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高中数学复习资料(必修一至必修五)


高中数学复习资料

第一章 集合 第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组 1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关系为________. 解析:由集合 B={x|x∈A}知,B={1,2}.答案:A=B 2.若? ,x|x2≤a,a∈R},则实数 a 的取值范围是________.

解析:由题意知,x2≤a 有解,故 a≥0.答案:a≥0 3.已知集合 A={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合 B={x|-2≤x<8-,则集合 A 与 B 的关系是________. 解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A=,y|y≥-2},∴B 答案:B A A.

4.(2009 年高考广东卷改编)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是 ________.

解析:由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0},则 N

M.答案:②

5.(2010 年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条 件,则实数 a 的取值范围是________. 解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件,∴A B,∴a<5. 答案:a<5 6.(原创题)已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又 C={x|x=4a+1,a∈Z},判断 m +n 属于哪一个集合? 解:∵m∈A,∴设 m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设 n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2∈Z,∴m +n∈B. B组 a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y=|a|+|b|+|ab|可能取的值组成的集合是________. 解析:分四种情况:(1)a>0 且 b>0;(2)a>0 且 b<0;(3)a<0 且 b>0;(4)a<0 且 b<0,讨论得 y=3 或 y=-1.答案:{3,-1} 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.答案:1 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个 数是________个. 解析:依次分别取 a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N?M,那么 a 的值是________. 1 解析:M={x|x=1 或 x=-1},N?M,所以 N=?时,a=0;当 a≠0 时,x=a=1 或-1,∴a=1 或-1.答案:0,1,-1

5.满足{1}

A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个.

解析:A 中一定有元素 1,所以 A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3 1 b 1 c 1 6.已知集合 A={x|x=a+6,a∈Z},B={x|x=2-3,b∈Z},C={x|x=2+6,c∈Z},则 A、B、C 之间的关系是________. 解析:用列举法寻找规律.答案:A B=C

7.集合 A=,x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________. 解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条件 8.(2010 年江苏启东模拟)设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和为________. 解析:∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S=1+2+22+…+28=511.答案:511 9.(2009 年高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤 立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合 共有 6 个.答案:6 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值. 解:由 lg(xy)知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. 1 1 ∴A={x,1,0},B={0,|x|, x }.于是必有|x|=1,x =x≠1,故 x=-1,从而 y=-1. 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0-, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0-,得 A={x|-2≤x≤5-, (1)∵B?A,∴① 若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A. m+1≤2m-1, ? ? ② 若 B≠?,则?-2≤m+1, 解得 2≤m≤3. ? ?2m-1≤5. 由① ② 得,m 的取值范围是(-∞,3]. 2m-1>m-6, m>-5, ? ? ? ? (2)若 A?B,则依题意应有?m-6≤-2, 解得?m≤4, 故 3≤m≤4, ? ? ?m≥3. ?2m-1≥5. ∴m 的取值范围是[3,4].
? ?m-6=-2, (3)若 A=B,则必有? 解得 m∈?.,即不存在 m 值使得 A=B. ?2m-1=5, ?

12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0-,B={x|x2-(a+1)x+a≤0-. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A=,x|1≤x≤2-, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0-, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A B,则此时 B=,x|1≤x ≤ a-,故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,由数轴可知 1≤a≤2.

(3)若 A=B,则必有 a=2 第二节 集合的基本运算 A组 1.(2009 年高考浙江卷改编)设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩ ?UB=____. 解析:?UB=,x|x≤1-,∴A∩ ?UB=,x|0<x≤1-.答案:,x|0<x≤12.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩ B)中的元素共有________ 个. 解析:A∩ B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},?U(A∩ B)={3,5,8}.答案:3 3.已知集合 M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩ N=________. 解析:由题意知,N={0,2,4},故 M∩ N={0,2}.答案:{0,2} 4.(原创题)设 A,B 是非空集合,定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩ B},已知 A=,x|0≤x≤2-,B=,y|y≥0-,则 A?B=________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩ B=[0,2],所以 A?B=(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.(2009 年高考湖南卷)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩图得到 方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3, ∴喜爱篮 球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15-3=12(人).答 案:12 6.(2010 年浙江嘉兴质检)已知集合 A={x|x>1},集合 B =,x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩ B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-1≤x≤2-,∴A∩ B=,x|1<x≤2-,A∪B=,x|x≥-1}.(2)若 B?A,则 m>1,即 m 的取值范围为 (1,+∞) B组 1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2-,则 M∩ N=________. 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩ N={-1,0}.答案:{-1,0} 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩ B=________. 解析:?UA={0,1},故(?UA)∩ B={0}.答案:{0} 3.(2010 年济南市高三模拟)若全集 U=R,集合 M={x|-2≤x≤2-,N={x|x2-3x≤0-,则 M∩ (?UN)=________. 解析:根据已知得 M∩ (?UN)={x|-2≤x≤2-∩ {x|x<0 或 x>3}={x|-2≤x<0-.答案:{x|-2≤x<04.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩ B={2},则 A∪B=________. 解析:由 A∩ B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5.(2009 年高考江西卷改编)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩ B 非空,则 A∩ B 的元 素个数为________. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩ B)中有 n 个元素,∴A∩ B 中有 m-n 个元素.答案:m-n 6.(2009 年高考重庆卷)设 U={n|n 是小于 9 的正整数},A ={n∈U|n 是奇数}, B={n∈U|n 是 3 的 倍数},则?U(A∪B)=________. 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B ={1,3,5,6,7}, 得?U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8} x 7.定义 A?B={z|z=xy+y,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2}, B={1,2},C={1}, 则集合(A?B)?C 的所有元素之和为________. 解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,则(A?B)?C 中所含的元素有 0,8,10,故所有元素之和为 18.答案:18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4=0}?{(x,y)|y=3x+b},则 b=________.

