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2015届天津市河东区高三一模考试数学(文)试题


2015 届天津市河东区高三一模考试数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试 用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交

回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题
注意事项:

共 40 分)

1. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 2.本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1.复数 z ?

2?i (i为虚数单位) 在复平面内对应的点所在象限为( 2?i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

A.第一象限

? x ? 2 y ? 1, ? 2.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? y ? 1 ? 0. ?
A. -3 C.1 3.某程序框图如图 1 所示,则输出的结果 S=( A.26 C.120 B. 0 D.3 ) B.57 D.247 ) D.3



4.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为( A.0 B.1 ) C. 2

5.下列说法正确的是个数为(

① a ? 1 是直线 x ? ay ? 0 与直线 x ? ay ? 0 互相垂直的充要条件 ② 直线 x ?

?
12

是函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象的一条对称轴

2 2 ③ 已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2 ,则圆心 C 到直线 l 的距

离是 2 2 ④若命题 P : “ 存在 x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ” ,则命题 P 的否定: “ 任意 x ? R ,
2

x2 ? x ? 1 ? 0 ”
A. 1 6.已知双曲线 B.2 C. 3 D.4

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点 a 2 b2


的椭圆的离心率等于( A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

7.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 ,不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是( A. ? ? ?1,7 ? ? C. ? ??,7 ? ? ) B. ??,3? ? D. ??, ?1? ? ? ? ?7, ??

?

?

?

?

?

8.若直角坐标系内 A、B 两点满足: (1)点 A、B 都在 f(x)的图像上; (2)点 A、B 关于 原点对称,则称点对(A,B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)

? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? 可看作一个“姊妹点对”。 已知函数 ( f x) =? 2 , 则( f x) 的“姊妹点对”有 ( ? x ( x ? 0) ? e
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个



河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试

数学试卷(文史类)
第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡横线上.) 9.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一 个容量为28的样本,则样本中女运动员的人数为 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 人. .

11.如右图 3,AB 是圆 O 的直径,直线 CE 和圆 O 相切于点 C,

AD ? CE 于 D,若 AD=1, ?ABC ? 30? ,则圆 O 的面积
是 . 图3

12.函数 y ? a1? x ? a ? 0,a ? 1? 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0 ? mn ? 0? 上,则

1 1 ? 的最小值为 m n



13.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x , 若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是
0 14.在 ?ABC 中, ?BAC ? 120 , AB ? 2 , AC ? 1 , D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD ,

则 AD ? BC ?

.

三、解答题: (本大题 6 个题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别 为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜 色不同且标号之和小于 4 的概率.

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递减区间. 3 3

17. (本小题满分 13 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB ? 5 ,AA1=4,点 D 是 AB 的 中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC 1//平面 CDB1; (3)求二面角 B-CD-B1 正切值的大小。

18.(本小题满分 13 分)
2 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且对任意的 n∈N?,都有 2Sn= an +an

(1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 b1=1,2bn+1-bn=0, (n∈N?).若 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线方程; (2)当 a≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

密 封 密 封 线

20. (本小题满分 14 分) 设 F1,F2 分别是椭圆



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为椭圆上的任意一点, a 2 b2

装 不

满足 PF 1 F2 的周长为 12. 1 ? PF 2 ? 8 , ?PF (1)求椭圆的方程; (2)求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值; 要 答

订 线

0? , B?2, 0? ,是否存在过点 A 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C,D ,使 (3)已知点 A?8,
得 BC ? BD ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.



河东区 2014 年高考一模试卷

数 学 答 案(文史类)
一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题给出的四个选项只有一个符 合题目要求。 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 C 8 B

二、 填空题 每小题 5 分,共 30 分. 9. 12 ,10.108+3 ? ,11. 4 ? ,12. 4 ,13. —2<a<1 ,14. ?

8 3

三、解答题:本大题 6 个题,共 80 分 15.解 (1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1, 红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色 不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 P ?

3 . 10

(2)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外, 多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中 颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ? 16. 解: (1)∵ f ( x) ? sin 2 x ? 3cos2 x

8 . 15

? 2sin(2 x ? ) 3

?

? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(2)∵ x ? [ ? .

? ?
3 3 ,

] , ??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

? f ( x) 的值域为 [? 3, 2] . f ( x) 的递减区间为 ?

?? ? ? , ?. ?12 3 ?

17.证明: (1)由勾股定理逆定理得, AC ? BC ,因为直三棱柱中 CC1 ? 平面ABC ,

?CC1 ? AC ,? AC ? 平面BB1C1C ,? AC ? BC1 ;
(2)假设 BC1 ? B1C=O ,连结 OD,由中位线得 OD∥ C1A ,所以 C1A ∥平面 CDB1 ; (3)作 BE ? CD 延长线于 E 连结 B1E ,易知 ?B1EB 即为二面角平面角,

在直角三角形 B1EB 中, B1B =4,BE=

BB 5 12 ,所以 tan ?B1EB= 1 = 。 5 BE 3

2 18. 解: (1)当 n=1 时,由 2a1=2S1= a1 ? a1 ,a1>0,得 a1=1 2 2 当 n≥2 时,由 2an=2Sn-2Sn-1=( an +an)-( an ?1 ? an?1 )

得(an+an-1)(an-an-1-1)=0 因为 an+an-1>0,所以 an-an-1=1 故 an=1+(n-1)×1=n (2)由 b1=1,

1 1 bn ?1 1 ? ,得 bn= ( )n ?1 ,则 cn=n ( )n ?1 2 2 bn 2

因为 Tn= 1 ? 2( ) ? 3( ) ? ??? ? n( )
1 2

1 2

1 2

1 2

n ?1



1 1 1 1 1 Tn ? ? 2( ) 2 ? ??? ? (n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ? ( ) 2 ? ??? ? ( ) n ?1 ? n( ) n 得 2 2 2 2 2 1 n =2-(n+2) ( ) 2 1 n ?1 所以 Tn=4-(n+2) ( ) 2 2 19. 解: (1) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ? ? 1, x ? (0,?? ), x
所以 所以

f ' ( x) ?

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? , ) x2

? 1, 因此, f(2)
即 又 曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线斜率为 1 , .

f (2) ? ln 2 ? 2,

所以曲线

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,

即x ? y ? ln 2 ? 0.
(2)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

所以

f ' ( x) ?

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,



g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0时, h( x) ? ? x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递 (2)当 a ? 0时,由f?(x)=0
2 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 a

①当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立, 2

此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递增;

1 时,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 2 1 函数 f ( x ) 在 (1, ? 1) 上单调递增; a 1 函数 f ( x)在( ? 1, ??) 上单调递减, a
当a ?

20.解: (1)由题意得: 2a ? 8, 2a ? 2c ? 12 ,所以 a ? 4, c ? 2, b2 ? 12 ,

所以椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1; 16 12

2 2 (2)因为 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,设 P(x,y)则 PF 1 ? PF2 = x ? y ? 4 =
2

???? ???? ?

因为 0 ? x ? 16 ,所以 8 ? PF 1 ? PF 2 ? 12 ,所以最大值为 12,最小值为 8; (3)当直线斜率不存在时,直线与椭圆无交点;所以假设直线斜率为 k,

???? ???? ?

1 2 x ?8, 4

? y ? k ( x ? 8) ? 则 l : y ? k ( x ? 8) ,联立 ? x 2 y 2 得, (4k 3 ? 3) x2 ? 64k 2 x ? 16(16k 2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? ?16 12
由⊿>0 得, ?

1 1 ?k? ; 2 2

设交点 C( x1 , y 1 ), D( x2 , y2 ), CD 中点 M ( x0 , y0 ) ,

?24k 64k 2 32k 2 因为 x1 ? x2 ? ,所以 x0 ? , y0 ? k ( x0 ? 8) ? , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3
因为 BC ? BD , 所以 BM ? CD , 因为 K BM ? 方程无解,所以不存在直线使结论成立。

?24k ?24k 2 K K ? ? ?1 , , 所以 BM 24k 2 ? 6 24k 2 ? 6


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