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梧州市示范高中三校联考高一数学(文科)试题参考答案及评分标准


梧州市示范高中三校联考高一数学(文科)试题参考答案及评分标准 评分说明:1.第一题选择题,选对得分,不选、错选或多选一律得 0 分. 2.第二题填空题,不给中间分. 3.解答与证明题,本答案给出了一种或几种解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可 根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 4.对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该

题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分(所标给分仅供参考) . 5.解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 6.只给整数分数. 一. 选择题

题号 答案

1 A

2 C

3 B

4 C

5 D

6 C

7 A

8 C

9 A

10 A

11 C

12 B

2 1.解:由等比数列的性质知 a3a11=a2 7=16,又 an>0,所以解得 a7=4,由 a7=a5·2 =4a5,

得 a5=1.故选 A. 2.解:∵在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c,∴a∶b∶c=1∶1∶ 3, 设 a=b=k,c= 3k(k>0),最大边为 c,其所对的角 C 为最大角, 则 cosC= k2+k2-? 3k?2 1 =- ,∴C=120°.故选 C. 2 2×k×k

3.解:∵a⊥c,b∥c,∴2x-4=0,2y+4=0,则 x=2,y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2), a+b=(3,-1).∴|a+b|= 32+(-1)2= 10.故选 B. 4.解:取 a=-4,b=2 即可判断选项 A、B、D 错,故选 C. 5.解:本题主要考查频率分布直方图中的各种数据之间的关系,频率的计算方法,用频率估 计概率的应用.由频率分布直方图的性质可知,样本数据在区间 [25,30) 上的频率为 1 - 5×(0.02+0.04+0.06+0.03)=0.25, 则二等品的频率为 0.25+0.04×5=0.45, 故任取 1 件为二 等品的概率为 0.45.故选 D 6.解:不等式

1 x?2 ? 1 可化为 ? 0 ,其等价于 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 且 x ? 1 ,所以其解集 x ?1 x ?1

为 ?1,2? .故选 C 7.解:当 n=1 时,a1=S1=-1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5. ∴a2=-1 ,a3=1,a4=3,…,a10=15 . 8 ∴|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+ 1+15 2 =2+64=66.故选 A.

960 8.解:由已知条件可知应该把总体分成 32 组,每组 =30 人,根据系统抽样的方法可知, 32 i=9,k=30,在第 1 组到第 32 组依次抽取到的是 9,9+30,9+2×30,…,9+31×30,
1

由于 9+15×30=459,而 9+24×30=729,故而有 24-15+1=10 人,故选 C. 9.解:本题考查对程序框图的循环结构的理解,考查简单的数列裂项求和方法,推理严谨性 1 3 1 5 1 7 等.k=1,S=1+1- = ;k=2,S=1+1- = ;k=3,S=1+1- = ;k=4,S=1+1 2 2 3 3 4 4 1 9 9 - = .输出结果是 ,这时 k=5>a,故 a=4.故选 A 5 5 5 1 =0.05,落在区间[5,10) 20 1 4 的数据只有 1 个, 其频率为 =0.05, 落在区间[10, 15)的数据有 4 个, 其频率为 =0.2, …, 20 20 2 落在区间[35,40]的数据有 2 个,其频率为 =0.1,由各选项图象知 A 正确,故选 A. 20 11 解:设 AC=x,由题意知 x(12-x)<32?0<x<4 或 8<x<12,所求事件的概率 P= 10 解:由茎叶图知落在区间[0,5)的数据只有 1 个,其频率为 4-0+12-8 2 = .故选 C 3 12 1 a + x y 12 解:(x+y) x y =1+ ·a+ +a.∵x>0,y>0,a>0, y x ax y ∴1+ + +a≥1+a+2 a.由 9≤1+a+2 a,得 a+2 a-8≥0, y x ∴( a+4)( a-2)≥0 .∵a>0,∴ a≥2,∴ a≥4,∴a 的最小值为 4. 故选 B - 二.填空题:13. mo<me< x 16. 2n 2 ? 6n 13 解:由图可知得分情况依次为得 3 分的有 2 人,得 4 分的有 3 人,得 5 分的有 10 人,得 6 分的有 6 人,得 7 分的有 3 人,得 8 分的有 2 人,得 9 分的有 2 人,得 10 分的有 2 人.中 位数为第 15、16 个数(分别为 5、6)的平均数,即 me=5.5,5 出现的次数最多,故 mo=5, - - x =(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)/30≈5.97.于是得 mo<me< x . → → 14 解:设AB=a,AD=b,则|a|=|b|=2.且 a·b=0. 1 b+ a → → 1 1 ∴AE·BD= 2 ·(b-a)=b2- a2=4- ×4=2.故填 2. 2 2 15 解:由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 3 由余弦定理得 cosA= = = ,于是 A=30°. 2 2bc 2bc 16 解:因为 a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? 3n(n ? N ) …………………………①
2 * 2 a1 ? a2 ? ? ? an-1 ? (n ? 1) ?( 3 n ? 1) (n ? N * ) ……………………………②

14. 2

15.30°

当 n>1 时①-②得: an ? 2n ? 2,? an ? 4( n ? 1) , 又 n=1 时也满足此式, 故
2

an ? 4n ? 4 , n ?1

2

所以 {

an a a a } 是首项为 8,公差为 4 的等差数列,故 1 ? 2 ? ? ? n ? 2n 2 ? 6n 。 n ?1 2 3 n ?1

三.解答与证明题 17 解:(1)数组(x,y,z)的所有情形为:(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2, 1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),共 8 种. 4分 (2)摸出的三个球号码的和可能为 3, 4,5,6,故记 “所摸出的三个球号码之和为 i”为事件 Ai(i=3,4,5,6),易知事件 A3 包含 1 个基本事件,事件 A4 包含 3 个基本事件,事件 A5 1 3 3 1 包含 3 个基本事件,事件 A6 包含 1 个基本事件∴ P(A3)= ,P(A4)= ,P(A5)= ,P(A6)= , 8 8 8 8 故所摸出的两球号码之和为 4、5 的概率相等且最大,即猜 4、5 获奖的可能性最大. 10 分 18 解:(1)由题意知 n=10, x =
n

1 n

1 =8, y = ? y ? x =80 10 n
i ?1 i i ?1

n

n

i

20 = =2, 10 24 80



? xi2 - n x 2 =720 -10×82=80, ? xi yi -n x y =184-10×8×2=24,由此得 b= =0.3,
i ?1 i ?1

n

a= y -b x =2-0.3×8=-0.4,故所求回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元). 2B=A+C, π 1 19 解:由题意知 得 B= ,从而 cosB= . 3 2 A+B+C=π, (1)∵ b ? ac ,由正弦定理得 sin B ? sin A sin C ,
2 2

8分 10 分 12 分 2分 4分 6分

∴ sin A sin C ? sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ?
2 2 2

(2)由 BA ? BC ? 12 可得 ac cos B ? 12 .①
2 2 2

??? ? ??? ?

1 2

3 4
π 又知 B= ,所以 ac ? 24 .② 3
2 2

8分

由余弦定理知 b ? a ? c ? 2ac cos B ,将 b ? 2 7 及①代入,得 a ? c ? 52 ,③10 分 ③+②×2,得 ( a ? c) ? 100 ,所以 ( a ? c) ? 10 .
2

因此 a, c(其中a ? c) 是一元二次方程 t ? 10t ? 24 ? 0 的两个根,解得 a ? 4, c ? 6
2

12 分

→ → → → 20 解:(1)设OP=(x,y).由点 P 在直线 OM 上,可知OP与OM共线.而OM=(2,2),所以 → → → → → → → 2x-2y=0,即 x=y,有OP=(x,x).由PA=OA-OP=(-1-x,-3-x),PB=OB-OP= → → → → (5-x,3-x),所以PA·PB=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x),即PA·PB=2x2-4x-14. → → → 又PA·PB=-16,所以 2x2-4x-14=-16.可得 x=1.所以OP=(1,1). → → → → → → (2)由PA=(-2,-4),PB=(4,2),可得|PA|=2 5,|PB|=2 5.又PA·PB=-16. 4分

3

→ → PA·PB -16 4 所以 cos∠APB= → → = =- . 5 |PA||PB| 2 5×2 5 → → → → (3)OA+tOP=(-1+t,-3+t),|OA+tOP|= 2t2-8t+10= 2(t-2)2+2≥ 2. → → 所以|OA+tOP|的最小值是 2. 21 解 : (1)∵ S n ?1 ? 2 S n ? n ? 1 , 当 n ? 2 时 S n ? 2 S n ?1 ? n ∴ a n ?1 ? 2a n ? 1 ∴ a n ?1 ? 1 ? 2?a n ? 1? 即

8分

12 分 2 分

a n ?1 ? 1 ? 2( n ? 2) an ? 1
n

又 S 2 ? 2 S1 ? 2, a1 ? S1 ? 1

∴ a2 ? 3



a2 ? 1 ?2 a1 ? 1
∴ bn ?

∴ a n ? 1 ? 2 即 a n ? 2 ? 1?n ? N *?
n

6分

(2)∵ a n ? 2 ? 1
n

(2

n?1

n n n ? n?1 ? n n n ? 1) ? (2 ? 1) 2 ? 2 2

8分

?Tn ?

1 2 3 n 1 1 2 3 n ? 2 ? 3 ?? ? n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 ,2 2 2 2 2
12 分

1 1 1 1 n 1 n ?Tn ? ( 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2
22 解:(1)? ?an ? 是递增的等比数列,? a1 ? a4 又 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? a1a4 ? 8 ,

? a1 ? 1, a4 ? 8 ? q 3 ?

a4 ? 8,? q ? 2 ? an ? a1q n ?1 ? 1? 2n ?1 ? 2n ?1 a1

6分

(2) (1) S n ? 由 知

a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 2n ) ? ? 2n ? 1 1? q ?1 ? 2 ?

? bn ?

2n 1 1 ? n ? n ?1 n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1) (2 ? 1)
12 分

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ?1 ? 2 ?Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ? n ?1 3 3 7 7 15 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

4


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