?x+y-2=0, ?x=0, ? ? 解析:由? ?? 点(0,2)在 y=3x+b 上,∴b=2. ? ? ?x-2y+4=0. ?y=2.

9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是________. 解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a-3=5,解得 a=-4 或 a=2,∴M ={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩ B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A={1,2}. (1)∵A∩ B={2}, ∴2∈B, 代入 B 中的方程, 得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3; 当 a=-1 时, B={x|x2-4=0}={-2,2}, 满足条件;当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A, ① 当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件;② 当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件;③ 当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2} 才能满足条件,则由根与系数的关系得

? ? ?a=-2, ?1+2=-2(a+1) ? ?? ?1×2=a2-5 ? ?
5

?a2=7,

矛盾.综上,a 的取值范围是 a≤-3.

11.已知函数 f(x)=

6 -1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合 B. x+1

(1)当 m=3 时,求 A∩ (?RB); (2)若 A∩ B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解:A={x|-1<x≤5-. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则?RB=,x|x≤-1 或 x≥3-, ∴A∩ (?RB)=,x|3≤x≤5-. (2)∵A={x|-1<x≤5-,A∩ B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2×4+m=0,解得 m=8,此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解. 2 若 a=0,方程有一解 x=3,不合题意. 9 若 a≠0,要方程 ax2-3x+2=0 无解,则 Δ=9-8a<0,则 a>8. 9 综上可知,若 A=?,则 a 的取值范围应为 a>8. 2 2 (2)当 a=0 时,方程 ax2-3x+2=0 只有一根 x=3,A={3}符合题意. 9 当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0,即 a=8时, 4 4 方程有两个相等的实数根 x=3,则 A={3}.

2 9 4 综上可知,当 a=0 时,A={3};当 a=8时,A={3}. 2 (3)当 a=0 时,A={3-≠?.当 a≠0 时,要使方程有实数根, 9 则 Δ=9-8a≥0,即 a≤8. 9 9 综上可知,a 的取值范围是 a≤8,即 M={a∈R|A≠?}=,a|a≤8} 第二章函数 第一节 函数的单调性 A组 1. (2009 年高考福建卷改编)下列函数 f(x)中, 满足“对任意 x1, x2∈(0, +∞), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)”的是________. 1 ① f(x)=x ② f(x)=(x-1)2 ③ f(x)=ex ④ f(x)=ln(x+1) 解析:∵对任意的 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:① 2.函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________. 1 解析:∵0<a<1,y=logax 为减函数,∴logax∈[0,2]时,g(x)为减函数. 1 由 0≤logax≤2 a≤x≤1.答案:[ a,1](或( a,1))

a 3.已知函数 f(x)=|ex+ex|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围__. a a 解析:当 a<0,且 ex+ex≥0 时,只需满足 e0+e0≥0 即可,则-1≤a<0;当 a=0 时,f(x)=|ex|=ex 符合题意;当 a>0 时, a a f(x)=ex+ex,则满足 f′ (x)=ex-ex≥0 在 x∈[0,1]上恒成立.只需满足 a≤(e2x)min 成立即可,故 a≤1,综上-1≤a≤1. 答案:-1≤a≤1 4. (原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x, 都有 f(x)≥M(M 为常数), 称 M 为 f(x)的下界, 下界 M 中的最大值叫做 f(x) 的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________. 1 (x>0) ? ? ① f(x)=sinx;② f(x)=lgx;③ f(x)=ex;④ f(x)=?0 (x=0) ? ?-1 (x<-1) 解析:∵sinx≥-1,∴f(x)=sinx 的下确界为-1,即 f(x)=sinx 是有下确界的函数;∵f(x)=lgx 的值域为(-∞,+∞),∴f(x) =lgx 没有下确界;∴f(x)=ex 的值域为(0,+∞),∴f(x)=ex 的下确界为 0,即 f(x)=ex 是有下确界的函数; 1 (x>0) 1 (x>0) ? ? ? ? ∵f(x)=?0 (x=0) 的下确界为-1.∴f(x)=?0 (x=0) 是有下确界的函数.答案:① ③ ④ ? ? ?-1 (x<-1) ?-1 (x<-1) B组 1.(2010 年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. 1 ① y=-x ② y=-(x-1) ③ y=x2-2 ④ y=-|x| 解析:由函数 y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④ 2.若函数 f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________.

解析:令 g(x)=x2-ax+3a,由题知 g(x)在[2,+∞)上是增函数,且 g(2)>0. a ? ?2≤2, ∴? ∴-4<a≤4.答案:-4<a≤4 ? ?4-2a+3a>0, a 3 3.若函数 f(x)=x+x(a>0)在(4,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__. a 3 9 解析:∵f(x)=x+x(a>0)在( a,+∞)上为增函数,∴ a≤4,0<a≤16. 9 答案:(0,16] f(x2)-f(x1) 4.(2009 年高考陕西卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则下列结论 x2-x1 正确的是________. ① f(3)<f(-2)<f(1) ② f(1)<f(-2)<f(3) ③ f(-2)<f(1)<f(3) ④ f(3)<f(1)<f(-2) f(x2)-f(x1) 解析:由已知 <0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得 f(2)=f(-2),即 f(3)<f(-2)<f(1).答案: x2-x1 ①
?ax (x<0), ? f(x1)-f(x2) 5.(2010 年陕西西安模拟)已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2,都有 <0 成立,则 a 的取值 x1-x2 ? (a - 3)x + 4a ( x≥0 ) ?

范围是________. 0<a<1, ? ? 1 解析:由题意知,f(x)为减函数,所以?a-3<0, 解得 0<a≤4. ? ?a0≥(a-3)×0+4a, 6.(2010 年宁夏石嘴山模拟)函数 f(x)的图象是如下图 点 B 的坐标为(3,0),定义函数 g(x)=f(x)· (x-1),则函
?2x(x-1) (0≤x<1), ? 解析:g(x)=? ? ?(-x+3)(x-1) (1≤x≤3),

所示的折线段 OAB, 点 A 的坐标为(1,2), 数 g(x)的最大值为________.

