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数列求和说课稿


课题

数列的求和 说课稿

制作人:袁红 单 位:沂水四中

一、考纲分析
1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式; 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法; 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问 题.

二、考情分析
五年考

情:在近 5 年山东高考理科卷中,数列在试卷中的位置:
14 年,T19(12 分) ; 13 年,T20(12 分) ; 12 年,T20(12 分) ; 11 年,T20(12 分) ; 10 年,T9 (5 分) ,T18(12 分) 从近 5 年的考情看,数列是必考的一个解答题: 1.数列求和主要考查:(1)等差数列和等比数列的求和.(2)使用裂项法、错位相减法的求 和.(3)根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和. 2.数列求和问题一般以数列的基本问题为先导,在解决数列基本问题后考查数列求和. 3.以解答题为主,难度中等或稍难.

三、学生感悟
1.(2014 新课标全国卷)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的 前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) n(n+1) C. 2 n(n-1) D. 2

【解析】由题意,得 a2,a2+4,a2+12 成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得 a2=4, n(n-1) 即 a1=2,所以 Sn=2n+ ×2=n(n+1). 2 【答案】A 通过此题,引出基础知识 1.数列求和的基本方法—公式法. 2.(2012 大纲全国高考)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列

{

1 } 的前 100 项和为( an an ?1
100 101
(B)



(A)

99 101

(C)

99 100

( D)

101 100

1

?a1 ? 4d ? 5, ? 【 解 析 】 设 {an } 的 公 差 为 d, 则 有 ? 5 ? (a ? a ) 解 得 a1 ? 1, d ? 1 , 则 an ? n , 1 5 ? 15, ? ? 2
1 1 1 1 1 , 设 数 列 { ? ? ? } 的 前 100 项 和 为 T100 , an an ?1 n(n ? 1) n n ? 1 an an ?1
1 1 1 1 1 1 100 ? T100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 2 3 100 101 101 101
【答案】A 通过此题,引出基础知识 2.数列的求和方法--裂项法. 3.(2011 安徽高考)若数列 ?an ?的通项公式是 an ? ? ?1?
n

? 3n ? 2 ? ,则 a1 ? a2 ? …

?a10 ? (
(A)15

) (B)12 C) ? 12 (D) ? 15

【解析】观察数列 ?an ?的性质,得到 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3. 故 a1 ? a2 ? 【答案】A 通过此题,引出基础知识 3.数列的求和方法—并项法. 4. (2012 山东高考改编) 已知等差数列
m 2m

? a10 ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ?

? ? a9 ? a20 ? ? 15.

?an ? 中,a

n

?a ? 对任意 m ? N * , 将数列 n ? 9n ? 8 ,

?b ? b S 中落入区间 (9 ,9 ) 内的项的个数记为 m ,则数列 m 的前 m 项和 m
.

9m ? an ? 92m ,即 9 m ? 9n ? 8 ? 9 2m ,所以 【解析】由题意知
8 8 bm ? (9 2 m?1 ? ) ? (9 m?1 ? ) ? 9 2 m?1 ? 9 m?1 9 9 ,
于是

9 m ?1 ?

8 8 ? n ? 9 2 m ?1 ? 9 9,

S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 93 ? ? ? 92m?1 ? (90 ? 91 ? ? ? 9m?1 )

?

9 ? 9 2 m?1 1 ? 9 m 9 2 m?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? 1? 9 80 8 80 80 8 , 1 ? 92 Sm ? 9 2 m?1 ? 1 9 m ? 80 8 .



2

【答案】

Sm ?

9 2 m?1 ? 1 9 m ? 80 8

通过此题,引出基础知识 4.数列的求和方法—分组求和.. 5.(2014 四川高考改编)已知等差数列{an}的公差为 1,首项 a1=1,点(an,bn)在函数 f(x)
?an? =2x 的图像上(n∈N*).则数列?b ?的前 n 项和 Tn 等于 ? n?

