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等差数列及其前n项和学案


数学教案样例

教案标题 教师姓名

等差数列及其前 n 项和
学生姓名 适用
高中三 年级

适用范
全国

学科

数学

年级



知识 目标

1、了解公差的概

念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能 根据定义判断一个数列是等差数列;? 2、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式 与图象认识等差数列的性质; 3、掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的 前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题.?

教学目标 能力 目标 情感 态度 价值观 知识点 重难点

通过公式的推导和公式的运用, 使学生体会从特殊到一般, 再从 一般到特殊的思维规律, 初步形成认识问题、 解决问题的一般思 路和方法; 通过公式推导的过程教学, 对学生进行思维灵活性与 广阔性的训练,发展学生的思维水平.?? 1、通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料 的能力,积极思维,追求新知的创新意识.? 2、通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的 内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;?

等差数列的概念、通项公式、性质及前 n 项和 重点:等差数列的定义、通项公式、性质、前 n 项和的理解与应用 难点:灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前 n 项和公式解决一些简 单的有关问题.?

1

数学教案样例

知识讲解
1.等差数列的有关定义 (1)一般地, 如果一个数列从第__2__项起, 每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数, * 那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为__ an+1-an=d __________ (n∈N ,d 为常数). a+b (2)数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是__ A= ________,其中 A 叫做 a,b 的___ 2 等差中项_______. 2.等差数列的有关公式 * (1)通项公式:an=_ a1+(n-1)d _______,an=am+_ (n-m)d _______ (m,n∈N ). n(n-1) (a1+an)n (2)前 n 项和公式:Sn=_ na1+ d _________=__ __________. 2 2 3.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n.
2

?

2?

4.等差数列的性质 * (1) 若 m+n=p+q (m,n,p,q∈N ),则有__am+an=ap+a q ________, 特别地,当 m+n=2p 时,___ am+an=2ap ___________. (2) 若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为__2d ______ * (3) 若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N )是公差为__ md ____ 的等差数列. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5) 等差数列的单调性:若公差 d>0,则数列为__递增数列__________; 若 d<0,则数列为____递减数列______;若 d=0,则数列为___常数列_____. (6)等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. (7)S2n-1=(2n-1)an. (8)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= d.若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项). 2 5.等差数列的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最______值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最______ 值. 大 小 6.方法与技巧 等差数列的判断方法有: (1)定义法:an+1-an=d (d 是常数)?{an}是等差数列. * (2)中项公式:2an+1=an+an+2 (n∈N )?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q (p,q 为常数)?{an}是等差数列. 2 (4)前 n 项和公式:Sn=An +Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列. (5)在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;②a-d,a,a+d; ③a-d,a+d,a+3d 等可视具体情况而定. (6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量, 通过建立方程(组)获得解.
2

n

数学教案样例

例题讲解
题型一 等差数列的基本量的计算 例 1 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50, (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n. 解 (1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, ? ? ?a1+9d=30, ?a1=12, 得方程组? 解得? 所以 an=2n+10. ?a1+19d=50, ?d=2. ? ? n(n-1) (2)由 Sn=na1+ d,Sn=242. 2 n(n-1) 得 12n+ ×2=242.解得 n=11 或 n=-22(舍去). 2 设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0.

(1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. -15 解 (1)由题意知 S6= =-3, a6=S6-S5=-8.

S5

?5a1+10d=5, ? 所以? ? ?a1+5d=-8.

解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7.

(2)方法一 ∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a1+9da1+10d +1=0. 因为关于 a1 的一元二次方程有解,所以Δ=81d -8(10d +1)=d -8≥0, 解得 d≤-2 2或 d≥2 2. 方法二 ∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a1+9da1+10d +1=0.故(4a1+9d) =d -8.所以 d ≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

探究提高 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其 中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题. (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两 个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.

变式训练 1 设等差数列{an}的公差为 d (d≠0),它的前 10 项和 S10=110,且 a1,a2,a4 成等比数列,求 公差 d 和通项公式 an.
3

数学教案样例

解 由题意,知 10×9 ? ?S10=10a1+ d=110, 2 ? ? ?(a1+d)2=a1·(a1+3d),
? ?2a1+9d=22, 即? 2 ?a1d=d . ?

∵d≠0,∴a1=d.解得 a1=d=2,∴an=2n. 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n,所以 Sn= 由 Sk=-35,可得 2k-k =-35, 即 k -2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N ,故 k=7.
2 * 2

n[1+? 3-2n? ]
2

=2n-n .

