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A版高二数学选修2-3《2.4正态分布》课件


选修2-3

2.4 正态分布

情境引入
1. 高 尔 顿 钉 板 实 验

2.高尔顿板试验过程
重复进行高尔顿板试验, 随着试验次数的增加, 掉入各个球槽内的小球 的个数就会越来越多, 堆积的高度也会越来越 高.各个球槽内的堆积高 度反映了小球掉入各球 槽的个数多少.

高尔顿板示意图

3. 频率分布直方图
为了更好地考察随着试验次数的增加,落在各个球 槽内的小球分布情况,我们进一步从频率的角度探究一 下小球的分布规律. 以小球的编号为
频率 组距 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15

横坐标,以小球 落入各个球槽内 的频率值为纵坐 标,可以画出频 率分布直方图.

0.10
0.05 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 球槽编号

4. 频率分布折线图
频率 组距 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15

0.10
0.05 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 球槽编号

5. 总体密度曲线
随着试验重复次数(样本容量)的增大,频率分 布折线图越来越接近一条光滑的曲线
频率 组距

总体密度曲线

O

球槽编号

6. 总体密度曲线
y

钟形曲线

O

x

新知探究
1. 正态曲线
y

我们在上述试验中所 得到的这条曲线就是 O x (或近似地是)下面函 ( x ? ? )2 ? 1 2 2 ? 数的图象: ?? ,? ( x) ? e , x ? (??, ??), 2?? 其中实数μ和σ(σ >0)为参数.我们称 ?? ,? ( x) 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

2. 正态分布
如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽, 并沿其底部建立一个水平坐标轴,其刻度单 位为球槽的宽度,用X表示落下的小球第1次 与高尔顿板底部接触的坐标,则X是一个随机 y 变量.

O

x

X落在区间(a,b]的概率为

P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x) d x,
a

b

即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴 的垂线,及x轴所围成的平面图形(阴影部分) 的面积,就是X落在区间(a,b]的概率的近似值.
y

O

a

b

x

(1) 正态分布的定义
一般地,如果对于任何实数 a, b(a<b) , 随机变量X满足

P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x) d x,
a

b

则称随机变量X服从正态分布. 正态分布完 全由参数μ和σ确定,正态分布常记作 N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布, 则记为 X~ N(μ,σ2).

P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x) d x
a

b

关于参数μ和σ:
参数μ是反映随机变量取值的平均水平 的特征数,可以用样本的均值去估计; 参数σ是 衡量随机变量总体波动大小的 特征数,可以用样本的标准差去估计.

总体平均数反映总体随机变量的平均水平;
总体标准差反映总体随机变量的集中与分 散的程度.

?1 ?2
平均数

(2) 标准正态分布
特别地,当μ=0,σ=1时,正态总体称为 标准正态总体,这时相应的正态分布密度函 数表达式为

1 ?? ,? ( x) ? e 2?

x2 ? 2

, x ? (??, ??).

这时的曲线称为标准正态曲线,这时的正态 分布称为标准正态分布.

观察下图,结合 ?? ,? ( x) 的解析 式及概率的性质,你能说说正态曲线 的特点吗? ( x ? ? )2 ? 1 2? 2 ?? ,? ( x) ? e , x ? (??, ??) 2?? y

O

a

b

x

3. 正态曲线的特点
y
μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1

y

y
μ=1
σ=2

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2

3

x

-3 -2 -1 0

1

2 3

4x

具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

3. 正态曲线的特点
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1.
1 σ 2π ;

方差相等、均值不等的正态分布图示
μ=-1
μ=0 μ=1 若? 固定, 随?值 的变化而 沿x轴平 移, 故 ? 称为位置 参数;

σ=0.5

?3

?1

?2

均值相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
? =0.5
若 ?固定, ? 大 时, 曲线矮而胖; 小时, 曲线瘦 ? , 故称 而高 ? 为形状参数 .

? =1

? =2

?

4.正态曲线下的面积规律
(1)x轴与正态曲线所夹面积恒等于1;

(2)对称区域面积相等.

S(-?,-x)

S(x,+?)=S(-?,-x)

?

5.特殊区间的概率(3σ原则)
2 ( ? , ? ) ,则对于任何实数a>0,概率 若X~N

为下图中的阴影部分的面积,对于固定的 ? 和 a 而言,该面积随着 ? 的减少而变大,这说明 ? 越小, 落在区间 (? ? a, ? ? a]的概率越大,即X集 中在 ? 周围概率越大.

P(? ? a ? X ≤ ? ? a) ? ?

? ?a ? ?a

? ? ,? ( x )d x

?-a

x=μ ?+a

特别地有

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
如下表:
区 间 取值概率 68.26% 95.44% 99.74% (μ -σ ,μ +σ ] (μ -2 σ ,μ +2 σ ] (μ -3 σ ,μ +3 σ ]

上述结果还可用下图表示:
68.26% 95.44% 99.74%

可以看到,正态总体几乎总取值于区间 ?? ? 3? , ? ? 3? ? 之内.而在此区间以外取值的概 率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中 几乎不可能发生(小概率事件). 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量X只取 ?? ? 3? , ? ? 3? 之间的 ? 值,并简称之为3σ原则.


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