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函数奇偶性的性质应用


函数奇偶性的应用
一、
1 2

利用函数的奇偶性判断函数的单调性

奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数,如果 两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上, 即自变

量的正负不统一, 应利用图象的对称性将自变量化归 到同一个单调区间,然后再根据单调性判断.

例.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值 M,则 f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有最小值-M. 例.若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 例 如果 f(x)是 R 上的奇函数,且在[3,6]上有最大值 4,最小值 2,那么函数 f(x)在[-6,-3]上的最大值和最小值各 是多少? 提示:奇函数的图象关于原点对称,联想图象可知函数 f(x)在[-6,-3]上的最大值为-2,最小值为-4. 例.若函数 y=f(x)(x∈R)是奇函数,且 f(1)<f(2),则必有( A.f(-1)<f(-2) B.f(-1)>f(-2) C.f(-1)=f(1) D.f(-2)=f(1) 解析:∵f(1)<f(2),∴-f(1)>-f(2). 又已知 f(x)是奇函数,∴f(-1)>f(-2).答案:B 例 函数 y=f(x)(x∈R)是奇函数,图象必过点 A. (a, -f(a)) B.(-a, -f(a)) C.(a, f(-a)) D.(-a, -f(a)) 例.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则 f(-2),f(-π ),f(3)的大小顺序是________. 解析:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-2)=f(2), f(-π )=f(π ), 又 f(x)在[0,+∞)上递增,而 2<3<π , ∴f(π )>f(3)>f(2), 即 f(-π )>f(3)>f(-2). 答案:f(-π )>f(3)>f(-2) 例.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是( A.f(-2)>f(0)>f(1) B.f(-2)>f(1)>f(0) C.f(1)>f(0)>f(-2) D.f(1)>f(-2)>f(0) 解析:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-2)=f(2), 又∵f(x)在[0,+∞)上递增, ∴f(-2)>f(1)>f(0).
1

)

)

答案:B

例.已知函数 f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且 f(3)<f(1),则( ) A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(-1) C.f(-1)<f(1) D.f(-3)>f(-5) 思路分析:要比较各函数值的大小,需判断函数在区间[-5,5]上的单调性,根据题意,应首先判断函数在区间[0,5]上 的单调性. 解析:函数 f(x)在区间[0,5]上是单调函数,又 3>1,且 f(3)<f(1),故此函数在区间[0,5]上是减函数. 由已知条件及奇函数性质,知函数 f(x)在区间[-5,5]上是减函数. 选项 A 中,-3<-1,故 f(-3)>f(-1). 选项 B 中,0>-1,故 f(0)<f(-1). 同理选项 C 中 f(-1)>f(1),选项 D 中 f(-3)<f(-5). 答案:A 例.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) 解析:利用减函数和奇函数的性质判断. ∵x1+x2>0,∴x1>-x2. 又∵f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数, ∴f(x1)<-f(x2).∴f(x1)+f(x2)<0. 同理,可得 f(x2)+f(x3)<0,f(x1)+f(x2)<0.∴2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)<0. ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)<0. 答案:B )



? ( ) ( 2009 年 陕 西 文 科 卷 ) 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? [ 0 , ? )x1 ? x2 , 有
) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 ( x2 ? x1
C. f (?2) ? f (1) ? f (3)

A. f (3) ? f (?2) ? f (1)

答案:A 例 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)· 2)-f(x1)]>0.则当 n∈N+时, [f(x 有( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)

思路分析:先判断出函数 f(x)的单调性,再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系. 解析:由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0 得 f(x)在 x∈(-∞,0]为增函数. 又 f(x)为偶函数,所以 f(x)在 x∈[0,+∞)为减函数.
2

又 f(-n)=f(n)且 0≤n-1<n<n+1, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1),即 f(n+1)<f(-n)<f(n-1). 答案:C 例.若 y=(a-1)x2-2ax+3 为偶函数,则在(-∞,3]内函数的单调区间为________. 解析:a=0,y=-x2+3 结合二次函数的单调性知. 答案:增区间(-∞,0),减区间[0,3] 例 定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数 f (x) 为增函数,偶函数 g (x) 在区间[0,+∞)上的图象与 f (x) 的图象