当 0≤x<1 时,最大值为 0;当 1≤x≤3 时, 在 x=2 取得最大值 1.答案:1 7.(2010 年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则函数 y=f(cos x)的值域是________. 解析:∵cos x∈[-1,1],函数 y=f(x)的值域为[-2,0],∴y=f(cos x)的值域为[-2,0].答案:[-2,0] 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________. 解析:∵函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为
? ?1≤x≤9, ? ∴x∈[1,3],令 log3x=t,t∈[0,1], ? ?1≤x2≤9,

∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当 t=1 时,ymax=13.答案:13 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,2)内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间为__________. 1 解析:令 μ=2x2+x,当 x∈(0,2)时,μ∈(0,1),而此时 f(x)>0 恒成立,∴0<a<1.

1 1 1 1 1 μ=2(x+4)2-8,则减区间为(-∞,-4).而必然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<-2.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2).答 1 案:(-∞,-2) x1 10.(2010 年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x2)=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则x2>1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x1 所以 f(x2)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x1 9 (3)由 f(x2)=f(x1)-f(x2)得 f(3)=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. 由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. x2+ax+b 11.已知:f(x)=log3 ,x∈(0,+∞),是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列三个条件:(1)在(0,1]上是减函 x 数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是 1.若存在,求出 a、b;若不存在,说明理由. 解:∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x=1 时,f(x)最小,log3 x12+ax1+b x22+ax2+b 设 0<x1<x2≤1,则 f(x1)>f(x2).即 > 恒成立. x1 x2 (x1-x2)(x1x2-b) 由此得 >0 恒成立. x1x2 又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0 恒成立,∴b≥1. (x3-x4)(x3x4-b) 设 1≤x3<x4,则 f(x3)<f(x4)恒成立.∴ <0 恒成立. x3x4 ∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4>b 恒成立.∴b≤1.由 b≥1 且 b≤1 可知 b=1,∴a=1.∴存在 a、b,使 f(x)同时满足三个 条件. 第二节 函数的性质 A组 1.设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(b+2)的大小关系为________. 解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,∴f(x)=loga|x|,又 f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以 0<a<1,1<a+1<2,则 f(x)在(0,+ ∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(b+2).答案:f(a+1)>f(b+2) 2. (2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数, 则 f(1)+f(4)+f(7)等于________. 解析:f(x)为奇函数,且 x∈R,所以 f(0)=0,由周期为 2 可知,f(4)=0,f(7)=f(1),又由 f(x+2)=f(x),令 x=-1 得 f(1) =f(-1)=-f(1)?f(1)=0,所以 f(1)+f(4)+f(7)=0.答案:0 3. (2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则 f(-25)、 f(11)、 f(80)的大小关系为________. 解析:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80)= f(0),f(11)=f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数,f(0)=0,得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由 f(x-4)=-f(x) 得 f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(1)>f(0)=0,所以-f(1)<0,即 f(- 25)<f(80)<f(11). 答案:f(-25)<f(80)<f(11) 1+a+b 1 =1.即 a+b=2.

1 4.(2009 年高考辽宁卷改编)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x-1)<f(3)的 x 取值范围是________. 1 1 1 2 1 2 解析:由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|),由 f(|2x-1|)<f(3),再根据 f(x)的单调性得|2x-1|<3,解得3<x<3.答案:(3,3) 5.(原创题)已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对 x∈R,f(2+x)=f(2-x),当 f(-3)=-2 时,f(2011)的值为________. 解析: 因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 所以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2), 故函数 f(x)是以 4 为周期的函数, 所以 f(2011) =f(3+502×4)=f(3)=f(-3)=-2.答案:-2 B组 1.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则下列结论正确的是________. ① f(x)是偶函数 ② f(x)是奇函数 ③ f(x)=f(x+2) ④ f(x+3)是奇函数 解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函数 f(x)关于点(1,0),及点(-1,0) 对称,函数 f(x)是周期 T=2[1-(-1)]=4 的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即 f(x+3) 是奇函数.答案:④ 3 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+2),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(1)+f(2)+…+f(2009)+f(2010)= ________. 3 解析:f(x)=-f(x+2)?f(x+3)=f(x),即周期为 3,由 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,所以 f(1)=-1,f(2)=-1,f(3)=2, 所以 f(1)+f(2)+…+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)=0.答案:0 3.(2010 年浙江台州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个 偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=________. 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则 满足 f(-2+x)=-f(x),即 f(x+2)=-f(x),所以周期为 4,f(1)=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以 f(1) +f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=f(4)×502+f(2)=0.答案:0 4.(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1),则 f(-2009)+f(2010)的值为________. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-2009)=f(2009).∵f(x)在 x≥0 时 f(x+2)=f(x),∴f(x)周期为 2.∴f(-2009)+f(2010)=f(2009) +f(2010)=f(1)+f(0)=log22+log21=0+1=1.答案:1 1 5.(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x,满足 f(x+2)=-f(x),若当 2<x<3 时,f(x) =x,则 f(2009.5)=________. 1 解析:由 f(x+2)=-f(x),可得 f(x+4)=f(x),f(2009.5)=f(502×4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5)∵f(x)是偶函数,∴f(2009.5)=f(2.5) 5 5 =2.答案:2 6.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1).若 f(a)=-2,则实数 a=________. 解析:当 x≥0 时,f(x)=x(x+1)>0,由 f(x)为奇函数知 x<0 时,f(x)<0,∴a<0,f(-a)=2,∴-a(-a+1)=2,∴a=2(舍) 或 a=-1.答案:-1 7.(2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________. 解析:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x),因此,函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)= 0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在 区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案:-8

8.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x),即 f(x) =-xlg(2+x) (x>0).
? ?-xlg(2-x) (x<0), ∴f(x)=? 即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R). ? ?-xlg(2+x) (x≥0).

