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带电粒子在磁场中的运动(有界磁场)


§9-10.带电粒子在有界磁场中的运动
一、带电粒子在直边界磁场中的运动

? 带电粒子在匀强磁场中的运动
由洛伦兹力提供向心力 mv2 qvB = r
——对于确定磁场,有 T?m/q,仅由粒子种类 决定,与R和v无关。

mv qB 2? m 2? r = 运动周期: T = qB v 轨道半径: r =


角速度: 频率:

qB ω? m
1 qB f ? ? T 2? m
B v m,q

动能:

1 (qBR)2 Ek ? mv 2 ? 2 2m

? 解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本策略
? 找圆心:
? 已知两个速度方向:可找到两条 半径,其交点是圆心。 ? 已知入射方向和出射点的位置: 通过入射点作入射方向的垂线, 连接入射点和出射点,作中垂线, 交点是圆心。
v θ

θ
O v α α O α

v

? 定半径: ? 几何法求半径 ? 公式求半径 ? 算时间: 2?m q T ? qm t= T? qB 2? qB

θ = 2α
注意:θ 应以弧度表示

(1)先画好辅助线(半径、速度及延长线)。 (2)偏转角由 sinθ = L/R求出。
L v y

(3)侧移由 R2=L2 -(R-y)2 解出。
mq (4)经历时间由 t ? Bq

得出。
O

θ

R B

注意:这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的 交点不再是宽度线段的中点。

这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同!

1.两次过界必对称

——对称性

例、如图,在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁
带电粒子 场B。质量为m、电量大小为q的带电粒子(不计重力), 在xOy平面里经原点O射入磁场中,初速度为v0,且 与x轴成60? 角,试分析计算:穿越磁场时运动方向发 生的偏转角多大?带电粒子在磁场中运动时间多长?
y B

如粒子带正电,则:
60?

v
60?

如粒子带负电,则:

O

120?

x

例、如图,若电子的电量e,质量m,磁感应强度B及宽度
d已知,若要求电子不从右边界穿出,则初速度v0应满 足什么条件?

2.边界约束思相切

变化1:若v0向上与边界成60? 角,则v0应满足什么条件?
变化2:若v0向下与边界成60? 角,则v0应满足什么条件?
v0
e B
e v0 B

B e r-rcos60? d = v0

d

r+rcos60? d = d d

练、如图,在POQ区域内分布有磁感应强度为B的匀强
磁场,磁场方向垂直于纸面向里,有一束正离子流(不

计重力),沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点垂直边
界射入磁场,已知OA=d,∠POQ=45? ,离子的质量为 m、带电荷量为q、要使离子不从OP边射出,离子进 入磁场的速度最大不能超过多少?
P B v0 O A

Q

例、如图,A、B为水平放置的足够长的平行板,板间距离

电子打在A板上的范围是PH段。 电子打在B板上的范围是MN段。
因 qvB=mv2/rm 得: rm=2d

为 d =1.0×10-2m,A板上有一电子源P,Q点在P点正上方 B板上,在纸面内从P点向Q点发射速度在0~3.2×107m/s 范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场,磁感应强度 B=9.1×10-3T,已知电子质量 m=9.1×10-31kg ,电子电 量 q=1.6×10-19C ,不计电子重力和电子间的相互作用力, 且电子打到板上均被吸收,并转移到大地,求电子击在A、 B两板上的范围。 解析 : Q M N
B v A P

rm rm

B

QM = rm-

rm2-d 2 = (2- 3 )d

H

QN = d, PH = 2d, 代入数据得:

例、如图,一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应
强度大小为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad 中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30? 的正电粒子, 粒子质量为m,重力不计,带电量为q,已知ad=L。 (1)要使粒子能从ab边射出磁场,求v0的取值范围。 (2)取不同v0值,求粒子在磁场中运动时间t 的范围? (3)从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。 解:(1) R1+R1sin30? L/2 = 得R1 = L/3 R2- R2cos60? L/2 = 得:R2 = L。 (1)
qBL m

a

b

R1
O
q v 0

R2 B c

≥v0≥

qBL 3m

d

例、如图,一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应
强度大小为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad 中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30? 的正电粒子, 粒子质量为m,重力不计,带电量为q,已知ad=L。 (1)要使粒子能从ab边射出磁场,求v0的取值范围。 (2)取不同v0值,求粒子在磁场中运动时间t 的范围? (3)从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。 解:(2) ?m ≤t≤ 3Bq 解:(3) 5?m ≤t≤ 6Bq 5?m 3Bq
a b