2

题型二 等差数列的判定或证明 3 1 1 * 例 2 已知数列{an}中, a1= , an=2- (n≥2, n∈N*), 数列{bn}满足 bn= (n∈N ). 5 an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的最大值和最小值. (1)证明 ∵an=2- 1 1

an-1

(n≥2,n∈N ),bn= - 1 = 1

*

1 . an-1 - 1

∴n≥2 时,bn-bn-1=

an-1 an-1-1 ? 1 ? an-1-1 ?2-an-1?-1 ? ?



1 1 5 - =1.又 b1= =- . an-1-1 an-1-1 a1-1 2

an-1

5 ∴数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2 7 1 2 (2)解 由(1)知,bn=n- ,则 an=1+ =1+ , 2 bn 2n-7 7? ?7 2 ? ? 设函数 f(x)=1+ ,易知 f(x)在区间?-∞, ?和? ,+∞?内为减函数. 2? ?2 2x-7 ? ? ∴当 n=3 时,an 取得最小值-1;当 n=4 时,an 取得最大值 3.

4

数学教案样例

探究提高 1.证明或判断一个数列为等差数列, 通常有两种方法:(1)定义法:an+1-an=d; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2.就本例而言,所用方法为定义法. 2.解选择、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断. (1)通项法:若数列{an}的通项公式为 n 的一次函数,即 an=An+B,则{an}是等差数列. 2 (2)前 n 项和法:若数列{an}的前 n 项和 Sn 是 Sn=An +Bn 的形式(A,B 是常数),则{an}为等 差数列. 3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可.

变式训练 2 (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= (n≥2),a1=2. 2Sn-1+1
?1? ①求证:? ?是等差数列; ②求 an 的表达式. ?Sn?

Sn-1

Sn-1 1 2Sn-1+1 1 ①证明 由 Sn= ,得 = = +2, 2Sn-1+1 Sn Sn-1 Sn-1
?1? 1 1 1 1 ∴ - =2,∴? ?是以 即 为首项,以 2 为公差的等差数列. Sn Sn-1 S1 2 ?Sn?

1 1 3 1 ②解 由知 = +(n-1)×2=2n- ,∴Sn= , Sn 2 2 3 2n- 2 ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 -2 - = ; 3 7 ? 3?? 7? 2n- 2n- ?2n- ??2n- ? 2 2 ? 2?? 2? 1

当 n=1 时,a1=2 不适合 an, 2 ? ? -2 故 a =? 3 ?2n- ??2n-7? ? ? 2? 2? ?? ? ?? ?
n

? n=1? ?

n≥2? .

(2)已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2 -1(n≥2 且 n∈N ). ①求 a2,a3 的值. an+λ ②是否存在实数λ,使得数列{ n }为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说 2 明理由. 解 ①∵a1=5,∴a2=2a1+2 -1=13, a3=2a2+2 -1=33. an+λ ②假设存在实数λ,使得数列{ n }为等差数列. 2
2 3

n

*

5

数学教案样例

设 bn=

,由{bn}为等差数列,则有 2b2=b1+b3. n 2 a2+λ a1+λ a3+λ 13+λ 5+λ 33+λ ∴2× 2 = + 3 .∴ = + , 2 2 2 2 2 8 解得λ=-1. an+1-1 an-1 事实上,bn+1-bn= n+1 - n 2 2 1 1 n+1 = n+1[(an+1-2an)+1]= n+1[(2 -1)+1]=1. 2 2 an+λ 综上可知,存在实数λ=-1,使得数列{ n }为首项为 2、公差为 1 的等差数列. 2 题型三 等差数列性质的应用 例 3 若一个等差数列的前 5 项之和为 34,最后 5 项之和为 146,且所有项的和为 360,求 这个数列的项数. 解 方法一 设此等差数列为{an}共 n 项, 依题意有 a1+a2+a3+a4+a5=34,① an+an-1+an-2+an-3+an-4=146. ② 根据等差数列性质,得 a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an. 将①②两式相加, 得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=5(a1+an)= 180, ∴a1+an=36. n(a1+an) 36n 由 Sn= = =360,得 n=20. 2 2 所以该等差数列有 20 项. 方法二 设此等差数列共有 n 项,首项为 a1,公差为 d, 5×4 则 S5=5a1+ d=34,① 2 n(n-1)d (n-5)(n-6) Sn-Sn-5=[ +na1]-[(n-5)a1+ d] 2 2 =5a1+(5n-15)d=146.② ①②两式相加可得 10a1+5(n-1)d=180, n-1 ∴a1+ d=18, 2 n-1 ? n(n-1) ? d =360, 代入 Sn=na1+ d=n?a1+ 2 ? 2 ? ? 得 18n=360,∴n=20. 所以该数列的项数为 20 项.

an+λ

变式训练 3 已知数列{an}是等差数列. (1)若 Sn=20,S2n=38,求 S3n; (2) 若项数为奇数,且奇数项和为 44,偶数项和为 33,求数列的中间项和项数. 解 (1) ∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列, ∴S3n=3(S2n-Sn)=54. * (2) 设项数为 2n-1 (n∈N ),则奇数项有 n 项,偶数项有 n-1 项,中间项为 an,则
6

数学教案样例

(a1+a2n-1)·n =n·an=44, 2 (a2+a2n-2)·(n-1) S 偶= =(n-1)·an=33, 2 n 4 ∴ = .∴n=4,an=11. n-1 3 ∴数列的中间项为 11,项数为 7.

S 奇=

题型四 等差数列的前 n 项和及综合应用 例 4 (1)在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,

Sn 取得最大值,并求出它的最大值;
(2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)方法一 ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 5 ∴10×20+ d=15×20+ d,∴d=- . 2 2 3 5 65 ? 5? ∴an=20+(n-1)×?- ?=- n+ . 3 3 ? 3? ∴a13=0,即当 n≤12 时, an>0,n≥14 时,an<0, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值,且最大值为

S13=S12=12×20+

12×11 ? 5? ×?- ?=130. 2 ? 3?

5 n? 方法二 同方法一求得 d=- .∴Sn=20n+ 3 5 2 125 5? 25?2 3 125 =- n + n=- ?n- ? + . 2? 6 6 6? 24

n-1?
2

? 5? ·? - ? ? 3?

∵n∈N ,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 5 方法三 同方法一得 d=- . 3 又由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即 a13=0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值.且最大值为 S12=S13=130. (2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25, ∴an+1-an=4=d,又 a1=4×1-25=-21. 所以数列{an}是以-21 为首项,以 4 为公差的递增的等差数列. 令?
? ?an=4n-25<0, ?an+1=4? ?

*



n+1? -25≥0, ②
7

数学教案样例

1 1 由①得 n<6 ;由②得 n≥5 ,所以 n=6. 4 4 即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首项, 公差为-4 的等差数列, 从第 7 项起以后各项构成公 差为 4 的等差数列,而|a7|=a7=4×7-24=3. 设{|an|}的前 n 项和为 Tn,则

Tn



n? n-1? 21n+ ×? -4? ? ? 2 ? ? n-6? 66+3? n-6? + ? ?

?

n≤6?


? n-7? ×4 ? n≥7? 2

?-2n +23n ? n≤6? , ? ? 2 ? ?2n -23n+132 ? n≥7? .

2

点评: 求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: 若{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时, (1)若 a1>0,d<0,且满足? (2)若 a1<0,d>0,且满足?
? ?an≥0 ?an+1≤0 ? ? ?an≤0 ?an+1≥0 ?
2

,前 n 项和 Sn 最大; ,前 n 项和 Sn 最小;

(3)将等差数列的前 n 项和 Sn=An +Bn (A、B 为常数)看做二次函数,利用二次函数的 * 图象或配方法求最值,注意 n∈N . 变式训练 4 * (1) 已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2 (n∈N ),它的前 n 项和为 Sn,且 a3=10,S6=72.若 1 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2 解 方法一 ∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列. 设{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a3=10,S6=72, ? ? ?a1+2d=10 ?a1=2 得? ,∴? . ?6a1+15d=72 ?d=4 ? ? 1 ∴an=4n-2.则 bn= an-30=2n-31. 2
? ?2n-31≤0, 29 31 解? 得 ≤n≤ . 2 2 ? ?2(n+1)-31≥0, * ∵n∈N ,∴n=15.∴{bn}前 15 项为负值. ∴S15 最小. 可知 b1=-29,d=2, 15×(-29+2×15-31) ∴S15= =-225. 2 方法二 同方法一求出 bn=2n-31. n(-29+2n-31) 2 2 ∵Sn= =n -30n=(n-15) -225, 2 ∴当 n=15 时,Sn 有最小值,且最小值为-225.