9.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如果 x∈R+,f(x)<0,并且 f(1)=- 1 2,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 解:(1)证明:∴函数定义域为 R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得 f(- x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)法一:设 x,y∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+y)-f(x)=f(y). ∵x∈R+,f(x)<0,∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x).∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0, 1 ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=-2,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3) =2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 法二: 设 x1<x2, 且 x1, x2∈R.则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)<0.∴f(x2) 1 -f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减. ∴f(-2)为最大值, f(6)为最小值. ∵f(1)=-2, ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3) =2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 第三章 指数函数和对数函数 第一节 指数函数 A组 1.(2010 年黑龙江哈尔滨模拟)若 a>1,b<0,且 ab+a-b=2 2,则 ab-a-b 的值等于________. 解析:∵a>1,b<0,∴0<ab<1,a-b>1.又∵(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8,∴a2b+a-2b=6,∴(ab-a-b)2=a2b +a-2b-2=4,∴ab-a-b=-2.答案:-2 2.已知 f(x)=ax+b 的图象如图所示,则 f(3)=________. 解析:由图象知 f(0)=1+b=-2,∴b=-3.又 f(2)=a2 =3 3-3. 答案:3 3-3 1 3.函数 y=(2)2x-x2 的值域是________. 解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 1 1 ∴(2)2x-x2≥2.答案:[2,+∞) 4.(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 交点的个数,由函数的图象可知 a>1 时两函数图象有两个交 点,0<a<1 时两函数图象有惟一交点,故 a>1. 答案:(1,+∞) -3=0,∴a= 3,则 f(3)=( 3)3-3

5.(原创题)若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a 等于________. 0<a<1 a>1 ? ? ? ? 解析:由题意知?a2-1=0 无解或?a0-1=0 ?a= 3.答案: 3 ? ? ?a0-1=2 ?a2-1=2 -2x+b 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数.(1)求 a,b 的值; 2x+1+a (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. -1+b 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1. 2+a 1 -2+1 -2x+1 -2+1 从而有 f(x)= .又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 2x+1+a 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)法一:由(1)知 f(x)= =-2+ , 2x+1+2 2x+1 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0?f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2 +k). 因 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 1 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-3. -2x+1 -2t2-2t+1 -22t2-k+1 法二:由(1)知 f(x)= ,又由题设条件得 + <0 2x+1+2 2t2-2t+1+2 22t2-k+1+2 即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<0 整理得 23t2-2t-k>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0 1 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<-3. B组 1.如果函数 f(x)=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有________. ① 0<a<1 且 b>0 ② 0<a<1 且 0<b<1 ③ a>1 且 b<0 ④ a>1 且 b>0 解析:当 0<a<1 时,把指数函数 f(x)=ax 的图象向下平移,观察可知-1<b-1<0,即 0<b<1.答案:② 2.(2010 年保定模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是________. 解析: f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2, 所以 f(x)在[a, +∞)上为减函数, 又 f(x), g(x)都在[1,2]上为减函数, 所以需? ?0<a≤1.答案:(0,1] f(1) f(-1) 5 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件① f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1);② g(x)≠0;若g(1)+ = ,则 a g(-1) 2 等于________. f(x) f(1) f(-1) 5 5 1 1 解析:由 f(x)=ax· g(x)得g(x)=ax,所以g(1)+ = ?a+a-1=2,解得 a=2 或2.答案:2 或2 g(-1) 2
? ?a≤1 ?a+1>1 ?

1 4. (2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1), 其反函数为 f-1(x). 若 f(2)=9, 则 f-1(3)+f(1)的值是________. 1 解析:因为 f(2)=a2=9,且 a>0,∴a=3,则 f(x)=3x=3,∴x=-1, 1 1 故 f-1(3)=-1.又 f(1)=3,所以 f-1(3)+f(1)=2.答案:2 1 5.(2010 年山东青岛质检)已知 f(x)=(3)x,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为 ________. 1 1 解析:设 y=g(x)上任意一点 P(x,y),P(x,y)关于 x=1 的对称点 P′ (2-x,y)在 f(x)=(3)x 上,∴y=(3)2-x=3x-2.答案: y=3x-2(x∈R) ex+e-x 6.(2009 年高考山东卷改编)函数 y= 的图象大致为________. ex-e-x

e-x+ex ex+e-x 解析:∵f(-x)= =- =-f(x),∴f(x)为奇函数,排除④ . e-x-ex ex-e-x ex+e-x e2x+1 e2x-1+2 2 又∵y= = = =1+ 在(-∞,0)、(0,+∞)上都是减函数,排除② 、③ .答案:① ex-e-x e2x-1 e2x-1 e2x-1 1 7.(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=(2)x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=________. 解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2.∴3<2+log23<4,∴f(2+log23) 1 1 1 1 =f(3+log23)=f(log224)=(2)log224=2-log224=2log224=24.答案:24 8.(2010 年宁夏银川模拟)已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实数 a 的值. 解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1], 1 1 (1)当 0<a<1 时,a≤ax≤a,∴当 ax=a时,f(x)取得最大值. 1 1 1 ∴(a+1)2-2=14,∴a=3,∴a=3. 1 (2)当 a>1 时,a≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x)取得最大值. 1 ∴(a+1)2-2=14,∴a=3.综上可知,实数 a 的值为3或 3. 第二节 对数函数 A组 1.(2009 年高考广东卷改编)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a,a),则 f(x)=________. 1 1 1 1 解析:由题意 f(x)=logax,∴a=logaa2=2,∴f(x)=log2x.答案:log2x 2.(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大小关系是________.

