. 1 3.若集合 M ? ?( x, y ) x ? y ? 0? , N ? ( x, y ) x ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则有(
2 2



?

?

?

?

B. ? 1

?

C. 1 或 ? 1 C. M

D. 1 或 ? 1 或 0

?



A. M

N ?M
?x ? y ? 1

B. M

N?N


N ?M

D. M

N ??

4.方程组 ? A. ? 5, 4 ?
?

2 2 ?x ? y ? 9

的解集是(

B. ?5,?4? )

C. ??? 5,4?? C. ? C

D. ??5,?4?? 。 D. ? ? ? ??

5.下列式子中,正确的是(

A. R ? R B. Z ? ? ?x | x ? 0, x ? Z? 6.下列表述中错误的是( ) D. CU ? A ? B? ? ?CU A? ? ?CU B? 二、填空题 1.用适当的符号填空 ( 1 )

A


A.若 A ? B, 则A ? B ? A B.若 A ? B ? B,则A ? B

( A ? B)

A

( A ? B)

?x | x ? 2?, ?1,2? ____??x, y? | y ? x ? 1? 3 ______

2 ? 5 _______x | x ? 2 ? 3

?

?



2



1 ? 3 (3) ? ? x | ? x, x ? R ? _______ ? x | x ? x ? 0? ? x ? 2 . 设 U ? R, A ? ?x | a ? x ? b?, CU A ? ?x | x ? 4或x ? 3?



a ? __________ _,b ? __________ 3.某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好体育也
不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 4.若 A ? ?1, 4, x? , B ? 1, x
2

?

2

?且 A



B ? B ,则 x ?
;若至

5.已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围 少有一个元素,则 a 的取值范围 三、解答题 1.设 y ? x ? ax ? b, A ? ?x | y ? x? ? ?a? , M ?
2

??a, b??, 求M

2.设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0},其中 x ? R ,如果 A
2 2 2

B ? B ,求实数 a

的取值范围。

2 2 2 2 3.集合 A ? x | x ? ax ? a ? 19 ? 0 , B ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , C ? x | x ? 2 x ? 8 ? 0

?

?

?

?

?

?

满足 A

B ? ? , , A C ? ? , 求实数 a 的值。

2 2 4.设 U ? R ,集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? (m ? 1) x ? m ? 0 ,若 (CU A) ? B ? ? ,求 m 的值。

?

?

?

?

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为( ) A. 0 ? X B. ?0? ? X C. ? ? X D. ?0? ? X

2. 50 名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31 人, 2 项测 验成绩均不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是( ) A. 35 B. 25 C. 28 D.15 3.已知集合 A ? x | x ? mx ? 1 ? 0 , 若A
2

?

?

R ? ?, 则实数 m 的取值范围是(
C. 0 ? m ? 4 B.若 A D. 0 ? m ? 4



A. m ? 4 B. m ? 4 4.下列说法中,正确的是( ) A.任何一个集合必有两个子集; C.任何集合必有一个真子集;

B ? ? , 则 A, B 中至少有一个为 ?
B ? S, 则 A ? B ? S,

D.若 S 为全集,且 A

5.若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( ) ( 1 ) 若 A ? B ? ? , 则?CU A? ? ?CU B? ? U ( 2 ) 若 A ? B ? U , 则?CU A? ? ?CU B? ? ? ( 3 ) 若

A ? B ? ?,则A ? B ? ? A. 0 个 B. 1 个

C. 2 个 D. 3 个 k 1 k 1 6.设集合 M ? {x | x ? ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( ) 4 2 2 4 A. M ? N

M 7.设集合 A ? {x | x ? x ? 0}, B ? {x | x ? x ? 0} ,则集合 A B ? ( A. 0 B. ?0? C. ?

B. M

N

C. N

D. M )

N ??

2

2

D. ??1,0,1?

二、填空题

1 . 已 知 M ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R , N ? y | y ? ? x 2 ? 2x ? 8, x ? R

M ? N ? __________
2.用列举法表示集合: M ? {m|

?

?

?

?,则

10 ? Z , m ? Z} = m ?1 3.若 I ? ?x | x ? ?1, x ? Z? ,则 C I N =

(A 4.设集合 A ? ?1,2? , B ? ?1,2,3?, C ? ?2,3,4? 则

B) C ?
?

y?2 ? 5.设全集 U ? ( x, y ) x, y ? R ,集合 M ? ? ? 1? , N ? ( x, y ) y ? x ? 4 ,那 ?( x, y ) ? x?2

?

?

?

?

么 (CU M )

(CU N ) 等于________________

三、解答题 1.若 A ? ?a, b?, B ? ?x | x ? A?, M ? ?A?, 求CB M .

2 2.已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? a? , B ? ? y | y ? 2x ? 3, x ? A? , C ? z | z ? x , x ? A ,且 C ? B ,求 a 的

?

?

取值范围。
3 2 3.全集 S ? 1,3, x ? 3 x ? 2 x , A ? 1, 2 x ? 1 ,如果 C S A ? ?0?, 则这样的实数 x 是否存

?

?

?

?

在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。 4.设集合 A ? ?1,2,3,...,10?, 求集合 A 的所有非空子集元素和的和。

2、1 函数的概念
2、1、1 函数及其表示法
【复 习】1、初中函数的定义 2、在初中我们学习了哪些具体函数? 指出:现在,我们学习了集合的概念,我们想从两集合间的关系的角度来研究函数及其表示 法。 【探索新知】函数及其表示法 例 1、一枚炮弹发射后,经过 26s 落到地面击中目标,炮弹的射高为 845m。炮弹距地面的
2 高度 h(单位 m)随时间 t (单位 s)变化的规律是: h ? 130t ? 5t 。

炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A ? ?t | 0 ≤ t ≤ 26? 。 炮弹距地面的高度 h 的变化范围是数集 B ? ?h | 0 ≤ h ≤ 845? 。 例 2、如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979~2001 年的变化情况。

t | 1979 ≤ t ≤ 2001 。 时间 t 的变化范围是数集 A ? ?
臭氧层空洞的面积 S 的变化范围是数集 B ? ?S | 0 ≤ S ≤ 26? 。

?

例 3、下表是“1991 年~2001 年”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况: 时间(年) 城镇家庭恩 格尔系数 1991 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

恩格尔系数 ?

食物支出金额 总支出金额

A?? 1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001?

B ? ?53.8,52.9,50.1,49.9,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9?
问题:例子 1、2、3 有什么共同的特征? 知识点一 函数的定义:

知识点二 函数的表示法:

再看例子: 1、下列对应关系是否是函数? f:取倒数 0 1 2 (1) 2、下列曲线表示函数吗? y y x x B 1 4 2 (2) f:开平方 A 1 f: f:乘 2 B A 1 3 4 (3) 1 2 3 (4) 2 7 4 6 B

A

1 B -1 2 -2

A

1 -1 2 -2

o

o

3、用函数的定义解释下列函数,并求出其定义域和值域。 (1)

y ? ?2 x ? 3 , y ?

4 x

,

y ? ?2 x 2 ? 3x ? 5

(2)

y ? ?2 x ? 3(?1 ? x ? 2) , y ? ( x ? 1) , y ? ?2 x 2 ? 3x ? 5(?1 ? x ? 2)

4 x

问题:函数有几个要素? 例子:下列两函数是否相同? 1、 f A 1 B A 1 -1 4 2 6 (1)

f 1 -1 2 (2) 1 6

B

2、 f ( x ) ? 2 x ? 1( x ? R ) 与 g ( x ) ? 2 x ? 1(0 ? x ? 1)

3、 f ( x) ?

x 2 ? 4 与 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 2

4、 f ( x ) ? 1 与 g ( x ) ?

x , x

5、 f ( x ) ? x 与 g ( x) ?

x2

3 3 6、 h ( x ) ? x 与 e( x) ? x

反思总结:

2、 1、 2
【复 习】1、初中函数的定义 2、高中函数的定义。

画函数的图像

3、函数的表示法。 【探索新知】画函数的图像 例 1、一次函数、反比例函数和二次函数 (1) y ? 2 x ? 3 , y ? ?3x ? 2 (2) y ?

2 ?3 ,y? x x

2 2 2 2 (3) y ? 2 x ? 3x , y ? ? x ? 2 x ? 3 , y ? 2 x ? 4 x ? 3 , y ? ? x ? 2 x ? 1

例 2、在 1 中限制 x 的范围,再画函数的图像。 例 3、和绝对值联系 (1) y ? 2 | x | ?3 , y ?| 2 x ? 3 | (2)

y ? 2 x 2 ? 3 | x | , y ?| 2 x 2 ? 3x |

例 4、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元。 (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算) 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画 出这函数的图像。
?x2 ? 1 x ? 0 x?0 (2) G ( x) ? ? ?0 ?x ? 1 x ? 0 ?

x?0 ?1 ? 再如: (1) F ( x) ? ?0 x?0 ?? 1 x ? 0 ?

?1 x ? Q 指出:并不是所有的函数都能画出图象,例如 D ( x ) ? ? 就不能用图象表示。 ?0 x ? Q

反思总结:

【练习】 1、画和二次函数相关函数图像 (1) y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,
y ? x 2 ? 2 x ? 3 ( ?2 ≤ x ? 4 且 x ? Z )

y ? x 2 ? 2 | x | ?3 ,
(2)

y ?| x 2 ? 2 x ? 3 |

y ? ?2 x 2 ? 4 x ,

y ? ?2 x 2 ? 4 x ( ? 1 ? x ≤

3 ) 2

y ? ?2 x 2 ? 4 | x | , y ?| ?2x 2 ? 4x |

2、画分段函数的图像

?x ? 1 x ?1 ? ?1 x ?1 (1) D( x) ? ? 2 ? x ?1 2 ? ?? x ? 1

? x 2 ? 4 ?1 ? x ? 3, x ? Z (2)e( x) ? ? ?? x ? 1 ? 4 ? x ? ?1, x ? Z

2、1、3 映射与函数
【探索新知】 知识点一 映射的定义 例子: 1、 A ? x | x是平面内三角形 , B ? x | x是平面内的圆

?

?

?