重合,设 a > b >0,给出下列不等式: (1)f( b )-f(- a )>g( a )-g(- b ); (2)f( b )-f(- a )<g( a )-g(- b ); (3)f( a )-f(- b )>g( b )-g(- a ); (4)f( a )-f(- b )<g( b )-g(- a ). 其中成立的是( A. (1)与(4) ) B. (2)与(3) C. (1)与(3) D. (2)与(4)

解析:根据函数 f (x) 、 g (x) 的奇偶性将四个不等式化简,得: (1)f( b )+f( a )>g( a )-g( b ); (3)f( a )+f( b )>g( b )-g( a ); (2)f( b )+f( a )<g( a )-g( b ); (4)f( a )+f( b )<g( b )-g( a ).

再由题义,有 f (a ) = g (a ) > f (b) = g (b) > f (0) ? g (0) ? 0 .显然(1)(3)正确,故选 C. 、 【技巧提示】 式联系紧密. 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性,因而往往与不等

二. 求函数的函数值和函数解析式
此类问题的一般解法是: (1)“求谁则设谁”,即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间内. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性写出-f(x)或 f(-x),从而解出 f(x) 例 已知函数 y=f(x)是偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和是( B.2 C.1 D.0 )

A.4

思路分析:以偶函数的图象特征进行判断. 解析:∵偶函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,∴f(x)与 x 轴的四个交点也关于 y 轴对称.因此,若一根为 x1,则它 关于 y 轴对称的根为-x1;若一根为 x2,则它关于 y 轴对称的根为-x2,故 f(x)=0 的四根之和为 x1+(-x1)+x2+(-x2) =0.∴应选 D. 例.已知 f ? x ? ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且定义域为 ? a ? 2, 2a ? ,则 a ? ____, b ? ____;
2

3

例.已知函数 f ( x) ? a ?

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

例. 设 f ( x) ?

a x ? a ?x ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ? x 2 (其中 a,b,c 为常数),且 f ( ?2) ? 5 ,试求 f(2)的值。 2 a x ? a ?x 解:设 g( x) ? ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ,易证 g(x)是奇函数,故 2 g( ?2) ? ?g(2) ,f ( x) ? g( x) ? x 2
(1) ?f ( ?2) ? g( ?2) ? 4 于是 ? ( 2) ?f (2) ? ?g( ?2) ? 4 两式相加得: f (2) ? 8 ? f ( ?2) ? 8 ? 5 ? 3 ,即 f (2) ? 3

例:已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ?
5 3

例.已知 f(x)是偶函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x-3,求 f(x)在 x<0 时的解析式. 解:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), ∵x<0,∴-x>0, ∴f(-x)=(-x)3+2(-x)-3=-x3-2x-3. ∴f(x)=-x3-2x-3(x<0). 例.已知函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=2x+1,根据下列条件求函数在(-∞,0)上的解析式. (1)f(x)是偶函数; (2)f(x)是奇函数.

【例2】 若函数f ? x ?=log a ( x+ x 2 ? 2a 2 )是奇 函数,求实数a的值.

【解析】定义法:由f ? x ?+f (-x )=0, 得log a ( x+ x 2 ? 2a 2 )+log a ( x 2 ? 2a 2-x)=0, 即log a 2a 2=0,所以2a 2=1. 因为a ? 0,所以a= 2 . 2 性质法:因为奇函数的定义域为全体实数, 所以函数在原点有定义, 则f ? 0 ?=0,即log a 2a 2=0, 则2a 2=1,得a= 2 . 2

例 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1 。试求此函数的解析式。 解:(1)当 x=0 时, f (0) ? f ( ?0) ? ? f (0) ,于是 f (0) ? 0 ; (2)当 x<0 时, ?x ? 0 ,则 f ( ? x) ? lg( ? x ? 1) ? 2( ? x) 2 ? 1 ,由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则

f ( x) ? ? f ( ? x) ? ? l g ? x ? 1) ? 2 x 2 ? 1 (
此函数的解析式为 ?? lg( ? x ? 1) ? 2 x 2 ? 1( x ? 0) ? f ( x) ? ?0( x ? 0) ? 3 2 ?x ? 2 x ? 1( x ? 0)
4

