当前位置:首页 >> 初中教育 >>

几何画板迭代初步(hjx4882)


几何画板迭代初步
佛山市南海区石门中学 唐家军 贺基旭 谢辅炬 修订

2014 年 4 月 16 日

2

板友间,心无间……津津乐道!

目 录
目 录· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · II 第 1 章 几个说明 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 第 2 章 什么是迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 第 1 节 迭代的概念 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 例 1 等差数列 1,3,5,7,…· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 第 2 节 迭代的注意事项 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 第 3 章 迭代实例 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 第 1 节 单映射迭代实例 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 一、一原象(自由点) ,无参迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 例 2 正五边形 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 二、两原象(自由点) ,有参迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 例 3 正 n 边形㈠ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 例 4 正 n 边形㈡ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 三、两原象(参数) ,有参迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 例 5 数列的迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 例 6 斐波那契数列 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 第 2 节 多映射迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 一、引例 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 例 7 正方旋 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 二、两原象,多映射,有参迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 例 7 勾股树 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 例 8 Koch 曲线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 例 9 雪花曲线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 三、多原象,多映象,有参迭代 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10

第 II 页

《几何画板迭代初步》 Gsbggb.com

第 1 章 几个说明
1、本书不会介绍迭代菜单下的各个快捷键。但描述语句如下:

本书语言叙述方式 【变换 ?迭代】 迭代 迭代 |初象
结构 ? 添加新的映射

表达意思 点击【变换】菜单,选择下拉菜单中【迭代】选项。 弹出的 迭代 窗口。 在弹出的 迭代 窗口中,找到 初象 下方的方框。 (在弹出的 迭代 窗口中) 点击 结构 按钮, 选择其下拉菜单中的 添加新的
映射 。

(在弹出的 迭代 窗口中)按 迭代 按钮。
迭代

按 Shift 键

在电脑键盘上按住 Shift 键。

此时点击点 B,得到 A?B

(, )?(, )(, )(, ) , (, )(, )(, ) 选择点 A,点 B 本书不作特别说明,选择默认为顺次选择。 点击【数据】菜单,选择下拉菜单中【新建计算】 ,在 新建计算 对话

【数据 ?新建计算】 x=
360°

框中输入 3 6 0 单位 ? 度 ÷ ,如图 此时点击 n= 5 。按 确定 键。并将其标签改为 x,如下图。

第1页

2

板友间,心无间……津津乐道!

其它菜单的操作不会详细描述。 2、本书的读者为迭代的初学者,想研究高深的分形几何的习者请绕行,但所选例子中有不少分形几何图 形。 3、为取得更好的阅读效果,建议使用 Adobe Reader 软件,并安装以下字体: 方正宋一 _GBK, 方正毡笔黑简体 , 方正粗圆 _GBK,方正楷体 _GBK, 方正黑体 _GBK, 方正古隶 _GBK, 方正汉简简体 , 方正平和 _GBK, Calibri。 4、阅读本书前请细读《几何画板使用手册》第 15 章的相关内容。 5、本书的所有选例均不是笔者原创。 6、本书不定期更新。 7、本书的排版在 Office Word 2013 中进行,利用 Adobe Acrobat Pro 软件,作后期修正。 ,但不全解,选录谢辅炬《几何画板迭代全解》中的部分实例。 8、本书署名依然为《几何画板迭代初步》

第2页

《几何画板迭代初步》 Gsbggb.com

第 2 章 什么是迭代
第 1 节 迭代的概念
迭代是一种计算机算法。简而言之,即 1、将 x=a 代入 f(x),得, b=f(a)。 2、令 x=b 代入 f(x),得, c=f(b),令 c=b。 3、重复步骤 2。 这里的 a 称为原象(原象只能是自由点、半自由点和没有父 对象的参数) ,b 称为初象,由 a 指向 b 称为迭代规则,重复次数 称为迭代次数 (又称为迭代深度) , 迭代后所产生的图形称为迭代 象,最末位的迭代象称为迭代象的终点。

例 1

等差数列 1, 3, 5, 7,…

图1

此例中, n=1 为原象, n+2=3 为初象, n 指向 n+2 为迭代规 则,默认迭代次数为 3 次。如图 1。

第 2 节 迭代的注意事项
1、迭代时,原象的子对象也将一起迭代,产生迭代象。 原象为自由点时, 可以合并于自由点、 半自由点和定点上。 原象为参数时, 该参数可以合并到自由点、 2、 半自由点和定点上。 3、迭代时原象可以选择一个点或多个点、一个点和多个参数,多个点和多个参数。 4、当迭代结构添加新的映射后,原来的初象就会更名为映象 1。添加新的映射的迭代称为新映射迭代, 不能对其构造终点。 5、选择迭代象的某个部分,可以对其属性进行修改,也可以删除它。 “-”调整迭代次数。 6、选择迭代象后,可以用数字键盘上的“+” 7、迭代数据表可以直接删除。 8、用参数控制的迭代称为深度迭代。此参数可以是度量值、参数值、计算值。几何画板在调用它时会自 动去其单位,并且取其整数部分( =trunc())作为迭代次数。

第3页

4

板友间,心无间……津津乐道!

第 3 章 迭代实例
第 1 节 单映射迭代实例
单映射迭代是指点击【变换 ?迭代】 ,在 迭代 对话框中,点击 结构 ? 添加新的映射 中未添加新的映射时的 迭代。原象可以是一个自由点、多个自由点、参数或自由点与参数的结合。 一、 一原象(自由点) ,无参迭代 例 2 正五边形

原理:依据旋转中心制作正 n 边形。 作法: 、点 B(顶点) 。将点 B 绕点 A 旋转 72°,得点 B’。 1、在平面内任取点 A(旋转中心) 。 2、连接 BB’(边)

图2

图3

,在 迭代 对话框中选 初象 下方的方框,如图 2,此时点击点 B’,再点 3、选择点 B,点击【变换 ?迭代】 击 显示 ? 增加迭代 一次,如图 3。按 迭代 按钮,即得。 此段以后将描述为: ,迭代 |初象 ,B?B’,点击 显示 ? 增加迭代 一次,如图 3。按 迭代 按钮, 3、选择点 B,点击【变换 ?迭代】 即得。 二、 两原象(自由点) ,有参迭代 例 3 正 n 边形㈠

原理:依据旋转中心制作正 n 边形(深度迭代) 。 作法: 【数据 ?新建参数】 n= 5 , 【数据 ?计算】 1、
360°

,用绘点工具绘制点 A(旋转中心) 、点 B(顶点) 。

第4页

《几何画板迭代初步》 Gsbggb.com
2、将点 B 绕点 A 旋转
360° 得点 B’。连接 BB’(边) 。

【变换 ?深度迭代】 , B?B’,按 迭代 按钮,即得。如图 4。 3、选择点 B, n= 5 ,按 Shift 键, 选定 n= 5 或选择迭代象,按数字键盘上的“+” “-”调整迭代次数。

图4

图5

例 4

正 n 边形㈡

原理:依据多边形外角和为 360°制作正 n 边形。 作法: 【数据 ?新建参数】n= 5 , 【数据 ?计算】180° ? 1、 得点 B’。 2、连接 AB、 AB’。 【变换 ?深度迭代】 , 迭代 |初象 , ( A, B ) ? ( B’? A ) ,按 迭代 3、选择点 A,点 B, n= 5 ,按 Shift 键, 按钮,即得。如图 5。 三、 两原象(参数) ,有参迭代 例 5 数列的迭代
360°

,绘制点 A、点 B,点 B 绕点 A 旋转 180° ?

360°

求数列 1, 3, 5, 7,…( n=1, 2, 3,…)前 n 项和。 原理:设公差为 d,前 n 项和为 ,则有 = ?1 + = ?1 + 1 + ( ? 1) 在直角坐标系内绘制点 (, )。 作法:

第5页

6

板友间,心无间……津津乐道!

图6

图7

【数据 ?新建参数】 x= 1 , a1= 1 , d= 2 , S1= 1 , n= 5 。 【数据 ?计算】 x+1 和 S1+ a1+xd。 1、 【变换 ?深度迭代】 ,迭代 |初象 , ( x,S1)→( x+1,S1+ a1+xd) , 2、选择 x= 1 ,S1= 1 ,n= 5 ,按 Shift 键, 按 迭代 按钮。如图 6。 。 3、选择迭代数据表,在平面直角坐标系中绘制表中数据( n, S1+ a1+xd) 说明:绘制后的点的父对象不是迭代数据表。 例 6 斐波那契数列 若1 = 1, 2 = 1,则有, = ?1 + ?2 。 作法: 【数据 ?新建参数】 n= 5 , 1 = 1 , 2 = 2 , 【数据 ?计算】 3 = 1 + 2 。 1、 【变换 ?深度迭代】 , 迭代 |初象 , (1 , 2 )?(2 , 3 ),按 2、选择 1 = 1 , 2 = 2 , n= 5 ,按 Shift 键,
迭代 按钮。如图 7。

第 2 节 多映射迭代
多映射迭代是指点击【变换 ?迭代】 ,在 迭代 对话框中,点击 结构 ? 添加新的映射 中添加新的映射后的迭 代。原象可以是一个自由点、多个自由点、参数或自由点与参数的结合。 多映射迭代在分形几何中应用颇多。 一、 引例 例 7 作法: ,得 1、绘制线段 AB,点击【构造 ?线段上的点】得点 M。点击【度量 ?点的值】 2、点 A 绕点 B 旋转- 90°得点 C,点 B 绕点 A 旋转 90°得点 D。
M在AB上 = 0.28

正方旋



第6页

《几何画板迭代初步》 Gsbggb.com
【构造 ?线段】 ;选择点 C、点 D, 【构造 ?线段】 ;选择点 D、点 A, 【构造 ?线段】 。 3、选择点 B、点 C, 顺次选择线段 BC, CD, DA,和 M在AB上 = 0.28 ,点击【绘图 ?在线段上绘制点】 。按 Ctrl + K 。如图 8。

n=5 M在AB上 = 0.28

D G

F

C

E A M B

图8

图9

, 4、点击【数据 ?新建参数】n= 5 ,顺次选择点 A、点 B 和 n= 5 ,按 Shift 键,点击【变换 ?深度迭代】 迭代 |初象 , (, B)?(M, E),按 迭代 按钮。如图 9。 ,可以得到不同的图形,如图 10。 5、拖动点 M( Move)
D G E A M B A M F C D G F C D G G E B A M E B A M B E F C D F C

图 10

此例中的正方形,可以换成正五边形,如图 11。

B

C

A

B

C A

B

K

A

图 11

二、 两原象,多映射,有参迭代 例 7 作法: 1、绘制正方形。用画点工具绘制点 A、点 B。将点 B 绕点 A 旋转 90°得点 D,将点 A 绕点 D 旋转 90° 得点 C。选择点 A、点 B、点 C、点 D,点击【构造 ?线段】 。 2、绘制半圆弧上的点。选择线段 CD,点击【构造 ?中点】点 E。选择点 E、点 C、点 D,点击【构造 ? 圆上的弧】 。点击【构造 ?弧上的点】点 F,如图 12。隐藏点 E 和弧 CD。
第7页

勾股树

8

板友间,心无间……津津乐道!
,点击【度量 ?面积】得, 3、带参数的颜色。选择点 A、点 B、点 C、点 D,点击【构造 ?四边形的内部】

ABCD的面积 = 3.53 厘米2 。 选择四边形 ABCD 和 ABCD的面积 = 3.53 厘米2 , 点击 【显示 ?颜色 ?参数】 , 如图 13。

按 确定 按钮。四边形 ABCD 的颜色就可以四边形的面积的变化而变化。如图 14。

F

D

E

C

A

B

图 12

图 13

图 14

4、实现迭代。点击【数据 ?新建参数】 n= 5 ,选择点 A、点 B 和 n= 5 ,按 Shift 键,点击【变换 ?深 度迭代】 , 迭代 |映象 #1 映象 #2, ( A, B ) ? ( D, F ) , ( F, C) 。如图 15。按 迭代 按钮。即得。

图 15

拖动点 F,图形也作相应的摆动。 勾股树,又称为毕达哥拉斯树。 例 8 Koch 曲线

1904 年,瑞典数学家柯赫构造了“ Koch 曲线”几何图形。 Koch 曲线大于一维,具有无限的长度,但是 又小于二维。它和三分康托集一样,是一个典型的分形。根据分形的次数不同,生成的 Koch 曲线也有很多 种,比如三次 Koch 曲线,四次 Koch 曲线等。

第8页

《几何画板迭代初步》 Gsbggb.com
下面以三次 Koch 曲线为例,介绍 Koch 曲线的构造方法,其它的可依此类推。三次 Koch 曲线的构造过 程主要分为三大步骤: 第一步,给定一个初始图形——一条线段;第二步,将这条线段中间的 二步的方法不断的把各段线段中间的 作法: 。用画点工具绘制点 A、点 B。双击点 B,选择点 A,点击【变换 ?缩放】 ,在 缩放 窗 1、绘制“循还节” 口设置 固定比 为 参数 :固定比
1 3 1 3

1 3

处向外折起;第三步,按照第

1 3

处向外折起。这样无限的进行下去,最终即可构造出 Koch 曲线。

,按 缩放 按钮,得点 C;双击点 A,选择点 B,点击【变换 ?缩放】 ,在 缩放 窗口设置 缩放

,按 缩放 按钮,得点 D。双击点 D,选择点 C,点击【变换 ?旋转】 ,在 旋转 窗口设置 旋转参

数 : 固定角度 6 0 度,得点 E。连接 AD, DE, EC、 CB。 2、深度迭代。点击【数据 ?新建参数】 n= 3 ,选择点 A、点 B 和 n= 3 ,按 Shift 键,点击【变换 ?深 度迭代】 , 迭代 |映象 #1 映象 #2 映象 #3 映象 #4, (A, B)?(A, D), (D, E), (E, C), (C, B),如图 16。点击
显示 ? 最终迭代 ,按 迭代 按钮。隐藏 AD, DE, EC、 CB 即得。如图 17。 ( 将此曲线暂记为“曲线 AB” ) 。

图 16

图 17

例 9

雪花曲线 Koch 曲线的基础上,利用点的合并来实现其效果的。

本例在例 8 作法:

1、点击【数据 ?新建参数】 n= 3 ,用画点工具绘制点 A、点 B、点 C、点 D、点 E、点 F。 2、选择点 A、点 B 和 n= 3 ,重复例 8 Koch 曲线步骤,得曲线 AB。同理得曲线 CD,曲线 EF。

注意,此步骤不能用复制命令得到曲线 CD 和曲线 EF。 ,在 旋转 窗口设置 旋转参数 : 3、用画点工具绘制点 K、点 L。双击点 K,选择点 L,点击【变换 ?旋转】 固定角度 6 0 度,得点 M。 ,选择点 B,点 M,点击【编辑 ?合并点】 ;选择点 4、合并点。选择点 A,点 K,点击【编辑 ?合并点】 ,选择点 D,点 L,点击【编辑 ?合并点】 ;选择点 E,点 L,点击【编辑 ? C,点 M,点击【编辑 ?合并点】 合并点】 ,选择点 F,点 K,点击【编辑 ?合并点】 。合并前,如图 18。合并后,如图 19 。 n=3) 合并后的图形( n=2,

第9页

10

板友间,心无间……津津乐道!

图 18 合并示意图

图 19 合并后的图形(n=2,n=3)

此例说明, 先迭代,后合并 。 三、 多原象,多映象,有参迭代

第 10 页


相关文章:
借助几何画板迭代功能探索数学美_图文
借助几何画板迭代功能探索数学美刘 巍 (大连市一 O 四中学,辽宁省大连市,邮编:116104)摘要:几何画板是一个优秀的教育软件,以其学习容易、操作简单、功能强大的...
几何画板教程:如何制作正方形迭代
几何画板教程:如何制作正方形迭代迭代几何画板中一个很有趣的功能,它相当于程序设计的递归算法。利用“迭代”命令,我们可以制作出很多美丽的图案。下面就以正方形...
借助几何画板迭代功能探索数学美_图文
借助几何画板迭代功能探索数学美刘 巍 (大连市一 O 四中学,辽宁省大连市,邮编:116104)摘要:几何画板是一个优秀的教育软件,以其学习容易、操作简单、功能强大的...
如何运用几何画板迭代十二等分圆
如何运用几何画板迭代十二等分圆_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。如何运用几何画板迭代十二等分圆几何画板可以绘制圆形等各种图形,可是怎样才能把绘制出的圆 n ...
用几何画板作火柴棍正方形的迭代方法
几何画板作火柴棍正方形的迭代方法_电脑基础知识_IT/计算机_专业资料。用几何画板作火柴棍正方形的迭代方法火柴棍正方形的迭代方法 太原市聋人学校 刘宇晟 北师版...
用参数的迭代研究数列(几何画板)
用参数的迭代研究数列(几何画板)_数学_自然科学_专业资料。用参数的迭代研究数列5.1 用参数的迭代研究数列 5.1.1 画数列的图像 例 1:画 a n = a1 + ( ...
几何画板制作系列之迭代图案
几何画板制作系列之迭代图案 一、中点三角形图案.下图是通过三角形的中点三角形迭代而成的图案, 制作过程为: 任意作△ABC, 构造三边中点得△DEF, 用同样方法得△...
几何画板实验
几何画板实验_教学案例/设计_教学研究_教育专区。实验九课程 数学教育技术 使用...学号 一、实验目的:初步理解迭代功能的若干要素,通过实例的操作领会迭代功能的...
几何画板(实验九)
几何画板实验1 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题...初步理解迭代功能的若干要素,通过实例的操作领会 以点为迭代对象时迭代功能的含义...
几何画板迭代应用:制作分形树
几何画板迭代应用:制作分形树迭代是分形的基础, 利用几何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙 的分形图形,几何画板可利用迭代功能制作分形树。 几何画板制作分形树的...
更多相关标签:
hj882.com | 几何画板迭代 | 几何画板迭代教程 | 几何画板深度迭代 | 几何画板迭代作品 | 几何画板雪花迭代图形 | 几何画板迭代图形 | 几何画板金字塔迭代 |