R1
O
q v 0

R2 B c

4?m 3Bq

d

例、如图,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于 纸面向里,

PQ为该磁场的右边界线,磁场中有一点O到PQ的距离为r。 现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不 同的方向射出,它们均做半径为r的匀速圆周运动,求带 电粒子打在边界PQ上的范围(粒子的重力不计)。

分析:从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动
的半径r相同,O为这些轨迹圆周的公共点。 P P M 2r
O r Q N Q 2r O O Q P r

答案:MN ? ( 3 ? 1)r

变2.如图,水平放置的平板MN上方有方向垂直于纸面向
里的匀强磁场,磁感应强度为B,许多质量为m,带电 量为+q的粒子,以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方 向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的 相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的 区域,其中R=mv/qB,哪个图是正确的?( A )
A.
2R

B.

2R

O
M
2R R N M 2R R

O
2R N

B

C.
M 2R

D.
O
M 2R 2R

O
2R N

R N

M

O

N

……以速率 v 沿纸面各个方向由小孔O射入磁场

3.粒子等速多向入, 轨圆定点绕圆周。

2R

2R

2R

O
2R R R

O
2R 2R

O
2R 2R

O

R 2R

A.

B.

C.

D.

题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示,磁场宽度为 d。在垂直B的平面 内的A点,有一个电量为 -q、质量为 m、速 度为 v 的带电粒子进入磁场,请问其速度方向 与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时 间最短?(已知 mv/Bq > d) 题2 一条船在静水中的速度为v,河水的流

d

-q A m

v

d

速为V,河宽为d。问船头方向与河岸的夹角为

多少时,过河的时间最短?
d t? v 有最大值。当vx=v时,有过河的最短时间: 河宽一定,欲使过河时间最短,须使vx

A

vx

vy

题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示,磁场宽度为 d。在垂直B的平面 内的A点,有一个电量为 -q、质量为 m、速 度为 v 的带电粒子进入磁场,请问其速度方向 与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时 间最短?(已知 mv/Bq > d)

d

-q A m d α O

v

R

带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短 dBq sin? = d = mv R

—— 模型识别错误 !!!

dBq m arcsin dBq R arcsin mv ? mv ? = = t= ? = v Bq v/R

题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示,磁场宽度为 d。在垂直B的平面 内的A点,有一个电量为 -q、质量为 m、速 度为 v 的带电粒子进入磁场,请问其速度方向 与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时 间最短?(已知 mv/Bq > d) ? 对象模型:质点
? ? ?

d

-q A m d α O

v

R

过程模型:匀速圆周运动

规律:牛顿第二定律 + 圆周运动公式
条件:要求时间最短

t ?

? s ? ? v

速度 v 不变,欲使穿过磁场时间最短,须使 s 有最 小值,则要求弦最短。

题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示,磁场宽度为 d。在垂直B的平面 内的A点,有一个电量为 -q、质量为 m、速 度为 v 的带电粒子进入磁场,请问其速度方向 与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时 间最短?(已知 mv/Bq > d)

d
v

-q A θ m

θ O

中垂线

sinq ?

d / 2 dBq ? R 2mv dBq m arcsin 2mv 2q 2q ? t? ? ? v Bq R 与边界的夹角为(90? ) -θ

? 启示:要正确识别物理模型

? 带电粒子在圆形磁场中的运动
带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周 运动,因此,带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及 粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。

? 两种基本情形:
v α B 边 界 圆 边 界 圆 B O C A θ O′

B

O θ

O'

