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0m-npqrq普宁华侨中学2010—2011学年度第二学期期中考试卷高二数学(理科)


、 .~ ① 我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。

2010— 普宁华侨中学 2010—2011 学年度第二学期期中考试卷
高二数学 理科)命题人: 高二数学(理科)命题人:林文城
本试卷分选择题和非选择题两部分. 分钟. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分为 150 分,考试时间 120 分钟. 小题, 一、选择题(

本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题( 1.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的值为 ( ) π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 2. 已知{ an }为等差数列,{ bn }为等比数列,其公比 q≠1,且 bi >0(i=1,2,3,…,n) ,若
2 2 2

a1 = b1 ,a11 = b11 ,则(
A. a6 = b6 B. a6 > b6

) C. a6 < b6 ) B. {x | 0 < x < 1 或 x < ?1} D. {x | ?1 < x < 0, x > 1} ) D. a6 > b6 或 a6 < b6

3.不等式 x | x |< x 的解集是( A. {x | 0 < x < 1} C. {x | ?1 < x < 1}

4.已知点 A( ?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. ( ?3,?1,4) B. ( ?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3,?1,?4)

5. 在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同 排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至少有三个对应位置上的数字 相同的信息个数为( ) A. 5 6. 设 B. 7
2

C. 9

D. 11

. k#s5

(1 + x + x

+ x3

)

4

= a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ? + a12 x 12 ,则 a0 = (
C. ? 1 D.1

)

A.256 7.已知 P ( A) =

B.0

3 1 , P ( B A) = ,则 P ( AB ) = ( ) 5 2 5 9 3 1 A. B. C. D. 6 10 10 10 4 8.某同学每次投篮命中的概率为 ,那么他 3 次投篮中恰有 2 次命中的的概率是( 5



A.

12 125

B.

16 125

C.

48 125

D.

96 125


9. 随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~ B (n, p ) ,且 Eξ = 300, Dξ = 200, 则 p 等于( A.

2 3

B.

1 3

C. 1

D. 0

10.设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为 f(x)、g(x)的导函数,且满 足 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( ) A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(x)>f(b)g(b) C.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a) 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.若数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = 2an ( n ∈ N ) ,则前 8 项的和 s8 = _________ . 12. 抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程 为 . 13.神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成,每两人为一组,若指定翟志刚、聂海胜两人 一定同在一个小组,则这六人的不同分组方法有 种.(要求用数字作答) 14. 曲线 y = 2 x ? x 3 在点(1,1)处的切线方程为 15. 已知 X ~ N ( ?1, σ 2 ), 若P ( ?3 ≤ X ≤ ?1) = 0.4, 则P ( ?3 ≤ x ≤ 1) = . .
?

16. 若定义在区间 D 上的函数 f ( x ) 对 D 上的任意 n 个值 x1 , x 2 ,…, x n ,总满足

1 [ f (x1 ) + f (x2 ) + ? f (xn )] ≤ f ? x1 + x2 + ? x n ? , f (x ) 为 D 上的凸函数.已知函数 ? ? 则称 n n ? ?

y = sin x 在区间 (0, π ) 上是“凸函数” ,则在△ ABC 中, sin A + sin B + sin C 的最大值是
_________. 个小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 三.解答题: 本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 17. 本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三个内角 A, C 所对的边分别为 a, b, c. m = (1,1), ( B,

n =(

3 ? sin B sin C ,cos B cos C ),且 m ⊥ n . 2
(Ⅱ)若 a = 1, b =

(Ⅰ)求 A 的大小;

3c. 求 S △ABC。

18. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n = a ? 2 + b ,且 a1 = 3 .
n

(1) 求 a 、 b 的值及数列 {a n } 的通项公式; (2) 设 bn =

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

19. (本小题满分 12 分)甲、乙两人同时参加奥运志愿者的选拔赛,已知在备选的 10 道题 中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才能入选. (1) 求甲答对试题数 ξ 的分布列及数学期望; (2) 求甲、 乙两人至少有一人入选的概率.

