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2014届高考数学一轮复习 第45讲《空间几何体的表面积和体积》热点针对训练 理


第45讲

空间几何体的表面积和体积

1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是( B ) A. 3 B.3 C.4 D.5 4 3 2 解析:设球的半径为 R,则 π R =4π R ,所以 R=3. 3 2.( 2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C )

360 580

B. 3 3 C.200 D.240 解析 :由三视图可知该几何体为直四棱柱,其高为 10,底面是上底边为 2,下底边为 8 1 的等腰梯形,所以底面面积为 (2+8)×4=20,所以 V=20×10=200.故选 C. 2 3.(2012·山东省日照市高三 12 月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,已知 这个球的表面积 是 12π ,那么这个正方 体的体积是( C ) A. 3 B.4 3 C.8 D.24 2 解析:设球的半 径为 R,则 4π R =12π ,从而 R= 3,所以正方体的体对角线为 2 3, 3 故正方体的棱长为 2,体积为 2 =8,故选 C. A.

4.如图,一个简单组合体的正 (主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形 与一个正三 角形构成的相同的图形,俯视图是一个半径为 3的圆(包括圆心).则该组合体的表 面积等 于( C ) A.15π B.18π C.21π D.24π 解析:由题 意可知,该组合体的下面为圆柱体,上面为圆锥体,由相应几何体的面积 2 2 计算公式得,该组合体的表面积为:S=π r +2π rh+π rl=π ( 3) +2π × 3×2 3+ π × 3×2 3=21π . 5.(2012·南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为 1 m 的半圆, 则该圆 3π 3 锥的体积是 m. 24 解析:设圆锥的底面圆的半径为 r,高为 h, 1 1 2 3 2 则由 2π r=π 得 r= ,h= 1 -? ? = , 2 2 2 1 1 2 3 3π 3 所以该圆锥的体积 V= π ×( ) × = (m ). 3 2 2 24 6.若正方体的棱长为 2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
1

2 3

. 解析:可知凸多面体可分为两个同底(底面为边长为 1 的正方形)等高(高为 2 )的正四 2

1 2 2 棱锥,其体积为 V=2× ×1×1× = . 3 2 3 7.(2013·上海市高三下七校联考)已知 S、 、 、 是球 O 表面上的点, ⊥平面 ABC, A B C SA AB⊥BC,SA=1,AB=BC=2,则 球 O 的表面积为 9π .

解析:由题知:△SAC,△SAB,△SBC 均为直角三角形,O 是 SC 的中点,从而 OB=OA 1 3 = SC=OS=OC= ,所以球 O 的表面积为 9π . 2 2 8.下图是一个几何体的三视图(单位:cm),试画出它的直观图,并计算这个几何体 的体积与表面积.

解析:这个几何体的直观图如图所示. 3 因为 V 长方体=10×8×15=1200(cm ), 1 4 3 又 V 半球= × π R 2 3 1 4 5 3 = × π ×( ) 2 3 2 125 3 = π (cm ), 12 所以所求几何体体积为 125 V=V 长方体+V 半球=1200+ π (cm3). 12 2 因为 S 长方体全=2×(10×8+8×15+10×15)=700(cm ), 25 2 故所求几何体的表面积 S 表面积=S 长方体全+S 半球-S 半球底=700+ π (cm ). 4 9.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与四个面都相切, 求棱锥的表 面积和球的半径.

2

解析:过 PA 与球心 O 作截面 PAE 与平面 PCB 交于 PE,与平面 ABC 交于 AE,因△ABC 是 正三角形,易知 AE 即是△ABC 中 BC 边上的高,又是 BC 边上的中线,作为正三棱锥的高 PD 通过球心,且 D 是三角形△ABC 的重心,据此根据底面边长为 2 6, 1 1 3 即可算出 DE= AE= × ×2 6= 2, 3 3 2

PE= 1+?

2?

2

= 3.

r 1-r 由△POF∽△PED,知 = , DE PE
1-r ,r= 6-2, 2 3 所以 S 表=S 侧+S 底 1 3 2 =3× ×2 6× 3+ ×(2 6) 2 4 所以 = =9 2+6 3.

r

3


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