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广东省各地2014届高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 立体几何


广东省各地 2014 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择题 1、 (佛山市 2014 届高三教学质量检测(一) )某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1 所 示,其中俯视图是中心角为 60? 的扇形,则该几何体的体积为 A.

? 3
2? 3

B.

C. ? D. 2?

答案:D 2、 (惠州市 2014 届高三第三次调研考)右图是一个几何体的三视图,根 据图中数据可得该几何体的表面积是( ) 2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

图1

A . 9?
B . 10?
C . 11?

D . 12?
答案:D 3、 (江门市 2014 届高三调研考试)

如图 1, E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AD1 、 B1C 上的动点(不含端点) ,则 四边形 B1 FDE 的俯视图可能是

A. 答案:B

B.

C.

D.

图1

4、 (揭阳市 2014 届高三学业水平考试)图(1)中的网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则该多面体的体 积为 A. 4 C. 16 答案:C B. 8 D. 20

1

5、 (汕头市 2014 届高三上学期期末教学质量监测)三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边 长为 2 的等边三角形,其正视 图(如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为 ( ) A. 8 B. 4 C. 4 3 D. 3

答案:C 6、 (肇庆市 2014 届高三上学期期末质量评估)某几何体的三视图如图 2 所示 (单位:cm), 则其体积和表面积分别是( ) A. 6? cm 和 12(1 ? ? ) cm
3 3
2

B. 6? cm 和 12? cm
3
2

2

C. 12? cm 和 12(1 ? ? ) cm

D. 12? cm 和 12? cm
3

2

答案:A 7、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使得平面 ABD ? 平面 CBD ,形成三棱锥 C ? ABD 的正视图与俯视图如下图所示,则 侧视图的面积为 ( )

A.

1 2
2 4

B.

1 4
2 2

C.

D.

答案:B 8、 (珠海市 2014 届高三上学期期末)一个四棱锥的三视图如图所 示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的 体积是( )

2

A、

1 2

B、1

C、

2 3

D、2

答案:A 9、 (珠海一中等六校 2014 届高三第三次联考)已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 E 点,将 ?ACD 沿对角线 AC 折起,使得平面 ABC⊥平面 ADC(如图) ,则下列命题中正确的 为( C ) A. 直线 AB⊥直线 CD, 且直线 AC⊥直线 BD B. 直线 AB⊥平面 BCD,且直线 AC⊥平面 BDE C. 平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE D. 平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ACD⊥平面 BDE 答案:C 10、 (东莞市 2014 届高三上学期期末调研测试)一个空间几何体的正视图与 侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图是半径为 1 的圆,则该几何体的体积是

答案:A 二、填空题 1、 (省华附、省实、广雅、深中四校 2014 届高三上学期期末)某几何体的 三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左)视图的边界均为直角三角形, 俯视图的边界为直角梯形,则该几何体的体积为 .

答案:8 2、 (江门市 2014 届高三调研考试)若 ? 、 ? 是不重合的平面, a 、 b 、 c 是互不相同的空 间直线,则下列命题中为真命题的是 ① 若 a // ? , b // ? ,则 a // b ② 若 c // ? , b ? ? ,则 c ? b ③ 若 c ? ? , c // ? ,则 ? ? ? . (写出所有真命题的序号)

3

④ 若 b ? ? , c ? ? 且 a ? b , a ? c ,则 a ? ? 答案:②③(对 1 个 3 分,错 1 个 ? 2 分) 三、解答题 1、 (佛山市 2014 届高三教学质量检测(一) ) 如图 5 , 矩形 ABCD中 , AB ? 12 , AD ? 6 , E 、 F 分别为 CD 、 AB 边上的点 , 且

DE ? 3 , BF ? 4 ,将 ?BCE 沿 BE 折起至 ?PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP 、EF 、PF ,
其中 PF ? 2 5 . (Ⅰ)求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值. E

D

. .

C D

P C F
图6

E B

A B A F 【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知 图5 , PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9 ,
2 2 2

在 ?PBF 中, PF ? BF ? 20 ? 16 ? 36 ? PB ,所以 PF ? BF ……………2 分 在图 1中,易得 EF ? 62 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61 ,
2
2 2 2

………3 分

在 ?PEF 中, EF ? PF ? 61 ? 20 ? 81 ? PE ,所以 PF ? EF …………………4 分 又 BF ? EF ? F , BF ? 平 面 ABED , EF ? 平 面 ABED , 所 以 PF ? 平 面

ABED . ………………6 分
z D A x P D A P C H F
解法二图

E F
解法一图

C y B

E B

(注:学生不写 BF ? EF ? F 扣 1 分) ( Ⅱ ) 方 法 一 : 以 D 为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz 如 图 所 示 , 则

A ? 6, 0, 0 ? , P 6,8, 2 5 , E ? 0,3, 0 ? ??? ? AP ? 0 F ? 6,8, 0 ? , , ??? ? ??? ? , ? 0, 0, 2 8 5 , EF ? ? 6,5, , 0 ? , ………… 2 8分 , FP ??? ? ? ?n ? FP ? 0 设 平 面 PEF 的 法 向 量 为 n ? ? x, y, z ? , 则 ? ??? ,即 ? n ? EF ? 0 ? ?
所 以

?

