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【上海市2013-2014学年高一寒假作业 数学3]


高二数学寒假作业
满分 100 分,考试时间 90 分钟 姓名____________ 班级_________学号__________

一、填空题(本大题满分 36 分,每题 3 分) : 1.已知集合 A ? ? 1,2,4?, B ? ?2,4,5?,则 A ? B =
2 2.设全集 U ? R , A ? x ? N 1 ? x

? 10 , B ? x ? R x ? x ? 6 ? 0 ,

.

?

?

?

?

则 A? B=



3.已知集合 A ? ? 1,2,3,4,5?, B ? ( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A ,则集合 B 中含有元素 的个数为 。

?

?

4.函数 y ? 2 x 在 ?0,1? 上的最大值与最小值的和为 5.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 的定义域为 6.已知函数 f ( x) ? e
x ?a

。 。

( a 为常数) ,若 f ( x) 在区间 ?1,??? 上是单调增函数,则 a 的取值

范围是 。 7.定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) ,当 x ≥0 时, y ? f ( x) 是单调递增的, f (1) ? f (2) <0, 则函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交点个数是 。 。 。 8.已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值是 3,则 a ? 9.若函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1, ( x ? 1) , 则 f ( f (10)) ? ?lg x, ( x?1)

10. 已知函数 f ( x) ? mx2 ? (m 2 ? 4) x ? m 是偶函数,g ( x) ? ln(mx ? 1) 在 ?? 4,?1? 内单调 递减,则实数 m ? 。

11.设函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1 x ? 0 ? g ( x) x ? 0

若 f ( x ) 是奇函数,则 g (2) 的值是



12.设函数 f ( x) 对任意 x, y 满足 为 。

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 4 ,则 f (?1) 的值

二.选择题(本大题满分 12 分,每题 3 分): 13.设 U ? R , A ? {x x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B = ( A. {x 0 ? x ? 1 } B. {x 0 ? x ? 1 } C. {x x ? 0} ) D. {x x ? 1 }

14.集合 {a, b, c} 的非空子集个数为( A.5 B.6 C.7 D. 8



15.函数 y ? x 2 ? 2 x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( A. {?1,0,3} C. {y ? 1 ? y ? 3} B.{0,1,2,3} D. {y 0 ? y ? 3}

)

e x ? e?x e x ? e?x 16.已知函数 f ( x) ? ,函数 g ( x) ? ,下列关于这两个函数的叙述正确的 2 2
是( ) A. f ( x) 是奇函数, g ( x) 是奇函数 C. f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数 三、解答题(本大题满分 52 分): 17. (本题满分 10 分)已知集合 A ? x 2 ? x ? 4 , B ? x a ? x ? 4a (1) 若 A ? B ? x 3 ? x ? 4 ,求 a 的值; (2) 若 A ? B ? A ,求 a 的取值范围. 18. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论函数 f ( x) 的单调性(不用证明) 。 19. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? m , (m ? R) (1)若 f ( x ) 是偶函数,求 m 的值。
2

B. f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数 D. f ( x) 是偶函数, g ( x) 是偶函数

?

?

?

?

?

?

1 1? x ? lg 。 x 1? x

(2)设 g ( x) ?

f ( x) ?1 ? , x ? ? ,4? ,求 g ( x) 的最小值。 x ?4 ?

20. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) 满足 0< f (1 ? 2 x) ? f ( x) <1。 (1)求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是偶函数且满足 g ( x ? 2) ? g ( x) ,当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求 g ( x) 在 x ? ?1,2? 上的解析式。

21.(本题满分 12 分)某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资 生产.已 知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元) 年固定成 每件产品 每件产品销 每年最多可生 项目类别 本 成本 售价 产的件数

A 产品 10 m 5 100 B 产品 20 4 9 60 其中年固定成本与年生产的件数无关, m 为待定常数, 其值由生产 A 产品的原材料价格决定, 2 预计 m∈[3,4].另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x 万美元的特别关税.假设生产出 来的产品都能在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函 数关系并指明其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.

答案
1. 【答案】 ?1,2,4,5? 。

1,2,4?, B ? ?2,4,5?,所以 A ? B = ?1,2,4,5? 。 试题分析:因为 A ? ?
2. 【答案】 ?2? 。

1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10? , 试题分析:因为 A ? x ? N 1 ? x ? 10 = ?
B ? x ? R x 2 ? x ? 6 ? 0 = ?- 3,2? ,所以 A ? B = ?2?。
3. 【答案】10。

?

?

?

?

1,2,3,4,5?,所以 试题分析:因为 A ? ?