?

f : 画三角形的外接圆。
2、 A ? x | x是平面内三角形 , B ? R

?

?

f : 求三角形的面积。

?, B ?(x,y) | 3、 A ? ?P | P是平面内的点
f : 在平面直角坐标系下找点 P 的坐标。

?

x ? R, y ? R?

4、 A ? x | x是我们班级内的学生 , B ? x | x是我们班级内的椅子

?

?

?

?

f : 每位同学坐一把椅子。
下列例子是映射吗?

f:取倒数 0 A 1 2 (1) f:平方 1 -1 2 -2 (3) 1 3
B

f:开平方 1 1 B 2
A 4

1 1 2 3 (2) f:平方

B

f:乘 2 1 3 7 4 1 A 2 3 (5) 2 4 B 6

A

4

A

1 -1 2 -2 (4)

B

知识点二 区间的概念 请在下列空白处填写集合的区间表示。 ① ?x | a ? ③ ?x | a ?

x ? b? __________ ② ?x | a ? x ? b?___________ x ? b?__________ ④ ?x | a ? x ? b?__________
__________ ⑥ ?x | x ? a? ____________

⑤ ?x | x ? a? ⑦ ?x | x ? a? 知识点三

__________ ⑧ ?x | x ? a? _____________

注意 f (a) 的意义
f (? 2 ) ,

2 例 1、已知 f ( x) ? 3x ? 5 x ? 2 ,求 f (3) ,

f (a ? 1)

2 例 2、已知 f (x) ? 8x ?1 , g ( x) ? x ? x

求 f (g(x)) , f (g(x) ? 2) , g( f ( x)) , g( f (3) ? 20)

?x2 ? 1 x ?0 例 3、已知 f ( x) = ? x ?0 ?0 ?? x 2 ? 1 x ? 0 ?

,求 f ( f (1) ?1) , f ( f (?2) ? 3)

?2 x ? 1 x ?1 f ( x ) ? ? f (?2) 例 4、已知 f ( x ? 1 ) x ? 1 ,求 ?

2 例 5、已知 f (x) ? 9x ?1 , g ( x) ? x , f (g(x)) ? g( f (x) ? 2) ,求 x

x ?1 ?2 x 例 6、已知 f ( x) ? ? 2 x ?1 ?( x ? 1)

(1)若 (2)若

f ( x0 ) ? 4 ,求 x0 f ( x0 ) ? 4 ,求 x0 的取值范围。

反思总结:

【练习】 1、已知

f (x) ? 2x ? 11 , g ( x) ? x 2 ? 2 ,求 f (2 ? g(x)) , g( f (x) ?1)

? ?x 2 f ( x) ? ? 2、已知 ? ?? x

x?0 x?0

?1 ? g ( x) ? ? x , ?x 2 ?

x?0 x?0

(1) 当 x ≤0 时,求 f ( g( x)) ; (2)当 x >0 时,求 g( f ( x) ? 1)

3、已知 f ( x) = ?

?x2 ? x

x?4
,求

x?4 ? f ( x ? 2)

f (?2)

2、1、4 求函数解析式
【复 习】 1、已知 f ( x) ?

2 ? 3x ,求 f ( ?1) , f (3x ? 1) 。 4x ? 1

2、已知

f ( x) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x ? ) 。 x

1

3、已知 f ( x) ? 2 x ? 1 ,求 f ( f ( x )) 。

【探索新知】求函数解析式 问题:在【复 习】1 中,若已知 f (3x ? 1) ,你能求 y ? f ( x) 吗? 知识点一 换元法

例 1、已知 f (3x ? 1) ?

5 ? 9x ,求 y ? f ( x) 12 x ? 3

知识点二

配凑法

例 2、已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,求 y ? f ( x ) x x

2 又如:已知 f ( x ? 1) ?

1 ,求 f ( x) 。 x4

知识点三

待定系数法

例 3、已知 f ( x) 为一次函数,且 f [ f ( x )] ? 4 x ? 3 ,求 y ? f ( x )

2 又如:已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? x ,求 y ? f ( x )

知识点四 方程组法
2 例 4、已知对一切 x ? R , f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? x ,求 y ? f ( x )

又如:已知 2 f ( x) ? 3 f ( ) ? 4 x ,求 y ? f ( x )

1 x

反思总结:

【课堂检测】 3 ? 4x ) ? x ? 5 ,求 f (5) 1、已知 f ( x?2

2、已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 3 ? 3 ,求 y ? f ( x ) x x

2 3、已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ,求 y ? f ( x )

4、已知对一切 x ? R , f ( x ? 2) ? 3 f ( 2 ? x) ? x ,求 y ? f ( x )

【练习】 1、已知 f (

3x ? 4 ) ? x ? 5 ,求 y ? f ( x ) 2x ? 1

2、已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,求 y ? f ( x ) x x

3、已知 f ( x) 为一次函数,且 f [ f ( x)] ? x ? 1 ,求 y ? f ( x )

4、已知对一切 x ? R , f ( x) ? 2 f (1 ? x) ? x ? x ,求 y ? f ( x )

2

2、1、5 求函数定义域
【探索新知】 问题:在给出函数时,有时直接指明了函数的定义域;也有的时候,给出函数解析式,但并 不写函数的定义域,这时函数的定义域指的是什么呢? 例 1、求下列函数的定义域 (1)

y?

1 3x ? 1

(2) y ?

? 2x 2 ? x ? 1

(3)

y?

1 1 ? ? 2x 2 ? x ?1 (4) y ? ? 2 x 2 ? x ? 1 ? 3x ? 1 3x 2 ? 14x ? 5

反思总结:

指出:对于实际问题,函数的定义域由实际背景确定。 例如:某超市日销售一种饮品 50 瓶,每瓶 2,50 元,由日常销售经验知:若每瓶价格提高 1 元,则每天就少卖 10 瓶,试写出日销售金额与价格的函数关系式。

将例 1(2)变为分类讨论问题 例 2、求下列函数的定义域 (1) y ?

? 2x 2 ? x ? a

(2) y ?

ax2 ? x ? 1

我们再看例 1(2) 的逆向思维 例 3、已知函数 y ?

ax2 ? x ? 1 的定义域为 R, 求 a 的取值范围

例 4、已知函数 y ?

ax2 ? x ? b 的定义域为 [? ,1] , 求 a、 b 的值.

1 2

再看复合函数的定义域 例 5(1)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [ ?1 , 3] ,求 y ? f (3x ? 2) 的定义域

(2)已知函数 y ? f (3x ? 2) 的定义域为 [ , ] ,求 y ? f ( x) 的定义域

1 5 3 3

(3)已知函数 y ? f (3x ? 2) 的定义域为 [ , ] ,求 y ? f (3 ? 4 x) 的定义域

1 5 3 3

反思总结:

【练习】 1、求下列函数的定义域 (1)

y?

1 x 2 ? 2x ? 3

(2) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

2、求函数 y ?

1 ax 2 ? 2 x

的定义域

3、已知函数 y ?

1 ax2 ? bx ? 3

的定义域为 ?x | x ? ?1或x ? 3? ,求 a、b 的值。

4、已知 f ( x) ?

1 m x ? 4m x ? m 2 ? 1
2

定义域为 R, 求 m 的取值范围

5、已知 f ( x) ?

1 的定义域为 R, 求 m 的取值范围 m x ? 4m x ? 1
2

6、已知函数 y ? f (4 ? x) 的定义域为 [?1,3] ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域

2、1、6 集合运算和集合间关系的逆向思维与二次函数
【复 习】在集合一节中我们研究了求集合间关系和集合并交补的逆向思维问题:
2 2 1、已知 A ? ?x | x ? 3x ? 2 ? 0?, B ? ?x | x ? (a ? 1) x ? a ? 0? ,

(1)

A ? B (2) B ? A (3) A ? B 只有一个元素,分别求 a 的取值范围。

2、已知 A ? ?x |x ? a或x ? 5 ? a? , B ? x | x ? ?3或x ? 5 , (1) A ? B ?

?

?

?x | x ? ?3或x ? 5 ? a?, (2) A ? B ? ?x | x ? a或 ? 5? ,

分别求 a 的取值范围。

3、已知 U=R, A ?

?x | ?3 ? x ? 4?, B ? ?x | x ? a或x ? a ? 3?,

CU ( A ? B) ? ?x | 4 ? x ? a ? 3? , 求 a 的取值范围。

指出:1、练习 2 的另一种形式: 2、已知 A ?

?x |x 2 ? 5x ? 5a ? a 2 ? 0?,

B ? ?x |x 2 ? 2x ? 15 ? 0?,

(1) A ? B ?

?x | x

2

? (a ? 2) x ? 3a ? 15 ? 0 ,
2

?

(2) A ? B ?

?x | x

? (a ? 5) x ? 5a ? 0

?,分别求 a 的取值范围。

2、练习 3 的另一种形式: 已知 A ?

?x |x 2 ?12x ?12 ? 0?,

B ? ?x |x 2 ? (2a ? 3) x ? a 2 ? 3a ? 0?,

CU ( A ? B) ? x | x 2 ? (a ? 7) x ? 4a ? 12 ? 0

?

?,且 a ? 1 ,求 a 的取值范围。

问题:若二次三项式不能分解,这类问题又如何解决呢? 【探索新知】 不等式中二次三项式不能分解 例 1、已知 A ? x |x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x |
2

?

?

x 2 ? ax ? 1 ? 0?,
分别求 a 的取值范围。

(1)

A ? B (2) B ? A (3) A ? B 只有一个元素,

例 2、已知 A ? ?x |x ? ax ? b ? 0?,
2

B ? x | x2 ? 2x ? 15 ? 0

?

?

(1) A ? B ? ? , (2) A ? B ? R ,分别求 a、 b 满足的条件。

例 3、已知 A ? ?x |x 值范围。

2

? x ? 12 ? 0?, B ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0 , CU ( A ? B) ? ? ,求 a 的取

?

?

反思总结:

【练习】
2 1、已知集合 | A ? ?x |x ? 2 x ? 8 ? 0?,B= ?x | x ? ax ? a ? 12 ? 0? , B ? A ,求实数

2

2

a 的取值范围。

2、已知 A=

?x | x

2

? 2x ? 3 ≤ 0?,B=

?x | x

2

? px ? q ≥ 0?,A∩ B = ?x | x 2 ? x ? 2 ≤ 0?