?

?

?

?

?

5

?2 5 ? z ? 0 ? ,解得 ? ? ?6 x ? 5 y ? 0

4

5 ? ?x ? ? y 6 ? ? ?z ? 0
令 y ? ?6 ,得 n ? ? 5, ?6, 0 ? ,……………………………………………12 分

??? ? AP ? n 8 1281 48 设直线 AP 与平面 PEF 所成角为 ? ,则 sin ? ? ??? . ? ? ? 427 84 ? 61 AP n
所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为 方法二:过点 A 作 AH ? EF 于 H , 由(Ⅰ)知 PF ? 平面 ABED ,而 AH ? 平面 ABED 所以 PF ? AH ,又 EF ? PF ? F , EF ? 平面 PEF , PF ? 平面 PEF , 所以 AH ? 平面 PEF , 所以 ?APH 为直线 AP 与平面 PEF 所成的角. ………………………9 分 在 Rt?APF 中, AP ?

8 1281 . ……………………14 分 427

AF 2 ? PF 2 ? 64 ? 20 ? 2 21

…………………………11 分

在 ?AEF 中,由等面积公式得 AH ? 在 Rt?APH 中, sin ?APH ?

48 AF ? AD ………………………………13 分 ? EF 61

AH 16 3 8 1281 ? ? ? AP 427 61 2 21

所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为 2、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试)

8 1281 . ………………………14 分 427

在如图 6 的几何体中,平面 CDEF 为正方形,平面 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD ,

AB ? 2BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值.

E

F

D A 图6

C B

(1)证明 1:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 ,

?

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .……………………………2 分 所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2

所以 AC ? BC .………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .……………………………………………………………4 分
? ? 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ,则 ?ACB ? 120 ? ? .
? ?

?

?

5

在△ ABC 中,由正弦定理,得

BC AB ? .……………………1 分 sin ? sin ?120? ? ? ?
?

因为 AB ? 2BC ,所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? . 整理得 tan ? ?

?

?

3 ? ,所以 ? ? 30 .……………………………………………2 分 3

所以 AC ? BC .………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .…………………………………………………4 分 (2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………6 分 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?DAM ? 60 ,
?

所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME ? BF .………………7 分 取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD .………8 分 因为 MN ? 平面 ABCD , ED ? FC ,所以 ED ? MN . 因为 AD ? ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . ……………9 分 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. ……………10 分 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .…………………11 分 因为 MN ? N A M D E F

C B

3 AD , ME ? MD 2 ? DE 2 ? 2 AD ,……………………………12 分 2
MN 6 ? .………………………………13 分 ME 4

在 Rt △ MNE 中, sin ?MEN ?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 .……………………………14 分 4

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………………6 分 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .………………………7 分 E z F

6

D x A

C B

因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1, 0 ? , F ? 0, 0,1? , A

?

?

3, 0, 0 ,

?

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? , ? , 0 ,E? ? ? 2 ? 2 , ? 2 ,1 ? ?, 2 ? ? ? ? ?
所以 BF ? ? 0, ?1,1? , DA ? ?

??? ?

??? ?

? 3 1 ? ???? ? 2 , 2 ,0? ? , DE ? ? 0, 0,1? .………………………9 分 ? ?

??? ? ? 3 y ? x ? ? 0, ?n ? DA ? 0, ? 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? 即? 2 2 n ? DE ? 0. ? ? z ? 0. ? ?
取 x ? 1 ,得 n ? 1, ? 3, 0 是平面 ADE 的一个法向量.…………………………11 分 设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? ,

?

?

??? ? ??? ? ? 0, ?1,1?? 1, ? 3, 0 BF ? n 6 ? ? 则 sin ? ? cos? BF , n? ? ??? .………………13 分 ? 4 2 ?2 BF ?n

?

?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 .………………………………14 分 4

3、 (增城市 2014 届高三上学期调研) 如图 3,边长为 2 的正方形 ABCD,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将△AED, △DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于 A? 。 (1)求证: A?D ⊥EF; ( 2 ) 求 二 面 角 ? A ? EF ? D 的 平 面 角 的 余 弦值. A B

A/

E

E

D F B

D F C

图3
(1) 证明: ∵ABCD 是正方形, ∴DA⊥AE, DC⊥CF, ∴DA ⊥A E, DA ⊥A F, 又 A E∩A F=A ,
/ / / / / / /

2分 3分 4分
7

∴DA ⊥平面 A EF, 又 EF ? 平面 A EF,
/

/

/

5分 6分 7分
/ /

∴DA ⊥EF。 (2)取 EF 的中点 M,连 A M,DM,则在△A EF 中, ∵A E=AE=1,A F=CF=1, ∴A M ⊥EF, ∴DE=DF= 2 ? 1 ? 5 ,
2
/ / /

