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2.1.2+椭圆的简单几何性质


高二数学导学案

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§2.1.2 椭圆的简单几何性质 导学案
【学习目标】 1.掌握椭圆的范围、对称性、离心率等几何性质. 2.会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形,能根

据几何性质解决一些简单问题. 3.掌握直线和椭圆位置关系的相关知识. 【重点】椭圆的简单几何性质。【难点】椭圆性质的综合应用

【预习案】
一.自主预习 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 2.椭圆上到对称中心距离最远(近)的 点: 到中心 O 的距 离最近; 到中心 O 的距离最远. 3.椭圆的离心率 e. (1)因为 a ? c ? 0 ,所以 。 (2) e 越小, ; 。 e 越大, (3)当 e ? 0 ,即 c ? 0, a ? b 时,两焦 点 重 合 , 椭 圆 方 程 变 成 ,成为一个圆。 (4)当 e ? 1 ,即 a ? c, b ? 0 时,椭圆压 扁成 。 (5)离心率刻画的是椭圆的 , 与焦点所在轴无关。 4.直线和椭圆 设 直 线 方 程 为 Ax ? By ? C ? 0, 若 联 立直线与椭圆方程, 消去 y 得关于 x 的 一 元 二 次 方 程

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 对称轴 e= |F1F2|= ,对称中心 短轴长= ,长轴长=

ax2 ? bx ? c ? 0, (a ? 0) . (1)若 ? ? 0 , 直 线 与 椭 圆
有 ; (2)若 ? ? 0 , 直 线 与 椭 圆 有 ; (3)若 ? ? 0 , 直 线 与 椭 圆 有 。

?我的疑惑:请将预习中不能解决的问题写下来,供课堂解决。

【探究案】
探究点一:利用椭圆方程研究其几何性质 例 1.求椭圆 25x ? y ? 25 的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标。
2 2

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变式练习 1.求椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

探究点二:利用椭圆的几何性质求标准方程 例 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过 (3,0) ,离心率 e ? 与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 8 .

6 ;(2)在 x 轴上的一个焦点, 3

变式练习 2.顶点是 (0,2) ,离心率 e ?

3x 2 y 2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 A. 16 4 4 3
4 A. 5 3 B. 5

1 ,对称轴为坐标轴的椭圆的标准方程是( ) 2 y2 x2 3x 2 y 2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1或 ? ?1 B. 4 3 16 4 8 4 4 3
)

探究点三 求椭圆的离心率 例 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(

1 D. 5 变式 3.如图, F1 , F2 为椭圆左,右焦点, M 为椭圆上一点,且 MF2 ? F1F2 , ?MF1F2 ? 30? .求椭圆离心率.

2 C. 5

探究点四

直线与椭圆的位置关系

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x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A, B 两点,求弦 AB 的长. 例 4.如图所示,已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 4

x2 y2 ? ? 1 和点 P(4,2) ,直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A, B 两点. 36 9 1 (1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度;(2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. 2
变式 4.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 1.椭圆 + =1 与椭圆 2+ =1 有( ) 25 9 a 9 A.相同短轴 B.相同长轴 C.相同离心率 D.以上都不对 2.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(- 3,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是( x2 y2 x2 y2 A. +y2=1 B.x2+ =1 C. +y2=1 D.x2+ =1 4 4 3 3 x2 y2 1 3.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于( ) 2 m 2 3 8 2 A. 3 B. C. D. 2 3 3 4.在一椭圆中, 以焦点 F1、 F2 为直径两端点的圆, 恰好过短轴的两个端点, 则此椭圆的离心率 e 等于( 1 2 3 2 A. B. C. D. 2 2 2 5

【巩固提升】

)

)

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2

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y 5.已知椭圆 x2+ =a2(a>0)与以 A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,则 a 的取值范围是( 2 3 2 3 2 82 1 3 2 82 A.0<a< B.0<a< 或 a> C.0<a< D. <a< 2 2 2 3 2 2 6..椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5,则此椭圆的标准方程是 x2 y2 7.椭圆 + =1 的离心率为 16 8 x2 y2 8.椭圆 + =1 的右焦点到直线 y= 3x 的距离是 4 3 x2 2 9.椭圆 +y =1 被直线 x-y+1=0 所截得的弦长|AB|=________. 3 3 10.若椭圆 x2+my2=1 的离心率为 ,则 m=________ 2 x2 y2 11.直线 y=x+2 与椭圆 + =1 有两个公共点,则 m 的取值范围是________. m 3 x2 y2 12.直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的弦的中点坐标是 4 2 13.比较下列各组中椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?为什么? x2 y2 x2 y2 (1)4x2+9y2=36 与 + =1; (2)9x2+4y2=36 与 + =1. 25 20 12 16

)

14.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 点坐标.

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶 2

x2 y2 15.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的 5 4 面积.


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