轨 迹 圆

轨迹圆

两圆心连线OO′与点C共线。

θ+ α = π

例、如图,虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀
强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁 场,经过磁场区后,电子束运动的方向与原入射方向成θ 角。设电子质量为m,电荷量为e,不计电子之间的相互 作用力及所受的重力。求: r B (1)电子在磁场中运动轨迹的半径R; v O (2)电子在磁场中运动的时间t; θ (3)圆形磁场区域的半径r。 mv R R? 解:(1) θ
eB

(2)由几何关系得:圆心角: α = θ
? mq t? T? 2? eB
q
2 r R

2 O1
?

v

(3)由如图所示几何关系可知, tan

mv q tan 所以:r ? eB 2

例、电视机的显像管中,电子束的偏转是用磁偏转技术实
现的。电子束经过电压为U的加速电场后,进入一个圆
形匀强磁场区,如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场 区的中心为O,半径为r。当不加磁场时,电子束将通过 O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘 P,需要加磁场,使电子束偏转一已知角度θ,此时磁场

的磁感应强度B应为多少? θ 1 解析: eU = 2 mv2 R mv2 evB = 电子束 R O q ? r - + tan 又有: U 2 R 1 B = r 2mU tan q 由以上各式解得: e 2

P
θ

M

变式:如图所示,一带负电荷的质点,质量为m,带电量
为q,从M板附近由静止开始被电场加速,又从N板的小
孔a水平射出,垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中, 磁感应强度为B,入射速度方向与OP成45°角,要使质 点在磁场中飞过的距离最大,则两板间的电势差U为多 少?

例、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场,
一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入 这个磁场;结果,这些质子在该磁场中运动的时间有的 较长,有的较短,其中运动时间较长的粒子( CD ) A.射入时的速度一定较大

B.在该磁场中运动的路程一定较长
C.在该磁场中偏转的角度一定较大 D.从该磁场中飞出的速度一定较小 t = T 2? θ 2?m T= Bq θm t= Bq mv R= Bq

v s1 θ1 R1 R2

B O s2

t

θ

R

s

θ2

例、如图,半径为 r=3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场
B=0.2T,一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁

场,该粒子荷质比为q/m=108C/kg,不计重力。若要使粒
子飞离磁场时有最大的偏转角,其入射时粒子的方向应如 何(以v0与oa的夹角表示)?最大偏转角多大? 解析: R =mv/Bq=5×10-2m > r

说明:半径确定时,通过的弧越
长,偏转角度越大。而弧小于半 个圆周时,弦越长则弧越长。 sin? = r/R
a

B v0 α r R α O b

? = 37? ,

最大偏转角为 2? = 74? 。

拓展:若改粒子射入磁场的速度为v0′=3.0×105m/s,其 它条件不变。用斜线画出该批粒子在磁场中可能出 现的区域。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角, 其入射时粒子的方向应如何(以v0与oa的夹角表示)? 最大偏转角多大?
解析: R′ = mv0′/Bq=1.5×10-2m = r/2
因此,在ab上方的粒子可能出现 的区域为以aO为直径的半圆,如图 所示。在ab下方粒子可能出现的区域 为以a为圆心,aO为半径所作圆与磁 场相交的部分,如图。

v0 v
0

B O

a 2R′

v0

最大偏转角为180? ,射时粒子的方向应与oa的夹角为30? 。

如图所示,x轴正方向水平向右,y轴正方向 竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强 电场,在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直 的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射 装置,它沿x轴正方向发射出一束具有相同质 量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒。 发射时,这束带电微粒分布在0<y<2R的区间 内。已知重力加速度大小为g。
(1)从A点射出的带电微粒 平行于x轴从C点进入有磁场 区域,并从坐标原点O沿y轴 负方向离开,求点场强度和磁 感应强度的大小和方向。

(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域,并说明理由。

V B R

轨界等圆轨心圆,平射入域轨聚焦

例、如图,带电质点质量为m,电量为q,以平行于Ox 轴
的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。 为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度v

射出,可在适当的地方加一个垂直于 xy平面、磁感应强
度为 B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内, 试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

