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北京市大兴区2015-2016高一数学上学期期末试题


大兴区 2015~2016 学年度第一学期期末检测试卷

高一数学
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生将答案答在答题卡上。

第一部分

(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一

项。 (1)若集合 A = {x |1 < x < 3} , B = {x | 2 < x < 4} ,则 A ? B = (A) {x |1 < x < 2} (C) {x |1 < x < 4} (B) {x | 2 < x < 3} (D) {x | 3 < x < 4}

(2)下列函数是奇函数,且在定义域上是增函数的是 (A) f ( x ) = ( ) x (B) f ( x) = lg x (C) f ( x) = x3 (3)下列算式中错误的是
2

1 2

(D) f ( x) = sin x

(A) 8 3 = 4 (C) (3 - p ) = p - 3
2

(B) 2lg 2 + lg 25 = 2 (D) 2 ?
3

2

2

1 6

(4)已知角 ? 终边经过点 P( 3, - 1) ,则 sin a - cos a =

(A)

3-1 2

(B)

3 +1 2

(C)

12

3

(D)

- 1- 3 2

(5) 为了得到函数 y = cos

x , x ? R ,只需把函数 y = cos x 图象上所有的点的 2

(A)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

(C)纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 (D)纵坐标缩短到原来的

1 倍,横坐标不变 2

(6)函数 f ( x ) = ( ) - x 2 的零点所在区间大致是

1 3

x

1

1 (D) (1, 2) 2 ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b 满足 AB = 2a , AC = 2a + b ,则 (7) D
(A) (0, (B) ( , (C) ( , 1) ① b 为单位向量

1 ) 3

1 3

1 ) 2

?

② a^ b

?

?

③ b / / BC

?

??? ?

④ a ?b

? ?

1

⑤ (4a +b) ^ BC

? ?

??? ?

以上结论正确的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(8) [ x ] 表示不大于实数 x 的最大整数,例如 [2.1] = 2 , [3.6] = 3 .若某学校要召开学生代 表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 7 时再增选一 名代表.则各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系可以表示为

x ] 10 x +2 ] (C) y = [ 10
(A) y = [

x +1 ] 10 x +3 ] (D) y = [ 10
(B) y = [

第二部分

(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) sin( -

p )= 4
1 2

.
0.3

(10) log 1 2 , log2 3 , ( )
3

三个数中最大的数是

.

(11) 函数 f ( x) = log3 (1 + x) - log3 (1 - x) 的定义域是

; f( )=

1 2

.

(12)在正方形 ABCD 中,点 E , F 满足 2DE = EC , DF = FB ,若 EF =xAB + yAD , 则x= ;y= . ;若关于 x 的

??? ? ??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

????

(13)已知函数 f ( x ) = í

ì 1 ? - x +1 , x > 0 , ,若满足 f ( x ) = ,则 x = x 2 x? 0 ? ?2 ,
.

方程 f ( x) = k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 (14)将函数 f ( x) = sin 2 x 的图象向右平移 ? ( 0 < f <

p )个单位后得到函数 g( x) 的图象, 2

若对满足 | f ( x1 ) - g( x2 ) |= 2 的 x1 , x2 ,有 | x1 - x2 |min =

? ,则 f = 3

.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题 13 分) 已知全集 U = {1, 2, 3, 4} ,集合 A = {1, 2} . (Ⅰ)写出集合 A 的所有子集; (Ⅲ)令 B = {( x, y) | x 挝A, y (Ⅱ)求集合 ? UA;

? } ,用列举法表示集合 B . UA

(16) (本小题 13 分) 已知向量 a = (1,0) , b = ( ,

?

?

1 3 ). 2 2

(Ⅰ)求 a 与 b 的夹角; (Ⅱ)求 (a +b)?(a b) 的值; (Ⅲ)设 t ? R ,求 | ta - b | 的取值范围.

?

?

? ?

? ?

? ?

(17) (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) = tan x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x) > 0 的解集; (Ⅲ)若 f (a ) = - 2 ,且 ? 为第二象限角,求 sin ? , cos ? 的值.

(18) (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) = A sin(wx +f ) ( A > 0 , w > 0 , | f |< 示. (Ⅰ)求 A , ? , ? ; (Ⅲ)当 x ? [0, (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调增区间;

p , x ? R )的部分图象如图所 2

y

p ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围. 2

1

O
–1

π 6

5π 12

x

(19) (本小题 13 分) 2015 年冬季,华北地区连续多次遭受雾霾袭击,有关部门立即启动“空气重污染应急 预案” ,要求各“废气排放大户”加强治理,提高排放标准.某工厂积极响应,新安装一套高 效、大功率废气过滤装置,已知该装置在废气过虑过程中,污染物浓度 y ( mg / m3 )与过 滤时间 x (分钟)的关系式为 y = y?e- kx (其中 y? 为初始浓度, k 为过滤系数).如果在前 5 分钟,污染物浓度降低了 10% . (Ⅰ) 10 分钟后,污染物浓度下降到初始浓度的百分之几; (Ⅱ)若污染物浓度下降到初始浓度的 50% 以下(含 50% ),就达到排放标准,问达标排放 至少需要过滤多少时间(精确到 1 分钟); ( lg 2 = 0.3010 , lg 3 = 0.4771) (Ⅲ)画出污染物浓度关于过滤时间变化的函数图象,并在图象上至少标出三个点的坐标.

y


0.8y° 0.6y° 0.4y° 0.2y°

x O
10 20 30 40

(20) (本小题 14 分)
2 已知函数 f ( x) = x - 2m | x | +m ( m ? R ,且 m > 0 ).

(Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 是偶函数; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最大值和最小值; (Ⅲ)判断函数 f ( x ) 在 [- 2, 2] 上的零点个数,并说明理由;


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