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第四讲《数学归纳法证明不等式》试题(新人教选修4-5).1


数学归纳法《训练题》
1.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明
1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ?? ? 1 n ?1 ? 2( 1 n? 2 ? 1 n? 4 ?? ? 1 2n ) 时,若已假设 n ? k ( k ? 2 为偶

数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 A. n ? k ? 1 时等式成立 C. n ? 2 k

? 2 时等式成立 2.设 f ( n ) ? A.
1 2n ? 1
2





B. n ? k ? 2 时等式成立 D. n ? 2 ( k ? 2 ) 时等式成立
1 n?3 ?? ? 1 2n ( n ? N ) ,则 f ( n ? 1) ? f ( n ) ?
?

1 n ?1

?

1 n? 2

?


?
2



B.

1 2n ? 2
2

C.

1 2n ? 1
2

?

1 2n ? 2
2 2

D.

1 2n ? 1

1 2n ? 2
? 1)

3. 用数学归纳法证明 1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? n ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ?
2 2

n(2n

时, )

3

由 n ? k 的假设到证明 n ? k ? 1 时,等式左边应添加的式子是 A. ( k ? 1) ? 2 k
2 2


1
2

B. ( k ? 1) ? k
2

2

C. ( k ? 1)

2

D. ( k ? 1)[ 2 ( k ? 1) ? 1]
3

4. 某个命题与正整数 n 有关, 如果当 n ? k ( k ? N ? ) 时命题成立, 那么可推得当 n ? k ? 1 时 命题也成立. 现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得 A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=4 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=4 时该命题成立
n





5.用数学归纳法证明“ ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? n ) ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? ( 2 n ? 1) ” n ? N ? )时, ( 从 “ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左边应增添的式子是 A. 2 k ? 1 B. 2 ( 2 k ? 1)
1 2 ? 1 3 ? 1 4 ?? ?

( D.
? 1 n ?1 ? 1 n? 2 2k ? 2 k ?1 ?? ? 1 2n



C.
1

2k ? 1 k ?1 ? 1 2n

6.用数学归纳法证明“ 1 ?

2n ? 1

”时, )

由 n ? k 的假设证明 n ? k ? 1 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( A. C.
1 k ?1 1 k ? 2 ?? ? ?? ? 1 2k 1 2k ? ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1
2

B. D.

1 k ?1 1 k ? 2

?? ? ?? ?

1 2k

? 1

1 2k ? 1 ?

? 1

1 2k ? 2

2k ? 1

2k ? 2

7. 数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? a n ( n ? 2 ) , a 1 ? 1 , 而 通过计算 a 2 , a 3 , a 4 , 猜想 a n ? ( )

A.

2 ( n ? 1)
2

B.

2 n ( n ? 1)
? 1 ( n ? 1)
2

C.
2
(n ?

2
n

?1

D.

2 2n ? 1

8. 已知数列 ?a n ? 的通项公式 a

n

N*) 记 f ( n ) ? (1 ? a 1 )( 1 ? a 2 )( 1 ? a 3 ) ? (1 ? a n ) , , (
n ?1 n ( n ? 1)

通过计算 f (1), f ( 2 ), f ( 3 ), f ( 4 ) 的值,由此猜想 f ( n ) ?
n ? 2 2 ( n ? 1)
n ? 2 4n



A.

B.

C.

2n ? 1 ( n ? 1)
2

D.

9.数列 ?a n ? 中,a1=1,Sn 表示前 n 项和,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,通过计算 S1,S2, S3,猜想 Sn= A.
2n ? 1 2
n ?1

( B.
2n ? 1 2
n ?1



C.

n ( n ? 1) 2
n

D.1-
2

1
n ?1

10. 1=1,a n ? 1 ? a n , 且 ( a n ? 1 ? a n ) ? 2 ( a n ? 1 ? a n ) ? 1 ? 0 , 计算 a 2 , a 3 , 然后猜想 a n ? ( a
2

)

A.n 11.设 0 ? ? ? A. 2 cos
?
2

B.n2
, 已知 a 1 ? 2 cos ? , a n ? 1 ?

C.n3

D. n ? 3 ?

n

2 ? a n , 则猜想 a n ?

( D. 2 sin
?
2
n



?
2
n

B. 2 cos
2

?
n ?1

C. 2 cos
2

?
n ?1

12. 从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶, 每步只能跨上 1 级或 2 级, 走完这 n 级台阶共有 f ( n ) 种走法,则下面的猜想正确的是 A. f ( n ) ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 2 ) C. f ( n ) ? 2 f ( n ? 1) ? 1 二、填空题 13.凸 k 边形内角和为 f ( k ) ,则凸 k ? 1 边形的内角为 fk ? 1) ? f ( k ) ? .
( n ? 3)

( B. f ( n ) ? 2 f ( n ? 1)
(n ? 2) ( n ? 3)



(n ? 2)

D. f ( n ) ? f ( n ? 1) f ( n ? 2 )

14.平面上有 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条这样的直线把平面 分 成 f ( k ) 个区域,则 k ? 1 条直线把平面分成的区域数 f ( k ? 1) ? f ( k ) ? 15.用数学归纳法证明“ 2
n ?1

. .

? n

2

? n ? 2 ( n ? N ) ”时,第一步验证为
n n

?

16.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x ? y 能被 x ? y 整除” ,当第二步假设
n ? 2 k ? 1( k ? N ) 命题为真时,进而需证 n ?
?

时,命题亦真.

17 . 数 列 ?a n ? 中 , a 1 ? 1, 且 4 a n ? 1 ? a n a n ? 1 ? 2 a n ? 9 , 通 过 计 算 a 2 , a 3 , a 4 , 然 后 猜 想
a n ? ____.

18.在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? ( n ? 1) a n , 通过计算 a 2 , a 3 , a 4 , 然后猜想 a n ? 19. 设数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn=2n-an (n∈N+) 通过计算数列的前四项, , 猜想 a n ? _____. 20.已知函数 f ( x ) ?
Sn ? 2 f (a n ) ? 1 2

2 2? x
(n
2

, 记数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,且 a 1 ? f (1), 当 n ? 2 时,

? 5 n ? 2 ), 则 通 过 计 算 a 1 , a 2 , a 3 , 的 值 , 猜 想 ?a n ? 的 通 项 公 式

a n ? ___.

三、解答题 21.用数学归纳法证明:
1
2

1?3

?

2

2

3?5

?? ?

n

2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

n ( n ? 1) 2 ( 2 n ? 1)



22.用数学归纳法证明: (Ⅰ) 7 (Ⅱ) a
2n

?4

2n

? 297 能被 264 整除;
2 n ?1

n ?1

? ( a ? 1)

能被 a ? a ? 1 整除(其中 n,a 为正整数)
2

23.用数学归纳法证明:
1 (Ⅰ) ? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ?? ? 2 1
n

1 1 1 1 ? n ; (Ⅱ) ? ? ? ? ? 2 ? 1( n ? 1) ; n n ?1 n ? 2 ?1 n
p
2

24. 数列 { a n }中 , a 1 ? 2 p , a n ? 2 p ? 中.

a n ?1

, p 是不等于零的常数, 求证: p 不在数列 { a n }

25.设数列 { x n } : x1 ?

3 16

, xn ?

3 8

?

1 2

x n ? 1 ,其中 n ? 2 , n ? N ,
2

?

求证: n ? N 都有 (Ⅰ)0 ? x n ? 对

?

1 2



(Ⅱ)x n ? x n ? 1 ; (Ⅲ)x n ?

1

1 n ?( ) . 2 2

26.是否存在常数 a,b,c,使等式
1?2
2

? 2 ? 3 ? ? ? n ( n ? 1)
2

2

?

n ( n ? 1) 12

( an

2

? bn ? c ) 对 n ? N+ 都成立,并证明你的

结论.