求 p 、 q 满足的条件。

3、已知 A= A∪B=

?x | 2x

2

? 7 x ? 15< 0?,B= ?x | x 2 ? ax ? b ≤ 0?,且A∩B=φ,

?x | ?5 < x ≤ 2?,求 a 、 b 的值。

第一章 函数及其表示 分组练习
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ y1 ? ( x ? 3)( x ? 5) , x?3 )

y 2 ? x ? 5 ;⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;

⑶ f ( x) ? x ,g ( x) ? x 2 ; ⑷ f ( x) ? 3 x 4 ? x3 ,F ( x) ? x 3 x ?1 ; ⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2 , f 2 ( x) ? 2x ? 5 。 A.⑴、⑵ B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸ 2.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( ) A. 1 3 .已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B 使 B 中元素
4 2

B. 0

?

C. 0 或 1

?

D. 1 或 2

*

y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5

) D. 2, 5 )

? x ? 2( x ? ?1) 2 4.已知 f ( x) ? ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?
A. 1 B. 1 或

3 3 C. 1 , 或 ? 3 D. 3 2 2 5.为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,这个平 移是沿 x 轴( ) A.向右平移 1 个单位 B.向右平移 0.5 个单位 C.向左平移 1 个单位 D.向左平移 0.5 个单位

x ? 2, ( x ? 10) 6.设 f ( x) ? ? 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6 )], ( x ? 10 ) ? A. 10 B. 11 C. 12 二、填空题
?2 1.设函数 f ( x) ? ? ? ?1 ? ?x ?1 x ? 1( x ? 0),

) D.13

若f (a ) ? a. 则实数 a 的取值范围是 ( x ? 0).

2.函数 y ?

x?2 的定义域 x2 ? 4

3.若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2, 0), B(4, 0) ,且函数的最大值为 9 , 则这个二次函数的表达式是

4.函数 y ?

( x ? 1) 0 x ?x
2

的定义域是_____________________

5.函数 f ( x) ? x ? x ? 1的最小值是_________________ 三、解答题 1.求函数 f ( x ) ?
3

x ?1 的定义域。 x ?1

2.求函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域。

3. x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又 y ? x12 ? x22 , 求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域。

4. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 , 求 a 、b 的值。
2

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) 的表达式是( A. 2 x ? 1 ) B. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 7 cx 3 2.函数 f ( x ) ? ) , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 2x ? 3 2 A. 3 B. ? 3 C. 3或 ? 3 D. 5或 ? 3 2 1 1 ? x 3.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? ) ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 2 x2 A. 15 B. 1 C. 3 D. 30 4.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2,3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是( ) A. [ 0 , 5 ] B. [ ?1,4] C. [ ?5,5] D. [ ?3,7] 2 5.函数 y ? 2 ? ? x2 ? 4 x 的值域是( A. [?2, 2] B. [1, 2]
2

) C. [0, 2] ) D. [? 2, 2]

6.已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x ) 的解析式为( 1? x 1? x

A.

x 1? x2

B. ?

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

D. ?

x 1? x2

二、填空题
?3 x 2 ? 4( x ? 0) 1.若函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (0)) = ?? ( x ? 0) ?0( x ? 0) ? 2.若函数 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) =
3.函数 f ( x) ? 2 ?

1 x ? 2x ? 3
2

的值域是

1, x ? 0 ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 4.已知 f ( x) ? ? ?

5.设函数 y ? ax ? 2a ? 1,当 ?1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负,则实数 a 的范围 三、解答题 1.设 ? , ? 是方程 4x2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0,( x ? R) 的两实根,当 m 为何值时, ? 2 ? ? 2 有最小值?求 出这个最小值. 2.求下列函数的定义域 (1) y ?

?? 1, x ? 0

x ?8 ? 3? x

(2) y ?

x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

(3) y ?

1 1? 1? 1 1 x ?x

3.求下列函数的值域 (1) y ?

3? x 4? x
2

(2) y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

(3) y ? 1 ? 2 x ? x

4.作出函数 y ? x ? 6 x ? 7, x ? ?3,6? 的图象。

[提高训练 C 组]
一、选择题 A. S B. T
2 1.若集合 S ? ? y | y ? 3x ? 2, x ? R? , T ? y | y ? x ? 1, x ? R ,则 S

?

?

T 是(

)

C. ?

D.有限集
x

2.已知函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,且当 x ? (0,??) 时,有 f ( x ) ? 1 , 则 当 x ? (??,?2) 时, f ( x) 的解析式为( 1 1 A. ? B. ? x?2 x x 3.函数 y ? ) ? x 的图象是( x ) C.

1 x?2

D. ?

1 x?2

4. 若函数 y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ? 25 , 则 m 的取值范围是 ( ? 4] , A. ?0,4?
2



4

B. [ 3 , 4 ]
2

C. [ 3 , 3]
2

D. [ 3 , ? ?)
2

5.若函数 f ( x) ? x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( A. f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
2 x ? x D. f ( 1 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 2



2

2

2

2

2

?2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) 6.函数 f ( x) ? ? 的值域是( ? 2 x ? 6 x ( ? 2 ? x ? 0) ? ?

) D. ? ?9,1?

A. R

B. ? ?9, ?? ?

C. ? ?8,1?

二、填空题
的集合是

1. 函数 f ( x) ? (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 的定义域为 R ,值域为 ? ??,0? ,则满足条件的实数 a 组成 2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ? 2) 的定义域为__________ 3.当 x ? _______ 时,函数 f ( x) ? ( x ? a1 )2 ? ( x ? a2 )2 ? ... ? ( x ? an )2 取得最小值 4.二次函数的图象经过三点 A( 1 , 3 ), B ( ?1, 3), C (2, 3) ,则这个二次函数的解析式为
2 4

x 2 ? 1 ( x ? 0) ,若 f ( x) ? 10 ,则 x ? 5.已知函数 f ( x) ? ? ? ? ? 2 x ( x ? 0)

三、解答题
1.求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。

2x 2 ? 2x ? 3 2.利用判别式方法求函数 y ? 的值域。 x2 ? x ?1
3.已知 a , b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则求 5a ? b 的值。

4.对于任意实数 x ,函数 f ( x) ? (5 ? a) x ? 6 x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围。
2

2、2 函数的性质 2、2、1 函数的单调性
【导 言】从这一节开始我们研究函数的性质,函数的性质主要指单调性、奇偶性和周期性。

我们首先来研究函数的单调性。 【探索新知】函数单调性的定义 例子:

y?

1 x

f ( x) ? 1

对于函数

f ( x) ? x2

图形语言: 在 (0,??) 上, y 随

x 的增大而增大;在 (??,0) 上, y

随 x 的增大而减小。

将图形语言改为符号语言,就得到增函数和减函数的定义。 知识点一 ①增函数的定义:

②减函数的定义:

知识点二 单调性和单调区间的定义 利用单调性的图形语言可以判断下列函数的单调性: ①

f ( x) ?

1 x



f ( x) ? x 2 ? 2x



f ( x) ? x 2 ? 2 | x |



f ( x) ?| x 2 ? 2 x |

y

1 例 1、判断下列说法是否正确 (1)如图是 y ? f ( x) 的图像 取 x1 ? ?4 , x2 ? 2 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 x

y ? f ( x)

显然 x1 ? x 2 , x1、x2 ?[?5,3] f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 y ? f ( x) 在 [?5,3] 上是增函数。 (2)若 y ? f ( x) 在 (a, b) 上是增函数,在 [b, c) 上是增函数,于是 y ? f ( x) 在 (a, c) 上也是 增函数。 例 2、用函数单调性的定义证明 (1) f ( x) ? ?2x 2 ? x ? 3 在 (- ? , ) 上是增函数。

1 4

(2) f ( x) ? ? x3 ? 1在 (-?,0) 上是减函数。

反思总结:

【练习】 1、证明 f ( x) ? ? x ? 1在 (??,??) 上是减函数。
3

2、证明 f ( x) ? x ?

4 在 (2,??) 上是增函数。 x

3、证明 f ( x ) ?

x 在 (-?,-1)上是减函数。 x ?1
2

4、证明 f ( x ) ?

x 在 (-2,2) 上是减函数。 x ?4
2

2、2、2 判断函数的单调性
【复习】 (1)增函数和减函数的定义:①图形语言 (2)单调性和单调区间的定义 例子、判断函数 f ( x ) ? ②符号语言

2x ? 3 的单调性,并用单调性的定义证明。 x ?1

就这个问题来看,有两个小问题: (1)如何找出这个函数的单调区间。 (2)证明这个函数在单调区间上的单调性。 问题:判断函数的单调区间有哪些方法呢? 【探索新知】判断函数单调区间的方法 知识点一 图像法 (1) 一次函数 y ? 2 x ? 3 , y ? ? x ? 1

反比例函数 y ?

1 ?2 ,y? x x

二次函数 y ? ? x ? 2 x , y ? 2x ? x ? 1
2 2

(2)联系绝对值

y ? 2 | x | ?3 ,

y ?| 2 x ? 3 | ,

y?

?1 |x|

y ?|

?1 |, x

y ? ?x2 ? 2 | x | ,

y ?| ? x 2 ? 2 x |

知识点二

先考虑函数的定义域,再确定要研究的区间

(1) y ?

1 x ?1

(2) y ?

3 ? 2x x ?1

(3) y ?

x?2 ? 9? x

(4) y ?

2x ? 1 ?

1 x

(5) y ? x ? 2x ? 1

知识点三 复合函数的单调性 (1) y ? 5 ? 4 x ? x 2 (2) y ? | x | ?1 12999 . c o m

要注意某些判断函数单调性的逆向思维 例子:
2 1、 y ? 2 x ? ax ? 1在 (?? , ) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。

1 4

2 2、 y ? ax ? x ? 1在 ( ,?? ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

1 4

3、 y ?

