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信道编码中的有关基本概念


第二讲
信道编码中的有关基本概念

信道概述
? 回顾:编码是消息到信道波形或矢量的 一种映射关系
? 从数学上看,信道实际上也是从发空间X 到收空间Y一个概率映射函数
发 送 波 形 集 合 A
PA3 PA5 PA4 PA1 PA2

1 3 4 2 5

B C<

br />
接 收 波 形 集 合

信道概述(续)
? 收发集合可以以符号集的多重形式表示,相当 于多维空间。 ? 发空间的维数n与收空间的维数m可以不等
– 例如当发送波形x(t)通过一个滤波器h(t)时,输出 y(t)=x(t)*h(t),如果x(t)只在[0,T]内有值,而当h(t)有 一定的宽度?时,输出的非零长度变成了T+?,也就 是说当接收采样率等于或高于发送采样率时,接收 的维数增加了。而如果接收时采用了较低的采样率, 则有效维数就减低了。

信道概述(续)
? 根据收发空间中每一维所取的数域有限 或无限可分为离散信道和连续信道

? 这里借用了空间的名称,但只用到了它 的集合概念而没有用到空间中的运算, 只有线性信道才可以直接用线性运算构 成一个线性空间。

信道特性的描述
? 离散信道
– 可用转移概率律描述:P(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)?X(发空间), b=(b1,b2,...bm)?Y(收空间), 均为矢量(或n(m)重符号)

信道特性的描述
? 幅度连续信道
– 可用转移概率密度函数描述:p(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)?X, b=(b1,b2,...bm)?Y, 均为矢量 (或n(m)重符号) – 可用转移概率密度函数描述:p(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)?X, b=(b1,b2,...bm)?Y, 均为矢量 (或n(m)重符号)

时间及幅度连续信道
? 根据奈奎斯特采样定理,带限的时域连续波形 可以用采样序列描述。 ? 当发送信号波形的双边谱严格限制在带宽为B 的区间内的时候,只需要以B为采样率进行采 样,即可得到包含该波形所有信息的时间离散 序列。 ? 如果发送波形限制在时间T以内,则表示该波 形的序列点数为BT个,也就是说发送波形可以 表示成一个BT维复矢量。

? 当信道是一个线性信道时,接收信号波 形也必然限制在带宽B以内

无记忆信道
? 离散信道
– 当m=n,且P(y=b|x=a)=P(y1|x1)P(y2|x2)...P(yn|xn) 时, 各维的收符号只与相应的发符号有关,称为无记忆 离散信道,简写为DMC

? 连续信道
– 当m=n,且p(y=b|x=a)= p(y1|x1)p(y2|x2)...p(yn|xn) 时, 各维的收符号只与相应的发符号有关(无符号间串 扰),称为无记忆连续信道

? 非时变信道
– 当各因子具有相同的转移概率形式时

有记忆信道
? 实际的连续信道通常会有符号间串扰 (ISI),因此是有记忆的,但在一种较 常见的特殊情况下,即在加性平稳白高 斯噪声下的线性信道(y=Ax+n)时,可 以等效于一个无记忆信道。

有记忆信道的无记忆化
? 对A作线性变换使正交化得:A=UT?U,其中? 为A的特征值对矩阵。代入得 y= UT?Ux+n,令

x=UTx’,y’=UTy,n=UTn’,则有y’=?x’+n’。
于是对x’和y’而言就形成了一个无记忆信道。由 于U为正交变换,不会产生信息量丢失,因此可 以认为X’-Y’信道与X-Y信道是等价的。于是我 们就可以直接利用有关无记忆信道的编码了。

非时变无记忆离散信道举例
? 硬判决的MFSK信道
– x与y取自同一符号集合,当y=x时我们说传 输正确,当y?x时说发生了一次误码。Pe=1P(y=x)称为误符号率,通常,当b?a时有 P(y=b|x=a)?Pe/(M-1),即错成其它任一符号 的概率相等。