/

8分

∴DM ⊥EF 所以∠A MD 是二面角 A? ? EF ? D 的平面角,
/

9分 10 分

在△BEF 中,BE=BF=1,BE⊥BF,

∴EF= 2 ,∴A M=
/

2 / ,又 A D=1, 2

11 分

∵DA ⊥平面 A EF,∴A D ⊥A M,又 A D=2,∴DM=

/

/

/

/

/

A/ M 2 ? A/ D 2 =

3 2 , 2

12 分

∴cos∠A MD=

/

A/ M 1 ? , DM 3

13 分

所以二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值是

1 。 3

14 分

方法 2:在△BEF 中,BE=BF=1,BE⊥BF,∴EF= 2 , ∵A E= A F=1,∴A E + A F =EF ∴A E⊥A F,
/ / / / / / / / / 2 / 2 2

7分

8分 9分

所以以 A 为坐标系的原点,A E,A D,A F 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A (0,0,0) ,D(0,2,0),E(1,0,0),F(0,0,1) ∴ ED ? (-1,2,0) , EF ? (-1,0,1) , 设平面 DEF 的法向量是 n ? ( x, y, z ) ,则 n ● ED ? 0, n ● EF ? 0, 11 分
/

10 分

??? ?

??? ?
?

?

??? ?

?

??? ?

∴?

? ?? x ? 2 y ? 0 ,取 n =(2,1,2) , ? ?x ? z ? 0

12 分

8

又 A D ? (0,2,0)是平面 A EF 的法向量,
/
/

???? ?

???? ? ? ? ? ???? A/ D?n 1 / n 与 A D 夹角的余弦值是 cos ? ? ???? ? ? ? 。 A/ D n 3
所以二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值是

13 分

1 。 3

14 分

4、 (省华附、省实、广雅、深中四校 2014 届高三上学期期末) .如图,四边形 ABCD 是正方形, EA ? 平面 ABCD ,

EA ? PD , AD ? PD ? 2EA , F , G , H 分别
为 PB , EB , PC 的中点. (1)求证: FG ? 平面 PED ; (2)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小. (1)证明:? F , G 分别为 PB , BE 的中点,

P H F

E

D G

C B

? FG ? PE .

……………………1 分

A

又? FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED ,

…………………3 分

? FG ? 平面 PED .

…………………………………5 分
z P H F E D G x A B C y

(2)解:? EA ? 平面 ABCD , EA ? PD ,? PD ? 平面 ABCD.

? AD, CD ? 平面 ABCD, ? PD ? AD , PD ? CD .

? 四边形 ABCD 是正方形,? AD ? CD .
以 D 为原点,分别以直线 DA, DC, DP 为 x 轴, y 轴, z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系,设 EA ? 1.

……………………7 分

? AD ? PD ? 2EA , ? D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , A ? 2, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , E (2, 0,1) , ??? ? ??? ? PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) . ? F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点, ??? ? 1 1 ???? 1 ? F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) , GF ? (?1, 0, ) , GH ? (?2, 0, ). ………8 分 2 2 2 ??? ? ? ?n1 ? GF ? 0 (解法一)设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FGH 的一个法向量,则 ? , ???? ? ?n1 ? GH ? 0

9

1 ? ? x1 ? z1 ? 0 ? ? 2 即? ,令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1, 0) . ??2 x ? 1 z ? 0 1 1 ? ? 2

…………10 分

??? ? ? ?n2 ? PB ? 0 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ? , ??? ? ? ?n2 ? PC ? 0
即?

? 2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 ,令 z2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) . ? 2 y2 ? 2 z 2 ? 0
n1 ? n2 n1 ? n2
=

……………12 分

所以 cos n1 , n2 =

2 . 2

…………………………………13 分

π (或 45? ). ………14 分 4 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? (解法二) ? DH ? BC ? (0,1,1) ? (?2, 0, 0) ? 0 , DH ? PC ? (0,1,1) ? (0, 2, ?2) ? 0 ,
所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

???? ? ? DH 是平面 PBC 一个法向量.

…… ……………………10 分

???? ???? ???? ??? ? 1 ? DC ? FH ? (0, 2, 0) ? (?1, 0, 0) ? 0 , DC ? FG ? (0, 2, 0) ? (1, 0, ? ) ? 0 , 2 ???? ? DC 是平面平面 FGH 一个法向量. …… ………………12 分 ???? ? ???? DH ? DC ???? ? ???? 2 2 ……… … ……………13 分 ? cos DH , DC ? ???? ? , ? ???? ? 2 DH ? DC 2 2

π ?平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 (或 45? ). 4
(解法三) 延长 AE 到 Q, 使得 AE ? EQ, 连 PQ, BQ.