20.(本小题满分 10 分) 在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 500 人,其中女性 250 人,男性 250 人.女性中有 50 人主要的休闲方式是看电视,另外 200 人主要的休闲方式 是运动;男性中有 30 人主要的休闲方式是看电视,另外 220 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系.若有关系,请计算有多大的把握. 参考公式: k =

n(ad ? bc) 2 ; (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 2 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 P(K >k) 0.50 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-

3

2

2 与 x=1 时都取得极 3

值. (1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间; 2 (2)若对 x∈[-1,2],不等式 f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 2 + 2 = 1(a > b > 0)的离心率e = , 左、右焦 2 2 a b

点分别为 F1、F2,点 P ( 2, 3 ) ,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 交于 M、 两点, N 直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α , β , 且 α + β = π ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

2010— 普宁华侨中学 2010—2011 学年度第二学期期中考试
高二数学(理科) 高二数学(理科)答题卷 数学
登分表 题号 得分
考 号 小题, 把答案填写下面表格里) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,把答案填写下面表格里) 选择题:


试 座 号

一 1- 10

二 1111-16 17 18 19

三 20 21 22

总分

1


2

3

4

5

6

7

8

9

10

试 号

线

小题, 把答案填写在相应题号横线上) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填写在相应题号横线上) 填空题: 11.


; ;

12. 15.

; 13. ; 16.

; .

14.

班级座号 班级座号

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:


17. (本小题满分 10 分)





姓名


班级:高二( 班级:高二(

)班

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 10 分)

21. (本小题满分 14 分)

22. (本小题满分 12 分)

密 封

线











2010— 普宁华侨中学 2010—2011 学年度第二学期期中考试卷 数学(理科) 数学(理科)参考答案
一、选择题 1~10 DBBAA DCCBB 二、填空题 11.255 12. x 三、解答题 17.解:(1)∵ m ⊥ n ∴
2

= 16y 13. 3

14. x+y-2=0

15. 0.8 16.

3 3 2

3 ? sin B sin C + cos B cos C = 0 2
即 ∴ cos A =

……………… 2 分

∴ cos( B + C ) = ?

3 2

3 2

……………… 4 分

∵ A为?ABC的内角, 0 < A < π 的内角, ∴
∴A=

π
6

……………… 5 分

(2) 若 a = 1, b = 所以 S ?ABC =

3c. 由余弦定理 b 2 + c 2 ? a 2 = 2bc ? cos A 得 c 2 = 1

…… 7 分

1 3 2 3 bc ? sin A = c = 2 4 4
n ?1

……………… 10 分

18.解: (1) n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = 2 又 a1 = 3 ,得 a = 3 ,从而 a n = 3 ? 2 (2) bn =
n ?1

? a .而 {a n } 为等比数列,得 a1 = 21?1 ? a = a ,

.又∵ a1 = 2a + b = 3,∴ b = ?3 .………………6 分

n n = , a n 3 ? 2 n ?1

1 2 3 n Tn = (1 + + 2 + ? + n ?1 ) 3 2 2 2

?①

1 1 1 2 3 n ?1 n Tn = ( + 2 + 3 + ? + n ?1 + n ) 2 3 2 2 2 2 2

?② ……………… 8 分

① ? ② 得 Tn = (1 +

1 2

1 3

1 1 1 n + 2 + ? + n ?1 ? n ) , 2 2 2 2

1 ? ? 1 ? (1 ? n ) 2? n? 4 1 n 2 ? Tn = ? = (1 ? n ? n +1 ) .………………12 分 n ? 1 3? 2 ? 3 2 2 1? ? ? 2 ? ?
19.解: (1)依题意,甲答对试题数 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,………………1 分 则 P (ξ = 0) =
3 C4 C1 ? C 2 1 3 = , P(ξ = 1) = 5 3 4 = , 3 10 C10 30 C10

