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高中数学人教版必修二章末第一章好题精讲精析: 第一章 空间几何体


必修 2 好题源第一章空间几何体
一、空间几何体的结构特征与三视图 【教材原题】必修 2 课本 15 页练习 4 题 如图,是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.

[分析]

由正视图和俯视图知该几何体为柱体,由侧视图知,该几何体是

一横放的三棱柱. [解析] 该几何体是一个三棱柱,直

观图如下图所示.

【高考题或模拟题】 (2012· 湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示, 则该几何体的俯视 图不可能 是( ... )

[来源:学优]

【答案】

D

【解析】 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩 形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是 D. (2012· 福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个 几何体不可以是( )

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A.球

B.三棱锥

C.正方体

D.圆柱

【解析】 球、正方体的三视图形状都相同,大小均相等,首先排除选项 A 和 C.对于如图所示三棱锥 O-ABC,当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA=OB=OC 时,其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项 B.

[来源:学优]

不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故答案选 D. (2013· 高考新课标Ⅱ文数 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中 的坐标分别是 (1, 0,1) , (1,1, 0) , (0,1,1) , (0, 0, 0) ,画该四面体三视图中的正视图 时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为( )

(A) 【答案】A

(B)

(C)

(D)

【解析】在空间直角坐标系中,先画出四面体 O ? ABC 的直观图,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选 A.

对比分析: 1.考查知识点:书本题、2012 湖南高考、2012 福建高考、2013 高考新课标 Ⅱ文数 9 共同考查知识点是空间几何体的结构特征与三视图; 书本题考查由几何 体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图;2012 湖南高考考查三视 图;2012 福建高考考查由几何体的三视图想象出空间几何体的形状;2013 高考

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新课标Ⅱ文数 9 与空间直角坐标系结合考查三视图。 2.考查的方式:书本题是解答题,2012 湖南高考、2012 福建高考、2013 高考新课标Ⅱ文数 9 是以选择题形式出现。 3.命题的思路:书本题、2012 湖南高考、2012 福建高考、2013 高考新课 标Ⅱ文数 9 通过考查立体几何中三视图的有关知识,考查学生空间想象能力。 4.进一步挖掘的价值:从近两年高考试题看,三视图是考查学生由三视图 到实物图,再到直观图的空间想象能力的有效载体,是课标区每年必考内容.题 型多为选择和填空题。其命题涉及几何体的结构特征、表面积和体积等问题. 二、空间几何体的表面积和体积 【教材原题】必修 2 课本 29 页习题 1.3B 组 1 题 如图是一个奖杯的三视图, 是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺 寸如图,单位:cm,π 取 3.14,结果分别精确到 1cm? ,1cm? ,可用计算器)。

解:由三视图画出奖杯的草图如图可知,

可知球的直径为 4cm, 则球的半径 R 为 2cm, 所以球的表面积和体积分别为: S 球=4π R 2 =4π?22=16π( cm 2 ),V 球=43πR3=43π?23=323π( cm3 ). 而四棱柱(长方体)的长为 8cm,宽为 4cm,高为 20cm,所以四棱柱(长

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方体)的表面积和体积分别为: S 四棱柱=(8× 4+4× 20+8× 20)× 2=272× 2=544 cm 2 , V 四棱柱=8× 4× 20=640 cm3 。 四棱台的表面积和体积 知道该四棱台的高为 2cm,上底面为一个边长为 12cm 的正方形,下底面为 边长为 20cm 的正方形. 我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、 下底面面积的总和. 所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积,因为它的四个侧 面的面积相等,所以主要求出其中一个侧面面积,问题就解决了.下面我们先求 出四棱台 ABCD 面上的斜高,过点 A 作 AE⊥CD,AO 垂直底面于点 O,连接 OE,已知 AO=2cm,则 AE 为四棱台 ABCD 面上的斜高: ∴AE=20-1222+22=25cm,所以四棱台的表面积和体积分别为: S 四棱台=S 四棱台侧+S 上底+S 下底=4× 12+202× 25+12× 12+20× 20 =(1285+544) cm 2 ,
[来源:GKSTK.Com]

V 四棱台=1312× 12+12× 12+20× 20+20× 20× 2 =23544+434 cm3 . 我们知道表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小;体积是几 何体占空间的大小. 所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的 表面积.应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积: ∴奖杯的表面积 S=S 球+S 四棱柱+S 四棱台-2× S 四棱柱底面 =16π+544+1285+544-2× (4× 8) =16π+1024+1285 ≈1360 cm 2 , 奖杯的体积 V=V 球+V 四棱柱+V 四棱台=323π+640+23434+544 ≈1052 cm3 . 【高考题或模拟题】 (2012· 高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 ( )

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A.28+6 5 C.56+12 5

B.30+6 5 D.60+ 12 5

【分析】将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键,然后根据所给出的 尺寸进行计算即可. 【解析】B 由三视图可得该三棱锥的直观图为(下图),在直观图中,

作 SO⊥AC 于 O,则 SO⊥面 ABC,作 OG⊥AB 于 G,连 SG,则 SG⊥AB, 由三视图知,∠ACB=90° ,SO=4,AO=2,CO=3,BC=4. 在 Rt△AOG 及 Rt△ACB 中,由 Rt△AOG∽Rt△ACB, AO OG 2× 4 8 ∴ AB = BC ?OG= = . 41 41 在 Rt△ SOG 中,SG= SO2+OG2= 64 720 12 5 16+41= = . 41 41

1 1 1 1 ∴S 表=S△ SAC+S△ SBC+S△ ABC+S△ SAB=2× 4× 5+2× 4× 42+32+2× 4× 5+2 12 5 × × 41=30+6 5. 41 (2012· 高考辽宁理 13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积为________.