成对差错序列概率
? 发端编码集合中有两个码字x1、x2,当发 码字序列x1,错译成码字的x2概率,记为 P(x1?x2)。

二进制对称DMC的成对差错概率
? 当x1、x2的汉明距为d时,长度为n时
d ? d ? d /2 ?d ? i d /2 d ?i ? PB ?1 ? PB ? P?x1 ? x 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? PB ?1 ? PB ? ? d / 2? ? ? i ? d / 2 ?1 ? i ? ? ?

d为偶数 d为奇数

?d ? i d ?i P?x1 ? x 2 ? ? ? ? ? PB ?1 ? PB ? ? ? i ? ?d / 2 ??1 ? i ?
d

– 可以近似认为P(x1?x2)?PBd/2

非时变无记忆连续信道举例
? AWGN信道中的BPSK相干解调
– y=x+n,其中n为零均值,方差为?2的高斯随 机矢量。 – 当x1、x2的汉明距为d时有 – P(x1?x2)= Q?d ? ? = Q? d Ham A2 ? 2 ? ? e?d A / 2? – 其中dEu为欧氏距离,A为BPSK幅度。
2

2

Eu

Ham

– 当BSC中采用BPSK硬判决时,有PB= e ? d Ham A2 / 4? 2 因此近似有:P(x1? x2)? e

? A2 / 2? 2



距离在编码中的作用
? 从上面的例子中可以看出,BSC和AWGM信道 中成对错误概率只和编码参数中的码距(分别 为汉明距离和欧氏距离)有关,且成单调关系。 因此在这些信道中的码设计就是要对码距离进 行优化。 ? 具体地说,不同信道的优化目标不同
– 离散信道:汉明距离 – AWGN信道:欧氏距离 – 衰落信道:汉明距离和欧氏距离要同时考虑。

误码曲线
未编码的 误帧率 误码率 编码后用逐 符号译码的 误比特率 编码后逐 符号译码 的误帧率 编码后序 列译码的 误帧率

编码后用序 列译码的误 比特率

未编码的 误比特率

Eb/N0

编码增益

误码曲线的横坐标
? 对离散信道而言,误码曲线的横坐标一 般为信道误符号率的倒数,因此经过信 道编码后的误码性能一般都能有所改善, 即误码曲线向左下方移动,但这是以效 率降低为代价的。

编码曲线的横坐标(续一)
? 对连续信道而言,也可用信道符号信噪 比作横坐标,因此经过信道编码后的误 码性能一般都能有所改善,即误码曲线 向左下方移动,但这是以效率降低为代 价的。

编码曲线的横坐标(续二)
? 但对连续信道,用Eb/N0为横坐标更具有 可比性,因为它是用原信息的能量与信 道噪声能量进行的比较,从而避免了因 冗余的引入使总传输能量增加而造成的 不可比性。

编码增益
? 采用逐符号译码的误比特性能要优于序列译码 ? 采用逐符号译码的误帧性能要劣于序列译码

? 编码后的误帧率总会有所改善
? 编码后序列译码的误比特率在高信噪比时总要优于无编 码而信噪比很低时要劣于无编码,即编码增益在高SNR 时大于0,而SNR很低时小于0。 ? 系统编码后逐符号译码的误比特率总要优于无编码,即 至少存在一种编码,它的误比特率编码增益总大于0。

误码率计算中的常用方法及近似
? 成对差错概率,对任一对合法码字x1和x2 ,发 送的是码字x1 ,而根据译码规则判断为x2的概 率。记为P(x1?x2) ? 成对差错概率描述的是在特定的信道条件下, 给定的译码规则下,合法码字集中特定的一对 码字间的差错概率。一般比较容易给出解析表 达式或进行数值计算 ? 二进制编码中的成对差错概率P(x1?x2)由x1和 x2之间的汉明距离决定。

码字集的误码率
? 码字集的误码率描述的是一种编码方案的总 体误码性能,是评价编码好坏的标准。但一 般较难得到准确的结果,需要用一些近似, 得到性能界。 ? 联合界:落在并集中的概率不大于落在各集 合中的概率之和。可以用成对差错概率描述 误码性能界 Pe=?x1P(x1)P(e|x1) ? ?x1P(x1) ?x2P(x2)P(x1?x2) = ?x1?x2P(x1) P(x2)P(x1?x2)

