当前位置:首页 >> 数学 >>

2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)逐题详解


2012 年全国统一高考数学试卷(新课标版) (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. (2012?课标文)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( ) A. A?B B. B?A C. A=B D. A∩B=? 解:由

题意可得,A={x|﹣1<x<2}, ∵B={x|﹣1<x<1}, 在集合 B 中的元素都属于集合 A,但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中,例如 x= ∴B?A. 故选 B.
2

2. (2012?课标文)复数 z= A. 2+i 解:复数 z= = B. 2﹣i

的共轭复数是(

) C. ﹣1+i D. ﹣1﹣i

=

=﹣1+i.

所以复数的共轭复数为:﹣1﹣i. 故选 D. 3. (2012?课标文)在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) (n≥2,x1,x2,…,xn 不全相 等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi) (i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的 样本相关系数为( A. ﹣1 ) B. 0

C.

D. 1

解:由题设知,所有样本点(xi,yi) (i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上, ∴这组样本数据完全正相关,故其相关系数为 1, 故选 D.

4. (2012?课标文)设 F1、F2 是椭圆 一点,△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. 解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= 上一点

的左、右焦点,P 为直线 x= ) D.



第 1 页(共 11 页)

∴ ∴ 故选 C.

5. (2012?课标文)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ,B(1,3) ,顶点 C 在第一象限,若点(x, y)在△ ABC 内部,则 z=﹣x+y 的取值范围是( ) A. (1﹣ ,2) B. (0,2) C. ( ﹣1,2) D. (0,1+ ) 解:设 C(a,b) , (a>0,b>0) 由 A(1,1) ,B(1,3) ,及△ ABC 为正三角形可得,AB=AC=BC=2 2 2 2 2 即(a﹣1) +(b﹣1) =(a﹣1) +(b﹣3) =4 ∴b=2,a=1+ 即 C(1+ ,2) 则此时直线 AB 的方程 x=1,AC 的方程为 y﹣1= (x﹣1) ,直线 BC 的方程为 y﹣3=( ) (x

﹣1) 当直线 x﹣y+z=0 经过点 A(1,1)时,z=0,经过点 B(1,3)z=2,经过点 C(1+ ﹣ ∴ 故选 A

,2)时,z=1

第 2 页(共 11 页)

6. (2012?课标文)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,an,输出 A, B,则( )

A. A+B 为 a1,a2,…,an 的和 B. 为 a1,a2,…,an 的算术平均数 C. A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数

第 3 页(共 11 页)

D. A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最小的数和最大的数 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知,该程序的作用是:求出 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1,a2,…,an 中最大的数,B 为 a1,a2,…,an 中最小的数 故选:C. 7. (2012?课标文)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几 何体的体积为( )

A. 6 B. 9 C. 12 解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为 3; 底面三角形斜边长为 6,高为 3 的等腰直角三角形, 此几何体的体积为 V= 故选 B. ×6×3×3=9.

D. 18

8. (2012?课标文)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 的体积为( ) A. B. 4 π C. 4 π D. 6 π π 解:因为平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 , 所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选 B. 9. (2012?课标文)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 条相邻的对称轴,则 φ=( ) A. B. 解:因为直线 x= 和 x= 和 x= = =4 . π.

,则此球

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两

C.

D.

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,

第 4 页(共 11 页)

所以 T= 小值,0<φ<π, 所以 φ= 故选 A. .

=2π.所以 ω=1,并且 sin(

+φ)与 sin(

+φ)分别是最大值与最

10. (2012?课标文)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A, B 两点, ,则 C 的实轴长为( ) A. B. C. 4 D. 8 解:设等轴双曲线 C:x ﹣y =a (a>0) , 2 y =16x 的准线 l:x=﹣4, 2 ∵C 与抛物线 y =16x 的准线 l:x=﹣4 交于 A,B 两点, ∴A(﹣4,2 ) ,B(﹣4,﹣2 ) , 将 A 点坐标代入双曲线方程得 ∴a=2,2a=4. 故选 C. 11. (2012?课标文)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是( A. (0, )
x x 2 2 2

2

=4,

) D. ( ,2)

B.