………14 分

P H F D G B
………7

? PD ? 2EA ? AQ , EA ? PD ,

Q E A

?四边形 ADPQ 是平行四边形, PQ ? AD. ?四边形 ABCD 是正方形,? BC ? AD, PQ ? BC.

C

? F , H 分别为 PB , PC 的中点,? FH ? BC, FH ? PQ. ? FH ? 平面 PED , PQ ? 平面 PED , ? FH ? 平面 PED .


? FH ? FG ? F , FH , FG ? 平面 ADPQ, ? 平面 FGH ? 平面 ADPQ. ………9

10

故平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角与二面角 D ? PQ ? C 相等. 分

… …10

? PQ ? CD, PQ ? PD , PD ? CD ? D, PD, DC ? 平面 PDC, ? PQ ? 平面

PDC.

? PC ? 平面 PDC,? PQ ? PC, ?DPC 是二面角 D ? PQ ? C 的平面角.


…12

? AD ? PD, AD ? PD,??DPC ? 45?.


… …………13

π ?平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 (或 45? ). 4
分 5、 (惠州市 2014 届高三第三次调研考) 如图, 平行四边形 ABCD 中, AB ? BD , AB ? 2 ,BD ?

… …………14

2 ,沿 BD 将 ?BCD 折

起,使二面角 A ? BD ? C 是大小为锐角 ? 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O . (1)求证: OD // AB; (2)当 ? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? C D C O A B A B D

解: (1)∵ CO ? 平面 ABD , CO ? BD ,…1 分 ∵ BD ? SD , SD ? CO ? O …3 分

? BD ? 面 S C D …4 分

D ? 面COD 又O

∴ BD ? OD ,

……5 分

? AB ? BD ……6 分
∴ AB // OD . ……7 分 (2)由题知 OD 为 CD 在平面 ABD 上的射影, ∵ BD ? CD , CO ? 平面 ABD ,∴ BD ? OD , ∴ ?ODC ? ? , …………8 分
11

1 1 1 VC ? AOD ? S?AOD ? OC ? ? ? OD ? BD ? OC 3 3 2
? 2 2 ? OD ? OC ? ? CD ? sin ? ? CD ? cos ? 6 6

………9 分

………10 分

?

2 2 , ? sin 2? ≤ 3 3
当且仅当 sin 2? ? 1,即 ? ? 45? 时取等号,

………12 分 ………13 分

∴当 ? ? 45? 时,三棱锥 O ? ACD 的体积最大,最大值为 6、 (江门市 2014 届高三调研考试)

2 . ……14 分 3

如图 2,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , CA ? CB ? 1 ,棱 AA1 ? 2 , M 、

N 分别是 A1 B1 、 A1 A 的中点.
⑴ 求证: C1 N ? 平面 BCN ; ⑵ 求直线 B1C 与平面 C1 MN 所成角 ? 的正弦值. 证明与求解:⑴ CA ? AN ? NA1 ? A1C1 ? 1 , AA1 ? 底面, N

C1 A1

M

B1

?ANC ? ?A1 NC1 ?

?

4

B A 2 图2 所以 BC ? 平面 CAA1C1 …… 3 分 , BC ? CC1 , AC ? CC1 ? C , CA ? CB , BC ? C1 N ……4 分,因为 BC ? NC ? C ,所以 C1 N ? 平面 BCN ……5 分 ⑵(方法一)以 C 为原点,CA、CB、CC1 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角
坐标系……6 分, 则 C (0 , 0 , 0) 、 C1 (0 , 0 , 2) 、 B1 (0 , 1 , 2) ……7 分,

…… 1 分, ?CNC1 ?

?

, C1 N ? NC …… 2 分,因为

C

1 1 M ( , , 2) 、 N (1 , 0 , 1) ……8 分, 2 2 1 1 C1 M ? ( , , 0) 、 C1 N ? (1 , 0 , ? 1) 、 CB1 ? (0 , 1 , 2) ……9 分, 2 2 ? ?n ? C1 M ? 0 设平面 C1 MN 的一个法向为 n ? (a , b , c) ,则 ? ……10 分, ? n ? C N ? 0 1 ? a ? b ? 0 ? 即? ,取 n ? (1 , ? 1 , 1) ……11 分, ?a ? c ? 0
所以 sin ? ?| cos ? n , CB1 ?|? (方法二)

| n ? CB1 | | n || CB1 |

……12 分, ?

15 ……13 分。 15

A1 M AN 2 ? ? ? , ?BAN ? ?NA1 M ? , ?BAN ~ ?NA1 M …… 6 A1 N AB 2 2
12

分,所以 ?BNA ? ?A1 MN , ?MNB ?

, BN ? MN ……7 分,由⑴知 BN ? C1 N , 2 C1 N ? MN ? N ,所以 BN ? 平面 C1 MN ……8 分。 延长 B1 B 到 B 2 ,延长 C1C 到 C 2 ,使 BB2 ? CC2 ? 2 ,连接 BC 2 、 NC 2 ……9 分,

?

在 ?NBC2 中, BN ?