解 :质点在磁场中圆周运动半径为
r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是 1/4 圆周,如图中M、N两点间的圆弧。

y

a

v0 M B r 2R O r b N x

在通过M、N两点的不同的圆中,最小 的一个是以MN 连线为直径的圆周。

O 圆形磁场区域的最小半径 R? 1 MN ? 2 mv 2 qB

题目 (08四川延考卷)一质量为m,带电量为 +q 的带电粒

子(不计重力),以初速度 v0 沿 +x 轴方向运动,从 O点 处进入一个边界为圆形的方向垂直纸面向里的匀强磁场中, 磁感应强度大小为 B。粒子进入磁场做圆周运动的轨道半 径大于圆形磁场的半径,改变圆形磁场圆心的位置,可以 改变粒子在磁场中的偏转角度。为使粒子从磁场中射出后 一定能打到 y 轴上,求满足此条件下磁场半径 r 的范围。
y

y

B B

B
O v0 x O v0

B x

变式:如图,倾角30? 的斜面OA的左侧有一竖直档板,其
上有小孔P,质量m=4×10-20kg,带电量q=+2×10-14 C 的粒子,从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度 B=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子 在运动过程中始终不碰及竖直档板,且在飞出磁场区域

后能垂直打在OA面上,粒子重力不计。求:
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径; (2)粒子在磁场中运动的时间;
b

a

e
o1 60° g c

(3)正三角形磁场区域的最小边长。P

v0

f

A

O

30°

v2 解:(1)由 qvB ? m r mv ? 0.3m 得: r ?
qB

2?r T ? v

2?m T? ? 2? ? 10 -5 s ? 6.28 ? 10 -5 s qB

(2)画出粒子的运动轨迹如图,可知
5 5?m 5? ? ? 10 -5 s ? 5.23 ? 10 -5 s t? T t? 3qB 3 6
a e o1 60° g c

(3)由数学知识可得:
2r ? r cos30? 得: L ? cos30?
mv 4 4 3?3 L? ( ? 1) ? ? 0.99 m qB 3 10

b f P v 0

A

O

30°

例、如图,质量为m、电量为q的正离子,从A点正对圆心O
以某一速度射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直
纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大小为B。要使带电 粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出,问发生碰撞的 最少次数?并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t ? 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失,不计粒子

的重力。

2次
B

t = ? m / Bq
v B O α

v

O
θ O′

α + θ =?

例、如图,在半径为 R 的圆筒内有匀强磁场,质量为m,
带电量为 q 的带电粒子在小孔 A 处以速度 v 向着圆心射 入,问磁感应强度为多大,此粒子才能绕行一周后从原 孔射出?粒子在磁场中的运动时间是多少?(设相碰时 电量和动能皆无损失)
[解析] 根据对称性可以看出粒子与筒壁碰 撞时其速度方向一定是沿圆筒半径方向的。 粒子与筒壁碰撞次数最少是两次,也可能 出现3次、4次、5次……n次碰撞。 无论经过多少次碰撞,因粒子最终从原孔返回,故粒子在 磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角的余角总和一定是360? 。 v

B
O

解: 设粒子在磁场中的轨道半径为r,如图。 把磁场圆周分为n等份,粒子经n-1次碰撞返回A,则有: ? α n α = 2π
r = R tan
2? ? (n - 2) ? 两次碰撞间轨迹圆圆心角: q ? ? n n rq ? (n - 2) ? ? R tan 两次碰撞间粒子运动时间: t ? v nv n

2

= R tan n

t总 ? nt ?

? (n - 2)
v

R tan

?
n

(n ? 3,4,5?)
r O′

v

思考:上述解答是基于粒子在筒壁内绕 A
筒壁一周经n次碰撞射出的情况,若粒 子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢?
θ

α

O R

C

(1)设带电粒子在圆筒内绕筒壁k周、与筒壁经n次连续碰 解:

撞后仍能从A孔射出,则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心 角为 α 满足: (n+1) α=2kπ r= R tan α 又: r = mv/Bq 2 mv kπ 即得: B = cot k=1,2,3,?? n+1 qR
与k相对应的n的取值范围为n>2k-1的正整数。 (2)如图所示,∠AOC=θ,而 θ+α =π,有

? n ? 1 - 2k ? ? q ? ? -? ?
n ?1

所以带电粒子在磁场中运动的时间为 k? ? n ? 1 - 2k ? ? R tan
t? n ?1
将B代入后可得

v A

v

α θ
C

O R

? n ? 1?q T ? ? n ? 1?q ? 2? m t?
2? 2? qB

r

? n ? 1 - 2k ?