B ?? ( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A?=

?(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4) ?,所以集合 B 中含有元素的个
数为 10. 4【答案】3。
x ymin ? 1 ; 试题分析: 因为函数 y ? 2 在 ?0,1? 上是单调递增的, 所以 x=0 时, x=1 时, ymax ? 2 .

所以最后答案为 3. 5【答案】 ?0,2 。
x 试题分析:由 1 - log2 ? 0 ,得 0 ? x ? 2 。

?

6【答案】 a ? 1 。 试题分析:因为 y ? e 在 R 上是单调增函数, t ? x - a 在 ?- ?, a ? 上单调减函数,在 ?a,???
t

上单调增函数,所以 f ( x) ? e

x ?a

在 ?- ?, a ? 上单调减函数,在 ?a,??? 上单调增函数,因此

要使 f ( x) 在区间 ?1,??? 上是单调增函数,需满足 a ? 1 。

7【答案】2。 试题分析:因为当 x ≥0 时, y ? f ( x) 是单调递增的且 f (1) ? f (2) <0,所以 y ? f ( x) 在

?0, ? ?? 与 x 轴有且只有一个交点,又因为 y ?

0? 与 x 轴 f ( x) 是偶函数, y ? f ( x) 在 ?- ?,

也有且只有一个交点,所以 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交点个数是 2 个。 8【答案】-5 或 1。 试题分析:分析 f(x)的图像可知: f ( x) min ? 2 ? a ,所以 a=-5 或 1。 9【答案】2。 试题分析: f (10) ? lg10 ? 1 ,所以 f ( f (10)) ? 1 ? 1 ? 2 。
2

10【答案】-2。
2 试题分析:因为函数 f ( x) ? mx2 ? (m 2 ? 4) x ? m 是偶函数,所以 m - 4 ? 0 ,即 m ? ?2 ;

因为 g ( x) ? ln(mx ? 1) 在 ?? 4,?1? 内单调递减,所以 m<0,所以 m=-2。 11【答案】3 试题分析:设 x>0,则-x<0,所以 f (-x) ? -2 x ? 1 ,又因为 f ( x ) 是奇函数,所以

f ( x ) = - f (-x) ? 2 x - 1 ,所以 g ( x) ? 2 x - 1,即 g (2) =3.
12【答案】-2 试题分析:令 x ? y ? 0, 则f (0) ? f (0) ? f (0),所以f (0) ? 0 ; 令 x ? y ? 1, 则f (2) ? f (1) ? f (1),所以f (1) ? 2 ;令

x ? 1, y ? -1, 则f (0) ? f (1) ? f (-1),所以f (-1) ? -2 。
13【答案】C 试题分析:因为 A ? {x x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,所以 A ? B = {x x ? 0} 14【答案】C 试题分析:因为集合 {a, b, c} 有三个元素,所以非空子集的个数为 2 3 - 2 ? 7 。 15【答案】A 试题分析:因为当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 1 时, y ? -1 ;当 x ? 2 时, y ? 0 ;当 x ? 3 时, .

y ? 3 ,所以函数的值域为 {?1,0,3} 。
16【答案】B 试 题 分 析 : 易 知 f ( x) 、 g ( x) 的 定 义 域 都 为 R , 又

f ?- x ? ?

e- x - e x ? - f ?x ? 2 ,

g ?- x ? ?

e- x ? e x ? g ?x ? 2 ,所以 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,因此选 B。
(2) 1 ? a ? 2 。

17【答案】 (1) a ? 3 ;

试题分析: (1)因为集合 A ? x 2 ? x ? 4 , B ? x a ? x ? 4a , A ? B ? x 3 ? x ? 4

?

?

?

?

?

?,

? a?3 ? 4a ? 4 ,解得: a ? 3 。 所以 ? ?a?2 ? (2)若 A ? B ? A ,则 A ? B ,所以 ?4 ? 4a ,解得: 1 ? a ? 2 。
18【答案】 (1) ( ?1,0) ? (0,1) ; (2)奇函数; (3) ( ?1,0) 减函数 ;

(0,1) 减函数;

? x?0 ?1 ? x - 1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 , 试题分析: (1) 由? 所以函数的定义域为 ( ?1,0) ? (0,1) 。 ? 0 得: ? 1- x ? 1- x ? 0 (2)由(1)知,函数的定义域为 ( ?1,0) ? (0,1) ,关于原点对称, 1 1- x 1 1? x ? lg ? - ? lg ? - f ( x) ,所以 f(x) 是奇函数。 又 f (- x ) ? -x 1? x x 1- x 1? x 2 ? -1 (3)令 t ? ,则函数 t 在(0,1)上是单调递增的,又 y=-lgt 在(0,1)上是 1- x x -1 1? x 1 1? x 单调递减的, 所以 y= - lg 在 (0,1) 上是单调递减的, 所以 f ( x ) ? ? lg 在 (0,1) x 1? x 1- x
上是单调递减的, ,又因为 f(x)是奇函数,所以 f(x) 在(-1,0)上是单调递减的。

19【答案】 (1) m ? 1 ; (2) g ( x ) min

3 1 ? 1 ? g ( 4 ) ? 5m ? 4 , m ? 16 ? 1 ? ? ? g ( m ) ? 2 m ? m ? 1, ? m ? 16 。 16 ? 5 ? ? g (4) ? 3 ? 4 m , m ? 16 ?

试题分析: (1)因为 f ( x ) 是偶函数,所以 m-1=0,即 m=1。

m f ( x) x 2 ? (m - 1)x ? m ?1 ? ? x ? ? m - 1 , x ? ? ,4? , = x x x ?4 ? m ?1 ? 所以当 m≥16 时, g ( x) ? x ? ? m - 1 在 ? ,4? 上是单调递减的,所以 x ?4 ? 5 g ( x) min ? g (4) ? 3 ? m ; 4 1 m ?1 ? 当 0<m ? 时, g ( x) ? x ? ? m - 1 在 ? ,4? 上是单调递增的,所以 16 x ?4 ? 1 3 g ( x) min ? g ( ) ? 5m - ; 4 4 1 m ?1 ? ? m<16 时, g ( x) ? x ? ? m - 1 在 ? , m ? 上是单调递减的,在 当 16 x ?4 ?
(2) g ( x) ?

?

m ,4 上是单调

?

递增的,所以 g (x)min ? g ( m ) ? 2 m ? m -1 ; 当 m≤0 时, g ( x) ? x ?

m 1 3 ?1 ? ? m - 1 在 ? ,4? 上是单调递增的, 所以 g ( x) min ? g ( ) ? 5m - . x 4 4 ?4 ?

综上知: g ( x ) min

3 1 ? 1 ? g ( 4 ) ? 5m ? 4 , m ? 16 ? 1 ? ? ? g ( m ) ? 2 m ? m ? 1, ? m ? 16 。 16 ? 5 ? ? g (4) ? 3 ? 4 m , m ? 16 ?

20【答案】 (1) (

2?e 1 , ); (2)当 x ? ?1,2? 时, g( x ) ? ln(? x ? 3) 。 r?2 3

试题分析: (1)易知 f(x)的定义域为(-1,+∞),由 0< f (1 ? 2 x) ? f ( x) <1 得:

? 2 - 2x ?1 ? x ? 1 ? e 2?e 1 2?e 1 ? , ) ,所以 x 的取值范围为 ( , )。 ? 1 - 2 x ? -1 ,解得: x ? ( r ? 2 3 r ? 2 3 ? x ? -1 ? ?
(2) 因为 g ( x ? 2) ? g ( x) , 所以 g ( x) 的周期为 2。 设 x ? ?1,2? , 则 x-2 ? ?- 1,0?, -x+2 ? ?0,1? , 所以 g (- x ? 2) ? ln(-x ? 3) ,所以 g(x)=g(-x)= g (- x ? 2) ? ln(-x ? 3) . 所以当 x ? 1,2 时, g( x ) ? ln(? x ? 3) 。 21【答案】(1)y1=(5-m)x-10,0<x≤100,且 x∈N,y2=-0.05x +5x-20,0<x≤60 且 x ∈N; (2)当 3≤m<3.85 投资 A 产品 200 件可获得最大利润;当 3.85<m≤4 投资 B 产品 100 件 可获得最大利润;m=3.85 生产 A 产品与 B 产品均可获得最大年利润。 试题分析:(1)y1=5x-(10+mx)=(5-m)x-10,0<x≤100,且 x∈N 2 2 y2=9x-(4x+20)-0.05x =-0.05x +5x-20,0<x≤60 且 x∈N (2)∵3≤m≤4∴5-m>0∴y1=(5-m)x-10 为增函数 又 0≤x≤100,x∈N∴x=100 时,生产 A 产品有最大利润(5-m)×100-10=490-100m(万美 元) 2 2 y2=-0.05x +5x-20=-0.05(x-50) +105,0≤x≤60,x∈N ∴x=50 时,生产 B 产品有最大利润 105(万美元)(y1)max-(y2)max=490-100m -105=385-100 m 当 3≤m<3.85 时,(y1)max-(y2)max>0 当 m=3.85 时,(y1)max-(y2)max=0 当 3.85<m≤4 时,(y1)max-(y2)max<0 ∴当 3≤m<3.85 投资 A 产品 200 件可获得最大利润 当 3.85<m≤4 投资 B 产品 100 件可获得最大利润 m=3.85 生产 A 产品与 B 产品均可获得最大年利润
2

? ?


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