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导数与函数的综合应用


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第 22 课导数与函数的综合应用
一、基础自测. 1.函数 y=xsinx-cosx 的导数为_________. 2.曲线 y ? x 3 ? x ? 1 在点(1,3)处的切线方程是______________ 1 3.若 a ? 2 则方程 x 3 ? ax2 ? 1 ? 0 在区间(0,2)上恰好有 3 4.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 . 5. 函数 y ? x ? 2 sin x在区间[?

个根

2? 2? , ] 上的最大值为 3 3 6.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 。 4x 7.若函数 f ( x ) ? 2 在区间 (m,2m ? 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围 x ?1
为 。 。 8、设函数 f ( x) ? sin( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,如果 f ( x) ? f ' ( x) 为偶函数,则 ? = 二、例题讲解 例 1. 已知函数 f ( x) ? x ? 8ln x , g ( x) ? ? x ? 14 x .
2 2

(1) 求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2) 若函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3) 若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值.

例 2. 已知函数 g ( x) =

x2 - 2( x≥2) 的导数为 g' ( x) =

x ( x≥2) . 记函数 x2 - 2

f ( x) = x - kg ( x) ( x≥2, k 为常数).

(1)若函数 f(x)在区间 ? 2, ? ? ? 上为减函数,求 k 的取值范围; (2)求函数 f(x)的值域.



f ( x) ? 2( x ? 3x ? x 3?定 )e 义 域 为 ?? 2, t ? ( t ? ?2 ), 设 f (?2) ? m, f (t ) ? n . (1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数;
3. 已 知 函 数
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(2)求证: n ? m ; (3)求证:对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 的 x0 的个数.

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样 e x0 3

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教后感:

三、课后作业 班级

姓名

学号

等第 .

1.已知函数 f(x)= f ?( ) sinx+cosx,则 f ( ) =

?

?

2 4 2 2.已知函数 f ?x? ? mx ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为
3.方程 x ? 3x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是
3

。 。

4.设向量 a ? (1, x),b ? ( x,1) , a, b 夹角的余弦值为 f ( x) ,则 f ( x) 的单调增区间是

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5.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为 6.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 7.若函数 f ? x ? ?

2 的零点所在的区间是(n,n+1) ,则正整数 n=______. x

1 3 x ? a 2 x 满足:对于任意的 x1 , x2 ??0,1? 都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 1 恒成 3

立,则 a 的取值范围是 . 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a、b,若 a<b,则 af (a),bf (b) 的大小关系为 . 9.设函数 f ( x) ? x 3 ? x ,若 0 ? ? ? 值范围是

?
2

时, f (m cos ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数的取

_ 2sin 2 x ? 3sin x 10.函数 f(x)= 的值域为 (2sin x ? 3) 2 1. 2. 3.

_. 4. 5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.设a为实数,已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x . 3 (1)当a=1时,求函数 f ( x) 的极值. (2)若方程 f ( x) =0有三个不等实数根,求a的取值范围.

12.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a . x
3 ,求实数 a 的值; 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为

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13.函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ( x ? 0, a ? R) . x 1 1 1 ? ? 对于 x ? (1, 2) 恒成立 ln x x ? 1 2

(1)试求 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求证:函数 f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是 a=1; (3)求证:不等式

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