27.已知数列 ?a n ? 的各项为正数,其前 n 项和为 Sn,又 a n 与 S n 满足关系式:
4S1 a1 ? 2 ? 4S 2 a2 ? 2 ?? ? 4S n an ? 2 ? S n ,试求 ?a n ? 的通项公式.

29











?a n ?
n ?1













a 1 ? 1, a 3 ? 2 ,



Pn ? a 1 ? a 3 ? a 9 ? ? ? a k ( k ? 3

, , n ? N+)

Q n ? a 2 ? a 6 ? a 10 ? ? ? a m ( m ? 4 n ? 2 , n ? N+) ,问 Pn 与 Qn 哪一个大?证明你的

结论.

30.已知数列 ?a n ? : a 0 ? 1, a n ? p | a n ? 1 | ? 1( n ? N* , 0 ? p ? 1), (Ⅰ)归纳出 an 的公式,并证明你的结论; (Ⅱ)求证: ?
1 p ? a n ? 0.

数学归纳法《答案与解析》

一、1.B 2.D

3.B 4.C 5.B 6.D

7.B 8.A 9.D 10.B 11.B

12.A 16. 2 k ? 1

二、13. ? , 14. k ? 1 , 15.当 n ? 1 时,左边=4=右边,命题正确. 17.
6n ? 5 2n ? 1

18.n! 19.

2n ? 1 2
n ?1

20.n+1
( k ? 1)
2

21.当 n ? k ? 1 时,左边=

k ( k ? 1) 2 ( 2 k ? 1)

?

( 2 k ? 1 )( 2 k ? 3 )

?

( k ? 1 )( k ? 2 ) 2 (2 k ? 3)

.

22. (Ⅰ) n ? k ? 1 时, 2 ( k ? 1 ) ? 4 2 ( k ? 1 ) ? 297 ? 49 ? ( 7 2 k ? 4 2 k ? 297 ) ? 33 ? 4 2 k ? 48 ? 297 当 7
? 49 ? ( 7
2k

?4

2k

? 297 ) ? 33 ? 8 ? ( 2

4k ?3

? 48 ? 9 ) ? 49 ? ( 7

2k

?4

2k

? 297 )

? 264 ? ( 2

4k ?3

? 48 ? 9 ) 能被 264 整除,命题正确.


a
k?2


2 k ?1


2 k ?1

n ? k ?1
2 k ?1


( a ? 1)
2



? ( a ? 1)

? ( a ? 1) [ a ? ( a ? 1)

? ( a ? 1)
k ?1

]? a

k?2

?a

k ?1

? ( a ? 1) [ a
2

k ?1

2 k ?1

]? a

(a
1 2

2

? a ? 1) 能被 a
1 2
k

2

? a ? 1 整除.

23. (Ⅰ)当 n ? k ? 1 时,左边 ? (1 ? (
1 2
k

?? ? 1 2
k

?1

)?(

1 2
k

?? ? 2

1
k ?1

?1

)? k ?

?

1 2
k

?? ?

1 2
k

)? k ? 2 ?
k

? k ? 1 =右边,命题正确

2k 项 (Ⅱ) n ? k ? 1 时,左边 ?
1 k ?1 ?? ? 1 k
2

?( k

1
2

?1

?? ?

1 ( k ? 1)
2

) ?

1 ? ( 2 k ? 1) ? k

1
2

?1

?

1 k

?1?

k

2

? k ?1
2

k (k

? 1)

? 1 .)

24.先用数学归纳法证明 a n ?

n ?1 n

p ;假设 a n ? p ?

1 n

p ? 0 ? p ? 0 与条件矛盾.

25.三小题都用数学归纳法证明: (Ⅰ) 1 ? . 当 n ? 1 时,? x 1 ?
2 ? . 假设 n ? k 时, 0 ? x k ?
3 16 1 2 1 2 1 2 1 2
2

,? 0 ? x 1 ?

1 2

成立;

成立,
xk ?
2

∴当 n ? k ? 1 时, x k ? 1 ? 而 x k ?1 ?
3 8

3 8

?

3 8

?

1 2

?

1 4

?