O′

例、如图,M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板,S1、S2
为两正对小孔, 板右侧有两宽度均为d的匀强磁场区域,磁感 应强度大小均为B,方向如图。磁场区域右侧有一个荧光屏。 取屏上与S1、S2共线的O点为原点,向上为正方向建立x轴。电 子枪K发射出的热电子经S1进入两板间,电子的质量为m,电 荷量为e,初速度可以忽略。 (1)求U在什么范围内,电子不能打到荧光屏上? (2)试定性地画出能打到荧光屏上电子运动的轨迹。 (3)求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函 数关系。 x B B
K M S1 + N 荧 光 屏 O

S2

d

d

解: (1)根据动能的定理得: eU0 = mv02/2
欲使电子不能打到荧光屏上,应有: r = mv0/eB ≤ d , 由此 即可解得: U ≤ B2d2e/2m。
B B

x

O d

(2)电子穿过磁场区域而打到荧光屏上 时运动的轨迹如图所示。

d

(4)若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r,穿过磁场区 域打到荧光屏上的位置坐标为x,则由(2)中的轨迹图可得:

x ? 2r - 2 r 2 - d 2 注意到: r=mv/eB 和 eU = mv2/2

?

1 r? 2emU Be

所以,电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U 的函数关系为: ? 2 d 2 eB 2 ? ?U ? ? x? 2emU - 2emU - d 2 e 2 B 2 ? eB 2m ? ? ?

?

?

例、如图,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。
左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右,电场宽度 为L;中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外,右侧区域匀 强磁场方向垂直纸面向里,两个磁场区域的磁感应强度 大小均为B。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正 电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动,穿过中 间磁场区域进入右侧磁 d L 场区域后,又回到O点,然 O3 后重复上述运动过程。求: E (1)中间磁场区域的宽度d; O2 O (2)带电粒子的运动周期。
B O1 1 B2

解:(1)如图所示,带电粒子在电场中加速,由动能定理得: qEL ? 1 mV 2
V2 带电粒子在磁场中偏转,由牛顿第二定律得: BqV ? m R

2

由以上两式,可得

R?

1 B

2mEL q

粒子在两磁场区运动半径相同,三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等
边三角形,其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为:
d ? R sin 60 0 ? 1 6mEL 2B q

(2)在电场中运动时间
T 2?m t2 ? ? 在中间磁场中运动时间 3 3qB
2V 2mV 2mL t1 ? ? ?2 a qE qE

L
O3

d

E O B O1 1
O2

在右侧磁场中运动时间 则粒子的运动周期为
t ? t1 ? t 2 ? t 3 ? 2

5 5?m t3 ? T ? 6 3qB

B2

2mL 7?m ? qE 3qB

练:在真空中,半径为 R=0.2m的圆形区域内存在垂直纸面
向外的B=1T的匀强磁场,此区域外围足够大空间有垂直 纸面向里的大小也为B的匀强磁场,一带正电的粒子从边 界上的P点沿半径向外,以速度v0=5×103m/s进入外围磁 场,已知粒子带电量q=5×10-6 C,质量m=2×10-10 kg, 不计重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到P点 所需时间(计算结果可以用 π 表示)。 解析:由洛伦兹力提供向心力, qv0B = mv02/r , = 0.2 m=R。 r 轨迹如图所示。 T = 2?r/Bq = 8π×10-5 s 运动周期为 t = 2T = 16π×10-5 s
v0 P B

B

例、如图,圆形区域内,两方向相反且都垂直于纸面的匀
强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ 中,A2A4与A1A3的夹角为60? ,一质量为m、带电量为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30? 角 的方向射入磁场,随后该项粒子以垂直于A2A4的方向经过 圆心O进入Ⅱ区,最后再从A4处射出磁场,已知该粒子从 射入到射出磁场所用时间表为 t ,求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应 强度的大小(忽略粒子重力)。
A4 Ⅰ A1
30°