例.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=-x2+2x+2. (1)求 f(x)的解析式; (2)画出 f(x)的图象,并指出 f(x)的单调区间. 解(2)先画出 y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应 y=f(x)(x<0)的图象,其图象如下图所示 由图可知,其增区间为[-1,0)及(0,1], 减区间为(-∞,-1]及[1,+∞)

例.已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的表达式. 解:∵x<0,则-x>0, ∴f(-x)=(-x)|(-x)-2|. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|=x|x+2|. 故当 x<0 时,f(x)=x|x+2|.

于原点对称,已知 f(a)求 f(-a),可尝试利用函数的奇偶性.

f(x)=u(x)+1,f(-x)=u(-x)+1, ∴ f(x)+f(-x)=u(x)+u(-x)+2.

5

∵ u(x)是奇函数,u(x)+u(-x)=0, ∴ f(x)+f(-x)=2,则

例. 设 x ?( ?1,1) ,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) ? g( x) ? 2x ? lg(1 ? x) ,求 f(x)的表示式。 解:f(x)是奇函数,有 f ( ?x) ? ?f ( x) ;g(x)是偶函数,有 g( ? x) ? g( x) ,则

( ? f ( x) ? g( x) ? 2 x ? l g 1 ? x) ? ( ? f ( ? x) ? g( ? x) ? 2( ? x) ? l g 1 ? x) ?f ( x) ? g( x) ? 2 x ? lg(1 ? x) 即? ?? f ( x) ? g( x) ? ?2 x ? lg(1 ? x) 1 1? x 两式相减得 f ( x) ? 2 x ? lg( ) 2 1? x

例 设 x∈(-1,1),f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=-2lg(1+x),求 10 和 10g(x)的表达式. 解:法一:与上例同

f(x)

法二:∵x∈(-1,1)关于原点对称,又 f(x)是偶函数 f(-x)=f(x),g(x)是奇函数 g(- x)=-g(x),设 f(x)+g(x)=-2lg(1+x)=F(x),则 F(-x)=-2lg(1-x),而 F(-x) =f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x), ∴2f(x)=F(x)+F(-x) =-2[lg(1+x)+lg(1-x)] =-2lg(1-x ).
2

又 2g(x)=F(x)-F(-x) =-2[lg(1+x)-lg(1-x)]

三. 解不等式
6

例.若函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),又在(0,+∞)上单调递增,且 f(3)=0,则不等式 x· f(x)<0 的解集是________. 解析:

∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数,则 f(x)的简图如右图所示. ∴当 x<0 时,f(x)>0, 则 x∈(-3,0); 当 x>0 时,f(x)<0, 则 x∈(0,3). 答案:(-3,0)∪(0,3)

例. (2004 年上海卷)设奇函数 f(x)的定义域是[-5,5]。当 x ?[0,5] 时,f(x)的图象如图 1,则不等式 f(x)<0 的 解是______________。

图1 解:根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数 y ? f ( x) 在区间[-5,5]上的图象如图 2,易知不等 式 f ( x) ? 0 的解是 ( ?2 ,0) ? (2 ,5] 。

图2

四. 函数的奇偶性的综合应用题
解决有关函数的奇偶性、单调性以及求字母取值范围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出区间上的单调性, 再利用单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化时,自变量必须在同一单调 区间上;当不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式. 例 已知函数 f(x)是定义域为实数集 R 的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,若 f(m)≥f(-2),求实数 m 的 取值范围. 解:函数 f(x)是实数集 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,所以 f(x)在(-∞,0)上是减函数.
7