3 ? 2x 在 (??,?1) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 x?a

4、 y ?

ax2 ? 4 x ? 5 在 [?5,?2] 上是增函数,求实数 a 的值。

要记住一些函数的单调区间,画这些函数的图象,并会用单调性定义证明 (1) y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) x

(2) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

(3) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

例如、已知函数 y ? x ?

a 在 (1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 x

反思总结:

【练习】 1、 y ? ax ? 4 x ? 1在 (2,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。
2

2、 y ?

ax ? 1 在 (?2,??) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 x?2

3、 y ?

a | x | ?1 在 (1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

2、2、3 利用函数单调性求函数的最值

【复习】 1、证明 y ? ax ?

b b (a ? 0, b ? 0) 在 (0, ) 上是减函数。 x a

2、证明 y ?

x (k ? 0) 在 (? k , k ) 上是增函数。 x ?k
2

2、 证明 y ?

x (k ? 0) 在 (? k , k ) 上是减函数。 x ?k
2

【探索新知】利用函数单调性求函数的最值 例1、 求函数 y ?

3 ? 4x (?3 ? x ? ?` 1) 的最大值和最小值。 2x ? 1

指出:上面例子的四种表现形式: 1、求函数 y ?

3 ? 4x (?3 ? x ? ?` 1) 的最大值和最小值。 2x ? 1

2、求函数 y ?

3 ? 4x (?3 ? x ? ?` 1) 的值域。 2x ? 1

3、已知 f ( x ) ?

3 ? 4x 1 成立,求实数 a 的取值范围。 ,不等式 f ( x) ? a 对一切 ? 3 ? x ? ?` 2x ? 1

3、 已知 f ( x ) ?

3 ? 4x 1 使不等式 f ( x) ? a 成立, , 存在 ? 3 ? x ? ?` 求实数 a 的取值范围。 2x ? 1

例2、 求函数 y ? x ?

1 (2 ? x ? 3) 的的最大值和最小值。 x

问题:在例 2 中若 y ? x ?

1 1 ( ? x ? 2) ,结论又如何? x 2

【课堂检测】 1、求函数 y ? x ?

4 (1 ? x ? 3) 的值域。 x

2、求函数 y ?

x (?6 ? x ? 5) 的最大值和最小值。 x ? 16
2

3、已知 f ( x) ?

x ,不等式 f ( x) ? a 对一切 ? 2 ? x ? 2 成立,求实数 a 的取值范围。 x ? 16
2

【练习】 1、求 y ? 5 ? 4 x ? x 2 (?1 ? x ? 0) 的最大值及相应的 x 值。

2、求 y ? x ?

x 2 ? 1(0 ? x ? 1) 的值域。

3、对一切 x ? [?1,0] ,不等式

1 ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 x ? 4x ? 5
2

4、已知函数 f ( x) ?

2x ? 1 ?

1 , f ( x) ? a 有解,求实数 a 的取值范围。 x ?1

2、2、4 函数的奇偶性
【 复 习 】 1、增函数、减函数的定义 2、单调性和单调区间的定义 指出:这一节课我们来研究函数的另一种性质。 【探索新知】 例子:

问题:1 、 (1) (2)图象各有什么特点? 2、 (1) (2)中的点和它的对称点的坐标有什么关系?

3、这里的 x 是函数定义域中的什么数? 知识点一 奇函数、偶函数的定义

知识点二

奇函数、偶函数的图象特点

例 1、判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x3 ? 2 x (2) f ( x) ? 2 x ?
4

4 x2

(3) y ? ax ?

b x (a ? 0, b ? 0) (4) y ? 2 (k ? 0) x x ?k

又如:1、一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 何时为奇函数? 2、二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 何时为偶函数?
2

问题:有无函数 f ( x) , f ( x) 既是奇函数又是偶函数? 结论:1、若函数 f ( x) 既奇又偶,则 f ( x) ? 0 例子: 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x ( x ? 0)
2

(2) f ( x) ? x (?1 ? x ? 1)
2

(3) f ( x) ? x (?1 ? x ? 1)
2

结论:2、若函数 f ( x) 具有奇偶性,则 f ( x) 定义域对应数轴上的点关于原点对称。 例子:判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

x 2 ? 4 ? 4 ? x 2 (2) f ( x) ? x ? 4 ? 4 ? x

注意:具有奇偶性的函数的图像特点 根据具有奇偶性的函数的图像特点,在已知奇(偶)函数图像一部分时,可以画出另 一部分。 例 2: (1) f ( x) ? x3 ? 2 | x | (2) y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) x

(3) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

(4) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

例 3、判断下列函数的奇偶性

x?0 ?1 ? x?0 (1) f ( x ) ? ?0 ?? 1 x ? 0 ?

(2) g ( x) ? ?

? x( x ? 1) x ? 0 ?? x( x ? 1) x ? 0

反思总结:

【练习】 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

x4 ? x2 x2 ?1

(2) g ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |

(3) y ?

x x ?4
2

(4) y ?

x ?1 x2 ? 4

?x ? 1 x ? 0 ? x?0 (5) h ( x ) ? ?0 ?x ? 1 x ? 0 ?

(6) D( x) ? ?

?1 x ? Q ?0 x ? Q

2、2、5 函数的奇偶性的几个基本问题
【探索新知】 问题 1、如何判断函数不具有奇偶性 例如: (1) y ?

x ?1 x2 ? 4

(2) y ?

x ?1

2、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,求 f (0) 。

结论 3: 例 1、①已知 f ( x) ?

x3 ? x ? a , f ( x) 是奇函数,求 f (1 ? f (1)) 。 x2 ?1

②已知 f ( x) ?

x5 ? x ? a x2 ?1

, f ( x) 是奇函数,求 f ( 2) 。

问题 3、①设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,

G( x) ? f ( x) ? f (? x) , 那么 F ( x) 、 G ( x) 的奇偶性如何?

②奇函数与奇函数(或偶函数与偶函数)的和差积商的奇偶性如何?奇函数与偶函 数的积或商呢?

结论 4: 例 2、 已知 f ( x) ?| x ? 1 | 可以表示为一个偶函数 g ( x) 和一个奇函数 h( x) 的和,求 g ( x) 和

h( x ) 。

5 3 例 3、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 1 , f (2) ? ?1 ,求 f (?2) 。

反思总结:

【课堂检测】 1 、已知 f ( x) ? 3 x ? 1 可以表示为一个偶函数 g ( x) 和一个奇函数 h( x) 的和,求 g ( x) 和

h( x ) 。

2、已知函数 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? x 2 (ab ? 0) , f (2) ? ?1 ,求 f (?2) 。

【练习】 1 、 已 知 f ( x) ?| x ? 1 | ? | ax ? b | (a ? 0, b ? 0)) , f ( x) 是 奇 函 数 , 且 f (2) ? 2 求

f (3 ? f (?3)) 。

2、设 f ( x) ?

- 2x ? a (a、b为实常数) 2 x ?1 ? b

(1)当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x) 不是奇函数。 (2)设 f ( x) 是奇函数,求 a、 b 的值。

3 、已知 f ( x) ?

1 ( x ? ?1) 可以表示为一个偶函数 g ( x) 和一个奇函数 h( x) 的和,求 x ?1

g (3) ? h(2) 。

4 2 4、 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x , f (2) ? ?1 ,求 f (?2) 。

2、2、6 函数的奇偶性与对称问题
【 复 习 】 1、奇函数、偶函数的定义 2、奇函数、偶函数的图象特点

3、结论(1) (2) (3) (4) 【探索新知】 一、一个函数图像关于点或直线对称 例 1、已知奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3 ,当 x ? 0 时,求 f ( x) 。

例2、 已知函数 f ( x) , f ( x ? 1) 是偶函数, 当 x ? 1 时, f ( x) ? x 2 , 当 x ? 1 时, 求 f ( x) 。

例 3、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,f ( x ? 3) 是偶函数, 当 x ? (0,3) 时,f ( x) ? 2x ? x 2 , 当 x ? (?6,?3) 时,求 y ? f ( x) 。

二、两个函数图像关于点或直线对称
2 例子:已知 f ( x) ? x ? 2 x ,且函数 g ( x) 与 f ( x) 的图像关于下列直线或点对称,分别求

出函数 g ( x) 。 (1) x 轴(2) y 轴(3)原点(4)直线 x ? 1 (5)直线 y ? ?2

反思总结:

【练习】 1、填空:

函数 f ( x) ? x3 ? 1 关于下列直线或点对称的图像对应的解析式为 g ( x) ,求 g ( x) 。 (1) x 轴_____________ (2) y 轴______________ (3)原点_____________(4)直线 x ? 1 __________ (5)直线 y ? ?2 ________ 2、已知偶函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 1 ,当 x ? 0 时,求 f ( x) 。

3、已知函数 f ( x) , f ( x ? 2) 是奇函数,当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 1,当 x ? 2 时,求 f ( x) 。

4、已知偶函数 f ( x) , f ( x ? 1) 是奇函数,当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? x 3 ,当 x ? (?2,?1) 时, 求 y ? f ( x) 。

5、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足: f ( x - 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方 程 f ( x) ? m(m ? 0) 在 区 间 [?8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1、x2、x3、x4 , 求

x1 ? x2 ? x3 ? x4 。

2、2、7 单调性和奇偶性综合问题
【 复 习 】 1、增函数、减函数、单调性和单调区间的定义 2、奇函数、偶函数的定义和图象特点 【探索新知】 例 1.先根据条件画出函数的大致图象,再利用图象解题 (1)选择题:若奇函数 f ( x) 在区间 [ 3 , 5] 上是增函数,且最大值是 6,那么 f ( x) 在区间

[ ?5 , ? 3] 上是(



(A)增函数,最小值为 ? 6 (B)增函数,最大值为 ? 6 (C)减函数,最小值为 ? 6 (D)减函数,最大值为 ? 6 ( 2 ) 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 f ( x) , 在 (0 , ? ?) 上 是 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则

(2 x ? 1) f ( x ? 2) ? 0 的解集为______________.
问题:在例 1(1) (2)中,若 f ( x) 是偶函数,结论又如何? 例 2、先根据条件画出函数的大致图象,再利用图象判断函数的单调性,再利用单调性定义 证明。 (1)已知函数 f ( x) 是奇函数, f ( x) 在 (0 , ? ?) 上是增函数,那么 f ( x) 在 (??,0) 上是增 函数还是减函数?