3 , BC 2 ? 5 , NC2 ? 10 ……10 分,
2 2

BN 2 ? BC 2 ? NC2 15 cos ?NBC2 ? ……11 分, ? ? 2 BN ? BC 2 15

BN 是平面 C1 MN 的法向量,由所作知 BC2 // B1C ,从而 ? ? ?NBC2 ?
sin ? ? ? cos ?NBC2 ? 15 ……13 分。 15

?
2

,所以

其他方法,例如将直三棱柱补成长方体,可参照给分。 7、 (揭阳市 2014 届高三学业水平考试) 如图(5),已知 A, B, C 为不在同一直线上的三点,且 AA1 / / BB1 / / CC1 ,

AA1 ? BB1 ? CC1 .
(1)求证:平面 ABC //平面 A1 B1C1 ; (2)若 AA1 ? 平面 ABC ,且 AC ? AA1 ? 4 , BC ? 3, AB ? 5 , 求证:A1C 丄平面 AB1C1 (3)在(2)的条件下,求二面角 C1-AB1 -C 的余弦值. 解:(1)证明:∵ AA1 / /CC1 且 AA1 ? CC1 ∴四边形 ACC1 A1 是平行四边形, ----------------------------------------------------------------------1 分 ∴ AC / / A1C1 ,∵ AC ? 面 A1 B1C1 , A1C1 ? 面 A1 B1C1 ∴ AC / / 平面 ABC 1 1 1 , -----------------------------------------------------------------------------------3 分 同理可得 BC / / 平面 ABC 1 1 1 ,又 AC ? CB ? C , ∴平面 ABC //平面

ABC 1 1 1 -----------------------------------------------------------------------------4 分
(2)证法 1: ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 ACC1 A1 ∴平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ,----------5 分 平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC = AC , ∵ AC ? 4 , BC ? 3 , AB ? 5 ∴ AC ? BC ? AB
2 2 2

∴ BC ? AC

--------6 分

13

∴ BC ? 平面 ACC1 A1 ,---------------------------------------------------7 分 ∴ BC ? AC ,∵ BC / / B1C1 ∴ B1C1 ? A1C 1 又 AA1 ? AC , AC ? AA1 得 ACC1 A1 为正方形,∴

A1C ? AC1 -----------------------------------8 分
又 AC1 ? B1C1 ? C1 , ∴A1C 丄平面 AB1C1------------------------------------------------------9 分 【证法 2:∵ AC ? 4 , BC ? 3 , AB ? 5 -----------5 分 ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 / /CC1 ∴ CC1 ? 平面
z C1 A1 y C B B1

∴ AC 2 ? BC 2 ? AB2 ∴ BC ? AC ,

ABC ---------------------------------6 分
以点 C 为原点,分别以 AC、CB、CC1 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间 直角坐标系如图示,由已知可 A(4, 0, 0), B(0,3, 0), C (0, 0, 0), A1 (4, 0, 4) ,

B1 (0,3, 4), C1 (0, 0, 4) , ???? ???? ????? A分 则 A1C ? (?4, 0, ?4), C1 A ? (4, 0, ?4) , C1 B1 ? (0,3, 0) ------------------7 x ???? ???? ???? ???? ? ∵ A1C ? C1 A ? 0, A1C ? C1B1 ? 0, ∴ A1C ? C1 A, A1C ? C1B1 ---------8 分
又 C1 A ? C1B1 ? C1 , ∴ A1C ? 平面

AB1C1 .----------------------------------------------------------9 分】
(3)由(2)得

??? ? ???? CA ? (4,0,0), CB1 ? (0,3, 4) ,---------------------------------------------10 分 ???? ??? ? ?3 y ? 4 z ? 0 设平面 AB1C 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 CB1 ? n, CA ? n 得 ? , ?4 x ? 0 令 y ?4得
n ? (0, 4, ?3) -----------------------------------------------------------------1
2分

???? 由(2)知 AC 1 是平面 AB1C1 的法向量,∴ cos ? n, A 1C ??
即二面角 C1-AB1 -C 的余弦值为

???? n ? A1C 12 3 2 ? ? , | n | ? | A1C | 20 2 10

8、 (汕头市 2014 届高三上学期期末教学质量监测)已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10, BD=8, E 是线段 AD 的中点. 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D , 使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C?D ? 平面 ABD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值;

3 2 .-----------------------------------------------14 分 10

14

证明: (Ⅰ)平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8, 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8, 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD2 , ………………2 分 C ' D ? BD . ? ∵平面 BC D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C?D ? 平面 BC ?D , ∴ C?D ? 平面 ABD . ………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C?D ? 平面 ABD,且 CD ? BD , 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz . ………………(6 分) 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . z ∵E 是线段 AD 的中点, ??? ? C? ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? ???? ? x 在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , ? B 设平面 BEC? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? ??4 x ? 3 y ? 0 ? BE ? n ? 0 ∴ ? ???? ,即 ? , ? ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? ? BC ' ? n ? 0 ? D E 令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 n ? (3,4,4) .………………(9 分) A y 设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ? ??? ? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ? ? sin ? ?| cos ? n, BD ?|? ? ??? . ……………… (10 分) 41 | n | ? | BD |