,1)

C. (1,



解:∵0<x≤ 时,1<4 ≤2 要使 4 <logax,由对数函数的性质可得 0<a<1, 数形结合可知只需 2<logax, ∴
x



对 0<x≤ 时恒成立



解得 故选 B

<a<1

第 5 页(共 11 页)

12. (2012?课标文)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为( A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
n

n



解:由于数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5, a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97. 从而可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a11+a9=2,a12+a10=40,a15+a13=2,a16+a14=56,… 从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2, 从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项,以 16 为公差的等差数列. {an}的前 60 项和为 15×2+(15×8+ 故选 D. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (2012?课标文)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y=4x﹣3 . 解:求导函数,可得 y′=3lnx+4, 当 x=1 时,y′=4, ∴曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y﹣1=4(x﹣1) ,即 y=4x﹣3. 故答案为:y=4x﹣3. 14. (2012?课标文)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q= ﹣2 . 解:由题意可得,q≠1 ∵S3+3S2=0 ∴ ∴q +3q ﹣4=0 2 ∴(q﹣1) (q+2) =0 ∵q≠1 ∴q=﹣2 故答案为:﹣2
3 2

)=1830,

15. (2012?课标文)已知向量

夹角为 45°,且

,则

= 3



第 6 页(共 11 页)

解:∵ ∴ ∴|2 解得 故答案为:3 |=

, = =

=1

=

=

16. (2012?课标文)设函数 f(x)=

的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= 2 .

解:函数可化为 f(x)= 令 ∴ ,则

= 为奇函数,



的最大值与最小值的和为 0.

∴函数 f(x)= 即 M+m=2. 故答案为:2.

的最大值与最小值的和为 1+1+0=2.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (2012?课标文) 已知 a, b, c 分别为△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边, (1)求 A; (2)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 解: (1)∵acosC+ asinC﹣b﹣c=0 ∴sinAcosC+ sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0 ∴sinAcosC+ sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC ∵sinC≠0 ∴ sinA﹣cosA=1 ∴sin(A﹣30°)= ∴A﹣30°=30° ∴A=60° (2)由 由余弦定理可得,a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA 2 2 即 4=(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣12 ∴b+c=4
2 2 2 2

第 7 页(共 11 页)

解得:b=c=2 18. (2012?课标文)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价 格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位: 元) 关于当天需求量 n (单位: 枝, n∈N) 的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 15 16 17 18 19 20 日需求量 n 14 10 20 16 16 15 13 10 频数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求 当天的利润不少于 75 元的概率. 解: (Ⅰ)当日需求量 n≥17 时,利润 y=85;当日需求量 n<17 时,利润 y=10n﹣85; (4 分) ∴利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式 (n∈N ) (6 分)
*

(Ⅱ) (i)这 100 天的日利润的平均数为

元; (9 分)

(ii)当天的利润不少于 75 元,当且仅当日需求量不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率 为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7. (12 分) 19. (2012?课标文)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1, D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

证明: (1)由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面 ACC1A1,又 DC1?平面 ACC1A1, ∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, ∴∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC,又 DC∩BC=C, ∴DC1⊥平面 BDC,又 DC1?平面 BDC1, ∴平面 BDC1⊥平面 BDC;

第 8 页(共 11 页)

(2)设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 V1= × 又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1, ∴(V﹣V1) :V1=1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1:1.

×1×1= ,

20. (2012?课标文)设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A∈C,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点; (1)若∠BFD=90°,△ ABD 的面积为 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点 到 m,n 距离的比值. 解: (1)由对称性知:△ BFD 是等腰直角△ ,斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离 , ∵△ABD 的面积 S△ ABD= , ∴ =
2 2

2



解得 p=2,所以 F 坐标为(0,1) , ∴圆 F 的方程为 x +(y﹣1) =8. (2)由题设 ,则 ,

∵A,B,F 三点在同一直线 m 上, 又 AB 为圆 F 的直径,故 A,B 关于点 F 对称. 由点 A,B 关于点 F 对称得:

得:

,直线 切点



直线 坐标原点到 m,n 距离的比值为
x



21. (2012?课标文)设函数 f(x)=e ﹣ax﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, (x﹣k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值. x x 解: (I)函数 f(x)=e ﹣ax﹣2 的定义域是 R,f′(x)=e ﹣a, x x 若 a≤0,则 f′(x)=e ﹣a≥0,所以函数 f(x)=e ﹣ax﹣2 在(﹣∞,+∞)上单调递增. x x 若 a>0,则当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=e ﹣a<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)=e ﹣a>0;所 以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增. x (II)由于 a=1,所以, (x﹣k) f? (x)+x+1=(x﹣k) (e ﹣1)+x+1

第 9 页(共 11 页)

故当 x>0 时, (x﹣k) f? (x)+x+1>0 等价于 k<

(x>0)①

令 g(x)=

,则 g′(x)=
x

由(I)知,函数 h(x)=e ﹣x﹣2 在(0,+∞)上单调递增,而 h(1)<0,h(2)>0,所以 h(x) x =e ﹣x﹣2 在(0,+∞)上存在唯一的零点,故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为 α,则有 α∈(1,2) 当 x∈(0,α)时,g′(x)<0;当 x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;所以 g(x)在(0,+∞)上的最 α 小值为 g(α) .又由 g′(α)=0,可得 e =α+2 所以 g(α)=α+1∈(2,3) 由于①式等价于 k<g(α) ,故整数 k 的最大值为 2 22. (2012?课标文)如图,D,E 分别为△ ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△ BCD∽△GBD.

证明: (1)∵D,E 分别为△ ABC 边 AB,AC 的中点 ∴DF∥BC,AD=DB ∵AB∥CF,∴四边形 BDFC 是平行四边形 ∴CF∥BD,CF=BD ∴CF∥AD,CF=AD ∴四边形 ADCF 是平行四边形 ∴AF=CD ∵ ,∴BC=AF,∴CD=BC. ,所以 .

(2)由(1)知

所以∠BGD=∠DBC. 因为 GF∥BC,所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC. 所以△ BCD~△ GBD.

第 10 页(共 11 页)

23. (2012?课标文)选修 4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立

坐标系,曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针 次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) .

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; 2 2 2 2 (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围. 解: (1)点 A,B,C,D 的极坐标为 点 A,B,C,D 的直角坐标为 (2)设 P(x0,y0) ,则
2 2 2 2 2 2

为参数)
2

t=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| =4x +4y +16=32+20sin φ 2 ∵sin φ∈[0,1] ∴t∈[32,52] 24. (2012?课标文)已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. 解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即① ,或② ,

或③



解①可得 x≤1,解②可得 x∈?,解③可得 x≥4. 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}. (2)原命题即 f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2 时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为 0, 故 a 的取值范围为[﹣3,0].

第 11 页(共 11 页)


相关文章:
2015年高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解_(纯word...
2015年高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解_(纯word解析版)_高考_高中教育_...2015 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标 I)参考答案与试题解析 一、选择...
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标i)解析
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标i)解析_高考_高中教育_教育专区。高考...{8,14}, 故集合 A∩B 中元素的个数为 2 个, 故选:D. 点评: 本题...
2012年全国卷高考文科数学试题及答案新课标1_图文
绝密*启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷) 文科数学注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将...
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)答案与解析
2012 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标版)参考答案与试题解析 一、选择题...(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(...
2014年高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解_(纯word...
2014 年高考文科数学试题全国新课标逐题详解 (纯 word 解析版) 第Ⅰ卷一....z= +i= +i= B. .故|z|= = . 【2014 年全国新课标Ⅰ(文 04) 】...
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)
(i) 假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花, 求这 100 天的日利润 ...2012 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标)参考答案与试题解析 一、选择题:...
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标i)解析
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标i)解析_高考_高中教育_教育专区。2015 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标 I)一、选择题:本大题共 12 小题,每...
2012年 全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)
2012 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标版)一、选择题:本大题共 12 小...(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(...
(新课标版)(文科)2012年全国统一高考数学试卷
2012 年全国统一高考数学试卷 (新课标) (文科)一、选择题:本大题共 12 ...(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(...
2012年高考文科数学真题全国卷新课标版
绝密★启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1. 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II...
更多相关标签: