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第七章第3节功率






高一 张晓春 黄楠





物理





人教新课标版

课程标题 编稿老师 一校

第七章第 3 节功率 二校 林卉 审核 王新丽

、学习目标:
1. 理解功率的概念。 2. 理解功率的公式 P=W/t,并能运用其进行有关的计算。 3. 正确理解公式 P=Fv 的意义,知道什么是瞬时功率,什么是平均功率,并能用来解释相 关现象和进行计算。 4. 能用公式 P=Fv 讨论汽车等交通工具的启动问题。

二、重点、难点
重点:1. 功率的概念和计算公式。 2. 公式 P=Fv 及其应用。 难点:公式 P=Fv 及其应用。

三、考点分析:
内容和要求 功率 机车启动问题 考点细目 平均功率和瞬时功率的理解 和计算 机车启动过程中最大速度的 求解和运动过程分析 出题方式 选择、计算题 计算题

一、功率
1. 功率的定义:物理学上用物体所做的功 W 与完成这些功所用时间 t 的比值,作为在该 时间内物体平均做功快慢的量度。 2. 功率的定义式: P ?

W 适用于任何情况下功率的计算。 t
常用单位:千瓦(kW)

3. 功率的单位:国际单位: 瓦特(W)

单位换算:W:力所做的功,单位:焦耳(J) t:做功所用时间,单位:秒(s) 1kW = 1000 W ?1W=1J/s 4. 功率是标量。 5. 物理意义:表示物体做功快慢的物理量。? 注意:功率表示的是物体做功的快慢而不是做功的多少,功率大做功不一定多,反之亦 然。

二、功率的力和速度表达式: P ? Fv cos ? W ? s ? P? ? P ? F cos? ? Fv cos? 1. 表达式推导: ? t t ? ?W ? Fs cos?
2. 式中 F 是对物体做功的力,v 是物体的运动速度,θ 是力 F 和速度 v 之间的夹角。 3. 在 F 和 v 同向时θ =0,表达式为: P ? Fv 。 4. 如果求平均功率时,式中的 v 要用平均速度;求瞬时功率时,式中的 v 要用瞬时速率, 必须注意 F、v 与 P 的同时性。 5. 当 F 为合外力时,P 为合外力做功的功率;当 F 为某一外力时,P 为该力做功的功率。 6. 在涉及汽车等交通工具之类的问题中,式中的 P 为发动机的实际功率,F 为发动机的 牵引力,v 为汽车的瞬时速度。

三、力的平均功率和瞬时功率
1. 平均功率 (1)描述力在一段时间内做功的快慢。 (2)计算公式: P ?

② θ =O 时, ③ 应用②③式计算时注意:力 F 必须是恒力,v 为一段时间 t 内物体运动的平均速度。 (3)平均功率对应于一段时间或一个过程,且同一物体在不同时间段内的平均功率一 般不相同,因此说平均功率时一定要说明是哪一段时间内的平均功率。 2. 瞬时功率 (1)力在某一时刻的功率,对应于物体运动的某一时刻或某一位置。 (2)计算公式: P ? Fv cos ? P ? Fv (F 与 v 同向时) 式中的 v 表示物体在某一时刻的瞬时速度。

W t P ? Fv cos ? P ? Fv



四、额定功率和实际功率
1. 额定功率:指动力机器长时间正常工作时的最大输出功率,也就是机器铭牌上的标称 值。额定功率是动力机器的重要性能指标,一个动力机器的额定功率是一定的。 2. 实际功率:指动力机器工作时实际输出的功率。 动力机器不一定在额定功率下工作, 机器长期正常工作时的实际功率总是小于或等于额 定功率。 实际功率不应大于额定功率。 实际功率长时间大于额定功率时会缩短机器使用寿命 甚至会损坏机器(短时间内实际功率略大于额定功率是可以的) 。

五、对公式 P=Fv 的讨论
1. 此公式的意义是:当力 F 与物体运动(瞬时)速度 v 方向一致时,力的实际瞬时功率 就等于力 F 和运动速度 v 的乘积,对于机车(汽车、火车等交通工具或动力装置)而言, 牵引力 F 与物体运动速度 v 一般方向一致,可用公式 P=Fv 计算实际瞬时功率(称为牵引力 的功率、发动机的输出功率) ,特别注意:F 为机车的牵引力,并非机车所受的合力。 2. 当 P 一定时,F∝1/v,即做功的力越大,其速度就越小,如:汽车在发动机功率一定 时上斜坡,司机用换挡的办法(变速调节装置)减小速度以获得较大的牵引力满足上坡的需 要。

3. 当速度 v 保持一定时,P∝F,即做功的力越大,它的功率也越大。如:汽车从平路到 上坡,若要保持速度不变,必须加大油门(控制燃油混合气体流量多少的装置) ,增大发动 机功率以得到较大的牵引力。 4. 当力 F 一定时,P∝v,即速度越大,功率越大。如:起重机吊同一货物以不同的速度 匀速上升,牵引力保持不变(大小等于物重) ,起吊的速度越大,起重机的输出功率就越大。

六、机车启动的两种理想模式(应用)
以恒定的功率 P 启动(从静止开始运动)和行驶。

所以机车达到最大速度时, a ? 0, F ? f , P ? Fvm ? fvm 启动过程中 v-t 图象如图示:

2. 机车以恒定加速度启动直到以额定功率 P 额行驶。

设机车保持以加速度 a 做匀加速直线运动的时间为 t,

Fv ? P ? ? f ? ma?at ? P,则t ? P

a? f ? ma?

, 此时速度v ? at ? P

?f

? ma?

这一启动过程的 v-t 图象如图示:

知识点一:关于平均功率和瞬时功率的计算
例 1:物体 m 从倾角为 ? 的固定的光滑斜面由静止开始下滑,斜面高为 h,当物体滑至 斜面底端,重力做功的瞬时功率为( ) 。 A. mg 2gh C. mgsin ? 2gh

1 mg sin ? 2gh 2 D. mg 2gh sin ?
B.

答案:C 例 2:质量为 m=3 kg 的物体,在水平力 F=6N的作用下,在光滑水平面上从静止开始运 动,运动时间 t=3 s,求: (1)力 F 在 t=3 s 内对物体所做的功。 (2)力 F 在 t=3 s 内对物体所做功的平均功率。 (3)在 3 s 末力 F 对物体做功的瞬时功率。 分析:本题主要考查功率的求解以及公式的选择。 解析:物体在水平力 F 的作用下,在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动, F 根据牛顿第二定律,可求出加速度 a= =2 m/s2,则: m 物体在 3 s 末的速度 v=at=6m/s 物体在 3 s 内的位移 s=

1 2 at =9 m 2

(1)力 F 在 3 s 内做的功 W=Fs=6×9 J=54 J 0?v 6 W ? 6 ? W=18 W ) (2)力 F 在 3 s 内的平均功率 P= =18 W(或 P ? Fv ? F t 2 2 (3)3 s 末力 F 的瞬时功率 P=Fv=6×6 W=36 W 反思:对于本题的求解过程要注意公式和方法的选择。 例 3:质量为 m 的木块放在光滑水平面上,在水平力 F 的作用下从静止开始运动,则开 始运动 t s 时 F 的功率是

F 2t A. 2m F 2t C. m

F 2t 2 B. 2m F 2t 2 D. m

分析:解答本题首先要审清题,知道是在求解瞬时功率和平均功率。 解析:学生甲: 物体在力 F 的作用下,从静止开始做匀加速直线运动,则在 t s 内的位移为:s=
2 2 1 2 1 F 2 F t 所以 W=Fs=F· at =F· · ·t = 2 2 m 2m 2 W F t 所以 P= = t 2m

1 2 at 2

所以本题选 A。 学生乙: 由题意知,物体在力 F 的作用下,从静止开始做匀加速直线运动,则:

F F ,v=at= t m m F F2 P=Fv=F· t= t,所以本题选 C。 m m
a= 反思:师生共同讨论上述两种解法: 本题所求是 t s 时 F 的功率,即 F 的瞬时功率,因 F 和 v 同方向,由 P=Fv 即可求得。 所以学生甲的解法是错误的,因为他求的是 t s 内的平均功率。

总结:由公式 P=

W 求出的是 t 时间内的平均功率,而在公式 P=Fv 中,如果 v 表示的 t

是平均速度, 则由公式 P=Fv 求出的是平均功率; 如果 v 表示的是瞬时速度, 则由公式 P=Fv 求出的是瞬时功率。 例 4:一架自动扶梯以恒定的速度 v1 运送乘客上同一层楼,乘客第一次站在扶梯上不动, 第二次以相对于扶梯的速度 v2 匀速向上走,两次扶梯牵引力做的功分别为 W1 和 W2,牵引 力的功率分别为 P1 和 P2,则 A. W1<W2;P1<P2 B. W1<W2;P1=P2 C. W1=W2;P1<P2 D. W1>W2;P1=P2 解析: 1. 两种情况下人都是处于平衡状态,两次人的受力情况相同,人对扶梯的压力都等于人 的重力,即两种情况下扶梯的牵引力大小相等. 2. 第一种情况下位移为一层楼高度,第二种情况下人也匀速走了一段位移,故扶梯的位 移就比第一次小,故有 s1>s2,W1>W2. 3. 因为两种情况下牵引力一样大,且牵引力作用下扶梯的运动速度 v1 也保持不变,由 P=Fv,可知 P1=P2 故本题选 D。 反思:求解牵引力做的功,也可以由公式 W=Pt 求解,两次运动过程中,人通过相同的 位移所用的时间相同,t1>t2,因此 W1>W2。

知识点二:生活实际问题中功率的计算
例 5:跳绳是一种健身运动,设某运动员的质量是 50kg,他 1 min 跳 180 次,假定在每次 跳跃中,脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的

2 ,则该运动员跳绳时克服重力做功 5

的平均功率是多少瓦?(g 取 10m/s2) 分析:这个题目给出了实际生活中的一个情景,即大家很熟悉的跳绳运动来进行估算, 由于跳绳属于周期性运动, 因此只需要分析一个周期内的情况, 找出一个周期内运动员克服 重力做功的多少即可求解该题。 解析:跳跃的周期 T ?

60 1 s? s 180 3 3 T ? 0.2s 5

每个周期内运动员在空中运动的时间 t1 ?

运动员在空中可视为竖直上抛运动,则起跳初速度为 v0 ? g

t1 ? 1m s 2

v 1 每次运动员上升的最大高度 h ? 0 ? m 2 g 20
所以每次跳跃时运动员克服重力做功为 W ? mgh ? 50 ? 10 ? 所以克服重力做功的平均功率为 P ?

2

1 J ? 25 J 20

W 25 ? W ? 75W 1 t 3

反思:应该清楚运动员跳到某一高度时,其重力做功的大小。仔细分析运动员一次跳绳 过程中在空中运动的时间, 从而求出高度是解题的关键。 求平均功率的时间必须用跳绳所用

的时间,即要注意求解哪段时间的平均功率,对于一些实际问题,建立物理模型是关键,例 如本题的求解过程中, 首先求出运动员起跳的初速度, 同时把人的运动看作竖直上抛运动进 行求解,从而求出高度 h,然后求解重力做功。 变式 1:某同学在跳绳比赛中,1min 跳了 120 次,若每次起跳中有 4/5 时间腾空,该同学 体重为 50kg, 则他在跳绳中克服重力做功的平均功率是 W, 若他在跳绳的 1min 内, 心脏跳动了 60 次,每次心跳输送 1? 10 ?4 m 3 的血液,其血压(可看作心脏血液压强的平均 值)为 2 ? 10 4 Pa ,则心脏工作的平均功率是 答案:200W 2W 点拨:跳一次时间是 t 0 ? W。

60 1 s? s 120 2

人跳离地面做竖直上抛,人上抛到最高点的时间

t?

1 1 4 1 ? ? s? s 2 2 5 5

?1 ? 此过程中克服重力做功 W ? mg? gt 2 ? ? 100J ,跳绳时克服重力做功的平均功率 ?2 ? W P? ? 200W 。 t0
把每一次输送的血液简化成一个柱体模型,设柱体的截面积为 S,输送位移为该柱体的 边长 L,输送的血液体积为 ? V ,则 P ? W / ?t 。 设血压为 p,则压力对血液做的功为 W ? F ? L ? pS ? L ? p ? ?V 则心脏工作的平均功率是 P ? p ? ?V / ?t ?

(2 ? 10 4 )(1 ? 10 ?4 ) W ? 2W 。 60 / 60
3

变式 2:某地强风的风速约为 v ? 20m / s ,设空气密度 ? ? 1.3kg / m 。如果把通过横截 面积为 S=20m2 的风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率的公式应为 P= ,大小约为 W。 (取一位有效数字) 分析:取 ts 内作用到横截面积为 S 的面积上的空气流为研究对象,如图 3 所示。则这 部分空气流的质量为 m ? ?V ? ? ? Svt

1 1 mv 2 ? ?Sv 3 t 2 2 W Ek 1 ? ? ?Sv3 则电功率为 P ? t t 2 5 代入数据解得 P ? 1? 10 W
空气流的动能为 E k ?
S vt v

知识点三:机车启动问题
例 1:汽车发动机的额定功率为 60kW,汽车的质量为 5t,汽车在水平路面上行驶时,阻 力是车重的 0.1 倍,g 取 10m/s2,问: (1)汽车保持以额定功率从静止启动后能达到的最大速度是多少? (2)若汽车保持以 0.5m/s2 的加速度做匀加速运动,这一过程能维持多长时间?

分析:本题考查机车启动问题,此类问题的求解首先在于确定是哪一种启动方式,是恒 功率还是恒定加速度,进而确定车子的运动过程。 解析:汽车受力情况如图所示

(1)根据上述分析可知:当牵引力 F 牵大小等于阻力 F 阻时,汽车的加速度 a=0,速度 达到最大值 vm,根据公式 P=Fv 可得出汽车最大速度。

Pt P 60 ? 103 vm= ? ? m/s ? 12 m/s F牵 F阻 0.1? 5 ? 103 ? 10
(2)由两种方式的机车启动过程分析可知:以恒定加速度启动后的汽车先做一段匀变 速运动,当汽车的功率达到额定功率以后,加速度减小,汽车将做变加速运动,速度继续增 大直到加速度 a=0,这时速度达到最大值 vm,以后将保持以 vm 做匀速直线运动,这样汽车 做匀加速运动所能维持的时间应该从开始截止到汽车达到额定功率的时候。 设汽车做匀加速 运动时的牵引力为 F 牵, 阻力为 F 阻, 据牛顿第二定律, 有 F 牵=F 阻+ma=0.1mg+ma=7500N。 当汽车的功率增大到额定功率时, 汽车做匀加速运动的过程结束, 设这时汽车的速度为 v1,据功率公式 P=F 牵 v1 得:v1=

P 60 ? 103 m/s=8m/s ? F牵 7500

设汽车能维持匀加速运动的时间为 t 则:t=

v1 8 ? s=16s a 0 .5

例 2: 一位学生骑自行车沿着倾角为 20 度的斜坡上行, 假如他骑车的最大功率为 1200W, 车子和学生的总质量为 75kg,运动过程中所受摩擦阻力恒为 60N,则这名学生骑车上坡的 最大速度是多少?假如他在水平路面上骑车,能够达到的最大速度是多少?(g 取 10m/s2) 分析:本题仍然是机车启动中恒功率启动的问题,不同的是此题的情景放到了斜面上, 因此要注意和水平面的区别。 解析:对学生进行受力分析可知,骑车上坡的过程中总的阻力为 F阻 ? mgsin ? ? f , 其中 f=60N,当学生骑车达到最大速度时必然匀速运动,此时所受合外力为 0,即此时牵引 力 F引' ? F阻 ,且达到最大功率 Pmax=1200W,由 P=Fv 得到学生骑车上坡的最大速度为

vmax ?

Pmax 1200 m ? 3.8 m ? s F阻 75? 10 ? sin 20? ? 60 s

如果自行车在平直公路上行驶,他受到的阻力为 f=60N,所以达到最大速度时是匀速运 动,必然有 F 引=f=60N,并且有 P=Pmax。 所以最大速度可以达到 v max ' ?

Pmax 1200 m ? ? 20 m s s ? 60 F阻

反思:解答机车启动问题时一定要抓住其运动过程中的基本特征和一些特殊点的条件,

比如达到最大速度的条件等,这些都是解题的突破口。

解决功率问题时一定要注意审题过程, 区分清楚题目的要求, 是求解瞬时功率还是平均 功率,并注意公式的应用,公式 P ?

W 只能用于求解平均功率,而公式 P ? Fv cos ? 中, t

当 v 取某段时间内平均值的时候可以求解平均功率, 当 v 取瞬时速度时也可以求解瞬时功率, 在解题时要灵活选择公式,做到简化求解过程。对于机车启动类问题是高考常考的考点,要 注意分析过程,需要用到牛顿运动定律来分析求解,注意运动的几个特殊点,机车速度最大 时对应的条件,牵引力等于阻力,两种启动方式在这一点上是相同的,要注意这种问题和实 际生活情境的结合,这部分内容经常与动能定理,机械能守恒等考点综合起来考查。

将下一讲的内容以设问的方式设置问题,创造情境,引发学生的思考。问题的设计要把 新旧知识结合起来,自然的过渡到新的知识。

一、预习新知
重力势能和探究弹性势能表达式

二、预习点拨
1. 复习重力做功的特点和重力势能变化的关系。 2. 复习弹力做功和弹性势能的变化之间的关系,掌握探究实验的设计思想和原理。

(答题时间:45 分钟)
1. 关于功率的概念,下列说法中正确的是( A. 功率是描述力对物体做功多少的物理量 B. 由 P ? )

W 可知,功率与时间成反比 t

C. 由 P=Fv 可知,只要 F 不为零,v 也不为零,那么功率 P 就一定不为零 D. 某个力对物体做功越快,它的功率就一定越大 2. 关于功率的以下说法中正确的是( ) A. 根据 P=W/t 可知,机械做功越多,其功率越大。 B. 根据 P=Fv 可知,汽车的牵引力一定与速率成反比。 C. 根据 P=W/t 可知,只要知道 ts 内机械所做的功,就可以求得这段时间内任一时刻的 功率。 D. 由 P=Fv 可知,当发动机功率一定时,交通工具的牵引力与运动速率成反比。 3. 设河水阻力跟船的速度的平方成正比,若船匀速运动的速度变为原来的 2 倍,则船的 功率变为原来的( ) A. 2 倍 B. 2 倍 4. 汽车上坡时,必须换挡,其目的是( A. 减小速度,得到较小的牵引力 B. 增大速度,得到较小的牵引力 C. 减小速度,得到较大的牵引力 C.4 倍 ) D.8 倍

D. 增大速度,得到较大的牵引力 5. 一辆汽车以功率 P 1 在平直公路上匀速行驶,若驾驶员突然减小油门,使汽车的功率减 小为 P2 并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变,此后汽车发动机的牵引力将( ) A. 保持不变 B. 不断减小 C. 先减小,后保持不变 D. 先增大,后保持不变 6. 物体在水平恒力 F 作用下, 由静止开始沿水平面由 A 点运动了 sm 到达 B 点, 则当 ( ) A. 水平面光滑时,力 F 对物体做功的平均功率较大 B. 水平面不光滑时,力 F 对物体做功的平均功率较大 C. 水平面光滑时,力 F 在 B 点的瞬时功率较大 D. 水平面不光滑时,力 F 在 B 点的即时功率较大 7. 一质量为 m 的物体,在几个共点力的作用下静止在光滑的水平桌面上,现把其中一个 水平方向的力 F 突然增大到 3F,保持其他力不变,则在 ts 末该力的功率为( )

9F 2 t A. m

6F 2 t B. m

4F 2 t C. m

3F 2 t D. m

8. 质量为 m=2 kg 的木块在倾角θ =37°的斜面上由静止开始下滑,木块与斜面间的动摩 擦因数为 0.5,已知 sin37°=0.6,cos37°=0.8,g 取 10 m/s2。求: (1)前 2 s 内重力做的功; (2)前 2 s 内重力的平均功率; (3)2 s 末重力的瞬时功率。 9. 汽车发动机的功率为 60 kW,汽车的质量为 4 t,当它行驶在坡度为 0.02(即斜坡角度 2 的正弦值)的长直公路上时,如图,所受阻力为车重的 0.1 倍(g=10 m/s ) ,求:

(1)汽车所能达到的最大速度 vm 是多少? 2 (2)若汽车从静止开始以 0.6 m/s 的加速度做匀加速直线运动,则此过程能维持多长 时间? (3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时,汽车做功多少? (4)在 10 s 末汽车的顺时功率为多大?

1. 解:D

由功率的物理意义可知它是反映物体做功快慢的物理量,所以 A 错 D 对,

W P ? 能反映物体做功的快慢但是它无法决定功率与时间成反比,所以 B 错。由定义式容 t
易知道 C 也是错的。 2. 解:D 功率表示的是物体做功的快慢,而不是多少,故 A 项错;由 P=Fv 知道,只 有在 P 一定时 F 和 v 成反比,所以 B 错 D 对;由 P=W/t 可知,求出的是一段时间内的平均 功率,而不是任意一个时刻的瞬时功率,故 C 错。 。 3. 解:D 设原来船速为 v,则阻力为 f=kv2 由于船匀速运动,则牵引力 F=Kv2,此时 牵引力的功率 P1=Kv3,同理可知,船速为 2v 时,P2=k(2v)3,所以 P1:P2=1:8 4. 解:C 汽车上坡时,牵引力除要克服阻力外,还要克服重力沿斜面向下的分力,所 以需要增大牵引力,由 P=Fv 可以知道 P 不变时,要增大牵引力 F,必须减小 v。 5. 解:D 由 P 1 ? Fv 知,当汽车以功率 P1 匀速行驶时,F=f,加速度 a=0。若突然减小 油门,汽车的功率由 P1 减小到 P2,则 F 突然减小。整个过程中阻力 f 恒定不变,即 F<f,此 时加速度 a<0,所以汽车将减速。由 P2 ? Fv 知,此后汽车保持功率 P2 不变继续行驶,v 减 小,F 增大。当 F=f 时,汽车不再减速,而以一个较小速度匀速行驶,牵引力不再增大。 6. 解:AC 由 W ? Fs 知,F 相同,s 相同,所以做功相等,由运动学容易知道,沿光 滑水平面运动时间 t1 小于沿粗糙水平面运动时间 t2,且到达 B 点的速度 v1 大于 v2,所以由

P?

W 和 P ? Fv 容易知道 AC 对。 t

7. 解:B 由题意可知,题中要求的是 3F 这个力在 ts 末的瞬时功率。 对物体应用牛顿第二定律得 3F ? F ? ma

2 Ft m 2 Ft 6 F 2 t ? 由功率推导式 P ? Fv 得 P ? 3F ? m m
在 ts 末物体的运动速度为 v ? at ? 所以选项 B 正确 8. 解:分别由 W ? Fs cos ? 、 P ? (1)木块所受的合外力为:

W 和 P ? Fv cos ? 来求解。 t

F合 ? mgsin ? ? ?mgcos? ? 4N F ? 2m / s 2 木块的加速度为: a ? m 1 2 前 2 s 内木块的位移: s ? at ? 4m 2 所以,重力在前 2 s 内做的功为: W ? mgsin ? ? s ? 48J W ? 24W (2)重力在前 2 s 内的平均功率为: P ? t (3)木块在 2 s 末的速度为: v ? at ? 4m / s W 重力在 2 s 末的瞬时功率为: P ? mgsin ? ? v ? 48
9. 解: (1)汽车在坡路上行驶,所受阻力由两部分构成,即 f=Kmg+mgsinα=4000+800=4800 N。 vm,所以 又因为 F=f 时,P=f·

(2)汽车从静止开始,以 a=0.6 m/s 匀加速行驶,由 F=ma,有 F′-f-mgsinα=ma。 所以 F′=ma+Kmg+mgsinα=4× 103× 0.6+4800=7.2× 103 N。 保持这一牵引力,汽车可达到匀加速行驶的最大速度 v′m,有 。 由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移 。 s 可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为 (3)由 W=F· W=F· s=7.2× 103× 57.82=4.16× 105J。 (4)当 t=10 s<13.9 s,说明汽车在 10 s 末时仍匀加速行驶,则汽车的瞬时功率 Pt=F· vt=F· a· t=7.2× 103× 0.6× 10=43.2 kW。

2


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