1 3 C 62 ? C 4 1 C6 1 P(ξ = 2) = = , P(ξ = 3) = 3 = . ………………5 分 3 2 C10 C10 6

∴ ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

甲答对试题数 ξ 的数学期望为

Eξ = 0 ×

1 3 1 1 9 + 1 × + 2 × + 3 × = . ………………6 分 30 10 2 6 5 C 2 C 1 + C 3 56 + 56 14 2 , P( B) = 8 2 3 8 = = . ………9 分 120 15 3 C10

(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则

P ( A = P (ξ = 2) + P (ξ = 3) =

因为事件 A、B 相互独立,∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为

2 14 1 P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) = [1 ? ][1 ? ] = . 3 15 45
∴ 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P = 1 ? P ( A ? B ) = 1 ?
答:甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为

1 44 = . 45 45

44 . ………………12 分 45

另解:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P = P( A ? B) + P ( A ? B ) + P( A ? B) =
20.解: (1)2×2 的列联表: 休闲方式 性别 男 女 总计 30 50 80 看电视

3 1 1 14 2 14 44 × + × + × = . 2 15 3 15 3 15 45

运动 220 200 420

总计 250 250 500 ………………5 分

(2)假设 H0: “休闲方式与性别无关” 计算 k =

500 × (30 × 200 ? 220 × 50) 2 ≈ 5.952 250 × 250 × 80 × 420

……………… 8 分

因为 k ≥ 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的, 即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”. ………………10 分

21.解: (1)f(x)=x +ax +bx+c,f′(x)=3x +2ax+b………………1 分 由 f′( - a= -

3

2

2

2 12 4 )= - a+b=0 ,f′(1)=3+2a+b=0 得 3 9 3

1 ,b=-2. ………………3 分 2
2

f′(x)=3x -x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: 1 (1,+∞) x 2 2 2 (- ,1) (-∞,- ) -

3

3

3

f′ x) + ( f(x) ↑

0 极大值

- ↓

0 极小值

+ ↑

所以函数 f(x)的递增区间是(-∞,- 1). ………………8 分 (2)f(x)=x -
3

2 2 )与(1,+∞),递减区间是(- , 3 3

1 2 2 22 x -2x+c,x∈〔-1,2〕 ,当 x=- 时,f(x)= +c 2 3 27

为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值. ………………12 分 2 2 要使 f(x)<c (x∈[-1,2])恒成立,只需 c >f(2)=2+c 解得 c<-1 或 c>2………………14 分 22.解: (1)由椭圆 C 的离心率 e =

2 2



c 2 2 2 = ,其中 c = a ? b , a 2

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上

∴| F1 F2 |=| PF2 |,∴ (2c) 2 = ( 3 ) 2 + (2 ? c) 2 解得 c = 1, a 2 = 2, b 2 = 1, ∴ 椭圆的方程为 x2 + y 2 = 1. ………………5 分 2
? x2 2 ? + y = 1, 由? 2 ? y = kx + m ?

(2)由题意,知直线 MN 存在斜率,设其方程为 y = kx + m.

消去 y, 得( 2k 2 + 1) x 2 + 4kmx + 2m 2 ? 2 = 0. 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), …………7 分 则 x1 + x 2 = ?

kx + m kx + m 4km 2m 2 ? 2 , x1 x 2 = , 且 k F2 M = 1 , k F2 N = 2 ……8 分 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2k + 1 2k + 1 kx1 + m kx 2 + m + = 0. x1 ? 1 x2 ? 1

由已知 α + β = π , 得 k F2 M + k F2 N = 0, 即

化简,得 2kx1 x 2 + ( m ? k )( x1 + x 2 ? 2m = 0 …………10 分

∴ 2k ?

2m 2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m = 0 整理得 m = ?2k . 2k 2 + 1 2k 2 + 1

∴ 直线 MN 的方程为 y = k ( x ? 2) ,因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0)…12 分


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