8

数学教案样例

(2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1<0,S2 009=0. ①求 Sn 的最小值及此时 n 的值;②求 n 的取值集合,使 an≥Sn. 2 009×2 008 解 方法一 ①设公差为 d,则由 S2 009=0? 2 009a1+ d=0 2 1 2 009-n ? a1+1 004d=0, d=- a1,a1+an= a1, 1 004 1 004

n n 2 009-n a1 2 ∴Sn= (a1+an)= · a1= (2 009n-n ) 2 2 1 004 2 008
1 005 * ∵a1<0,n∈N ,∴当 n=1 004 或 1 005 时,Sn 取最小值 a1. 2 1 005-n ②an= a1. 1 004

Sn≤an?

a1 1 005-n 2 (2 009n-n )≤ a1. 2 008 1 004
2

∵a1<0,∴n -2 011n+2 010≤0, 即(n-1)(n-2 010)≤0,解得:1≤n≤2 010. 故所求 n 的取值集合为{n|1≤n≤2 010,n∈N }.
*

(3)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n),求它的前 m+n 项 的和 Sm+n. 解 方法一 设{an}的公差为 d, 则由 Sn=m,Sm=n,

n? S =na + ? ? 得? m? S =ma + ? ?
n
1

n-1?
2

d=m, d=n. ②



m-1?
2

m

1

? m-n? ? m+n-1? ②-①得(m-n)a1+ ·d=n-m, 2 m+n-1 ∵m≠n,∴a1+ d=-1. 2 ? m+n? ? m+n-1? ∴Sm+n=(m+n)a1+ d 2 m+n-1 ? ? d?=-(m+n). =(m+n)?a1+ 2 ? ? 2 * 方法二 设 Sn=An +Bn (n∈N ), 2 ?Am +Bm=n, ③ ? 则? 2 ?An +Bn=m. ④ ? 2 2 ③-④得 A(m -n )+B(m-n)=n-m. ∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1, 2 ∴A(m+n) +B(m+n)=-(m+n),
9

数学教案样例

∴Sm+n=-(m+n).

课后作业
A. 基础题自测
1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7= A.14 B.21 C.28 D.35 ( )

2.已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是 A.4 B.5 C.6 D.7 1 3 在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为 ( 3 A.14 B.15 C.16 D.17 4.等差数列{an}的前 n 项和满足 S20=S40,下列结论中正确的是 A.S30 是 Sn 中的最大值 B.S30 是 Sn 中的最小值 C.S30=0 D.S60=0 ( ) )

(

)

5.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=10,b1=90,a2+b2=100,那么数列{an+bn} 的第 2 012 项的值是 A.85 B.90 C.95 D.100 ( )

6.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若 bn=a3n,则数列{bn}的前 9 项和等于________. ? ? ?a2=a1+d=6, ?a1=3, [解析] 由? ?? ?a5=a1+4d=15 ?d=3, ? ? ∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a3n=9n, 9+81 ∴数列{bn}的前 9 项和为 S9= ×9=405. 2 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=___15_____. 2 8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-am=0,S2m-1=38,则 m=__10______. 9.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9= ____27____.

10.设{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10=110,且 a2=a1a4. (1)证明:a1=d; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式. (1) 证明 ∵{an}是等差数列,∴a2=a1+d,a4=a1+3d,又 a2=a1a4,
10
2

2

数学教案样例

于是(a1+d) =a1(a1+3d),即 a +2a1d+d =a +3a1d (d≠0).化简得 a1=d 10×9 (2)解 由条件 S10=110 和 S10=10a1+ d,得到 10a1+45d=110. 2 由(1)知,a1=d,代入上式得 55d=110, 故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n. * 因此,数列{an}的通项公式为 an=2n,n∈N 11.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 * (2)令 bn= 2 (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2 n(a1+an) 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= , 2 所以 an=2n+1,Sn=n(n+2)) 2 (2)因为 an=2n+1,所以 an-1=4n(n+1), 1 ? 1 1?1 因此 bn= = ? - ? 4n(n+1) 4?n n+1? 故 Tn=b1+b2+…+bn 1 1 ? 1? 1 1 1 = ?1- + - +…+ - 2 2 3 n n+1? 4? ? 1 ? 1? n = ?1- = . n+1? 4? ? 4(n+1) 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= 4(n+1)

2

2 1

2

2 1

n

B.中档题演练
1.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,则 S8 等于 A.31 B.32 C.33 D.34 ) ( )

2.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S20-2S10 等于( A.40 B.200 C.400 D.20 )

3 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k 等于( A.8 B.7 C.6 D.5 ( D. 1 2 )

? 1 ? ?是等差数列,则 a11 等于 4.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若? ?1+an?

