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徐闻中学、雷州一中2013届高二上学期第一次联考(文数)


徐闻中学、雷州一中 2013 届高二上学期第一次联考 数学(文科)
(满分 150 分 考试时间:120 分钟 )

? 参考公式: b ?

i ?1 n

? xi yi ? nx y
i ?1

n

? ? a ? y ? bx

?

x ? nx
2 i

2

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.在△ABC 中,若 b=12,A=30°,B=120°,则 a=( A.2 B. 2 3 C.4 D. 4 3 )

2.某学校共有师生 4200 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 140 的样 本,已知从学生中抽取的人数为 130,那么该学校的教师人数是( A.200 B.300 C.400 D.100 甲 50 32 875421 944 1 0 1 2 3 4 5 乙 8 247 199 36 2 )

3.如图 1 是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图, 据图可知( )

A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显差异 D.甲运动员的最低得分为 0 分

图1

4.设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3 ? 6, a1 ? 4, 则公差 d 等于( A.1 B.



5 3

C.-2

D.3

5.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 ) 3 7

则 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a 表示的直线必过点( A. 2) (1, B.(1.5, 0) C.(2, 2) D.(1.5, 4)

6.不等式

x?2 ? 0 的解集是( x ?1



A. [2, ??)

B. (??,1] ? (2, ??)

C. (??,1) )

D. (??,1) ? [2, ??) 开始

7.如图 2 所示的程序框图输出的结果是(

3 A. 4

4 B. 5

5 C. 6

6 D. 7

1 A ? ,i ?1 2
i ? 4?
是 否

A?

1 2? A

输出 A 结束

i ? i ?1
图2 8. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ( A. “至少有 1 个黑球”与“都是黑球” B. “至少有 1 个黑球”与“至少有 1 个红球” C. “恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球” D. “至少有 1 个黑球”与“都是红球” )

?x-y≥-1, ? 9.设变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ?y≥2, ?
A.10 B.12 C.14 D.13

则目标函数 z=2x+4y 的最大值为(

)

10.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6) ,骰 子朝上的点数分别为 X,Y,则 log 2 x Y=1 的概率为( A. )

1 6

B.

5 36

C.

1 12

D.

1 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.甲、乙两人下棋,甲不输的概率是 0.8,两人下成和棋的概率为 0.5,则甲胜的概率为 12.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s2 8.4 3.6 乙 8.7 3.6 丙 8.7 2.2 丁 8.3 5.4

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是 13.在区间[-1,1]上任取两数 x,y 组成有序数对(x,y),记事件 A 为“ x ? y ? 1” ,则 P
2 2

(A)= (准确值). 1-x 14. 函数 y=a (a>0, a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny-1=0 上 (其中 m,n>0) , 1 1 则 + 的最小值为________. m n 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15. (12 分)设锐角三解形 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, a=2bsinA (1)求角 B 的大小 (2)若 a ? 3 3, c ? 5 , 求 b 边的长 16. (13 分)某种产品的广告费用支出 x 万元与销售额 y 万元之间有如下的对应数据: x y (1)画出上表数据的散点图; (2)根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程; (3)据此估计广告费用为 10 万元时,所得的销售收入. (参考数值: ?x2=145, ?xiyi=1270) i
i=1 i=1 5 5

2 20

4 30

5 50

6 50

8 70

17. (13 分)某高校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按 成绩分组,得到的频率分布表如下: 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.000

(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,在图上完成频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求 第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 18. (14 分)设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根

的概率.

19. (14 分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都购入 x 张(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每 批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去运费和保管 费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

20. (14 分)已知直线 l 的方程为 3x-2y-1=0,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn)在直 线 l 上. (1)求数列{an}的通项公式; n?2Sn+1? bn (2)bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 f(n)= (n∈N+)的最大值. an Tn+24

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 C 9 D 10 C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.0.3 12.丙 13.

? 4

14. 4

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15.[解答](1)? a ? 2b sin A, 由正弦定理

a b c ? ? sin A sin B sin C 得 sin A ? 2sin B sin A ? sin A ? 0 ? sin B ? 1 2

?????????????????2 分 ?????????????????4 分 ???????????????? 6 分

? ?ABC为锐角三角形 ? B ?

?
6

??????????????? 8 分

(2)由余弦定理,得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 ????? 11 分

?b ? 7

?????????????????????????????12 分

16.[解答] (1)散点图如图所示:

??????4 分 2+4+5+6+8 (2) x = =5, 5 20+30+50+50+70 y= =44, 5
5

????????????????6 分

?x2 = 22 + 42 + 52 + 62 + 82 = 145, i
i


1

?xiyi=2×20+4×30+5×50+6×50+8×70=1 270,
i=1

5

?xi yi -5 x
i


5

y = 1270-5×5×44 = 8.5, 145-5×25 ???????????9 分

1 5

b =

?x2 -5 x i
i


2

1

- a= y -b x =44-8.5×5=1.5, 因此回归直线方程为 y=8.5x+1.5. (3)当 x=10 时, y=8.5×10+1.5=86.5. ???????????11 分 ???????????13 分

17.[解答] (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35×100=35 人, 30 第 3 组的频率为 =0.300, 100 频率分布直方图如下:

?????2 分

????????4 分 (2)因为第 3、 5 组共有 60 名学生, 4、 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 30 20 10 每组分别为:第 3 组: ×6=3(人),第 4 组: ×6=2(人),第 5 组: ×6=1(人), 60 60 60 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人. ????7 分 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1、B2,第 5 组的 1 位同 学为 C1, 则从 6 位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2, C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1), ???10 分 第 4 组至少有一位同学入选的有: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2, C1),9 种可能. 9 3 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 = . ?????13 分 15 5 18. [解答] 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a>0,b>0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. ????2 分 (1)基本事件共 12 个: (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第 一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. ?????5 分 事件 A 中包含 9 个基本事件, 9 3 事件 A 发生的概率为 P(A)= = . ???????7 分 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.???????9 分 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.???????????11 分

1 3×2- ×22 2 2 所以所求的概率为 = . 3 3×2

?????????14 分

36 19. [解答] (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张,则共需分 批,每批价值为 20x 元, x 36 由题意 f(x)= · 4+k· 20x. ??????????3 分 x 16 1 由 x=4 时,y=52 得 k= = , ??????????????5 分 80 5 144 ∴f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N*). ??????????????7 分 x 144 (2)由(1)知 f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N*), x 144 ∴f(x)≥2 ×4x=48(元), ?????????????10 分 x 144 当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立. ?????????????13 分 x 故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. ?????????????14 分 20.[解答] (1)由题意知 3an-2Sn-1=0,① ??????????????2 分 则 3an+1-2Sn+1-1=0,② ②-①得 an+1=3an, 所以数列{an}是公比为 3 的等比数列. ?????????????4 分 由 3a1-2S1-1=0,得 a1=1, - 所以 an=3n 1. ?????????????7 分 n?2Sn+1? (2)由①知,2Sn=3an-1,所以 bn= =3n, ????????????9 分 an n?a1+an? 3n2+3n Tn= = . ??????????? 11 分 2 2 bn 3n 2n 2 2 f(n)= = 2 = 2 = ≤ . ???????????13 分 16 9 Tn+24 3n +3n n +n+16 n+ +1 +24 n 2 16 当且仅当 n= ,即 n=4 时,等号成立. n ??????????????14 分


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