C

3 41 ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为 . ………………(11 分) 41 ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BEC? 的法向量为 n ? (3,4,4) , ???? ? 而平面 DBE 的法向量为 DC ? ? (0,0,6) ,………………(12 分) ? ???? ? ? ???? ? n? C ?D 4 41 ? ? ∴ cos ? n, C ?D ?? ? ???? , ………………(13 分) 41 ? | n |?| C D | 因为二面角 D ? BE ? C? 为锐角, 4 41 . ………………(14 分) 41 9、 (肇庆市 2014 届高三上学期期末质量评估)
所以二面角 D ? BE ? C? 的余弦值为 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD , PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? BC ?

1 AD ,四边形 2

ABCD 是直角梯形中, ?ABC ? ?BAD ? 90? .
(1)求证: CD ? 平面 PAC ; (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.
15

(1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ CD ? PA . (1 分) 又∵ AB ? BC , ?ABC ? 90 ,∴ AC ?
o

2 AB

(2 分)
o

过 C 作 CE // AB ,交 AD 于 E,则 CE ? AB ? BC ? DE , ?CED ? 90 (3 分) ∴ CD ?

2 AB , (4 分)
2 2 2 2

在 ?ACD 中, AC ? CD ? 4 AB ? AD ,∴ CD ? AC . (5 分) 又∵ PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . (6 分)

(2) (方法一)∵ CE ? AD, CE ? PA ,∴ CE ? 平面 PAD . (7 分) 过 E 作 EF ? PD 于 F ,连结 CF ,可知 CF ? PD . ∴ ?GHC 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 设 AD ? 2 ,则 PA ? AB ? CE ? DE ? 1 , DP ? 5 . (8 分) (9 分)

? ?PAD ∽ ?DEF ,?

1 EF DE ,? EF ? . ? PA DP 5
1 30 ? , 5 6

(11 分)

∴ CF ? CE ? EF ? 1 ?
2 2

(12 分)

∴ cos ?CFE ?

EF 6 6 ? .即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 . (14 分) CF 6 6

10、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试)

16

如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,

PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ? 2 , BC ? 4 . E 是 PD 的中点,
(Ⅰ)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, B

P E A D

C

PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ? 2 , BC ? 4 . E 是 PD 的中点, (Ⅰ)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值;
(Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 17.解法一: (Ⅰ)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABC ,

? PA ? CD
--(2 分)

.

-------------------------------------------------------------------------------

? ABCD是矩形 ,
而 PA ? AD ? A ,

? AD ? CD .
PA, AD ? 平面 PAD
………………………(4 分)

? CD ? 平面PAD .

CD ? 平面PDC
?平面PDC ? 平面PAD .
∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ EO ? 平面 ABCD . ………………………(7 分) ………………………(5 分) (Ⅱ)连结 AC 、 EC ,取 AD 中点O , 连结 EO , 则 EO // PA , 过 O 作 OF ? AC 交 AC 于 F ,连结 EF , 则 ?EFO 就是二面角 E ? AC ? D 所成平面角. 由 PA ? 2 ,则 EO ? 1 . 在 Rt?ADC 中, AD ? CD ? AC ? h 解得 h ?

4 5 . 5
………………………(8 分)

因为 O 是 AD 的中点,所以 OF ?

2 5 . 5 3 5 . 5

而 EO ? 1 ,由勾股定理可得 EO ?

………………………(9 分)

17

2 5 OF 2 cos ?EFO ? ? 5 ? . EF 3 3 5 5
又∵ CD ?

………………………(10 分)

(Ⅲ)延长 AE ,过 D 作 DG 垂直 AE 于 G ,连结 CG ,

AE ,∴ AE ⊥平面 CDG , 过 D 作 DH 垂直 CG 于 H , 则 AE ? DH , 所以 DH ? 平面 AGC , 即 DH ? 平面 AEC , 所以 CD 在平面 ACE 内的射影是 CH , ?DCH 是直线与平面所成的角.
………………………(12 分)

? DG ? AD ? sin ?DAG ? AD ? sin ?OAE ? AD ? 16 ? 5 6 5 ?4? . CD ? 2 ? CG ? 25 5

OE 1 4 5 ? 4? ? . AE 5 5
P E A O F C H G

4 5 DG 2 ? sin ?DCG ? ? 5 ? .……………(14 分) CG 6 5 3 5
B

D

解法二:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系,则 A (0,0,0) ,

B (2,0,0),

C (2,4,0) ,

D (0,4,0) ,

E (0,2,1) ,
分)