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在 [?a,?b](a ? b ? 0) 上是减函数,且 f (?b) ? 0 ,求 证: y ? [ f ( x)]2 在 [b, a ] 上是增函数。

(3)已知奇函数 f ( x) 在 (0 , ? ?) 上是减函数,且 f ( x) ? 0 ,那么 F ( x) ? 上是增函数还是减函数?并用函数单调性的定义证明。 、

1 在 (??,0) f ( x)

问题:在例 1(1) (2) (3)中,若 f ( x) 是偶函数,结论又如何?

例 3、函数单调性和奇偶性与抽象不等式 (1)已知函数 f ( x) 是定义在 [?2,2] 上的减函数,且 f (1 ? m) ? f (m) ,求 m 的取值范 围。

(2)已知奇函数 f ( x) 是定义在 [?2,2] 上的减函数,且 f (m) ? f (m ? 1) ? 0 ,求 m 的取 值范围。

(3) 已知定义在 [?2,2] 上的偶函数 f ( x) 在 [0,2] 是减函数, 且 f (1 ? m) ? f (m) , 求 m 的 取值范围。

反思总结:

【练习】 1、已知偶函数 f ( x) 在 [0 , ? ?) 上是增函数,且 f (1) ? 0 ,解不等式 (2 x ? 1) f ( x ? 2) ? 0 。

2 2、已知奇函数 f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,求

a

的取

值范围。

3、已知函数

f ( x)

是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 (??,0) 上 是 减 函 数 ,

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,求

a

的取值范围。

4 、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 (??,0) 上 是 增 函 数 ,

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,求

a

的取值范围。

5、已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??,0] 上是增函数,且 f (1 ? m) ? f (m) ,求 m 的取 值范围。

第一章 函数的基本性质 分组练习
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) 3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) B. f (?1) ? f (? 3 ) ? f (2) C. f (2) ? f (?1) ? f (? 3 ) D. f (2) ? f (? 3 ) ? f (?1) 2 2 2 2 3.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间 ?? 7,?3? 上 是( ) A.增函数且最小值是 ? 5 B.增函数且最大值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 D.减函 数且最小值是 ? 5 4.设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函 数。 5.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x ) )

C. y ?

1 x

D. y ? ? x 2 ? 4

6.函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) 是(

A.是奇函数又是减函数 B.是奇函数但不是减函数 C.是减函数但不是奇函数 D.不是奇函数 也不是减函数 二、填空题 1.设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时, f ( x) 的 图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是 2.函数 y ? 2x ? x ? 1 的值域是_______________ 3.已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?
2

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是 4.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是

5.下列四个命题(1) f ( x) ?

x ? 2 ? 1 ? x 有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射; ? x2 , x ? 0 ? (3)函数 y ? 2 x( x ? N ) 的图象是一直线; (4)函数 y ? ? 2 的图象是抛物线,其中 ? ?? x , x ? 0
正确的命题个数是_______ 三、解答题 1.判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ?

k ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的单调性。 x

2. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? , 且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0, 求 a 的取值范围。

3.利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域; 4.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5? .
2

① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;

② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.下列判断正确的是( ) B.函数 f ( x) ? (1 ? x) 1 ? x 是偶函数
1? x
2 A.函数 f ( x) ? x ? 2 x 是奇函数 x?2

C.函数 f ( x) ? x ? x ? 1 是非奇非偶函数 D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数
2

2.若函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是(
2



A. ? ??, 40? 3.函数 y ? A. ? ?, 2

B. [40,64]

C. ? ??, 40? C.

?64, ???

D. ?64, ?? ?

4.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是
2

?

?

x ? 1 ? x ?1 的值域为(
B. 0, 2

?

?



?

2 ,??

?

D. ?0,???

( ) A. a ? ?3 B. a ? ? 3 C. a ? 5 D. a ? 3 5.下列四个命题:(1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f ( x) 是增 函 数 ; (2) 若 函 数 f ( x) ? a x ? b x ? 2与
2

x 轴 没 有 交 点 , 则 b2 ? 8a ? 0 且 a ? 0 ; (3)

y ? x2 ? 2 x ? 3 的递增区间为 ?1, ?? ? ;(4) y ? 1 ? x 和 y ? (1 ? x) 2 表示相等函数。其中
正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下 图中纵轴表示离学校的距离, 横轴表示出发后的时间, 则下图中的四个图形中较符合该学生

走法的是( d d0 O A. 二、填空题

) d d0 t0 t B. O t0 t d d0 O C. t0 t d d0 O D. t0 t

1.函数 f ( x) ? x 2 ? x 的单调递减区间是____________________ 2. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) , 当 x ? 0 时,f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 , 那么 x ? 0 时,f ( x) ?

x?a 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x ) 的解析式为________ x ? bx ? 1 4 .奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7]上是增函数 , 在区间 [3, 6]上的最大值为 8 , 最小值为 ?1 , 则 2 f (?6) ? f (?3) ? ______ 5.若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________
3.若函数 f ( x ) ?
2

三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ?
1 ? x2 x?2 ?2

(2) f ( x) ? 0, x ???6, ?2?

?2,6?

2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 恒成立,证明: ( 1 )函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; ( 2 )函数

y ? f ( x) 是奇函数。
3.设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 1 ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式. f ( x) ? g ( x) ? x ?1 4.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值。

[提高训练 C 组]
一、选择题
?? x 2 ? x ? x ? 0 ? 1.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0? , h ? x ? ? ? ,则 f ? x ? , h ?x ? 的奇偶性依 ?
2 ? ? x ? x ? x ? 0?

次为( ) A.偶函数,奇函数

D.奇函数,奇函数 3 5 2.若 f ( x) 是偶函数,其定义域为 R ,且在 ?0,??? 上是减函数,则 f (? )与f (a 2 ? 2a ? ) 的大小 2 2 关系是( ) A. f ( ? 3 ) > f ( a 2 ? 2 a ? 5 ) B . f ( ? 3 ) < f ( a 2 ? 2a ? 5 ) C . f ( ? 3 ) ? f ( a 2 ? 2a ? 5 ) D.
2 3 f (? ) 2

B.奇函数,偶函数 C.偶函数,偶函数

?

2 5 f ( a ? 2a ? ) 2
2

2

2

2

2

3.已知 y ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则 a 的范围是( A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6



? 的解集是 4. 设 f ( x ) 是奇函数, 且在 (0, ??) 内是增函数, 又 f (?3) ? 0 , 则 x ?f x( ) 0 ( ) A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? B. ?x | x ? ?3或0 ? x ? 3? C . ?x | x ? ?3或x ? 3?
D. ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3? 5.已知 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 其中 a , b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的值等于( A. ? 2 B. ? 4 C. ? 6 D. ?10
3 3 6.函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是(

) )

A. (?a, ? f (a))

B. (a, f (?a))

C. (a, ? f (a))

D. (?a, ? f (?a))

二、填空题
1.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ??0, ??? 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时

f ( x) ? _____________________
2.若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 x ??0, ??? 上为增函数,则实数 a , b 的取值范围是 3.已知 f ( x) ? 4.若 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =_____ 2 2 3 4 1?x ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是
x?2

5.函数 f ( x) ?

4 ( x ? [3, 6]) 的值域为____________ x?2

三、解答题
1.已知函数 f ( x ) 的定义域是 (0,??) ,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( 1 ) ? 1 ,如果对于 2 0 ? x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y ) , (1)求 f (1) ; (2)解不等式

f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

2.当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x ? (2 ? 6a) x ? 3a 的最小值。
2 2

3.已知 f ( x) ? ?4 x2 ? 4ax ? 4a ? a2 在区间 ?0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值.

4. 已知函数 f ( x) ? ax ?

3 2 1 1 1 1 x 的最大值不大于 ,又当 x ? [ , ]时, f ( x) ? ,求 a 的值。 2 6 4 2 8

参考答案:

第一章 集合 [基础训练 A 组]
一、选择题 1. C 元素的确定性; 2. D 3. A 4. A 5. D 6. C 1. 选项 A 所代表的集合是 ?0? 并非空集,选项 B 所代表的集合是 ?(0,0)? 并非空集,
2

选项 C 所代表的集合是 ?0? 并非空集,选项 D 中的方程 x ? x ? 1 ? 0 无实数根; 阴影部分完全覆盖了 C 部分,这样就要求交集运算的两边都含有 C 部分; ?N (3)当 (1)最小的数应该是 0 , ( 2 ) 反 例 : ?0.5 ? N , 但 0 . 5 a ? 0 , b ? 1,a ? b ? , 1(4)元素的互异性 元素的互异性 a ? b ? c ;

A ? ?0,1,3? ,真子集有 23 ?1 ? 7 。
0 是自然数, 5 是无理数,不是自然数, 16 ? 4 ;

二、填空题

(1) ?,?,?;(2) ?,?,?, (3) ?
( 2? 3? 2?
15

2 3 )? 6, ? 2

? 3

? 2

? 3 当 a6 ? ,0, b ? 1 时 6 在集合中

2. 3.

A ? ?0 , 1, 2 , 3 , 4?,, 5C ,6 ? ?0,1, 4,6? ,非空子集有 24 ? 1 ? 15 ;
A B ? ?x | 2 ? x ? 10? 2 , 3 , 7 , ,显然 10

?x | 2 ? x ? 10?
1? ? ?k | ?1 ? k ? ? 2? ?

4. 5.

? y | y ? 0?

?2k ? 1 ? ?3 1 1 ,2? ,则 得 ?1 ? k ? 2 ? 2k ? 1 ? 2 y ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 , A ? R 。
?3 , 2 k ? 1, k2 ?

