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广东省东莞市2013届高三数学(文)小综合专题练习:应用题


2013 届高三文科数学小综合专题练习——应用问题


一、选择题
1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路 程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是 s s s s

O A.

t

O B.

t
<

br />O C.

t O D.

t

2. 天文台用 3.2 万元买一台观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n 天 的维修保养费为
n ? 49 10

元(n∈N ),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用

*

的这台仪器的日平均耗资最少)为止,一共使用了 A.600 天 B.800 天 C.1000 天 D.1200 天

3. 抽气机每次抽出容器内空气的 6 0 % ,要使容器内剩下的空气少于原来的 0 .1 % ,则至少 要抽(参考数据: lg 2 ? 0 .3 0 1 0 , lg 3 ? 0 .4 7 7 1 ) A.15 次 B.14 次 C.9 次 D.8 次

4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车 间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获 利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时 可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元. 甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工, 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 0 48 70 x 70 (15,55) 80 y

5.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所 在的河岸 边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m, ACB=45°, ∠ ∠CAB=105°后,就可以计算出 A、B 两点的距离为 A. 5 0 2 m B. 5 0 3 m C. 2 5 2 m D. 2 5
2 2

m

二、填空题
6. 设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t (时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表 是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin( ? t ? ? ) 的图象. 下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 .

7. 根据科学计算神舟六号飞船在火箭点火后一分钟通过的路程为 1 千米,以后每分钟通过 的路程增加 2 千米,在达到离地面 240 千米的高度时,火箭与飞船飞离,在这一过程中 大概需要时间分钟数值为 。

8. 某企业投资 72 万元兴建一座环保建材厂. 第 1 年各种经营成本为 12 万元,以后每年的 经营成本增加 4 万元, 每年销售环保建材的收入为 50 万元. 则该厂获取的纯利润达到最 大值时是在第 年.

9. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量, 产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由 此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人 数是 . 频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0

45 55 65 75 85 95 图3

产品数量

10.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样 法, 将全体职工随机按 1-200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1-5 号, 6-10 号…, 196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 。若用分层抽

图 4

三、解答题
11. 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如 下表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值. (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一

个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.
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12.某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m )的宿舍 楼. 已知土地的征用费为 2388 元/ m ,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第 一层的 2.5 倍. 经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/ m ,以 后每增高一层,其建筑费用就增加 30 元/ m . 试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费 用最少,并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和).
2 2 2

2

13.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里 处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 4 5 且与点
? A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 4 5 + ? (其中 ?

sin ? =

26 26

? ? , 0 ? ? ? 9 0 )且与点 A 相距 10 1 3

海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否 会进入警戒水域,并说明理由.

14.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物 每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x) =
k 3x ? 5 ( 0 ? x ? 1 0 ), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层

建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

15. 已知舰 A 在舰 B 的正东,距离 6 公里,舰 C 在舰 B 的北偏西 30?,距离 4 公里,它们准 备围找海洋动物,某时刻舰 A 发现动物信号,4 秒后,舰 B,C 同时发现这种信号,A 于 是发射麻醉炮弹,设舰与动物都是静止的,动物信号的传播速度为 1 公里/1 秒,求舰 A 炮击的方位角.

2013 届高三文科数学小综合专题练习——应用问题 参考答案 一、选择题: ABDBA 二、填空题:
6. y ? 3 s in
?
6 t ? 1 2 .7. 15 .

8.10 . 9.13.

10.37,20.

三、解答题:
11.解: (1)设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得, z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个 容量为 5 的样本,所以
400 1000 ? m 5 50 n ? 10 100 ? 300

,所以 n=2000.

,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆

标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本 事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2), 所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 (3)样本的平均数为 x ?
1 8 7 10 (9 .4 ? 8 .6 ? 9 .2 ? 9 .6 ? 8 .7 ? 9 .3 ? 9 .0 ? 8 .2 ) ? 9 ,

.

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6,

9.2, 8.7,

9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为
6 8 ? 0 . 75 .

12.解:设楼高为 n 层,总费用为 y 元,则:征地面积为 2 . 5 A m ,征地费用为 5970
2

A

元,楼

n

n

层建筑费用为: [445+445+ (445+30) (445+30×2) + +…+445+30× (n-2) A ]·
n ? (15 n ? 30 n ? 400 ) A

元, 从而 y
? 5970 A n ? 15 nA ? 30 A n
? 6000 n

? 400 A ? (15 n ?

6000 n

? 400 ) A ? 1000 A

(元)

当且仅当 15 n

即 n=20(层)时,总费用 y 最少.

故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时,最少总费用为 1000A 元.

13.解: (1)如图,AB=40 2 ,AC=10 1 3 , ? B A C ? ? , s in ? ? 由于 0 ? ? ? 9 0 ,所以
? ?

26 26

.

cos ? = 1 ? ( 由余弦定理得 BC=

26 26

)

2

?

5

26 26

.

AB ? AC
2

2

? 2 A B ?A C ?c o s ? ? 1 0 5 .
10 2 3 5 ? 15 5 (海里/小时).

所以船的行驶速度为

(2)如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,
cos ? A B C ? AB
2

? BC

2

? AC

2

2 AB ? BC
40 ? 2 ? 10 ? 5 ? 10 ? 13
2 2 2

=

2 ? 40

2 ? 10
2

=

3 10 10
9 10

.

5

从而 s in ? A B C ?

1 ? cos ? A B C ?

1?

?

10 10

.

在 ? A B Q 中,由正弦定理得,
40 ? 2 2 ? 2 ? 10 10 2 10 10 ? 40.

AQ=

A B s in ? A B C s in ( 4 5 ? ? A B C )
?

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ? Q P E 中, PE=QE·sin ? P Q E ? Q E ? s in ? A Q C ? Q E ? s in ( 4 5 ? ? A B C ) =
15 ? 5 5 ? 3 5 ? 7.
?

所以船会进入警戒水域.

14.

15. 解:为确定海洋动物的位置,首先的直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立直角 坐标系(如图),据题设,得 B(-3,0), A(3,0), C(-5, 2 3 )且动物 P(x,y)在 BC 的中垂线 l 上, ∵BC 中点 M 的坐标为(-4, 3 ), kBC=- 3 .
3 3 3 3

∴ l 的方程为 y- 3 =

(x+4)即:

y=

(x+7).................①

又∵ |PB|-|PA|=4(公里) ∴ P 又在以 B,A 为焦点的双曲线右支上. 双曲线方程为
x
2

?

y

2

=1 (x≥2)...............②
2

4

5

由①②消去 y 得 11x -56x-256=0,解的 x1=-

32 11

(舍去), x2=8.
3

∴ P 点坐标为(8,5 3 ), 于是 tg∠xAP=kAP=

5

8 ? 3

= 3,

∴ ∠xAP=60?, 故舰 A 炮击的方位角为北偏东 30?.


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