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吉林省长白山2013学年高中数学 第一章同步检测1-1-3 新人教A版必修5


1-1-3 同步检测基础巩固强化
一、选择题 1.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 2.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3. 在△ABC 中, 已知 a=x, =

2, =60°, b B 如果△ABC 有两解, x 的取值范围是( 则 A.x>2 B.x<2 4 3 4 3 C.2<x< D.2<x≤ 3 3 4.已知△ABC 的周长为 7.5 cm,且 sinA?sinB?sinC=4?5?6,下列结论: ①a?b?c=4?5?6 ②a?b?c=2? 5? 6 ③a=2 cm,b=2.5 cm,c=3 cm ④A?B?C=4?5?6 其中成立的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 π 5.(2010~2011·山东临清高二期中)△ABC 中,BC=2,B= ,当△ABC 的面积等于 3 时,sinC 等于( ) 3 1 3 3 A. B. C. D. 2 2 3 4 sinA cosB 6.(2010~2011·山东苍山高二期中)在△ABC 中,若 = ,则角 B 等于(

)

3 2

a

b

)

A.30° B.45° C.60° D.90° 二、填空题 7.(2011·新课标全国文,15)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 ________. 7 8. 在△ABC 中, 已知 AB=4, =7, 边上的中线长为 , AC BC 那么边 BC 的长为__________. 2 1 9.在△ABC 中,a=3 2,cosC= ,S△ABC=4 3,则 b=__________. 3 三、解答题 10.在△ABC 中,S△ABC=15 3,a+b+c=30,A+C= ,求三角形各边边长. 2 能力拓展提升 一、选择题 2 11.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b =ac,且 c=2a,则 cosB 等于 ( ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3 2 2 2 12.(2011·四川文,8)在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sinBsinC,则 A 的取值范围 是( ) π π A.(0, ] B.[ ,π ) 6 6 π π C.(0, ] D.[ ,π ) 3 3
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B

3 5 13.在△ABC 中,sinB= ,cosA= ,则 cosC 的值为( ) 5 13 63 16 56 16 A. B. C. D.- 65 65 65 65 2 2 2 2 2 2 14.△ABC 中,下列结论:①a >b +c ,则△ABC 为钝角三角形;②a =b +c +bc,则 2 2 2 ∠A 为 60°;③a +b >c ,则△ABC 为锐角三角形;④若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a:b:c= 1:2:3,其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 15.已知三角形两边长分别为 1 和 3,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径 为__________. 三、解答题 A+C 2 16.已知△ABC 的三内角 A、B、C 满足 B= ,三边 a、b、c 满足 b =ac.求证:a= 2 c. 2 2 17.(2009·全国Ⅰ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a -c =2b,且 sinB=4cosAsinC,求 b. 2 2 *18.在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B) 2 2 =(a -b )sin(A+B),判断三角形的形状. 备选题库 1.已知锐角三角形三边长分别为 3,4,a,则 a 的取值范围为( ) A.1<a<5 B.1<a<7 C. 7<a<5 D. 7<a<7 sinB+sinC 2.在△ABC 中,sinA= ,则△ABC 的形状为( ) cosB+cosC A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 A b+c 2 3.在△ABC 中,cos = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),试判断△ABC 的形状. 2 2c 1 4.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB= . 3 (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. 详解答案 1[答案] B 1 [解析] ∵3 3= ×4×3sinC, 2 3 , 2 ∵△ABC 为锐角三角形, ∴C=60°,故选 B. 2[答案] B [解析] ∵2sinAcosB=sin(A+B),∴sin(A-B)=0,∴A=B. 3[答案] C [解析] 欲使△ABC 有两解,须 asin60°<b<a. 3 4 3 即 x<2<x,∴2<x< . 2 3 ∴sinC=

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2

4[答案] C [解析] 由正弦定理知 a?b?c=4?5?6,故①对,②错,④错;结合 a+b+c=7.5, 知 a=2,b=2.5,c=3 ∴③对,∴选 C. 5[答案] B 1 3 3 2 2 [解析] 由正弦定理得 S△ABC= ·AB·BC·sinB= AB= ,∴AB=1,∴AC =AB + 2 2 2

BC2-2AB·BC·cosB=1+4-4× =3,∴AC= 3,再由正弦定理得
1 = . 2 6[答案]

1 2

1 = sinC

3 ,∴sinC π sin 3

B

sinA sinB sinA cosB [解析] 由正弦定理知 = ,∵ = ,

a

b

b

b

∴sinB=cosB,∵0°<B<180°,∴B=45°. 15 3 7[答案] 4 2 2 2 2 [解析] 由余弦定理知 7 =5 +BC +5BC,即 BC +5BC-24=0, 1 15 3 解之得 BC=3,所以 S= ×5×3×sin120°= . 2 4 8[答案] 9 [解析] 设 BC 中点为 D,延长 AD 到 E,使 DE=AD,则△ABD≌△ECD, AE2+EC2-AC2 2 ∴cos∠BAD=cos∠AEC= = , 2AE·EC 7 81 BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD= , 4 9 ∴BD= 2 ∴BC=9. 9[答案] 2 3 2 2 1 2 [解析] 在△ABC 中,∵sinC= 1-cos C= ,a=3 2,S△ABC= absinC=4 3,∴b 3 2 =2 3.

B 3B 1 3 10[解析] ∵A+C= , ∴ =180°, B=120°.由 S△ABC= acsinB= ac=15 3得: ∴ 2 2 2 4 ac=60,由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cos120°) 2 =(30-b) -60 得 b=14,∴a+c=16, 2 ∴a,c 是方程 x -16x+60=0 的两根.
所以?
? ?a=10 ? ?c=6

或?