1 1 1 1 解析:a=log3π>1,b=log2 3=2log23∈(2,1),c=log3 2=2log32∈(0,2),故有 a>b>c.答案:a>b>c

3.若函数 f(x)= ,则 f(log43)=________. 解析:0<log43<1,∴f(log43)=4log43=3.答案:3 1 4.如图所示,若函数 f(x)=ax-1 的图象经过点(4,2),则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

?? 1 ? x ?? ? , x ? [?1,0) ?? 4 ? ? x ?4 , x ? [0,1]

1 解析:由已知将点(4,2)代入 y=ax-1,∴2=a4-1,即 a=23>1. 又 1 是单调递减的,故 g(x)递减且过(0,0)点,∴④ 正确.答案:④ x+1

1 5.(原创题)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f(2010)=4,则 f(2010)的值为_. 1 1 1 1 解析: 设 F(x)=f(x)-2, 即 F(x)=alog2x+blog3x, 则 F(x )=alog2x +blog3x =-(alog2x+blog3x)=-F(x), ∴F(2010)=-F(2010) 1 =-[f(2010)-2]=-2, 即 f(2010)-2=-2,故 f(2010)=0.答案:0 B组 x+3 1.(2009 年高考北京卷改编)为了得到函数 y=lg 10 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点________. x+3 解析:∵y=lg 10 =lg(x+3)-1,∴将 y=lgx 的图象上的点向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x+3)的图象,再将 y=lg(x +3)的图象上的点向下平移 1 个单位长度得到 y=lg(x+3)-1 的图象. 答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 2.(2010 年安徽黄山质检)对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:① f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);② f(x1· x2) f(x1)-f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) =f(x1)+f(x2);③ >0;④ f( 2 )< .上述结论中正确结论的序号是________. 2 x1-x2 x1+x2 解析:由运算律 f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2=f(x1x2),所以② 对;因为 f(x)是定义域内的增函数,所以③ 正确;f( 2 ) x1+x2 f(x1)+f(x2) lgx1+lgx2 x1+x2 x1+x2 =lg 2 , = =lg x1x2,∵ 2 ≥ x1x2,且 x1≠x2,∴lg 2 >lg x1x2,所以④ 错误. 2 2 答案:② ③ 3.(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b,定义运算“*”如下:
?a(a≤b) ? 1 a*b=? ,则函数 f(x)=log2(3x-2)*log2x 的值域为________. ?b(a>b) ?

1 解析:在同一直角坐标系中画出 y=log2(3x-2)和 y=log2x 两个函数的图象,

由图象可得 log2x (0<x≤1) ? ? f(x)=? 1 ,值域为(-∞,0].答案:(-∞,0] log (3x-2) (x>1) ? ? 2 4.已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 的值 为________. 解析:由 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,得 f(x)=lnx,因为 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,故有 g(x)=-lnx, 1 g(a)=1?lna=-1,所以 a=e. 1 答案:e 5.(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=________. 解析:由题意 2x1+2x1=5,① 2x2+2log2(x2-1)=5,② 所以 2x1=5-2x1,x1=log2(5-2x1),即 2x1=2log2(5-2x1).令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1),∴5-2t=2log2(t-1)与② 式比较得 t=x2,于是 2x1=7- T 7 2x2.∴x1+x2=2.答案:2 1+x 6.(2010 年天津和平质检)已知 f(x)=loga (a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域; 1-x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 1+x 解:(1)由 >0 ,解得 x∈(-1,1). 1-x 1-x (2)f(-x)=loga =-f(x),且 x∈(-1,1),∴函数 y=f(x)是奇函数. 1+x 1+x 1+x (3)若 a>1,f(x)>0,则 >1,解得 0<x<1;若 0<a<1,f(x)>0,则 0< <1,解得-1<x<0. 1 -x 1-x a 7.已知函数 f(x)满足 f(logax)= (x-x-1),其中 a>0 且 a≠1. a2-1 (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合; (2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围. a 解:令 logax=t(t∈R),则 x=at,∴f(t)= (at-a-t), a2-1 a a ∴f(x)= (ax-a-x).∵f(-x)= (a-x-ax)=-f(x), a2-1 a2-1 ∴f(x)是 R 上的奇函数. a 当 a>1 时, >0,ax 是增函数,-a-x 是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数; a2-1 a 当 0<a<1, <0,ax 是减函数,-a-x 是减函数,∴f(x)是 R 上的增函数. a2-1 综上所述,a>0 且 a≠1 时,f(x)是 R 上的增函数.

(1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 有 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1), 1-m<m2-1, ? ? ∴?-1<1-m<1, 解得 m∈(1, 2). ? ?-1<m2-1<1. (2)∵f(x)是 R 上的增函数,∴f(x)-4 也是 R 上的增函数,由 x<2,得 f(x)<f(2), ∴f(x)-4<f(2)-4,要使 f(x)-4 的值恒为负数,只需 f(2)-4≤0, a 即 (a2-a-2)-4≤0,解得 2- 3≤a≤2+ 3, a2-1 ∴a 的取值范围是 2- 3≤a≤2+ 3且 a≠1. 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com) 第三节 幂函数与二次函数的性质 A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集为________. 高 解析:∵a>1,0<b<1,∴alogb(x-3)>1?logb(x-3)>0?logb(x-3)>logb1?0<x-3<1?3<x<4.答案: {x|3<x<4} 考 资 源 w 网 w ( w w . w k w s . 5 k u s x . 5 2 2 1 2 c u 3 3 x 3 =x 3 >1,∴x>x 3 ,∴排除① 解析: y = x = x2 是偶函数,∴排除② 、③ ,当 x>1 时, . 答案:④ o . 3. (2010 年江苏海门质检 ) 若 x ∈ (0,1) ,则下列结论正确的是 __________ . m c 1 1 1 1 o 来 2 2 2 2 ① 2x>x >lgx ② 2x>lgx>x ③ x >2x>lgx ④ lgx>x >2x m 源 1 ) : 2 解析:∵ x ∈ (0,1) ,∴ 2>2x>1,0<x <1 , lgx<0. 答案:① 高 2.(2010 年广东广州质检)下列图象中,表示 y=x 的是________. 4. (2010 年东北三省模拟)函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有 考 解析:先画出 f(x)=4x-x2 的图象,再将 x 轴下方的 资 抛物线顶点时恰有三个交点, 故得 a 的值为 4.答案: 4 源 网( 原 创 题 ) 方 程 x 1 = logsin1x 的 实 根 个 数 是 5. 2 解析:在同一坐标系中分别作出函数 y1=x 点.答案:1
1 2 2 3