P (0,0,2) .
???? AD =(0,4,0) ,
AC =(2,4,0) .
z P

……………………(2

∴ AB =(2,0,0) ,

??? ? AE =(0,2,1) ,

??? ? AP =(0,0,2) ,

??? ? CD =(-2,0,0) ,
……………………(3

分) (Ⅰ)? CD ? AD ? 0 , ? CD ? AD . 又? CD ? AP ? 0 , ? CD ? AP . ………………………(5 分)

E A D y

? AP ? AD ? A , ? CD ? 平面PAD ,
而 CD ? 平面PDC , ∴平面 PDC ⊥平面 PAD . (Ⅱ)设平面 AEC 的法向量 n = B x ………(7 分)

C

?x, y, z ?,令 z ? 1,则 n ? ? x, y,1? .
18

?x ? 1 ? ?2 y ? 1 ? 0 ? ?n ? AE ? 0 ??x, y,1? ? ?0,2,1? ? 0 ?? ?? 由? 即? 1 ? x, y,1? ? ?2,4,0 ? ? 0 ?2 x ? 4 y ? 0 ? y ? ? ? ? n ? AC ? 0 ? 2 ?
∴ n = ?1,?

? ?

1 ? ,1? . 2 ?

………………………(9 分)

平面 ABC 的法向量 AP =(0,0,2) ,

??? ?

cos? n, AP? ?

n ? AP n ? AP

?

2 2 ? . 3 3 ?2 2

所以二面角 E ? AC ? D 所成平面角的余弦值是 (Ⅲ)因为平面的法向量是 n = ?1,?

2 . 3

……………………(11 分)

? ?

??? ? 1 ? ,1? ,而 CD =(-2,0,0) . 2 ?
. ………………………(13 分)

?2 2 ?? 3 n ? CD 3 ? 2 2 2 直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 3
所以

cos? ?

n ? CD

?

.

………………………(14 分)

11、 (珠海市 2014 届高三上学期期末) 如 图 ,在 三棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 四边 形 A1 ABB1 为 菱 形 , ?A1 AB ? 45? , 四 边形

BCC1 B1 为矩形,若 AC =5 , AB ? 4 , BC ? 3
(1)求证: AB1 ? 面 A1 BC ; (2)求二面角 C ? AA1 ? B 的余弦值;

C

C1

B

B1

A

A1
(第 18 题)

解: (1)在 ?ABC 中 AC =5 , AB ? 4 , BC ? 3 , 满足 AC =AB ? BC ,所以 ?ABC ? 90 ,即 CB ? AB
2 2 2 0

又因为四边形 BCC1 B1 为矩形,所以 CB ? BB1

19

? CB ? BB1 ? CB ? AB ? ? 又 ? BB1 ? 面AA1 B1 B ,所以 CB ? 面AA1 B1B ? AB ? 面AA B B 1 1 ? ? ? BB1 ? AB ? B
又因为 AB1 ? 面AA1 B1 B ,所以 CB ? AB1 又因为四边形 A1 ABB1 为菱形,所以 AB1 ? A1 B

? AB1 ? CB ? AB ? A B 1 1 ? ? 又 ? CB ? 面A1 BC ,所以 AB1 ? 面A1 BC ? A B ? 面A BC 1 ? 1 ? ? CB ? A1 B ? B
(2)过 B 作 BD ? AA1 于 D ,连接 CD 由第(1)问已证 CB ? 面AA1 B1B

C

C1

又 ? AA1 ? 面AA1B1B ? CB ? AA1
B
B1

? AA1 ? CB ? AA ? BD 1 ? ? 又 ? CB ? 面BCD ,所以 AA1 ? 面BCD , ? BD ? 面BCD ? ? ? CB ? BD ? B
又因为 CD ? 面BCD ,所以 AA1 ? CD

A

D

A1

所 以 , ?CDB 就 是 二 面 角 C ? AA1 ? B 的 平 面 角 在 直 角 ?ADB 中 , AB=4 ,

?DAB ? 45? , ?ADB ? 90? , ? DB=2 2
在直角 ?CDB 中, DB=2 2 , CB=3 , CD= 17 ,所以 cos ?CDB ?

2 2 2 34 ? 17 17

12、 (珠海一中等六校 2014 届高三第三次联考) (本题共 2 小题,第(Ⅰ)小题 7 分,第(Ⅱ)小题 7 分,满分 14 分) 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (Ⅰ)求平面 ABCD 与平面 A1BE 所成二面角的平面角的正弦值; (Ⅱ)请问:在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

20

→ → → 解:设正方体的棱长为 1,如图所示,以AB,AD,AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系. 1? → ? (1)依题意,得 B(1,0,0),E?0,1, ?,A(0,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),所以BE 2? ? 1? → ? =?-1,1, ?,BA1=(-1,0,1) 2? ? 设 n1 =(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量,………………4 分 -x+z=0, ? ?? → ?? → ? 则由 n1 ·BA1=0, n1 ·BE=0,得? 1 -x+y+ z=0, ? 2 ? ?? 1 所以 x=z,y= z.取 z=2,得 n1 =(2,1,2).取平面 ABCD 的一个法 2 ?? ? 向量为 n2 ? (0, 0,1) ,

??