. a n

【解析】由题意有 an=n, bn ? 2

an

? 2n ,所以数列{bn}的通项公式为bn=2n,
n n

a

n-1 n 1 2 3 所以 Tn= + 2+ 3+…+ n-1 + n, 2 2 2 2 2

n ?1 1 2 3 n + + 2 +… + n + n-1, 1 2 2 2 2 n+1 1 1 1 n 1 n 2 -n-2 因此,2Tn-Tn=1+ + 2+…+ n-1- n=2- n-1- n= . 2 2 2 2 2n 2 2
2Tn= 2n 1-n-2 所以,Tn= . 2n


2n 1-n-2 【答案】Tn= . 2n


通过此题,引出基础知识 5.数列的求和方法—错位相减法.

这 5 个高考题,学生课前完成,根据学生做题情况,制定如下教学目 标和要求. 四、教学目标和要求
根据上述教材分析和考情分析,制定如下教学目标:

1、知识与技能目标:
(1)掌握数列求和的几种常用方法; (2)灵活运用数列求和的几种常用方法.

2、过程与方法目标:
(1)提前让学生做这份学案,以学定教,体现学生自主学习; (2)在学生自主学习中,发现问题,找出错误,师生共同寻找解决问题的突破口; (3)通过分析高考题目,了解数列在高考中的地位及高考动向.

3、情感态度与价值观目标:
通过学生独立思考,培养学生分析问题、解决问题的能力。 重点与难点 重点:掌握数列求和的几种常用方法 难点:灵活运用数列求和的几种常用方法处理数列求和问题 教学方法 分析、点拨、归纳 教具准备 学案纸及多媒体教学设备

四、教学过程
3

(一)基础知识 数列求和的基本方法: 1.公式法:适合求等差数列或等比数列的前 n 项和. (1)等差数列的前 n 项和公式:S n =

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(2)等比数列的前 n 项和公式:当 q ? 1, 时,S n = na1 , 当 q ? 1 时,S n =

a1 (1 ? q n ) . 1? q

2.裂项法 把数列的通项拆成两项,在求和时一些正负项相互抵消,这一求和方法称为裂项法.适用于 求通项为 3.并项法 对通项公式中含有 (?1) n 的一类数列,常用并项法求和. 4.分组求和法 此方法适应于一个等差数列与一个等比数列 (或者两个公比不同的等比数列) 的对应项相加、 减构成的新数列,或者数列的通项公式是分奇数项、偶数项讨论的数列等. 5.错位相减法 此方法适应于一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘构成的新数列. (二)高考题精析

1 1 1 1 1 的数列的前 n 项和.其中 ?an ? 为等差数列,则 ? ( ? ). an an ?1 an an?1 d an an?1

例 1. [2013 山东高考(理)]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ 求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 【思路分析】 (Ⅰ)先设出等差数列的首项和公差,然后根据 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1 可列方 程组求得数列的通项公式; (Ⅱ)先根据前 n 项和与通项的关系求出 ?bn ? 的通项公式,由 cn=b2n 求出 ?cn ? 的通项,再 利用错位相减法求出 Rn. 【设计意图】 (1)让学生熟练掌握等差数列的通项及前 n 项和公式; (2)理解由前 n 项和求 通项的解法及错位相减法求和.本题由学生板演,主要展示错位相减法的具体解题步骤. 解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d,

an ? 1 ? = ? ( ? 为常数) ,令 cn=b2n, (n∈ N ). n 2

4

由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得 ?

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ?a1 ? ?2n ? 1?d ? 2a1 ? 2?n ? 1?d ? 1

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,因此 an ? 2n ? 1, n ? N * . (Ⅱ)由题意知 Tn ? ? ?

n , 2 n?1
n n ?1 n ? 2 ? n?2 ? n?1 , n ?1 2 2 2
n?1

所以 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 = ?

2n ? 2 ?1? 故 cn ? b2 n ? 2n?1 ? ?n ? 1?? ? , n ? N * 2 ? 4?
1? ?1? ?1? ?1? ?1? 所以 Rn ? 0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ??? ? ? n ? 1? ? ? ? ?4? ? 4? ? 4?
2

0

1

2

3

n ?1

? 4?
3

? 4?