三个零点,则 a=__________. 图象翻转到 x 轴的上方,如图,y=a 过

__________. logsin1x 的图象,可知只有惟一一个交

和 y2=

6.(2009 年高考江苏卷)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集. 解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即 a<0.由 a2≥1 知 a≤-1.因此,a 的取值范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2a2 ? ?3(x-3)2+ 3 ,x>a, ① =? ? ② ?(x+a)2-2a2,x≤a, (ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2,由① ② 知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. a 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f(3)=3a2.若 x>a,则由① 知 f(x)≥3a2; 2 2 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由② 知 f(x)≥2a2>3a2.此时 g(a)=3a2. -2a2, a≥0, ? ? 综上,得 g(a)=?2a2 , a<0. ? ? 3 6 2 (3)(ⅰ)当 a∈(-∞,- 2 ]∪[ 2 ,+∞)时,解集为(a,+∞); a+ 3-2a2 2 2 (ⅱ)当 a∈[- 2 , 2 )时,解集为[ ,+∞); 3 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 6 2 (ⅲ)当 a∈(- 2 ,- 2 )时,解集为(a, ]∪[ ,+∞). 3 3 B组 1 1.(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,-8),则满足 f(x)=27 的 x 的值是__________. 1 1 1 1 解析:设幂函数为 y=xα,图象经过点(-2,-8),则-8=(-2)α,∴α=-3,∵x-3=27,∴x=3.答案:3 2.(2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________. 2 1 1 1 1 解析:由表知 2 =(2)α,∴α=2,∴f(x)=x2.∴(|x|)2≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 答案:{x|-4≤x≤4?-2 (x>0), ? 3.设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为__________. ? ?x2+bx+c (x≤0),

1 1

1 2 2 2

?x≤0, ?x>0, ? ? 解析:由 f(-4)=f(0),得 b=4.又 f(-2)=0,可得 c=4,∴? 或? 可得-3≤x≤-1 或 x>0.答案:{x| ? ? ?x2+4x+4≤1 ?-2≤1,

-3≤x≤-1 或 x>0}
? ?x2+4x, x≥0, 4.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是__________. ?4x-x2, x<0. ? ? ?x2+4x,x≥0, 解析:函数 f(x)=? 的图象如图. ?4x-x2,x<0, ?

知 f(x)在 R 上为增函数. ∵f(2-a2)>f(a),即 2-a2>a. 解得-2<a<1. 答案:-2<a<1 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com)

第四节 函数的图像特征 A组 高 1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.命题乙:函数 考 f(1+x)与函数 f(1-x) 的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命题正确的是__________. 资 解析:可举实例说明如 f(x)=2x,依次作出函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象判断.答案:甲 源 x w 2. (2010 年济南市高三模拟考试)函数 y=|x|· ax(a>1)的图象的基本形状是_____. w w . k s 5 u . c o m 来 解析:先去绝对值将已知函数写成分段函数形式,再作图象即可,函数解析式: y= 源 : 由指数函数图象易知① 正确. 高 答案:① 考 1 资 3.已知函数 f(x)=(5)x-log3x,若 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值 源 __________( 正负情况). 网 1 1 解析:分别作 y=(5)x 与 y=log3x 的图象,如图可知,当 0<x1<x0 时,(5)x1>log3x1, ∴f(x1)>0.答案:正值 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

? ?ax(x>0) ? , ?-ax(x<0) ?



4.(2009 年高考安徽卷改编)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____

解析:∵x>b 时,y>0.由数轴穿根法,从右上向左下穿,奇次穿偶次不穿可知,只有③ 正确.答案:③

?3-x 2, x ∈[-1,2] , ? x-3, x ∈ (2,5] . 5.已知函数 f(x)= ?
(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.,

(2)由图象可知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. B组 1-x 6.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln 的图象只可能是__________. 1+x

2 解析:本题中 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},从而排除② ③ 选项.又由于 u(x)=-1+ 在定义域{x|-1<x<1}内是减函数, 1 +x 1-x 2 而 g(x)=lnx 在定义域(0,+∞)内是增函数,从而 f(x)=ln =ln(-1+ )在定义域{x|-1<x<1}是减函数. 1+x 1 +x 答案:① 7.已知函数 f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,g(x)=log2x,则函数 y=f(x)· g(x)的大 致图象为__________.

解析:f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(x)· g(x)为奇函数,图象关于原点对称,当 x→+∞时,f(x)→-∞,g(x)→+∞, 所以 f(x)·g(x)→-∞答案:② 8. 已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), 且 x∈(-1,1]时, f(x)=|x|, 则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为__________.

解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 y=f(x)为周期为 2 的周期函数,作图. 答案:6 9. (2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分 数中与 f(x)的单调性不同的是 ① y=x2+1 ② y=|x|+1
?2x+1,x≥0 ? ③ y=? ? ?x3+1,x<0 ? ?ex,x≥0 ④ y=? ?e-x,x<0 ?

图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函

解析:∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x3+1 在(-∞,0)上为增函数.答案:③ 第四章 函数应用 A组
?x(x+4),x<0, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为________. ? ?x(x-4),x≥0.