三、解答题 1.解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1, x ? 5 ;当 6 ? x ? 2, x ? 4 ; 2.解:当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? ∴m ? 3 3.解:∵ A

当 6 ? x ? 4, x ? 2 ;当 6 ? x ? 8, x ? ?2 ;而 x ? 0 ,∴ x ? 2, 4,5 ,即 A ? ?2,4,5?;

?m ? 1 ? ?2 即2 ? m ? 3; ?2m ? 1 ? 5

B ? ??3? ,∴ ?3 ? B ,而 a 2 ? 1 ? ?3 , B ? ??3,1? 与 A B ? ??3? 矛盾; B ? ??3?
1 , 且m ? 0 4

∴当 a ? 3 ? ?3, a ? 0, A ? ?0,1, ?3? , B ? ??3, ?1,1? , 这样 A ∴ a ? ?1 当 2a ? 1 ? ?3, a ? ?1, 符合 A

x ? ?1 , ? ? 1 ? 4m ? 0, 即 m ? ? 4.解: 当 m ? 0 时, 即 0 ? M ; 当 m ? 0 时,

1 1? ? ,∴ CU M ? ?m | m ? ? ? 4 4? ? 1 1? ? 而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ? ,∴ N ? ?n | n ? ? 4 4? ?
∴m ? ?

∴ (CU M )

1? ? N ? ?x | x ? ? ? 4? ?

[综合训练 B 组]
一、选择题 1. A (1)错的原因是元素不确定, (2)前者是数集,而后者是点集,种类不同,

3 6 1 (4)本集合还包括坐标轴 ? , ? ? 0.5 ,有重复的元素,应该是 3 个元素, 2 4 2 ?1? 2. D 当 m ? 0 时, B ? ? , 满足 A B ? A ,即 m ? 0 ;当 m ? 0 时, B ? ? ? , ?m? 1 而 A B ? A ,∴ ? 1或 ? 1,m ? 1或 ? 1 ;∴ m ? 1, ?1或0 ; m 3. A N ?( ? 0,0) ?, N ? M ;
(3)

?x ? y ? 1 ?x ? 5 ,该方程组有一组解 (5, ?4) ,解集为 ?(5, ?4)? ; 得? ? ? x ? y ? 9 ? y ? ?4 ? 5. D 选项 A 应改为 R ? R , 选项 B 应改为 " ? " , 选项 C 可加上 “非空” , 或去掉 “真” , 选项 D 中的 ?? ? 里面的确有个元素“ ? ” ,而并非空集; 6. C 当 A ? B 时, A B ? A ? A B
4. D 二、填空题 (1) ?? , , (2 ?) 1.

,( ? 3)


(1) 3 ? 2 , x ? 1, y ? 2 满足 y ? x ? 1 ,

2? 5? 2 (2 ? 73) ? 7 ? ( ?2 5 ? ) ,? 4 48 0 (3)左边 ? ??1,1 ? ,右边 ? ??1,0,1?
( 2 )
2



1 ?.

4, ? 22 ? . 3 ? 23.7

3, . 或6

a ? 3, b ? 4 A ? CU (CU A )? ?x | 3 ? x ? ?4 ? ?x a |? x ? b? 3. 26 全班分 4 类人:设既爱好体育又爱好音乐的人数为 x 人;仅爱好体育的人数为 43 ? x 人 ; 仅 爱 好 音 乐 的 人 数 为 34 ? x 人 ; 既 不 爱 好 体 育 又 不 爱 好 音 乐 的 人 数 为 4 人 。 ∴ 43 ? x ? 34 ? x ? x ? 4 ? 55 ,∴ x ? 26 . 4. 0,2, 或 ? 2 由 A B ? B得B ? A ,则 x2 ? 4或x2 ? x ,且 x ? 1 。 9 9? ? ? ? 5. , ? a ? 0 , ?a | a ? ? 当 A 中 仅 有 一 个 元 素 时 , a ? 0 , 或 ?a | a? 或 8 8? ? ? ? ? ?9 ?8a ? 0 ; 当 A 中有 0 个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ;当 A 中有两个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ;
2. 三、解答题 1.
2 2 解:由 A ? ?a? 得 x ? ax ? b ? x 的两个根 x1 ? x2 ? a ,即 x ? (a ?1) x ? b ? 0 的两个

根 x1 ? x2 ? a , ∴ x1 ? x2 ? 1 ? a ? 2a, 得a ? 2. 解 : 由 A

1 1 ?? 1 1 ?? , x1 x2 ? b ? , ∴ M ? ?? , ?? 3 9 ?? 3 9 ?? B? B 得 B ? A , 而 A ? ??4, 0 ? , ? ? 4(a ?1)2 ? 4(a2 ?1) ? 8a ? 8



a? 8 0 , ? ? 8a ? 8 ? 0 , B ?? , 即 a ? ?1 时, 符合 B ? A ; 当 ?? 8? 即 a ? ?1 时, B ? ?0? ,
符合 B ? A ;当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? A ? ??4,0? ;∴

B ? ??4,0? 得 a ? 1 ∴ a ? 1或a ? ?1 。
3. 解 : B ? ?2,3? , C ? ??4,2? , 而 A

B ? ? , 则 2, 3至 少有 一 个元 素 在 A 中 ,又

a ? a 2 ? 1?9 , 0 得 a ? 5或 ? 2 A C ? ? , ∴ 2 ? A , 3? A , 即 9 ? 3 a ? 5时,A ? B与 A C ? ? 矛盾,∴ a ? ?2
4. 解: A ? ??2, ?1? ,由 (CU A)



B ? ? , 得B ? A ,

当 m ? 1 时, B ? ??1? ,符合 B ? A ; 当 m ? 1 时, B ? ??1, ?m? ,而 B ? A ,∴ ? m ? ?2 ,即 m ? 2 ∴ m ? 1或 2 。

[提高训练 C 组]
一、选择题 1. D

0 ? ?1,0 ? X ,?0? ? X

2. B 全班分 4 类人:设两项测验成绩都及格的人数为 x 人;仅跳远及格的人数 为 40 ? x 人;仅铅球及格的人数为 31 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐的人数为 4 人 。 ∴ 40 ? x ? 31 ? x ? x ? 4 ? 50 ,∴ x ? 25 。

R ? ?得A ? ? , ? ? ( m)2 ? 4 ? 0, m ? 4, 而m ? 0, ∴ 0 ? m ? 4 ; 4. D 选项 A: ? 仅有一个子集,选项 B:仅说明集合 A, B 无公共元素,选项 C: ? 无真 子集,选项 D 的证明:∵ ( A B) ? A,即S ? A, 而A ? S ,∴ A ? S ;同理 B ? S , ∴ A? B?S;
3. C 由 A 5. D (1) (CU A)

(CU B) ? CU ( A B) ? CU? ? U ; (2) (CU A) (CU B) ? CU ( A B) ? CUU ? ? ; (3)证明:∵ A ? ( A B),即A ? ? , 而? ? A ,∴ A ? ? ;同理 B ? ? , ∴ A ? B ? ? ; 2k ? 1 奇数 k ? 2 整数 , , 6. B M : ;N : ,整数的范围大于奇数的范围 4 4 4 4 7.B A ? ?0,1? , B ? ??1,0?
二、填空题
1.

2 M ? ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R? ? ? y | y ? (x ? 2) ? 1 ? ?1?

?x | ?1 ? x ? 9?

2 N ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 8, x ? R? ? ? y | y ? ? (x ? 1 ) ? 9 ? 9?

2. 3. 4. 5.

?? 11,?6,?3,?2,0,1,4,9? m ? 1 ? ?10, ?5, ?2, 或 ? 1(10 的约数) ?? 1? I ? ??1? N , CI N ? ??1? A B ? ?1 , 2? 2, 3, 4? ?1, ??2,?2?? M : y ? x ? 4( x ? 2) , M 代表直线 y ? x ? 4 上,但是挖掉点 (2, ?2) , CU M 代

表直线 y ? x ? 4 外,但是包含点 (2, ?2) ; N 代表直线 y ? x ? 4 外, CU N 代表直线 y ? x ? 4 上, ∴ (CU M ) (CU N ) ? ?(2, ?2)? 。 三、解答题 1. ∴ CB M ? 2. 解 :

??,?a?,?b??

x ? ,A 则 ?? x?, ?

, 或? b ,? ? ?a

, , aB ?b ? ,?a? ,?b? , ?a, b?

?

?

2 解: B ? ?x | ?1 ? x ? 2a ? 3? ,当 ?2 ? a ? 0 时, C ? x | a ? x ? 4 ,

?

?

1 , 而 ? 2 ? a ? 0, 这是矛盾的; 2 当 0 ? a ? 2 时, C ? ?x | 0 ? x ? 4? ,而 C ? B ,
而 C ? B 则 2a ? 3 ? 4, 即a ?

1 1 ,即 ? a ? 2 ; 2 2 2 当 a ? 2 时, C ? ? x | 0 ? x ? a ? ,而 C ? B ,
则 2a ? 3 ? 4, 即a ? 则 2a ? 3 ? a2 ,即 2 ? a ? 3 ; ∴ 3. ∴? 4.

1 ?a?3 2 解:由 CS A ? ?0? 得 0 ? S ,即 S ? ?1,3,0? , A ? ?1,3? ,

? 2x ?1 ? 3 ? ,∴ x ? ?1 3 2 ? ? x ? 3x ? 2 x ? 0
解: 含有 1 的子集有 2 个; 含有 2 的子集有 2 个; 含有 3 的子集有 2 个; …,
9 9 9 9

含有 10 的子集有 2 个,∴ (1 ? 2 ? 3 ? ... ? 10) ? 29 ? 28160 。

第一章 函数及其表示

[基础训练 A 组]

一、选择题 1. C (1)定义域不同; (2)定义域不同; (3)对应法则不同; (4)定义域相同,且对 应法则相同; (5)定义域不同; 2. C 有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x ? 1 仅有一个函数值; 3. D
4 2 按 照 对 应 法 则 y ? 3x ? 1 , B ? ?4, 7,10,3k ? 1? ? 4, 7, a , a ? 3a

?

?



a ? N * , a4 ? 10 , ∴ a2 ? 3a ? 10, a ? 2,3k ? 1 ? a4 ? 16, k ? 5

4. D 该分段函数的三段各自的值域为 ? ??,1? , ?0,4? , ?4, ??? ,而 3 ? ?0, 4 ? ∴ f ( x) ? x2 ? 3, x ? ? 3, 而 ?1 ? x ? 2, ∴ x ? 3 ; 5. D 平移前的"1 ? 2 x ? ?2( x ? ) ",平移后的 “ ?2 x ” ,用 “x” 代替了 “x?