60°

5?m B1 ? 6qt

5?m B2 ? 3qt

O Ⅱ

A3

A2

解:粒子在磁场中的运动轨迹如图示:
用B1 , B2 , R1 , R2 , T1 , T2 , t1 , t2分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ 区中的磁感应强度,轨道半径和周期及运动时间。 设圆形区域的半径为r,则 R1= A1A2 =r,R2=r/2。 t1 = T1/6, R1= mv/qB1 = r , R2= mv/ qB2 = r/2 , T1 =2πR1/v= 2πm/qB1 t2 = T2/2 ∴ B2= 2B1
A4 Ⅰ A1
30°

由 qvB = mv2/R 得:

T2 =2πR2/v= 2πm/qB2
t1 + t2 = t 即 πm/3qB1 + πm/qB2 = t
? B1 ? 5? m 6qt B2 ? 5? m 3qt

60°

O Ⅱ

A3

A2

例、如图,很长的平行边界面M、N与N、P间距分别为l1
与l2,其间分别有磁感应强度为B1与B2的匀强磁场区Ⅰ 和Ⅱ,磁场方向均垂直纸面向里。己知B1≠B2,一个带 正电的粒子电量为q,质量为m,以大小为v0的速度垂直 边界M与磁场方向射人MN间磁场区,试讨论粒子速度v0 应满足什么条件,才可通过这两个磁场区,并从边界面 R2 P射出?(不计粒于重力) O ?
2

解析 : ? + θ = ?/2
R1= mv0/B1q l1 = R1 sinθ

R2 O1 θ R1

B1

B2

R2= mv0 /B2q l2 = R2(1-cos?)

R1 θ v0

v0

q(B1l1+B2l2) v0≥ m

M

l1

N

l2

P

讨论 :如图,直角坐标系内,质量为m,带电量为+q的离
子从原点O沿y轴正方向以初速度v0出发,重力不计。现 要求在离子运动的空间内加上某种“场”(每个象限最 多一种场)后,该电荷能通过点P(a,-b),试设计一种能 实现这一目的的方案。要求: (1)需说明运动性质并画出轨迹图。 (2)用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表 达式。(用题设已知条件和有关常数) y
v0

O

x P(a,-b)

解:方案一:在直角坐标系xOy内加上垂直纸面向里的匀强 磁场B,使电荷(m,q)在洛伦兹力作用下绕O′点从O到P作
匀速圆周运动,其轨道半径为R,电荷运动轨迹如图示。

由图知 q ? 2? ,

tan ? ? b / a
v0

y

2 tan ? 2ab tanq ? ? 2 2 1 - tan ? a - b 2
b tanq ? a-R

O

O′ β θ

x

a 2 ? b2 ?R ? 2a
2mv 0a ?B ? q( a 2 ? b 2 )

P(a,-b)

电荷作匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供
2 mv 0 qv0 B ? R

方案二:
在x轴上O‘ 点固定一带负电的点电荷Q, 使电荷( m,q )在 库仑力作用下绕O’ 点从O到P作匀速圆周运动,其轨道半 径为R,电荷运动轨迹如图示。 由图知

q ? 2? ,

tan ? ? b / a
v0 O

y R
θ x

2 tan ? 2ab tanq ? ? 2 2 1 - tan ? a - b 2
b tanq ? a-R
由牛顿第二定律得:
v qQ k 2 ?m R R
2 0

Q β

a 2 ? b2 ?R ? 2a
2 ( a 2 ? b 2 )mv 0 ?Q ? 2akq

P(a,-b)

y
v0 O x P(a,-b)
2mv0 B? qa

y v0 O x P(a,-b)
2amv0 B? q(a 2 ? b 2 )

y
v0 O R x P(a,-b)
2 (a 2 ? b 2 )mv0 Q? 2akq

Q

y B1 O B2 P(a,-b) v0 x v0 O

y v0 E x P(a,-b) O

y

E B x P(a,-b)

y v0 O

y

v0 E
P(a,-b) x O E x

P(a,-b)

y
v0 O

B

x P(a,-b)


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