1 2



? 0 ,? 0 ? x k ? 1 ?
?

; .
3 8 ? x 1 ,命题正确;

由 1 ? , 2 ? 知,对 n ? N 都有 0 ? x n ? (Ⅱ) 1 ? . 当 n=1 时,? x 2 ?
3 8 ? 1 2

x1 ?

2 ? . 假设 n ? k 时命题正确,即 x k ? x k ? 1 ,

当 n ? k ? 1 时,? x k ? 1 ? x k ? 0 ,? x k ? 1 ? x k ,
2 2

? xk?2 ?

3 8

?

1 2

x k ?1 ?
2

3 8

?

1 2

x k ? x k ? 1 ,命题也正确;
2

由 1 ? , 2 ? 知对 n ? N 都有 x n ? x n ? 1 . (Ⅲ) 1 ? . 当 n=1 时, x 1 ?
3 16 ? 1 1 1 ? ( ) ,命题正确; 2 2
1 1 k ?( ) 2 2
n ? k ?1

?

2 ? . 假设 n ? k 时命题正确,即 x k ?


x k ?1 ? ? 3 8 1 ? 1 2 1 xk ?
2 k ?1


3 8 1 ? 1 2
2 k ?1





?[

1

1 k 2 3 1 1 1 k 1 2k ? ( ) ] ? ? ?[ ? ( ) ? ( ) ] 2 2 8 2 4 2 2 ? 1 1 k ?1 ?( ) ,命题正确; 2 2

?( ) 2 2

?( ) 2

由 1 ? 、 2 ? 知对 n ? N 都有 x n ?

?

1

1 n ?( ) . 2 2

26.令 n=1 得 a ? b ? c ? 24 ①, 令 n=2 得 4 a ? 2 b ? c ? 44 ②, 令 n=3 得 9 a ? 3 b ? c ? 70 ③, 解①、②、③得 a=3,b=11,c=10,记原式的左边为 Sn,用数学归纳法证明猜想 S n ?
n ( n ? 1) 12 (3 n
2

? 11 n ? 10 ) (证明略)

27.计算得 a 1 ? 2 , a 2 ? 4 , a 3 ? 6 , 猜测 a n ? 2 n ,用数学归纳法证明(证明略). 28.∵ S 1 ? a 1 ?
1 2 1 2 (a1 ? 1 a1 ) ? a 1 ? 1;? 1 ? a 2 ? 1 2 (a 2 ? 1 a2 ) ? a2 ? 2 ? 1;

∵ 2 ? a3 ?

(a 3 ?

1 a3

) ? a3 ?

3 ?

2 ,?,猜想 a n ?

n ?

n ? 1 ( n ? N*).用

数学归纳法证明(略). 29.∵ a n ?
n? 2 2 , ∴ P1 ?

3 ?1
0

?

3 ?1
1

?? ?

3

n ?1

?1

?

3 ? 2n ? 1
n

,

2

2

2 4n ? 2 ? 1 2 2n
2

4 ? n

Qn ?

4 ?1? 2 ?1 2

?

4?2 ? 2 ?1 2

?? ?

?

; 计算得①

2

当 1≤n≤3 时,Pn<Qn;②猜想 n≥4 时 Pn>Qn,用数学归纳法证明,即证:当 n≥4 时
3
n

? 4n

2

? 1; ( n ? k ? 1 时用比较法证)

30. (Ⅰ) a 0 ? 1 ? a 2 ? ? 1 ? p ? ∵
? 1 ? (? p ) 1? p
n

? 1 ? (? p ) 1? p

2

, a3 ? p ?

1 ? (? p ) 1? p

2

?1 ?

? 1 ? (? p ) 1? p

3

,?,

猜测 a n ?

,数学归纳法证明(略).

(Ⅱ)∵ 0 ? | ( ? p ) |? 1,? a n ? 0 ; 而 a n ?
n

1 p

?

1 ? (? p )

n ?1

p (1 ? p )

? 0,

∴an ? ?

1 p

,得 ?

1 p

? a n ? 0.


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