当 m<0 时,由 f(m)≥f(-2),知 m≤-2; 当 m≥0 时,由 f(m)≥f(-2),f(-2)=f(2), 可得 f(m)≥f(2),知 m≥2. 故所求的 m 的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞). 例 函数 f(x)是奇函数(x ? 0),当 x ? (0,+∞)时是增函数,若 f (1) =0,求不等式 f ( x ? ) 〈0 的解集。

1 2

思路分析:由 f(x)的奇偶性及函数在(0,+∞)上的单调性,不难得出 f(x)在(-∞,0)上的单调性.再将不等式两边化 为函数值的形式,利用单调性便可脱去函数记号“f”,于是问题转化为解不等式. 答案 ( , ) ? (??, ? ) 例 偶函数 f (x) 在定义域为 R,且在(-∞,0]上单调递减,求满足 f ( x ? 3) > f ( x ? 1) 的 x 的集合.

1 3 2 2

1 2

解析:偶函数 f (x) 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. 根据图象的对称性, f ( x ? 3) > f ( x ? 1) 等价于

| x ? 3 | > | x ?1| .
解之, x ? ?1 , ∴ 满足条件的 x 的集合为(-1,+∞).

例 y=f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且 f(x)在(0,1)上是增函数,若 f(a-2)-f(4 -a2)<0,试确定 a 的取值范围. 解 因 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,故它在关于原点对称的两个区间(0,1) 和(-1,0)上具有相反的单调性.而 f(x)在(0,1)上是增函数,于是 f(x)在(-1,0)上 2 2 为减函数,且 f(4-a )=f(a -4). 根据已知 f(a-2)<f(4-a2)=f(a2-4),考虑几种情况: (1)当 a-2 和 a2-4 都在(0,1)上时,有

(2)当 a-2 和 a2-4 都在(-1,0)上时,有

8

(3)当 a-2 和 a2-4 分别在(-1,0)、(0,1)或(0,1)、(-1,0)时,相应的不等式 组无解.



f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,对任意 a、b∈[-1,1],当 a+b≠0 时,都有

f?a?+f?b? >0. a+b

(1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; 1 1 (2)解不等式 f(x- )<f(2x- ). 2 4 解:(1)若 a>b,则 a-b>0,依题意有 f?a?+f?-b? >0 成立,∴f(a)+f(-b)>0. a+?-b? 又∵f(x)是奇函数,∴f(a)-f(b)>0,即 f(a)>f(b). (2)由(1)可知 f(x)在[-1,1]上是增函数.则所求不等式等价于

? ? 1 1 5 ?-1≤2x-4≤1,解得-4<x≤8. ?x-1<2x-1, ? 2 4
1 -1≤x- ≤1, 2 例: 定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 (??,0) 是单调递减, f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1) , a 的取值范围是如何? 若 则
2 2

例. 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 5 (a ? 0,b ? 0) 是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小值 2,其中 b ? N ? ,且 f (1) ? bx ? c 2 (1)试求 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。 解:知函数 y ? f ( x)(a ? 0,b ? 0) 是奇函数, f ( ?x) ? ?f ( x) ,则 c=0
由于 f ( x) ? 解得

a 1 a a ?1 5 x? ? 2 2 ,所以 a ? b 2 ,又 a ? b 2 ,又 f (1) ? ? ,于是 2b 2 ? 5b ? 2 ? 0 b bx b 2 b

1 ? b ? 2 ,又 b ? N ? 2
9

所以 b=1,a=1 1 所以 f ( x) ? x ? x (2)设点(x0 ,y0 )存在关于点(1,0)对称点( 2 ? x 0 ,y0 ),此两点均在函数 y ?

x2 ? 1 的图象上,则 x

y0 ?

x02 ? 1 (2 ? x 0 ) 2 ? 1 , ? y0 ? 2 2 ? x0
2

联立以上两式得 x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 ,即 x 0 ? 1 ? 2 ,从而,当 x 0 ? 1 ? 2 时,得 y 0 ? 2 2 ;当 x 0 ? 1 ? 2 时, 得 y 0 ? ?2 2 即存在点( 1 ? 2 ,2 2 ),( 1 ? 2 , ? 2 2 )关于点(1,0)对称。

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