解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图象与 x 轴有三个交点,即函数的零点有 3 个.答案:3 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___. x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

解析:据题意令 f(x)=ex-x-2,由于 f(1)=e1-1-2=2.72-3<0,f(2)=e2-4=7.39-4>0,故函数在区间(1,2)内存在零 点,即方程在相应区间内有根. 答案:(1,2) 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数是__________. 解析:由题意函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,根据零点存在定理知:在区间[0,a]内函数 f(x)一 定存在惟一零点且 f(0)≠0,又函数 f(x)是偶函数,故其在[-a,0]也惟一存在一个零点,所以方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内 根的个数为 2.答案:2

4.(2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部 分 超过 200 的部分 高峰电价 ( 单位:元 / 千 瓦时) 0.568 0.598 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价 (单位:元/千瓦 时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应 付的电费为________元 解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元).答案:148.4 5.(原创题)已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为________.

解析:作 f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即 f(x)=a,当 a=1 时,g(x)有无数个零点;当 a>1 时,g(x)有 2 个零点;∴a 的 最小值为 1.答案:1

? ?0.1+15lna-x,x≤6, 6.(2009 年高考上海卷)有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? ? x-4 ,x>6,
a 描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识 6 次时, 掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 0.4 解:(1)证明:当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= .而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故 (x-3)(x-4) f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. a a (2)由题意可知 0.1+15ln =0.85,整理得 =e0.05, a-6 a-6 e0.05 解得 a= ·6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127]. e0.05-1 由此可知,该学科是乙学科. B组 1.(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:

x y 1 ② y=(2)x

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是________ ① y=2x-2 ③ y=log2x 1 ④ y=2(x2-1)

解析:代入点(2,1.5),(3,4)检验.答案:④ 2.(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ① (0,1) ② (1,2) ③ (2,3) ④ (3,4) 解析:因为 f(0)=-6<0,f(1)=2+1-7=-4<0,f(2)=22+2-7=-1<0,f(3)=23+3-7=4>0,所以函数的零点在区间 (2,3)内.答案:③ 1 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[2,2]内的零点的个数是______. 1 解析:易知 g(x)=x 与 h(x)=log2x 均为增函数,故函数 f(x)为增函数,且 f(2)· f(2)<0,故函数有且只有一个零点.答案:1 4.(2010 年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单位:个)的部分数据如下: t n 0 1 20 2 60 8 140 128

根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟. t t 解析:由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n=220,令 n=1000,得 220=1000,又 210=1024,所以时刻 t 最接近 200 分钟.答案:200 5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产 1 量为 f(n)=2n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生 产线拟定最长的生产期限是________年. 1 1 1 解析:由题知第一年产量为 a1=2×1×2×3=3;以后各年产量分别为 an=f(n)-f(n-1)=2n· (n+1)(2n+1)-2n· (n-1)(2n- 1)=3n2(n∈N*),令 3n2≤150,得 1≤n≤5 2?1≤n≤7,故生产期限最长为 7 年.答案:7 6.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收 费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意可得:

8+ 1 , x ∈(0,3] 9+( x-3)×2.15 , x ∈(3,8]
f(x) =

9+5 ×2.15 +( x-8)×2.85 , x ∈(8 , +∞ )
ABCD 中设计图案, 他分别以 A、 B、 C、 方形边上线段 ( 圆弧端点在正方形边 总长度的最小值为________. -8)b+12,l 关于 b 的一次函数的一 b 取最大值时,l 取得最小值,结合图

令 f(x)=22.6,解得 x=9.答案:9 7.(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 3 D 为圆心,以 b(0<b≤2)为半径画圆,由正方形内的圆弧与正 上的连线)构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分 解析:由题意实线部分的总长度为 l=4(3-2b)+2πb=(2π 次项系数 2π-8<0,故 l 关于 b 的函数单调递减,因此,当

3 3 形知,b 的最大值为2,代入上式得 l 最小=(2π-8)×2+12=3π.答案:3π 8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg,火箭(除燃料外)的质量 m kg 的函数关系是 v =2000· ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s. M M 解析:由题意得 2000ln(1+m )≤12000,∴m ≤e6-1.答案:e6-1 第五章 三角函数 第一节 角的概念的推广与弧度制 A组 π 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运动3弧长到达 Q 点,则 Q 为________. π 解析:由于点 P 从(-1,0)出发,顺时针方向运动3弧长到达 Q 点,如图,因此 Q 点 2π 2π 1 3 1 3 (cos 3 ,sin 3 ),即 Q(-2, 2 ).答案:(-2, 2 ) 2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α ① tan2 α α ② sin2 ③ cos2 ④ cos2α 的坐标为 点的坐标

α α 解析:α 为第四象限角,则 2为第二、四象限角,因此 tan2 <0 恒成立,应填① ,其余三个符号可正可负.答案:① 3.(2008 年高考全国卷Ⅱ改编)若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第_______象限的角. 答案:三 |sinx| cosx |tanx| 4.函数 y= sinx +|cosx|+ tanx 的值域为________. 解析:当 x 为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3; 当 x 为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1; 当 x 为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1; 当 x 为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:{-1,3} 3 5.(原创题)若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα·cosα= 4 ,则 a 的值为________. 3 3 解析: 依题意可知 α 角的终边在第三象限, 点 P(-4,a)在其终边上且 sinα·cosα= 4 ,易得 tanα= 3或 3 ,则 a=-4 3 4 4 或-3 3.答案:-4 3或-3 3 2 6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα= 4 y,求 cosα,tanα 的值. 2 y 解:因为 sinα= 4 y= ,所以 y2=5, (- 3)2+y2 6 15 当 y= 5时,cosα=- 4 ,tanα=- 3 ; 6 15 当 y=- 5时,cosα=- 4 ,tanα= 3 . B组 1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________.