距离谱
? 对BSC信道中误码率联合界进一步分析: ? P(e|x1)? ?x2P(x2)P(x1?x2)=?dhN(dh)F(dh)? ?dhN(dh) Ddh ? 其中N(dh)是到一个合法码字x1距离为的 dh合法码字的平均个数。F(dh)为汉明距 离为dh的一对码字间的成对差错概率。 ? N(dh)作为一个距离的函数来看时就称作 该编码相对码字x1的距离谱

平均编码界(续)
? 在证明最优编码的存在性时,常用到这 个方法。即我们不要求找到这种编码, 但如果在某一类编码集合中的所有编码 其误码性能的平均值能达到我们的要求, 则必存在至少一种编码,其误码性能能 达到要求。

平均编码界
? 即至少存在一种编码C,有Pe(C)? Ec(Pe(C)) ? Ec(Pe(C))= ?x1P(x1)P(e|x1) = ?x1P(x1) ?C’ P(C’)P(e|C’,x1) ? ?x1P(x1) ?C’ P(C’)?x2P(x2|C’)P(x1?x2) = ?x1P(x1) ?C’ ?x2P(x2)P(x1?x2) =|C’|?x1?x2 P(x1) P(x2)P(x1?x2) ? 注意这里的x1和x2均取自于全空间。

Bhattacharyya界
? 对成对差错概率进行一定的近似 ? P(x1?x2)=?y?D2P(y|x1) ? ?y?D2P(y|x1)( P(y|x2) /P(y|x1))1/2 ??y ( P(y|x1) P(y|x2))1/2 ? 其根本思想是在概率积分中当部分积分较难做 时,乘以某个不小于0的函数,该函数在积分 区间中的值大于等于1。从而将积分区间扩展 到全空间。该函数还可以有参数,通过优化参 数,可以使界尽量的紧。例如,这里用到的系 数函数为(P(y|x2) /P(y|x1))1/2,也可以推广为 [P(y|x2) /P(y|x1)]s,0?s?1。

截止速率R0
? 在平均码性能界中,令P(x1)=?kP(x1k), P(x2)=?kP(x2k), 同时假设信道为DMC,则 可推出:Ec(Pe(C))? |C’|{?y[?yP(x)P(y|x)1/2]}n ? 其中P(x)为编码输出符号概率律,P(y|x) 为信道的符号转移概率,n为编码长度。 令 R0(P)=-log2{?y[?yP(x)P(y|x)1/2]} , 而 k=log2(|C’|+1) 为 编 码 前 的 比 特 数 。 则 Ec(Pe(C))? 2k-nR0(P)

截止速率R0(续)
? 其中R0(P)不仅与信道有关,还是编码符号概率 律的函数,因此可以通过选择合适的P(x)使 其最大,最大值记为R0。 ? 至少存在一种(n,k)编码,使得 Pe?2k-nR0(P)=2-n(R0-R)。其中R=k/n ? 同时这也说明只要编码效率R小于R0,只要码 长足够长,总存在编码使误字率小于任意值。 ? 在上面的推导中主要用了三种定界方法。可以 看出,每一种都可能比较宽松,因此有可能通 过其它的定界方法得到更紧的界。

信道容量C
? 将联合界推广为广义联合界
? ? P?? B j ? ? ?? P?B j ?? ? j ?
?

,0???1

? 利用广义联合界及前面Bhattacharyya界中 系数函数的指数从1/2改为参数s,对s和? 进行优化,得到的新的R0实际上就是香 农信道容量C。

小结:信道概述
? ? ? ? ? 信道特性的描述 无记忆信道 对非时变无记忆离散信道举例 非时变无记忆连续信道举例 距离在编码中的作用

小结:误码曲线与编码增益
? 有关横坐标 ? 有关编码增益

小结:误码率计算中的常用方 法及近似
? ? ? ? ? 成对差错概率 联合界与距离谱 平均编码界 Bhattacharyya界 截止速率R0


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