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2011-2012学年度上学期安徽数学优质课大赛课件方程的根与函数的零点(3)


亳州一中:陈飞

问题1:方程x ? 1 ? 0的根与函数y ? x ? 1与x轴 的交点坐标有什么关系?

y

y ? x ?1
2
1
-1

0

1
-1 -2 -3

2

3

x

-4

问题2:求出表中的一元二次方程的根,并 画出相应的二次函数图像的草图。并判断 函数图像与x轴是否有交点。若有,请写出 交点坐标。

方程 函数 函 数 的 图 像

x2-2x+3=0 x -2x+1=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 x2-2x-3=0
y

2

y

y

. . -1

2 1

. .
-1

0

1

2

.

2 1

. .

.
3 2 1

5

.

4

3

x
-1

-3
-4

-2

0

.
1

.
2

.
1

.
2

.

x

.

-1

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图像 与x轴交点

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

(-1,0)、(3,0)

思考:二者之间有何联 系?

问题3:上述结论推广至一般的一元二次方 程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)与相应的二次函数
2

y ? ax2 ? bx ? c会有什么结论?

一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二 次函数 y= ax2+bx+c (a≠0)的图像有如下关系:
判别式 ?=b2-4ac

?>0
y

??0
y

?<0
y

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根

x1

x2

x

x1=x2

x

x

有两个不等的 实数根x1,x2 (x1,0), (x2,0)

有两个相等实 数根x1=x2 (x1,0)

没有实数根

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与x轴的 交点

没有交点

问题4:将上述结论推广至一般方程f ( x) ? 0 与相应的函数y ? f ( x)又会有什么结论?
结 论

方程的实数根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。

1、函数零点的定义
对于函数 y ? f (x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实 数x 叫做函数 y ? f (x) 的零点。

2、结论
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

问题5:方程的实数根即函数的零点,如何根据 图像寻找零点呢?观察函数y ? f ( x)? x ? R ?的图 像,说一说y ? f ( x)有几个零点?
y

0

x

问题6:如果将定义域改为区间[a,b]观察图像 说一说零点个数的情况,有什么发现?
y

a ab b

a

0

b

x

结 论

f (a) ? f (b) ? 0

问题7:如果闭区间[a, b]上函数y ? f ( x)端点函数值 f (a ) ? f (b) ? 0是否一定有零点?
y

a 0

a

b

b

x

结 论

函数 y ? f (x) 的图像在闭区间[a,b]上连续不断。

问题8:满足上述两个条件,能否确定零点 个数呢?
y y

0 a

b x

0 a

b

x

结 论

有零点,至少有一个,但不确定个数,即存在零点。

结 论

如果函数y ? f ( x)在区间[a, b]上的图像是连续 不断的一条曲线,
并且有f (a) ? f (b) ? 0, 那么,函数y ? f ( x)在区 间(a, b)内有零点,

即存在c ? (a, b), 使得f (c) ? 0, 这个c也就是方程 f ( x) ? 0的根。

问题9:求函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数。
表3--1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
14 12 10

解:用计算器或计算机作出 x、f (x) 的对应值表(表3--1)和图像。

8
6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

-2 -4

-6

问题10:为什么上个问题中只有一个零点呢? 说一说理由?
函数f (x)在(0, ?)是增函数,请证明它。 ?

练习:88页第一题

问题11:请同学们思考、交流一下,这节课 学习到了什么?

1、知识小结:一个定义,四个结论。 2、思想方法:数形结合、转化思想。

作业:
1、必做题:P88 练习第二题

2、选做题:(1) f ( x) ? ax ? 2 x ? 3 在 区间(0,3)范围内恰有一个零点,则a 的取值范围是多少?
2

( 2)已知a ? R,讨论关于x的方程 x 2 ? 6 x ? 8 ? a的实数解的个数


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