A.0

1 B. 6

C.

1 3

5.在各项均不为零的等差数列{an}中,若 an+1-an+an-1=0 (n≥2),则 S2n-1-4n 等于( A.-2 B.0 C.1
11

2

)

D.2

数学教案样例

6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 =

An 7n+45 an ,则使得 为整数 Bn n+3 bn

的正整数 n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 an ? 2n-1? an A2n-1 14n+38 7n+19 12 6. D [解析] = = = = =7+ , 所以当 n=1,2,3,5,11 bn ? 2n-1? bn B2n-1 2n+2 n+1 n+1 时满足. 7 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=__15______. 1 8. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 6S5-5S3=5,则 a4=__ ______. 3 9. 等差数列{an}的通项公式是 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,则数列? ?的前 10 项和为
?n? ?Sn?

___75_____. 10. 设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意自然数 n 都有 =

Sn 2n-3 ,则 Tn 4n-3

a9

b5+b7



19 的值为_____ ___. b8+b4 41
2

a3

11.已知数列{an}的通项公式 an=pn +qn (p、q∈R,且 p、q 为常数). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数 p 和 q,数列{an+1-an}是等差数列. (1)解 an+1-an=[p(n+1) +q(n+1)]-(pn +qn)=2pn+p+q, 要使{an}是等差数列,则 2pn+p+q 应是一个与 n 无关的常数,所以只有 2p=0, 即 p=0. 故当 p=0,q∈R 时,数列{an}是等差数列. (2)证明 ∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, ∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p 为一个常数.∴{an+1-an}是等差数列. 12.在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值. (2)求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, a17-a9 ∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,∴d= =3, 17-9 ∴an=a9+(n-9)·d=3n-63, an+1=3n-60, ? ?an=3n-63≤0 令? ,得 20≤n≤21,∴S20=S21=-630, ?an+1=3n-60≥0 ? ∴n=20 或 21 时,Sn 最小且最小值为-630. (2)由(1)知前 20 项小于零,第 21 项等于 0,以后各项均为正数. 3 2 123 当 n≤21 时,Tn=-Sn=- n + n. 2 2
2 2

12

数学教案样例

3 2 123 当 n>21 时,Tn=Sn-2S21= n - n+1 260. 2 2 3 123 - n+ n (n≤21,n∈N ) ? ? 2 2 综上,T =? 3 123 n - n+1 260 (n>21,n∈N ) ? ?2 2
2 *

n

.

2

*

C.难题我破解
1.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). 1 (1)证明数列{ }是等差数列;

an

(2)求数列{an}的通项; 1 (3)若λan+ ≥λ对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数λ的取值范围.

an+1

1 1 (1)证明 将 3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得 - =3(n≥2).

an an-1

1 所以数列{ }为以 1 为首项,3 为公差的等差数列

an

1 (2)解 由(1)可得 =1+3(n-1)=3n-2,

an

1 所以 an= 3n-2 (3)解 若λan+ 即 1

an+1

≥λ对 n≥2 的整数恒成立,

+3n+1≥λ对 n≥2 的整数恒成立. 3n-2 (3n+1)(3n-2) 整理得λ≤ (9 分) 3(n-1) (3n+1)(3n-2) 令 cn= 3(n-1) (3n+4)(3n+1) (3n+1)(3n-2) (3n+1)(3n-4) cn+1-cn= - = . 3n 3(n-1) 3n(n-1) 因为 n≥2,所以 cn+1-cn>0, 28 即数列{cn}为单调递增数列,所以 c2 最小,c2= . 3 28 所以λ的取值范围为(-∞, ] 3 2.已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·a3=45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式;
13

λ

数学教案样例

(2)令 bn=

Sn n+c

(n∈N ),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn}也为等差数列?若存在,求

*

出 c 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题设知,{an}是等差数列,且公差 d>0,则由?
? ?? a1+d? ? a1+2d? =45, 得? ?a1+? a1+4d? =18. ? ?a2a3=45, ? ?a1+a5=18, ?

解得?

?a1=1, ? ?d=4. ?

∴an=4n-3 (n∈N ).

*

n? 1+4n-3?
(2)由 bn=

Sn = n+c

2 n+c

? 1? 2n?n- ? ? 2? = , n+ c

1 ∵c≠0,∴可令 c=- ,得到 bn=2n. 2 ∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N ),∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=- ,使数列{bn}也为等差数列. 2
*

14


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