?? ?? ? 5 0?0?2 2 ? ,? sin ? n1 , n2 ?? 3 3 ?1 3 5 即所求二面角的平面角的正弦值为 。………………………………………………………8 3
则 cos ? n1 , n2 ?? 分 (Ⅱ) 在棱 C1D1 上存在一点 F(F 为 C1D1 的中点),使 B1F∥平面 A1BE.证明如下: → 设 F 是棱 C1D1 上的点,则 F(t,1,1)(0≤t≤1) 又 B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1, 0),由(Ⅰ)知,平面 A1BE 的一个法向量为 n1 =(2,1,2).而 B1F?平面 A1BE, 1 → 于是 B1F∥平面 A1BE? B1F·n=(t-1,1,0)·(2,1,2)=0? 2(t-1)+1=0? t= ? F 为 2 C1D1 的中点.这说明在棱 C1D1 上存在一点 F(F 为 C1D1 的中点),使 B1F∥平面 A1BE.………14 分 13、 (东莞市 2014 届高三上学期期末调研测试) 如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,P 是 平面 ABCD 外一点,P 在平面 ABCD 的射影 O 恰在 AD 上,PA=AB=BC=2AO=2,BO= 3 。 (1)证明:PA⊥BO; (2)求二面角 A-BP-D 的余弦值。

?? ?? ?

??

答案:
21

证明:⑴ 在 ?AOB 中, AB ? 2, AO ? 1, BO ? 3 ,则 AB2 ? AO2 ? BO2 , ∴ AO ⊥ BO . ∵ PO ⊥平面 ABCD ,∴ PO ⊥ BO . 又 AO ? 平面 PAO , PO ? 平面 PAO ,且 AO ? PO ? O ,∴ BO ⊥平面 …………2 分

PAO . ……4 分
又 PA ? 平面 PAO ,∴ PA ⊥ BO . …………6 分
P

解:⑵ 如图,过 O 作 OH ? PB 于 H ,连接 AH 、 DH .…………7 分 ∵ PO ⊥平面 ABCD , PO ? 平面 PBO , ∴平面 PBO ⊥平面 ABCD . 又平面 PBO ? 平面 ABCD ? BO , AD ? 平面 ABCD ,
H

AD ⊥ BO ,∴ AD ⊥平面 PBO ,即 AD ⊥ PB .
∴ PB ⊥平面 AHD ,∴ AH ⊥ PB , DH ⊥ PB , ∴ ?AHD 为二面角 A ? BP ? D 的平面角. 11 分

………9 分

O A B

又 OH ? PB , AD , OH ? 平面 AHD ,且 AD ? OH ? O ,

D
C

………

∵ PA ? AB ? BC ? 2 AO ? 2, BO ? 3 ,且 ABCD 为等腰梯形,∴ OP ? 3 ,

OD ? 3 ,
∴ OH ?

6 ,则 2 10 , 2
2

AH ? AO 2 ? OH 2 ?
2

…………12 分

则 DH ? OD ? OH ? 分

42 . 2
AH 2 ? DH 2 ? AD 2 105 , ?? 2 AH ? DH 35

………13

在 ?AHD 中, cos ?AHD ?

∴二面角 A ? BP ? D 的余弦值为 ? 另解:向量法 如图建立空间直角坐标系 O ? xyz . 由已知, PA ? 2, AO ? 1 ,∴ PO ?

105 . 35

……14 分

3.

22

∵等腰梯形 ABCD , AD / / BC , AB ? BC ? 2 ,∴ OD ? 3 , ∴ P 0,0, 3 , A?0,?1,0? , B 分 ∴ AB ?

?

?

?

3,0,0 , D?0,3,0? ,

?

…………8

?

3 ,1,0 , AP ? 0,1, 3 , DB ?

?

?

?

?

3,?3,0 , DP ? 0,?3, 3 .

?

?

?

设平面 APB 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? , 则?

? ? AB ? m ? 3x1 ? y1 ? 0 ? ? AP ? m ? y1 ? 3z1 ? 0
3 ,∴ x1 ? z1 ? ?1 ,即 m ? ? 1, 3 ,?1 .……10 分

z

P

令 y1 ?

?

?

设平面 DPB 的法向量为 n ? ? x 2 , y 2 , z 2 ? , 则?

O A B

D y

? ?DB ? m ? 3x2 ? 3 y 2 ? 0 ? ?DP ? m ? ?3 y 2 ? 3z 2 ? 0
3 ,∴ x2 ? z 2 ? 3 ,即 n ? 3, 3 ,3 .

x

C

令 y2 ?

?

?

………12 分

设二面角 A ? BP ? D 的大小为 ? ,由图可知 ? 是钝角,

?? ? m?n ?3 105 ∴ cos ? ? ?? ? ? , ?? 35 5 ? 21 m?n
∴二面角 A ? BP ? D 的余弦值为 ? 分

105 . 35

………14

23


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