[答案] [解析]

38 由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱,

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长方体表面积为 2× (4× 3+3× 1+4× 1)=38,圆柱的侧面积为 2π,上下两个底面积 和为 2π,所以该几何体的表面积为 38+2π-2π=38. (2013· 潍坊模拟)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最 大的是( )

A.8

B.6 2

C.10

D.8 2

【分析】根据几何体的三视图确定几何体的形状,并画出几何体的直观图, 标示已知线段的长度,最后求各个面的面积确定最大值. 【答案】 C
[来源 :学优 gkstk]

【解析】将三视图还原成几何体的直观图,如图所示.

由三视图可知,四面体的四个面都是直角三角形,面积分别为 6,8,10,6 2, 所以面积最大的是 10. (2012· 广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.12π C.57π 【解析】C 图如图所示.

B.45π D.81π 由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成,直观

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圆锥的底面半径为 3,高为 4,圆柱的底面半径为 3,高为 5, 1 1 ∴V=V 圆锥+V 圆柱=3Sh1+Sh2=3× π× 32× 4+π× 32× 5=57π. 对比分析: 1.考查知识点:书本题、2012 高考北京卷、2012 高考辽宁理 13、2013 潍坊 模拟、2012 广东卷共同考查知识点是空间几何体的三视图、空间几何体的表面 积和体积;书本题考查组合体的三视图、直观图、空间几何体的表面积和体积; 2012 高考北京卷、 2012 高考辽宁理 13、 2013 潍坊模拟考查空间几何体的三视图、 直观图、空间几何体的表面积;2012 广东卷考查旋转体的三视图和体积。 2.考查的方式:书本题是解答题,2012 高考北京卷、2013 潍坊模拟、2012 广东卷是以选择题形式出现;2012 高考辽宁理 13 是填空题。 3.命题的思路:书本题、2012 高考北京卷、2012 高考辽宁理 13、2013 潍 坊模拟、2012 广东卷通过考查立体几何中三视图的有关知识、几何体的表面积 和体积,考查学生空间想象能力,分析解决问题能力。 4.进一步挖掘的价值:从近两年高考试题看,空间几何体的表面积与体积 的计算通常与对三视图的考查结合在一起,题型多为选择和填空题,有时也在解 答题中与证明问题联系在一起,难度为中等及中等以下. 三、多面体与球 【教材原题】必修 2 课本 37 页复习参考题 B 组 2 题 一个长、宽、高分别是 80 cm、60 cm、55cm 的水槽中有水 200000 cm3 .线放 入一个直径为 50 cm 的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上, 那么水是否会从水槽中流出?

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解:水槽的容积 V=80× 60× 55=264000(cm3),
4 木球的体积 V木 ? ? ? 253 ? 65417(cm3 ) , 3 2 Q 200000+65417 ? ? 243611 ? V , 3

∴水不会从水槽中流出. 【高考题或模拟题】 (2013 高考全国课标Ⅰ理数 6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容 器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚 度,则球的体积为 500π A. 3 cm3 1372π C. 3 cm3 ( )
[来源:学优 GKSTK]

866π B. 3 cm3 错误!未找到引用源。 2048π D. 3 cm3

【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球 心到截面圆的距离为 R-2,则 R 2 ? ( R ? 2) 2 ? 42 ,解得 R=5,∴球的体积为

4? ? 53 500π = 3 cm3,故选 A. 3
(2012 高考课标全国文 8)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为( A. 6π B. 4 3π D. 6 3π )

C. 4 6π

【解析】 如图,设截面圆的圆心为 O′, M 为截面圆上任一点,则 OO′= 2, O′M=1,所以∴OM= ? 2?2+1=

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3,即球的半径为 3. 4 故 V=3π( 3)3=4 3π. 【答案】 对比分析: 1.考查知识点:书本题、2013 高考全国课标Ⅰ理数 6、2012 高考课标全国文 8 共同考查知识点是球的截面圆性质、球的体积公式;书本题同时考查长方体的 体积运算。 2.考查的方式:书本题是解答题;013 高考全国课标Ⅰ理数 6、2012 高考 课标全国文 8 是以选择题形式出现。 3.命题的思路:书本题、2013 高考全国课标Ⅰ理数 6、2012 高考课标全国 文 8 通过考查球的截面圆性质、 球的体积公式来考查学生空间想象能力,分析解 决问题能力以及对体积公式的掌握情况。 4.进一步挖掘的价值:从近两年高考试题看,涉及球与棱柱、棱锥的切、 接问题时, 一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面 问题, 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系, 题型多为选择和填空题, 有时也在解答题中与证明问题联系在一起,难度为中等. B

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