1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 0 ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3? ? ? ? ??? ? ? n ? 1? ? ? ? , 4 ?4? ? 4? ? 4? ? 4? ? 4?
1 2 3 4 n?1

1

4

n

3 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式相减得 Rn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4? ? 4? ? 4? ? 4? ?4?
n

?1? ? ?n ? 1?? ? ? 4?

n

1 ?1? ?? ? n n 1 1 ? 3n ? 1 ? 4 ?4? ?1? ? ? ?n ? 1?? ? ? ? ? ? , 1 3 3 ?4? ?4? 1? 4
整理得 Rn ?

1? 3n ? 1 ? ? 4 ? n?1 ? , 9? 4 ? 1? 3n ? 1 ? ? 4 ? n?1 ? . 9? 4 ?

所以,数列 ?cn ?的前 n 项和 Rn ?

变式: 【2013 山东高考(文) 】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

【设计意图】 进一步巩固等差数列的通项公式和前 n 项和公式, 及由前 n 项和求通项的解法 和错位相减法求和.本题放在自习课上,限时 15 分钟完成. 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d,

5

由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得 ?

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ?a1 ? ?2n ? 1?d ? 2a1 ? 2?n ? 1?d ? 1

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,因此 an ? 2n ? 1, n ? N * (Ⅱ)由已知

b b1 b2 1 ? ? ??? ? n ? 1? n , n ? N* , a1 a2 an 2

当 n ? 1 时,

b1 1 ? , a1 2

当 n ? 2 时,

bn b 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? ?1 ? n?1 ? ? n ,所以 n ? n , n ? N * , an 2 an 2 ? 2 ? 2
2n ? 1 ,n ? N* , 2n

由(Ⅰ)知 an ? 2n ? 1, n ? N * ,所以 bn ? 又 Tn ?

1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2n 2

两式相减得 Tn ?

1 2

1 ? 2 2 2 2 ? 2n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? n?1 2 ?2 2 2 2 ? 2
3 1 2n ? 1 3 2 n ? 3 ? n?1 ? n?1 = ? n ?1 . 2 2 2 2 2

?
所以 Tn ? 3 ?

2n ? 3 . 2n
已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,

例 2. [2014 山东高考(理)]
S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

【思路分析】 (1)根据条件建立首项 a1 的方程求解.(2)分 n 为奇数和偶数讨论,应用 裂项法求和. 【设计意图】复习强化裂项法求和方法,掌握用裂项法求和的表达形式,本题由师生共 同分析,第一问由学生回答,第二问教师板演 n 为偶数时的情况,n 为奇数时由学生板演. 2×1 4×3 解:(1)因为 S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+2,S4=4a1+ ×2=4a1+12, 2 2 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)由题意可知,bn=(-1)n
-1

4n 4n - =(-1)n 1 anan+1 (2n-1)(2n+1)

6

1 1 - =(-1)n 1?2n-1+2n+1?. ? ? 当 n 为偶数时, 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 1 + + 1+ ?-? + ?+…+? Tn=? - ? 3? ?3 5? ?2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1? =1- 1 2n = . 2n+1 2n+1

当 n 为奇数时, 1? ?1 1? ? 1 + 1 ? ? 1 + 1 ? Tn=? ?1+3?-?3+5?+…- 2n-3 2n-1 + 2n-1 2n+1

?

? ?

?

2n+2 1 =1+ = . 2n+1 2n+1 2n+2 ? ?2n+1,n为奇数,? 2n+1+(-1) 所以 T =? ?或T = 2n+1 ? 2n ?2n+1,n为偶数. ?
n n n-1

? ? ?

变式: 【2013新课标全国高考 (文) 】 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 3 ? 0 ,S 5 ? 5 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

【设计意图】进一步巩固裂项法求和,本题较简单,由学生自己板演. 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,则 S n ? na1 ? 由已知可得 ?

n(n ? 1) d. 2

? a1 ? 1. ?3a1 ? 3d ? 0, 解得 ? ? d ? ?1. ?5a1 ? 10d ? ?5.

