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陕西省长安一中2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题


(考试时间 100 分钟,满分 150 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职员 90 人, 现抽取 30 人进行分层抽样,则各职称人数分别为( ) A. 5,10,15 B. 3,9,18 C. 3,10,17 D. 5,9,16

2.用样本频率分布

估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是( A.总体容量越大,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确



3. 已知 a ? (cos ? ,sin ?), b ? (cos ?,sin ?) 则 A.

?

?

(

) D.

? ? a?b

B.

? ? a ?b

C. (a ? b) ? (a ? b)

? ?

? ?

? ? a, b 的夹角为 ? ? ?

?? x , x ? ?1 ? 4. 右图是计算函数 y ? ?0 , ? 1 ? x ? 2 的值的程序框图, ? 2 ?x , x ? 2
则在①、②、③处应分别填入的是 ( ) A. y ? ?x , y ? 0 , y ? x 2 B. y ? ?x , y ? x , y ? 0
2

开始
输入 x



x ? ?1
是 否

x?2

C. y ? 0 , y ? x 2 , y ? ?x D. y ? 0 , y ? ?x , y ? x 2 5. 用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根的算法中要用哪种算法
2


① ②
输出 y



结构( ) A 顺序结构 B 选择结构 C 循环结构 都用 6. 下列给出的赋值语句中正确的是( ) A

结束

D

以上

4?M

B

M ? ?M C

B? A?3

D

x? y ?0

7. 5 件产品中, 在 其中一级品 4 件, 二级品 1 件, 从中任取 2 件, 出现二级品的概率为 ( )

A. 8. 已 知

1 4

B.

1 2
)

C.

3 5

D.

2 5

s i? ? ( ? n ?

0 ?, ? ,o 则 (角 ? )所 在 的 象 限 是 ? c ? s 0
C.第三象限 D.第四象限

( ) A.第一象限 9. ( A. ? 若 角 ? )

B.第二象限 的 终 边 过 点

? P (?4a,3a) (a ? 0) , 则 s i? n

?c 等 s o 于

1 1 C. ? D.不能确定,与 a 的值有关 5 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 10. 设 s,t 是非零实数, i , j 是单位向量,当两向量 s i ? t j , t i ? s j 的模相等时, i , j 的
B. 夹角是( A. ) B。

1 5

? 6

?
4

C。

? 3
?

D。

? 2

11. 点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v ? (4, ?3) (即点 P 的运动方向与 v 相同, 且每秒移动的距离为 | v | 各单位) 。设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,求 5 秒后点 P 的坐 标为 A. ( ?2, 4) ( ) B. (?30, 25) C. (10, ?5) D. (5, ?10)

?

?

12. 把函数 y ? cos 2 x 的图象按向量 a 平移,得到函数 y ? sin 2x 的图象,则 a 可以是: ( ) C. a ? (

?

?

? ? A. a ? ( , 0) 2

? ? B. a ? (? , 0) 2

?

?
4

, 0)

D. a ? (?

?

?
4

,0)

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.从 10 个篮球中任取一个,检验其质量,则应采用的抽样方法为_______________。 14.采用简单随机抽样从含 10 个个体的总体中抽取一个容量为 4 的样本,个体 a 前两次未 被抽到,第三次被抽到的概率为_____________________ 15. 计 算 机 的 程 序 设 计 语 言 很 多 , 但 各 种 程 序 语 言 都 包 含 下 列 基 本 的 算 法 语 句: , , , , 。 16. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 [0, 17. 设 向 量

?
2

] 上的最小值为_______________;
, 且

? ? a与b

的 夹 角 为 ? ;

? ? ? a ? ( 3 , 3 ? a ?2 ? , 则 b ) , (

1 , 1 )

1 0 ? ?o s c

18. 在锐角三角形 ABC中,cos( A ? B) ? sin( A ? B) ,则 tan A ? ______________.

三、解答题(本大题共 5 小题,60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 19. (本题满分 10 分) 如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率 分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:

(1) 79.5 ? 89.5 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率( 60 分及以上为及格)

20.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

? ) ? 2sin x, 3

? ? x ? ?? , ? 2

? 0? . ?

(Ⅰ)若 cos x ?

3 , 求函数 f ( x) 的值; 3

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的值域。

21.(本题满分 12 分).

如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

矩形,记 ?COP ? ? ,求当角 ? 取何值时, 矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大值. Q

? 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接 3

D C α O A B P

22.(本题满分 13 分)
? (Ⅰ)在三角形 ABC中,| AC |? 2,| AB |? 1,? BAC ? 60 ,G 是三角形 ABC 的重心,求

??? ???? ? GB ? GC .

A E G C

F B

(Ⅱ) 、已知向量 a ? (cos

?

3x 3x ? x x ? ? ,sin ), b ? (cos , ? sin ),| a ? b |? 1, x ?[0, ? ] ,求 x。 2 2 2 2

π 23.(本小题满分 13 分)如图,已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< )图像上一个最高点坐 2 标为(2,2 3),这个最高点到相邻最低点的图像与 x 轴交于点(5,0).

(1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在正整数 m,使得将函数 f(x)的图像向右平移 m 个单位后得到一个偶函数的 图像?若存在,求 m 的最小值;若不存在,请说明理由.

参考答案

21.

解:由题意可得 在三角形 OCB 中,OC=1, ?COP ? a , 所以 BC=sin ? OB=cos ? 在三角形 OAD 中, ?AOD ?

?

3

,AD=BC= sin ?

所以

3 OA= 3

s? n 所以 AB=OB-OA= cos ? i

3 sin ? …………5 分 3

则,矩形 ABCD 的面积为

? ? 3 3 sin? ? ? cos? sin ? ? = sin? ? cos? sin? ? sin ? ? ? 3 3 ? ?
=

3 ? 3 1 3 3 sin(2? + )sin2? + cos2? = 3 6 6 2 6 6

所以矩形 ABCD 面积的最大值为 此时 2? +

3 。 6

? ?
6
=

2

?? =

? …………12 分 6

T 23. 解:(1)由题意知 A=2 3, =3, 4 2π π ∴T=12,∴ω= = , T 6 π ∴f(x)=2 3sin?6x+φ?, ? ? π ∵图像过(2,2 3),∴2 3=2 3sin?3+φ?, ? ? π ∴sin?3+φ?=1, ? ? π π π 令 +φ= ,∴φ= , 3 2 6 ? π π? ∴f(x)=2 3sin 6x+6 . …………6 分 ? ? (2)假设存在 m,则有 π π f(x-m)=2 3sin?6?x-m?+6? ? ?

π π π π =2 3cos?2-6x+6m-6? ? ? π π π ? =2 3cos?-6x+3+6m? ? ∵f(x-m)为偶函数, π π ∴ + m=kπ,k∈Z 3 6 ∴m=6k-2,∴k=1 时 m=4. ∴存在 m,m 的最小值为 4. …………13 分


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