1 2

1 ” , 2

1 1 2 2 6. B f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 。
即 x ? ? ? x ,左移 二、填空题 1.

? ??, ?1?

当 a ? 0时, f (a) ?

1 a ? 1 ? a, a ? ?2 , 这 是 矛 盾 的 ; 当 2

1 ? a , a? ? 1 ; a 2. ?x | x ? ?2, 且x ? 2? x2 ? 4 ? 0 y ? ?( x ? 2)( x ? 4) 3. 设 y ? a( x ? 2)( x ? 4) , 对 称 轴 x ? 1 , 当 x ? 1 时 , ym a x? ? 9 a ?9 , a ? ? 1 a ? 0时 , f (a ) ?
4. 5.

? ??,0?
? 5 4

? ?x ?1 ? 0 ,x ?0 ? ? ?x ?x?0
1 5 5 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? 。 2 4 4

三、解答题

1.解:∵ x ?1 ? 0, x ?1 ? 0, x ? ?1 ,∴定义域为 ?x | x ? ?1 ? 2.解: ∵ x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 3 ? , 4 4

3 3 ,∴值域为 [ , ??) 2 2 3.解: ? ? 4(m ?1)2 ? 4(m ? 1) ? 0, 得m ? 3或m ? 0 ,
∴y?

y ? x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2
?4( m ? 12)?
2

m 2 (?

1)

? 4m ? 1 0 m? 2 ∴ f (m) ? 4m2 ?10m ? 2,(m ? 0或m ? 3) 。 4. 解:对称轴 x ? 1 , ?1,3? 是 f ( x ) 的递增区间,
f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5 f ( x)min ? f (1) ? 2,即? a ? b ? 3 ? 2,
∴?

?3a ? b ? 2 3 1 得a ? , b ? . 4 4 ??a ? b ? ?1
[综合训练 B 组]

一、选择题 1. B ∵ g ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ? 2( x ? 2) ? 1, ∴ g ( x) ? 2 x ? 1 ; 2. B
cf ( x) 3x cx ? x, f ( x) ? ? , 得c ? ?3 2 f ( x) ? 3 c ? 2x 2x ? 3

2 3. A 令 g ( x) ? 1 ,1 ? 2 x ? 1 , x ? 1 , f ( 1 ) ? f ? g ( x) ? ? 1 ? x ? 15 2

2

2

4

2

x

4. A 5.

5 ?2 ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 4, ?1 ? 2 x ? 1 ? 4, 0 ? x ? ; 2
C
2 2 2

? x ? 4 x ? ?( x ? 2) ? 4 ? 4,0 ? ? x ? 4 x ? 2, ?2 ? ? ? x ? 4 x ? 0
2

,

0 ? 2 ? ? x2 ? 4 x ? 2,0 ? y ? 2 ;
6. C 令 1 ? x 二、填空题 1. 2. 3.
0? 1 x ? 2x ? 3
2

1? t 2 1? ( ) 1? t 2t 。 1? t ? t , 则x ? , f (t ) ? ? 1? t 2 1? t2 1? x 1? t 1? ( ) 1? t

3? 2 ? 4 f (0) ? ? ; ?1 令 2x ? 1 ? 3, x ? 1, f (3) ? f (2x ? 1) ? x2 ? 2 x ? ?1 ;
( 2, 3 2 ] 2

x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1) 2 ? 2 ? 2, x 2 ? 2 x ? 3 ? 2,

?

2 3 2 , 2 ? f ( x) ? 2 2

4.

3 ( ??, ] 2

当 x ? 2 ? 0, 即x ? ?2, f ( x ? 2) ? 1, 则x ? x ? 2 ? 5, ?2 ? x ? 3 ,
2

当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2, f ( x ? 2) ? ?1, 则x ? x ? 2 ? 5, 恒成立,即x ? ?2
1 5. ( ?1, ? ) 3 1 得 ?1 ? a ? ? 3 三、解答题

∴x? 3 ;
2

令y ? f ( x), 则f (1) ? 3a ? 1, f (?1) ? a ? 1, f (1) ? f (?1) ? (3a ? 1)(a ? 1) ? 0

1.

解: ? ? 16m2 ?16(m ? 2) ? 0, m ? 2或m ? ?1,

1 2 2 2 2 2 1? m ? ?( ?? ?? ?2 ( ? ? ?) ? 2?? ?2 ? ? 2? ? ) ? 2?? ?m ? m ?1 2 m ?1 2 1 2 2 1 2 2 当 ?? 1时 (? ? ? ? ) min ? 当 m ? ?1 时m , (? ? ? ,) min 2 2

2.

x ?8 ? 0 解: (1)∵ ? 得 ? 8 ? x ? 3, ∴定义域为 ? ?8,3? ? ?3 ? x ? 0

? x2 ?1 ? 0 (2)∵ ? ∴定义域为 ?1 2 2 ?1 ? x ? 0 得x ? 1且x ? 1, 即x ? ?1 ? ? x ?1 ? 0 ? ? ? ? ?x ? 0 ?x ?x?0 1? ? ? (3)∵ ? ∴定义域为 ? ??, ? ? 1 1 ? ? 2? ? ?0 得 ?x ? ? ?1 ? x ?x 2 ? ? ? ? 1 1 ?0 ? x ?x ?0 ?1 ? ? ? 1? 1 ? x ? x ?

? ?

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

3.

解: (1)∵ y ?

? y | y ? ?1?
2 2

3? x 4y ?3 , 4 y ? xy ? x ? 3, x ? , 得y ? ?1 , ∴ 值 域 为 4? x y ?1
∴0 ?

(2)∵ 2 x ? 4 x ? 3 ? 2( x ?1) ? 1 ? 1,

? 0,5?
( 3 ) 1 ? 2 x ? 0, x ?

1 ? 1, 0 ? y ? 5 2x ? 4x ? 3
2

∴值域为

1 , 且y是x 的 减 函 数 , 2

当 x?

1 1 时,ymin ? ? , ∴ 值 域 为 2 2

[?

1 , ? ?) 2
解: (五点法:顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点以及该点关于对称轴对

4. 称的点)

[提高训练 C 组]
一、选择题 1. 2. B

S ? R, T ? ??1, ??? , T ? S
1 ,所 ?x ? 2

D 设 x ? ?2 ,则 ? x ? 2 ? 0 ,而图象关于 x ? ?1 对称,得 f ( x) ? f ( ? x ? 2) ?

以 f ( x) ? ? 3. D

1 。 x?2 ? x ? 1, x ? 0 y?? ? x ? 1, x ? 0

4. 5.

C A

作出图象 m 的移动必须使图象到达最低点 作出图象 图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如
2 2



次函数 f ( x) ? x 的图象;向下弯曲型,例如 二次函数 f ( x) ? ? x 的图象; 6. C 作出图象 也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集

二、填空题
1.

??2?

当 a ? 2时,f ( x) ? ?4, 其值域为?-4? ? ? ??,0?

, a ? ?2 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0 2. ? 4,9? 0 ? x ? 2 ? 1, 得2 ? x ? 3,即4 ? x ? 9 a1 ? a2 ? ... ? an 2 2 3. f (x ) ? nx2 ? a 21 ? ( a 2? ? a . n. x . ? a )2? ... 1 a (? 2 ? an n a ? a2 ? ... ? an 当x? 1 时, f ( x ) 取得最小值 n 1 3 4. y ? x2 ? x ? 1 设 y ? 3 ? a( x ? 1)( x ? 2) 把 A( , ) 代入得 a ? 1 2 4 2 ?3 由 10 ? 0 得 f ( x) ? x ? 1 ? 10, 且x ? 0, 得x ? ?3 5. 三、解答题 1? t2 1? t2 1 1 ,y? ? t ? ? t2 ? t ? 1. 解:令 1 ? 2x ? t,(t ? 0) ,则 x ? 2 2 2 2 1 y ? ? (t ? 1) 2 ? 1 ,当 t ? 1 时, ymax ? 1, 所以y ? ? ??,1? 2 2 2 2 2. 解: y( x ? x ? 1) ? 2x ? 2x ? 3,( y ? 2) x ? ( y ? 2) x ? y ? 3 ? 0,(*) 显然 y ? 2 ,而(*)方程必有实数解,则 10 ? ? ( y ? 2)2 ? 4( y ? 2)( y ? 3) ? 0 ,∴ y ? (2, ] 3 2 2 3. 解: f (ax ? b) ? (ax ? b) ? 4(ax ? b) ? 3 ? x ? 10 x ? 24, a2 x2 ? (2ab ? 4a) x ? b2 ? 4b ? 3 ? x2 ? 10x ? 24,
?a 2 ? 1 ?a ? 1 ?a ? ?1 ? ∴ ? 2ab ? 4a ? 10 得 ? ,或 ? ?b ? ?7 ?b 2 ? 4b ? 3 ? 24 ?b ? 3 ? ∴ 5a ? b ? 2 。 ?5 ? a ? 0 4. 解:显然 5 ? a ? 0 ,即 a ? 5 ,则 ? ?? ? 36 ? 4(5 ? a)(a ? 5) ? 0 ?a ? 5 得? 2 , ∴ ?4 ? a ? 4 . ? a ? 16 ? 0

当 a ? 2时,f ( x) ? 0, 则 ?

?a ? 2 ? 0

)

第一章 函数基本性质
一、选择题 1. B 奇次项系数为 0, m ? 2 ? 0, m ? 2 2. 3. D A

[基础训练 A 组]

f (2) ? f ( ?2), ?2 ? ?

3 ? ?1 2

奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性

4.

A

5. A 6. A

F ( ? x ) ? f ( ? x) ? f ( x ) ? ? F ( x ) 1 y ? 3 ? x 在 R 上递减, y ? 在 (0, ??) 上递减, y ? ? x2 ? 4 在 (0, ??) 上递减, x f (?x) ? x ( ?x ?1 ? ? x ? 1) ? x ( x ?1 ? x ?1) ? ? f ( x) 为奇函数,

??2 x, x ? 1 ? 2 ??2 x , 0 ? x ? 1 而 f ( x) ? ? , 为减函数。 2 2 x , ? 1 ? x ? 0 ? ?2 x, x ? ?1 ?
二、填空题 1. 2.