故 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,从而数列 a 2 n?1a 2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )? ? ? 的前 n 项和为 ( ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2 n ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

(备用例题)[2014 山东高考(文)]
的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;

在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4

(2)设 bn ? a n ( n ?1) ,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求 Tn.
2

7

【思路分析】 (1)根据条件建立首项 a1 的方程求解; (2)分 n 为奇数和偶数讨论,利 用并项法求和. 【设计意图】 通过此题让学生理解并项法求和的条件, 及出现 (?1) n 时, 要对 n 分奇数、 偶数讨论.本题由教师点拨、提示,学生板演. 解:(1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2. 故数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知, bn ? an ( n?1) ? n(n ? 1) ,
2

所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1), 所以当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn) n (4+2n) 2 n(n+2) =4+8+12+…+2n= = , 2 2 当 n 为奇数时, (n-1)(n+1) (n+1)2 Tn=Tn-1+(-bn)= -n(n+1)=- . 2 2

所以 Tn=

? ?n(n+2) ? 2 ,n为偶数.

(n+1)2 - ,n为奇数, 2

(三)课堂小结 (1)由学生总结本节课的知识点及重点、难点问题; (2)总结在做题中遇到的困难,出现的错误; (3)困难和错误是怎样解决的. (四)真题演练 1. (2014 全国大纲) (5 分)设等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , 若 S2 ? 3, S4 ? 15 ,则 S6 ? ( A.31 B.32 答案:C C.63 D.64 )

2.(2013 全国大纲) (5 分)已知数列 ?an ? 满足 3a n?1 ?an ? 0 , a2 ? ?

4 ,则数列 ?an ? 3

的前 10 项和等于(

) B.
1 1-3-10 ? ? 9

A. -6 ?1-3-10 ?
答案:C

C. 3 ?1-3-10 ?
n 2

D. 3 ?1+3-10 ?

3.(2012 福建) (5 分)数列 ?an ?的通项公式 an ? n cos ? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2012
等于( )

8

A.1006 答案:A

B.2012

C.503

D.0

4.(2014 江西) (12 分)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1 -an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的前 n 项和 Sn.


an +1 an 解:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以 - =2,即 cn+1-cn=2, bn +1 bn 所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列,故 cn=2n-1. - - (2)由 bn=3n 1,知 an=(2n-1)3n 1,于是数列{an}的前 n 项和 - Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n 1, - 3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n 1+(2n-1)×3n, - 将两式相减得-2Sn=1+2×(31+32+…+3n 1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1. 5. (2011 山东) (13 分)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一 个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn. 解: (Ⅰ)由题意可知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,公比 q ? 通项公式为 an ? 2 ? 3n?1 ; (Ⅱ) bn ? an ? ? ?1? ln an ? 2× 3n ?1 ? (?1) n ln(2× 3n ?1 ) ? 2× 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? ( n ? 1) ln 3]
n

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

3 6 9

a2 a3 ? ? 3, a1 a2

当 n ? 2k (k ? N*) 时, Sn ? b1 ? b2 ?

? b2k

? 2(1 ? 3 ?

? 32k ?1 ) ? {1 ? (?2 ? 3) ?

? [?(2k ? 2) ? (2k ?1)]}ln3

1 ? 32 k n ? 2× ? k ln 3 ? 3n ? 1 ? ln 3 1? 3 2
9

当 n ? 2k ? 1(k ? N*) 时, Sn ? b1 ? b2 ?

? b2k ?1

? 2(1 ? 3 ?
? 2×

? 32k ?2 ) ? {(1 ? 2) ?

? [(2k ? 3) ? (2k ? 2)] }ln3 ? ln 2

n ?1 1 ? 32 k ?1 ln 3 ? ln 2 ? (k ? 1) ln 3 ? ln 2 ? 3n ? 1 ? 2 1? 3

n ? n 3 ? 1 ? ln 3, n为偶数; ? ? 2 故 Sn ? ? ? 3n ? 1 ? n ? 1 ln 3 ? ln 2,n为奇数. ? ? 2
(五)课后作业: 课时作业:数列的求和 (六)板书设计: 数列的求和 一、学生感悟 三、高考题精析 例 3. 例 1. 二、基础知识 例 2.

四、真题演练

五、设计说明
本节课主要让学生明确数列求和在高考中的地位, 了解高考在考查数列求和方面的动向, 熟 练掌握高考中常考的数列求和方法,进一步巩固重点、难点知识,加强运算能力.

10


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