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31圆与椭圆抛物线双曲线相切的性质


2015 年第 2 期 = - xtanα, 分别与 QA 方程联立, 得 yA =

中学数学研究 kmtanα , tanα - k 由 ① - ② 得, k AB =

· 31·

y kmtanα tanα + k .∴ A = , 又 k = esinα, tanα + k yP tanα - k y AF

AQ tanα + esinα = = A, ∴λ = = λ = BF PQ yP tanα - esinα 1 + ecosα λ -1 , ∴ ecosα = . 1 - ecosα λ +1 探究 3 当 P 为准线上任一点时, 连接焦点弦 B, 又有什么关系呢? 笔者借助几何画板发现 端点 A、 有如下结论: 结论 5 过圆锥曲线焦点弦端点 A、 B 两点作圆 锥曲线的切线, 切线交点 P 在与焦点相对应的准线 l 上, 且 PF ⊥ AB. 下以椭圆为例证明, 即 如图 5 , 过椭圆的焦点 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 过 A、 B 两点作椭圆的切线交于点 P , 则 P 点的 轨迹是焦点 F1 所对应的准线, 并且 PF1 ⊥ AB. 2 x 证明: 设椭圆方程为 2 + a y2 = 1 ( a > b > 0) , A ( x1 , b2 y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x0 , y0 ) . 则 x x 过 A 点的切线方程 l1 : 12 + 图5 a 同理 y P = x x y y y1 y = 1, 则过 B 点的切线方程 l2 :22 + 22 = 1 , 因为 2 b a b P 是两切线 l1 与 l2 的交点, 所以 x0 x1 y0 y1 + 2 = 1① a2 b x0 x2 y0 y2 + 2 = 1② a2 b

y1 - y2 b2 x = - 2 0, 由① + ② x1 - x2 a y0 x + x2 x0 y1 + y2 y0 得 1 · 2 + · 2 = 1 ③, 直线 AB 的方程 2 2 a b y + y2 b2 x0 x + x2 为y - 1 =- 2 ( x- 1 ) , 因为点 F( 1 - c, 2 2 a y0 0 )在直线 AB 上, 所以 0 x1 + x2 ) ④ 2 y1 + y2 b2 x0 =- 2 ( -c 2 a y0

a2 为定值. 所以 P 点 c y0 的轨迹是焦点 F1 对应的准线. 又因为 k PF = , x0 + c 由 ③, ④ 化简可得 x0 = x0 = y0 b2 x a2 , 所以 k PF ·k AB = · ( - 2 0 )= c x0 + c a y0 a2 ) c

= - 1, 即 PF1 ⊥ AB. a2 a[ ( - )+ c] c 双曲线、 抛物线的证明类似, 从略. 圆锥曲线的经典性质及结论近年来受到更多的 重视, 散见于各地的高考及模拟试题中, 教师要加强 研究, 以便更好的指导教学.
2

b2 · (-

参考文献
[1] 黄化宇. 用极坐标考虑与离心率有关的圆锥曲线问题 . [2] 柯晚申, 李玉汉. 圆锥曲线的一个性质. 中学数学, 2011. 12. 数学通报, 2007. 10.

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櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽

圆与椭圆抛物线双曲线相切的性质
江西省宜丰中学 ( 336300 ) 晏伟峰
一元二次方程根的判别式是中学数学的重要 内容, 其推导并不难, 而学生用起来却漏洞百出, 有 时甚至不知错在何处. 对于圆锥曲线交点个数问题 能不能用判别式, 目前还没有明确答案 . 文 [ 3 ]中例 举了应用判别式与韦达定 理 解 题 的 常 见 错 误, 文 [ 2 ]中例举了一类圆锥曲线交点问题的常用解法, 以上文献中好的地方是举例全面, 不足之处是没有

吴喜文

吴小兵

对为什么用判别式解题会出现错误的原因加以说 明. 本文就学生在平时训练过程中产生的问题做了 分析, 找到了在某些特定条件下一定满足 Δ = 0 的 相关性质, 请大家斧正! x2 y2 问题 1 若椭圆 + = 1 上动点 P 与定点 9 4 A ( a, 0) (0 < a < 3) 的最小距离为 1 , 则 a 的值是多

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中学数学研究

2015 第 2 期

少? ( 数学通讯 2012 年 12 下半月第 31 页问题 221 ) 学生提出解法: 以点 A 为 圆心, 1 为半径的圆的方程为 2 + y2 = 1 , 则 ︴ PA ︴ 取 ( x - a) 最小值时圆与椭圆相切, 于是 2 2 ( x - a) + y = 1 , 有 x2 ?5 x2 y2 + = 1 9 4 - 18 ax + 9 a2 + 27 = 0 在 x ∈ 图1 [ - 3, 3 ]上有两相等实根. 由

?

15 从而上 果却是错误的. 由 a = 槡 可知 a + 1 < 3 , 2 述两曲线没有交点 ( 如图 1 ) . 正确答案是 a = 2 , 显 然此时圆与椭圆相切于椭圆右顶点, 所以 2 2 ( x - 2) + y = 1, 2 有Δ > 0 ?5 x - 36 x + 63 = 0 , x2 y2 + = 1 9 4 而不是 Δ = 0 . 主要原因是把 Δ = 0 当成圆锥曲线之 间相切的充要条件, 而这种主观判断是错误的 . 类似 2 x + y2 = 1 , 4 还有 2 , 图像无交点, 但有 Δ > 0 . x - y2 = 1 9 问题 2 学生问 2 y = 4 x, x2 2 + 4x = ? x 4 + y2 = 1 4 1 ?x2 + 16 x - 4 = 0 , 从图像上 看两圆锥曲线交于关于 x 轴 对称的两点, 上述方程应只有 一个解, 应有 Δ = 0 , 为什么 Δ 0 ? ≠ 由以上可见 Δ = 0 是圆 图2 锥曲线相切的既不充分也不 必要条件. 圆锥曲线之间相切与判别式关系在一定 条件下是否存在某种特定的关系? 我们通过圆锥曲 线切线的几何作法, 针对这个问题展开了研究 . 1 切线的定义 在中学课本中只给了圆的切线定义, 没有给出 圆与椭圆, 双曲线, 抛物线之间的相切作定义, 但给 了导数的定义及曲线上某一点切线的求法 . 导致很 多学生误以为两曲线相交, 如果交点关于 x 轴对称, 当 x 只有一解的情况下则这两曲线相切, 如问题 2 中 我 的情况. 切点是不是如问题 2 中所描述的情况呢?

15 但结 Δ = 0 ?a = 槡 . 以上学生解法看似有道理, 2

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们给出切点的定义 [ 百度百科] : 两条光滑曲线 (或 一条直线与一条光滑曲线)交于一点, 使得它们在 该点处的切线方向相同, 则称该点为切点 . 切线方向 相同可以理解为两光滑曲线在该点的切线重合, 其 中我们高中所接触的圆锥曲线均为光滑曲线 . 根据 定义我们很快知道问题 2 中的情况不是相切, 因为 两曲线在切点处的切线不重合. 像问题 1 中的情况 不容易看出两切线是否重 合, 我们通过查阅文献 , 找到了圆锥曲线切线的几何作图法 . [4] 2 圆锥曲线任意点切线的几何作图法 文献 [ 4 ]给出了我们常见圆锥曲线切线统一作 图方法, 并给出了证明, 这一点为本文问题的解决提 供了作图依据. 文献中指出椭圆切线的作法为; F2 , P 为椭圆上一点, ( 1 )已知椭圆及焦点 F1 , 求作过 P 点的切线. 作法: 1 )连 PF1 , PF2 ; 2 )作 ∠F1 PF2 的角平分 3 )过 P 点作 PT ⊥ PN, 则 PT 为椭圆切线. 证 线 PN; . 明见文 [4]

?

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( 2 )已知抛物线及其焦点 F , 对称轴为 x 轴 (不 在 x 轴的类似) , 求作过抛物线上一点 P 的切线. 作法: 1) 连 PF , 过 P 作 PE ∥ x 轴; 2) 作 ∠FPE 的角平分线 PN; 3) 过 P 点作 PT ⊥ PN, 则 PT 为抛物 线的切线. 证明见文 [4] . 过双曲线上一点 P 的切线的作法和上述类似, 只要作这点与两焦点连线所成角的平分线就行, 如 图 5 . 注意: 当上述 P 点处于特殊位置, 如双曲线或 抛物线顶点, 或椭圆长 ( 短)轴与椭圆交点时, 作切 线极为方便, 不必如上作法.

图3

图4

3

圆与椭圆、 抛物线、 双曲线相切的性质 x2 y2 性质 1 与椭圆 2 + 2 = 1 相切于点 A ( x0 , y0 ) a b

图5

图6

2015 年第 2 期 的所有圆中, 只有圆心为 C ( m, n) , m = 半径 R =

中学数学研究 c2 x0 , n = 0, a2

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c2 , n = 0 时, 此时圆 C 正好为椭圆左右两 a 顶点的密切圆. 证明: ① 我们先找到满 足圆与椭圆相切时 Δ = 0 的 圆, 具体方法如下: 如图 7 , 任 ( x0 , y0 ) , 设所求圆圆 取点 A ( m, n) , 由文 [1] 心坐标为 C x x 知, 过点 A 的切线 l 方程为 02 a 图7 2 y0 y b x0 + 2 = 1, 即y =- 2 x + a b 当m =± a2 y0 b2 , 推出 k AB = 2 ( 其中 x0 ≠ 0 ; 当 x0 = 0 时, 取m y0 b x0 ± = 0; 当 x0 = ± a 时, 取端点对应密切圆横坐标 m = c2 ) , 直线 AB 与切线 l 垂直, 交 x 轴于点 B , 即为圆 a

= 0 . 易知此圆圆心的横坐标 m 满足 -



b2 x0 a2

2

+ y0 的圆, 联立椭圆方程满足 Δ c2 c2 ≤m≤ . a a

2

2 2 ( x - m) +( y - n) = R2 , 消 去 y 可 得 x2 y2 + 2 = 1, 2 a b 2 1 c 2 b2 2 ( x - 2 ax + m2 + n2 - R2 ) = b2 - 2 x2 , 此方 2 2 4n a a 程为四次方程或者三次方程, 不能推出 Δ = 0 . 例

?

如,过椭圆

x2 y2 2 5 + = 1 上点 A ( 2 , 槡 )作切线 l, 过 9 4 3 3槡 5 x4

点 A 作切线 l 的垂线, 则直线 AB 方程为 y =

a2 y0 a2 y0 心 C, 直线 AB 方程: y = 2 x - 2 + y0 ? y = b x0 b
2 2

14 2 5 2 61 ) +( y - 槡 ) = , 9 3 81 4 3 ?25 x - 280 x 2 2 x y + = 1, 9 4 + 1424 x2 - 3136 x + 2416 = 0 , 此方程不能推出 Δ = 0. n ≠ 0, 证明过程类似 ①, 但会得 ③ 如果 m = 0 , 到 Δ > 0 . 即证. 性质 2 与抛物线 y2 = 2 px 上相切于点 P ( x0 , y0 )的 所有圆中, 只有圆心为 C ( m, n) , 其中 m = x0 + p, n = 0, 半 (x -

5槡 5 14 槡 5 , 取圆心 C 为 AB 中点, 则C ( , ) , 联立得 6 9 3

?

c2 c2 c2 b4 2 即C ( 2 x0 , 0) , R A B2 = 4 x2 圆 ≤m≤ , 0 + y0 , a a a a C 的方程与椭圆联立得 b4 2 2 + y2 = 4 x2 ( x - x0 ) 0 + y0 , a b 2 2 2 c2 ( 1 ) x - 2 x0 x ? a2 a x2 y2 + = 1 a2 b2 -

a y0 c y c2 c2 x - 20, 令 y = 0 得 x = 2 x0 , 令 m = 2 x0 , 易知 2 b x0 b a a

?

p2 + y2 联立 径R = 槡 0 的圆, 椭圆方程满足 Δ = 0 . 易知此 圆圆心的横坐标 m = x0 + p 图8 满足 ︴ m ︴ ≥︴ p ︴ . 当 m = p, n = 0 时, 正好为顶点的密切圆. 证明: ① 我们先找到满足圆与抛物线椭圆相切 具体方法如下: 如图 8 , 任取点 P ( x0 , 时 Δ = 0 的圆, y0 ) , 设所求圆圆心坐标为 C ( m, n) , 由文 [ 1 ]知, 过 点 P 的切线 PT 方程为 y - y0 = n = 0) , 即y = - y0 = p ( x - x0 ) ( 其中 2 x0 x0 ≠ 0 , 当 x0 = 0 时, 取原点密切圆圆心即取 m = p,

c2 ( m, n) , 其中︴ m ︴ > , n ① 易验证当圆心坐标为 C a = 0 与椭圆相切于点 A 的圆不满足 Δ = 0 ; 下面取其 n ≠ 0, 则会联立得出四次方程 他点, 当 m ≠ 0,

b4 2 c2 2 2 - 4) x0 - y2 + b = 0 ( x - 2 x0 x + x2 显 ? 0 0 )= 0, a a2 然 Δ = 0. ( m, n) , ② 接下来我们证明其他圆圆心不是 C c2 m = 2 x0 , n = 0 的圆与椭圆相切, 不满足 Δ = 0 . 由 a

c2 b2 c2 2 2 c2 c4 2 2 2 + ( 2 x0 ) =( 2 x0 ) + y2 ( 4 0 - b ? 2x 2 x0 x + a a a a a



2 x0 y p x + 0, 所以 k PC = , 直线 2 x0 2 p PC 与切线 PT 垂直, 交 x 轴于点 C , 直线 PC 方程为 y





2 x0 ( x - x0 ) , 令 y = 0 得 x = x0 + p , 即 p 2 2 C ( x0 + p , 0) , R2 圆 B 的方程与抛物线联 C = p + y0 ,



立得

= 2 px 2 ?x - 2 x0 x + x0 = 0 ?Δ = 0 . 其他情况均无 Δ = 0 . 证略.
2 2

?y

2 + y2 = p2 + y2 ( x - x0 - p ) 0,

· 34· 性质 3 与双曲线 x2 a2

中学数学研究

2015 第 2 期

y2 = 1 相切于点 A ( x0 , y0 )的 b2 所有圆中, 只有圆心为 C ( m, 2 c n) , 当 m = 2 x0 , n = 0, 半径 R a b 的圆,联立双曲线方程 = a

图9

满足 Δ = 0 . 易知此圆圆心的横坐标 m 满足 m ≤ 或m≥

c2 c2 . 当m = ± , n = 0 时, 正好为实轴顶点的 a a 密切圆. 证明可类似性质 1 的证明. 此略. 其他圆锥曲线间也有相切 Δ = 0 的情况例如: 2 y = x, 相切于点 P (2, 2) , 有 Δ = 0 . 如图 9 . 槡 x2 y2 = 1 4 总之, 我们利用判别式 Δ = 0 ? 相切这样的结

c2 a

论, 适合直线与圆锥曲线相切的情况, 圆锥曲线之间 的相切不一定会满足上述结论. 教学中若能通过一 些经典错例进行分析, 可加深学生对如何利用判别 式的理解, 提高应用能力, 培养严谨的解题习惯 . 例 2 (3, 0) , B (0, 3) 抛物线 y = - x + mx - 1 和端点为 A 的线段有两个不同的交点, 求 m 的取值范围. 此时线 段不是直 线, 不 能 直 接 利 用 判 别 式 求 解. 详 见 文 [2] [3] . 参考文献
[1] 刘志修. 试论过圆、 椭圆、 双曲线上一点切线的统一性 [2] 杨宝剑. 一类圆锥曲线交点问题的常用解法, 中学数学 [3] 叶文章. 应用判别式与韦达定理解题的常见错误, 数学 [4] 蔡绮红. 圆锥曲线的切线的统一几何作图法, 杭州师院 学报 [ J] . 1982. 4 : P112 - 114. 教学研究 [ J] . 1987. 1. 教学参考 [ J] . 1996. 7 : P28 - 30. [ J] . 中学数学研究 ( 江西) , 2007. 7 : P21 - 23.

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櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽

宏观把握

追本溯源

让解题思路自然而生
从而打不开思路. 宏观分析此题, 本题是研究范围和最值问题, 对 于这个问题不外乎三条路: 其一用函数观点, 即构造 所求目标量关于某个 ( 或某几个)变量的函数关系 式 ( 或方程) ; 其二是寻求关于所求目标量的不等关 系; 其三可从所求目标量的几何意义入手 . 由题目所给条件看应从函数观点来研究此题 . 由于 AB : AD : AC = 3 : k :1 , 此题与 △ABC 具体的边 长没有关系, 为了解题简便, 不妨设 AB = 3 , AC = 1, 则 AD = k, 所以要寻找 AD 关于谁的变化而变化. 由于边 AB , AC 已定, 所以只要 ∠A 或边 BC 定, 三角 形 ABC 就定, AD 也就定. 故 AD 随着 ∠A 或边 BC 的 变化而变化, 所以关键要根据题目中所给条件找出 AD 关于 ∠A 或边 BC 的函数关系式. 当把 ∠A 作为整个运动系统的根源时, 联想到 夹角问题, 主要从四个方面考虑: 1 . 三角形的角; 2. 向量夹角 ( 向量的数量积) ; 3 . 直线的倾斜角; 4. 任 意角的三角函数的定义 ( 当射线的端点是原点时) . 联想到向量的夹角, 由于知道 AB , AC 的长, 且 AB ,


江苏省徐州市第三十六中学 ( 221008 ) 刘增娣
1 问题的提出 笔者所在学校的一次高三周测中考了南京、 淮 安、 盐城 2014 届的二模卷, 其中有一道题: 在 △ABC 中, 点 D 在边 BC 上, 且 DC = 2 BD, AB : AD : AC = 3 : k : 1, 则实数 k 的取值范围为 . 图1 我校高三学生 378 人参加 考试, 但是答案做对的只有 7 人. 这 7 人中有 4 人从 极端情况入手 ( AB , AC 同向和反向) , 考察 D 点落在 直线 AB 的情况从而得到 k 的极限值. 但问到为什么 极端的情况就一定对应 k 的上下限值时, 学生的回 答是 “ 猜的” . 另外 3 人想到将 AD 用 AB , AC 线性表 由此从函 示, 然后平方将 k 表示为关于 ∠A 的函数, 数的观点求出 k 的取值范围 ( 下文的解法 1 ) . 当问 到这 3 位学生怎么想到用向量的知识来解决时, 学 生的回答是 “ 灵感” . 此题究其原因, 学生对条件不知道怎么用, 条件 和目标有什么关系? 如何找到条件和目标的关系? 问 题的根源在于对题目的整体把握不够, 拘泥于细节,
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