? ?a=6 ? ?c=10



∴该三角形各边长为 14,10 和 6. 11[答案] B 2 [解析] 因为 b =ac,且 c=2a, a2+c2-b2 a2+4a2-a×2a 3 由余弦定理得 cosB= = = . 2ac 2a×2a 4 12[答案] C [解析] 设△ABC 外接圆半径为 R,则由正弦定理得,( ) ≤( ) +( ) - · . 2R 2R 2R 2R 2 R
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a

2

b

2

c

2

b

c

即 a ≤b +c -bc, 2 2 2 ∴bc≤b +c -a , b2+c2-a2 1 ∴cosA= ≥ , 2bc 2 π 故 A∈(0, ]. 3 13[答案] B 12 3 4 > =sinB ,∴ A>B ,∴ B 为锐角.∴cosB = .cosC = 13 5 5 16 cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= ,∴选 B. 65 14[答案] A b2+c2-a2 [解析] ①cosA= <0,∴∠A 为钝角,正确; 2bc b2+c2-a2 1 ②cosA= =- ,∴∠A=120°,错误; 2bc 2 a2+b2-c2 ③cosC= >0,∠C 为锐角,但∠A 与∠B 不一定为锐角,错误; 2ab ④∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°时, A:b:c=1: 3:2≠1:2:3,错误. 15[答案] 1 [解析] 如图,AB=1,BD=1,BC= 3, [解析] sinA = 1-cos A =
2

2

2

2

设 AD=DC=x,在△ABD 中, x2+1-1 x cos∠ADB= = , 2x 2 x2+1-3 x2-2 在△BDC 中,cos∠BDC= = , 2x 2x ∵∠ADB 与∠BDC 互补, x x2-2 ∴cos∠ADB=-cos∠BDC,∴ =- , 2 2x 3 ∴x=1,∴∠A=60°,由 =2R 得 R=1. sin60° 16[证明] ∵2B=A+C,∴B=60°,
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设 A=60°+x,C=60°-x,(0°≤x<60°) 2 2 ∵b =ac,∴sin B=sinA·sinC 3 1 3 1 =( cosx+ sinx)( cosx- sinx) 2 2 2 2 3 2 1 2 3 3 2 2 = cos x- sin x= -sin x,又 sin B= , 4 4 4 4 2 ∴sin x=0,∴x=0°,即 A=C,∴a=c. 2 2 2 17[解析] 由余弦定理得 a -c =b -2bccosA, 2 2 又 a -c =2b,b≠0,所以 b=2ccosA+2① b sinB 由正弦定理得 = , c sinC sinB 又由已知得 =4cosA,所以 b=4ccosA.② sinC 故由①,②解得 b=4. 2 2 18[解析] 已知等式可化为 a [sin(A+B)-sin(A-B)]=b [sin(A+B)+sin(A-B)], 2 2 ∴2a cosAsinB=2b cosBsinA※ 2 2 由正弦定理得,sin AcosAsinB=sin BcosBsinA, ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0, ∴sin2A=sin2B,由 0<2A<2π ,0<2B<2π 得, π 2A=2B 或 2A=π -2B,∴A=B 或 A+B= , 2 即△ABC 为等腰或直角三角形. 2 2 2 [点评] 得到※式后也可用正、余弦定理化角为边推证 a=b 或 a +b =c . 1[答案] C [解析] 由锐角三角形及余弦定理知:

?3 +a -4 >0 ? 2 2 2 ?3 +4 -a >0 ?a>0 ?
2[答案] B

2

2

2

?a >7 ? 2 ??a <25 ?a>0 ?

2

? 7<a<5.

sinA 1 [解析] ∵ = , sinB+sinC cosB+cosC ∴由正、余弦定理可得 a 1 = 2 , 2 2 b+c a +c -b a2+b2-c2 + 2ac 2ab 2 2 2 2 整理得 b(a -b )+c(a -c )=bc(b+c). 2 3 3 ∴(b+c)a =b +c +bc(b+c). 2 2 2 2 2 2 ∴a =b -bc+c +bc,即 a =b +c . ∴△ABC 为直角三角形. b+c 2A 3[解析] 法一:在△ABC 中,cos = , 2 2c 1+cosA b 1 b ∴ = + ,∴cosA= . 2 2c 2 c 2 2 b +c -a2 又由余弦定理知 cosA= , 2bc 2 2 2 b +c -a b ∴ = , 2bc c 2 2 2 2 2 2 2 ∴b +c -a =2b ,∴a +b =c .
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∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形.

b c sinB 由正弦定理得 cosA= . sinC 又∵A+B+C=180°,∴sinCcosA=sin(A+C), ∴sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,∴sinAcosC=0, ∵A、C 是△ABC 的内角,∴sinA≠0. ∴只有 cosC=0,∴C=90°, ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形.
法二:由解法一知 cosA= , π (1)由 sin(C-A)=1,-π <C-A<π ,知 C=A+ . 2 π 又∵A+B+C=π ,∴2A+B= , 2 π π 即 2A= -B,0<A< . 2 4 4[解析] 1 3 2 故 cos2A=sinB,即 1-2sin A= ,sinA= . 3 3 (2)由(1)得 cosA= 6 . 3

又由正弦定理得,BC=

ACsinA =3 2. sinB

1 1 ∴S△ABC= ·AC·BC·sinC= AC·BC·cosA 2 2 =3 2.

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