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山西大学附属中学高三12月月考理科


山西大学附中

2013—2014 学年第一学期高三 1 月月考(总第八次)

数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 考试内容(高考全部) 命题教师:谢美凤

一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中只有一个选项符合题目要求) 2 1 .已知全集 U ? R,

且 A ? ? x | x ? 1 ? 2? , B ? ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0? , 则 (CU A) B 等于
( ) A. [?1, 4) 2.复数 i ( B. (?1, 4) ) C. (2,3) D. (2,3] 开始 S=0,i=0 S=S+2i

1? i ) 的虚部为( 1? i
B.2 ? 1
20

A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.如图给出的是的一个程序框图,则其输出的结果是( ) A.2 ? 1
19

C.2 ? 1 D.2 ? 1 1 2? ? 2? ) 的值为( 4.若 sin( ? ? ) ? , 则 cos( ) 6 3 3 1 1 7 7 A. B. ? C. D. ? 3 3 9 9 R 5.已知偶函数 f ( x) 的定义域为 ,则下列函数中为奇函数的是
21 22

?



i=i+1 i>19 是 输出 S 结 束 )

( ) A. sin[ f ( x)]

B. x ? f (sin x)
2

C. f ( x) ? f (sin x) D. [ f (sin x)] 6.某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的 四边形都是边长为 2 的正方形, 两条虚线互相垂直, 则该几何体的体积是 (

20 A. 3

4 B. 3

C. 6

D. 4
主视图

7.某公司新招聘进 8 名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英 语翻译人员不能分给同一个部门; 另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门. 则不同的分配方案有 ( ) A.36 种 B.38 种 C.108 种 D.96 种

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 8.设关于 x, y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P ? x0 , y0 ? , ?y ? m ? 0 ? 满足 x0 ? 2 y0 ? 2 ,求 m 的取值范围是( )
A. ? ??,

俯视图

? ?

4? ? 3?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

C. ? ??, ?

? ?

2? ? 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

5? 3?

第 1 页 共 4 页

9.平面四边形 ABCD 中,AD ? AB ?

2 , CD ? CB ? 5 ,且 AD ? AB ,现将 ?ABD

沿着对角线 BD 翻折成 ?A' BD ,则在 ?A' BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A' C 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为( )

3 1 C. D. 3 2 3 10.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且对于任意的 m, n ? N * 都有:
A.1 B.

1 1 1 等于( ) ? ??? a1 a 2 a 2012 2011 4024 4022 2012 A. B. C. D. 2012 2013 2013 2013 2 b} 表示 a , b 两个数中的最大数, f ( x) ? max{? x ? 8x ? 4, log2 x} , 11.用 max{a, 若函

am?n ? am ? an ? mn,

数 g ( x) ? f ( x) ? kx 有 2 个零点,则 k 的取值范围是( A. (0,3) B. [0, 4] C. (0, 4)

) D. (0,3]

12. 已知 f ( x) 是定义在 ?? 1,1?上的奇函数, 当 x1 ? x 2 时,f ?x1 ? ? f ?x2 ? 。 当 x ? ?0,1? 时,

? x? 2 f ? ? ? f ?x ?, f ?x? ? 1 ? f ?1 ? x? ,则 ?5? 151 152 170 171 ? 150 ? f ?? ) ? f (? ) ? ? ? f (? ) ? f (? ) =( ? ? f (? 2014 2014 2014 2014 ? 2014? 11 27 A. ? B. ? 5 C. ? 6 D. ? 5 2
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则
2 2



2 xy 的最大值为 x ? y ?1

.

14. 如图,在△ ABC 中, AN =

1 NC , P 是 BN 上的一点,若 3

AP = m AB +

2 AC ,则实数 m 的值为________. 11
2 2

15.某同学为研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? (0 ? x ? 1) 的性质,构造了如图所 示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , 点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x ) . 请你参 考这些信息,推知函数 f ( x ) 的图象的对称轴是 数 g ( x ) = 4 f ( x ) - 9 的零点的个数是 .
A B E D C P F

;函

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16.下列四个命题中,真命题的序号是 ①命题“若 x ? 2, 则x ? 2或x ? ?2 ”的否命题是“若 x ? 2, 则 ? 2 ? x ? 2 ” ; ② 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , m ? N
*

, 则 数 列 {an } 是 等 比 数 列 是

S m , S 2m ? S m , S3m ? S 2m 成等比数列的充分不必要条件;
③若关于 x 的方程 | x ? 1 | ?kx ? 0 有且只有一个正实数根,则实数 k 的取值范围是 k ? 1 或 k ? ?1 ; ④命题“一个直角 ?ABC 在平面 ? 内的射影可以是直角、钝角、还可以是锐角”的逆否 命题. 三.解答题: (本题共 6 大题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分)如图, ?ACD 是等边三角形, ?ABC 是等腰直角三角形, ?ACB ? 90? , BD 交 AC 于 E , AB ? 2 . D (Ⅰ)求 cos ?CBE 的值; C (Ⅱ)求 AE .
E

A

B

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } , {bn } 中,对任何正整数 n 都有:

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?

? an?1bn?1 ? anbn ? (n ?1) ? 2n ? 1.

(Ⅰ)若数列 {bn } 是首项为 1 和公比为 2 的等比数列,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是否为等比数列?若是,请求出通项公式,若 不是,请说明理由.

P

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,PA ? 平面ABC , 点C
? 在以 AB 为直径的⊙ O 上, ?CBA ? 30 , PA ? AB ? 2 ,

E C A M B O

点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在弧 AB 上,且 OM // AC . (Ⅰ)求证: 平面PAC ? 平面PCB ; (Ⅱ)设二面角 M ? BP ? C 的大小为 ? ,求 cos ? 的值.

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20. (本小题满分 12 分)2013 年中国男子篮球职业联赛将由广东宏远队和上海大鲨鱼队 争夺参加决赛的一个名额,比赛采用 5 场 3 胜制,根据以往战绩统计,每场比赛广东队 获胜的概率为

2 1 ,上海队获胜的概率为 . 3 3

(Ⅰ)求广东队在 0:1 落后的情况下,最后获胜的概率(结果用分数表示). (Ⅱ)前 3 场比赛,每场比赛主办方将有 30 万元的收益,以后的每场比赛将比前一场多 收益 10 万元,求本次比赛主办方收益的数学期望.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ln( x ? a ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

1 2 x ? x(a ? 0) . 2

(Ⅱ)若 ?1 ? a ? 2(ln 2 ? 1) ,求证:函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a ? 1 ? x0 ? a ? 2 ; (Ⅲ) 当a ? ?

4 时, 记函数 f ( x ) 的零点为 x0 , 若对任意 x1, x2 ?[0, x0 ] 且 x2 ? x1 ? 1, 都 5 有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m 成立,求实数 m 的最大值.

(本题可参考数据: ln 2 ? 0.7, ln

9 9 ? 0.8, ln ? 0.59 ) 4 5

选做题(在 22、23 三题中任选一题做答) 22.已知直线 l 的参数方程是 ?

? ? 4 2 cos?? ?

? ?

??

? x=2t , ( t 为参数) ,圆 C 的极坐 标方程为 ?y=4t+a,

?. 4?

(Ⅰ)将圆 C 的极坐标方程化写为直角坐标系方程; (Ⅱ)若圆 C 上有且仅有三个点到直线 l 距离为 2 ,求实数 a 的值.

23. 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (I)当 m ? 5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (II)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

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