(?2,0)
[?2, ??)
?

? 2,5?
?

奇函数关于原点对称,补足左边的图象

x ? ?1, y 是 x 的增函数,当 x ? ?1 时, ymin ? ?2
该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数

3. ? 2 ? 1, 3 ? 值最大 4.

?0, ???

k ?1 ? 0, k ? 1, f ( x) ? ? x2 ? 3

1 (1) x ? 2且x ? 1 ,不存在; 5. (2)函数是特殊的映射; (3)该图象是由离散的 点组成的; (4)两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线。 三、解答题 1.解:当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数;

k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数, x k 当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x b b ] 是减函数,在 [? , ??) 是增函数, 当 a ? 0 , y ? ax2 ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a b b 2 ] 是增函数,在 [? , ??) 是减函数。 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a ??1 ? 1 ? a ? 1 ? 2 2.解: f (1 ? a) ? ? f (1 ? a2 ) ? f (a2 ?1) ,则 ? ?1 ? 1 ? a ? 1 , ?1 ? a ? a 2 ? 1 ? ? 0 ? a ?1 1 1 1 3.解: 2 x ? 1 ? 0, x ? ? ,显然 y 是 x 的增函数, x ? ? , ymin ? ? , 2 2 2 1 ? y ? [? , ??) 2 2 4. 解:(1)a ? ?1, f ( x) ? x ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37
当k ? 0, y ? ∴ f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1 ∴ a ? 5 或 a ? ?5 。 (2)对称轴 x ? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x ) 在 ? ?5,5? 上单调

[综合训练 B 组]
一、选择题

1.

C

选项 A 中的 x ? 2, 而 x ? ?2 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的 x ? 1,

而 x ? ?1 有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数; 2. C 对称轴 x ? k ,则 k ? 5 ,或 k ? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64
8 8 8

3. 4.

B

y?

A 对称轴 x ? 1 ? a,1 ? a ? 4, a ? ?3 1 5. A (1)反例 f ( x) ? ; (2)不一定 a ? 0 ,开口向下也可; (3)画出图 x 象可知,递增区间有 ? ?1,0? 和 ?1, ?? ? ; (4)对应法则不同 6. B 刚刚开始时,离学校最远,取最大值,先跑步,图象下降得快! 二、填空题 1. ( ??, ? 1 ],[0, 1 ] 画出图象
2 2

2 x ?1 ?

x ?1

, x ? 1,

y 是 x 的减函数,当 x ? 1, y ? 2,0 ? y ? 2

2.

?x ? x ?1
2

2 设 x ? 0 , 则 ? x ? 0 , f (?x) ? x ? x ?1 , ∵ f (? x) ? ? f ( x ∴ )

? f ( x) ? x2 ? x ?1 , f ( x) ? ?x2 ? x ?1 x 3. ∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) ? 2
x ?1

f ( ?0) ? ? f (0), f (0) ? 0,

a ? 0, a ? 0 1

即 4.

f ( x) ?

?15 f ( x) 在 区 间 [ 3 , 上 6 也 ] 为 递 增 函 数 , 即 f( 6 ? ) f 8? ? , ,2 (f( 3?6) ) ? f (? 1 3) ? ?2 f (6) ? f (3) ? ?15

x ?1 1 , f ( ?1) ? ? f (1), ?? ,b ? 0 x 2 ? bx ? 1 2?b 2?b

(1, 2) k 2 ? 3k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2 5. 三、解答题
1. 解: (1) 定义域为 ??1,0? 则 x ? 2 ? 2 ? x ,f ( x) ? ?0,1? ,
1 ? x2 ∵ , x
2 f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) ? 1 ? x

x

为奇函数。 (2)∵ f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x ) 既是奇函数又是偶函数。 2.证明:(1)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) 的减函数; (2) 由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 ∴函数 y ? f ( x) 是 R 上 即

f ( x ? x) ? f ( x) ? f ( ? x)

f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。 3.解:∵ f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x) 1 1 1 1 ?? 而 f ( x) ? g ( x) ? ,得 f (? x) ? g (? x) ? , 即 f ( x) ? g ( x) ? , x ?1 ?x ?1 ?x ?1 x ?1 1 x ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1 2 4.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x | ?1为偶函数, 2 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x ? a | ?1为非奇非偶函数; 1 2 3 2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 4 1 1 3 1 当 a ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? a ? , 当 a ? 时, f ( x)min 不存在; 2 2 4 2

2 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 , 4

1 时, f ( x)min ? f (a) ? a2 ? 1 , 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f ( ? ) ? ? a ? 。 2 2 4
当a ? ?

[提高训练 C 组]
1. D f ? ?x? ? ?x ? a ? ?x ? a ? x ? a ? x ? a ? ? f (x) ,画出 h( x) 的图象可观察到它关于原点对称,或当 一、选择题

x?0
2. 3. 4. C B

时 , ? x ? 0 , 则 h(? x) ? x2 ? x ? ?(? x2 ? x) ? ?h( x); 当 x ? 0 时 , ? x ? 0 , 则
a 2 ? 2a ? 5 3 3 3 3 5 ? ( a ? 1) 2 ? ? , f ( ? ) ? f ( ) ? f ( a 2 ? 2a ? ) 2 2 2 2 2 2

h(?x) ? ?x2 ? x ? ?( x2 ? x) ? ?h( x); ? h(? x) ? ?h( x)
对称轴 x ? 2 ? a, 2 ? a ? 4, a ? ?2
x?0 由 x ? f ( x) ? 0 得 ? ? ? f ( x) ? 0

D

x?0 或? ?

? f ( x) ? 0

x?0 而 f (?3) ? 0, f (3) ? 0 , 即 ? ?

? f ( x) ? f (?3)



?x ? 0 ? ? f ( x) ? f (3)

5. 6.

F ( x) ? f ( x) ? 4 ? ax3 ? bx F (?2) ? f (?2) ? 4 ? 6, F (2) ? f (2) ? 4 ? ?6, f (2) ? ?10
D 令 B

,



F ( x) ? ax3 ? bx









f (? x) ? ? x3 ? 1 ? ? x3 ? 1 ? x3 ? 1 ? x3 ? 1 ? f ( x) 为偶函数

(a, f (a)) 一定在图象上,而 f (a) ? f (?a) ,∴ (a, f (?a)) 一定在图象上
二、填空题 1.

x( 1? 3 x )设 x ? 0 , 则 ? x ? 0 , f (?x) ? ?x(1? 3 ?x ) ? ?x(1? 3 x ) ∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴
画出图象,考虑开口向上向下和左右平移
7 2
f ( x) ?

? f ( x) ? ?x(1 ? 3 x ) a ? 0 且b ? 0 2.
3.

x2 1?x2 1 1 1 1 1 1 1 f( )? , f ( x) ? f ( ) ? 1 , f (1) ? , f (2) ? f ( ) ? 1, f (3) ? f ( ) ? 1, f (4) ? f ( ) ? 1 x 1? x 2 x 2 2 3 4



4.
?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 2ax1 ? x2 ? 2ax2 ? x1 ( x1 ? x2 )(2a ? 1) ? ? ? ? 0 ,则 2a ? 1 ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 ( , ?? ) 2

设 x1 ? x2 ? ?2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 )

5.

?1, 4?

区间 [3,6] 是函数 f ( x ) ?

4 的递减区间,把 3, 6 分别代入得最大、小值 x?2

三、解答题 1.

解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0
2 1 1 f ( ? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2

(2) f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( 1 )

x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) , f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2

则 ?? 2

?

?0 。 ? ?3 ? x ?0 , ?1 ? x ? 0 ? ? 2 ? x 3? x ?1 ?? 2 ? 2 ?

x

2.

解: 对称轴 x ? 3a ? 1, 当 3a ? 1 ? 0 , 即a

?

1 时, 0,1 3

? ? 是 f ( x) 的递增区间,

当 3a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 时, ?0,1? 是 f ( x ) 的递减区间, f ( x)min ? f (1) ? 3a2 ? 6a ? 3 ;
3

f ( x)min ? f (0) ? 3a2 ;

当 0 ? 3a ? 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时, 3 3
2 2

f ( x)min ? f (3a ?1) ? ?6a2 ? 6a ?1 。

3.解:对称轴 x ? a ,当 a ? 0, 即 a ? 0 时, 0,1 是 f ( x ) 的递减区间,则 f ( x)max ? f (0) ? ?4a ? a2 ? ?5 , 得 a ? 1 或 a ? ?5 , 而 a ? 0 , 即 a ? ?5 ; 当
a ? 1, 2

? ?

即 a ? 2 时 , 0,1 是 f ( x) 的 递 增 区 间 , 则
2

? ?

f ( x)max ? f (1) ? ?4 ? a2 ? ?5 , 得 a ? 1 或 a ? ?1 , 而 a ? 2 , 即 a 不存在 ; 当 0 ? a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时 , 则
f ( x) max a 5 5 ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ? ,即 a ? 2 4 4

;∴ a ? ? 5 或
6

5 4


6
3

1 2 1 2 1 a ,当 2 4 . 解 : f ( x) ? ? 3 ( x ?a ) ? a , f ( x )? a ? 得 , ? 1? a ?, 1 对称轴 x ? 2 3 6
3 ?1 ? a ? 4

时 , ?1 , 1? ? ?4 2? ?
1 a f( ?) 2 2 3 ? 8


1 ?

f ( x) 的 递 减 区 间 , 而
4

1 f ( x) ? 8

, 即

f(

x ) i? n m

8

3 3 与 a , ?? 1?1 a ? 矛盾,即不存在;当 ? a ? 1 时,对称轴 4

1 1 ? a ,而 1 a 1 ,且 1 3 x? ? ? ? 4 2 ? 3 4 3 3 3 2 8 3 ? a ? 1 ,即 a ? 1 ∴ a ? 1 4

即 f ( x) min ? f ( 1 ) ? a ? 3 ? 1 , a ? 1 , 而 2 2 8 8


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