2 解析:当 a>0 时,点 P(a,a)在第一象限,sinα= 2 ; 2 2 当 a<0 时,点 P(a,-a)在第二象限,sinα= 2 .答案: 2 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 解析:设扇形的圆心角为 α rad,半径为 R,则 2R+α·R=6 ? ? ?1 ,解得 α=1 或 α=4.答案:1 或 4 ?2R2·α=2 ? 3.如果一扇形的圆心角为 120°,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. 1 1 2 100 100 解析:S=2|α|r2=2×3π×100= 3 π(cm2).答案: 3 π cm2 θ 4.若角 θ 的终边与 168°角的终边相同,则在 0°~360°内终边与3角的终边相同的角的集合为__________.答案:{56°, 176°,296°} 5.若 α=k· 180°+45°(k∈Z),则 α 是第________象限. 解析:当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· 180°+225°=m· 360°+225°,故 α 为第三象限角;当 k=2m(m∈Z)时,α=m· 360° +45°,故 α 为第一象限角. 答案:一或三 6.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________. 解析:∵x=-6a,y=-8a,∴r= (-6a)2+(-8a)2=10|a|, y x -8a+6a -a 1 1 ∴sinα-cosα= r - r = 10|a| =5|a|=±5.答案:±5 y 7.(2010 年北京东城区质检)若点 A(x,y)是 300°角终边上异于原点的一点,则x的值为________. y 解析:x=tan300°=-tan60°=- 3.答案:- 3 3π 3π 8.(2010 年深圳调研)已知点 P(sin 4 ,cos 4 )落在角 θ 的终边上,且 θ∈*0,2π),则 θ 的值为________. 3π 3π 解析:由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ= 3π cos 4 7π 7π =- 1 , θ ∈ *0,2π) ,∴ θ = . 答案: 3π 4 4 sin 4 2 ,且 cosα<0,则 k 的值为________. 5

9.已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=kx 上,若 sinα= 解析:设 α 终边上任一点 P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx, ∴r= x2+(kx)2= 1+k2|x|.又 sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0, y kx k 2 ∴r=- 1+k2x,且 k<0.∴sinα= r = =- ,又 sinα= . 5 - 1+k2x 1+k2 k 2 ∴- = ,∴k=-2.答案:-2 5 1+k2

10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. π 10 解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60°=3,R=10,∴l= 3 π(cm),

1 10 1 π 3 S 弓=S 扇-S△=2·3 π·10-2· 102sin60°=50(3- 2 )(cm2). 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α, 2r+l=8, ? ? ? ? ?r=3, ?r=1 (1)由题意可得?1 解得? 或? ?l=2, ?l=6, ? ? ?2lr=3, ? l 2 l ∴α=r=3或 α=r=6. 8 1 1 64 32 (2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r= .∴S 扇=2αr2=2α· = ≤4, 4 2+α (2+α)2 α+α+4 4 8 当且仅当 α=α,即 α=2 时,扇形面积取得最大值 4.此时,r= =2 (cm), 2+2 ∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm). 第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 A组 3 π 1.若 cosα=-5,α∈(2,π),则 tanα=________. 3 π 4 sinα 4 解析:cosα=-5,α∈(2,π),所以 sinα=5,∴tanα=cosα=-3. 4 答案:-3 4 2.(2009 年高考北京卷)若 sinθ=-5,tanθ>0,则 cosθ=________. 4 3 解析:由 sinθ=-5<0,tanθ>0 知,θ 是第三象限角,故 cosθ=-5. 3 答案:-5 π 3 π 3.若 sin(6+α)=5,则 cos(3-α)=________. π π π π 3 3 解析:cos(3-α)=cos[2-(6+α)+=sin(6+α)=5.答案:5 5sinx-cosx 4.(2010 年合肥质检)已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 5sinx-cosx 5tanx-1 9 解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴ = = . 2sinx+cosx 2tanx+1 5 9 答案:5 5.(原创题)若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________. 1 解析:由 cos2θ+cosθ=0,得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ=-1 或 cosθ=2,当 cosθ=-1 时,有 sinθ=0,当 cosθ

1 3 =2时,有 sinθ=± 2 .于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3.答案:0 或 3或- 3 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)=169,且 α∈(4,2),求 cosα,sinα 的值. 120 解:由题意,得 2sinαcosα=169.① 又∵sin2α+cos2α=1,② 289 49 ① +② 得:(sinα+cosα)2=169,② -① 得:(sinα-cosα)2=169. π π 又∵α∈(4,2),∴sinα>cosα>0,即 sinα+cosα>0,sinα-cosα>0, 17 7 ∴sinα+cosα=13.③ sinα-cosα=13,④ 12 5 ③ +④ 得:sinα=13.③ -④ 得:cosα=13. B组 1.已知 sinx=2cosx,则 sin2x+1=________. 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 9 解析:由已知,得 tanx=2,所以 sin2x+1=2sin2x+cos2x= = = .答案:5 sin2x+cos2x tan2x+1 5 10π 2.(2010 年南京调研)cos 3 =________. 10π 4π π 1 1 解析:cos 3 =cos 3 =-cos3=-2.答案:-2 3 π sin2α 3.(2010 年西安调研)已知 sinα=5,且 α∈(2,π),那么cos2α的值等于________. 3 2×5 4 sin2α 2sinαcosα 2sinα 3 解析:cosα=- 1-sin2α=-5, cos2α= cos2α = cosα = 4=-2. -5 3 答案:-2 sinα+cosα 4.(2010 年南昌质检)若 tanα=2,则 +cos2α=_________________. sinα-cosα sinα+cosα sinα+cosα tanα+1 cos2α 1 16 16 解析: +cos2α= + = + = 5 .答案: 5 sinα-cosα sinα-cosα sin2α+cos2α tanα-1 tan2α+1 π 5.(2010 年苏州调研)已知 tanx=sin(x+2),则 sinx=___________________. 5-1 5-1 π 解析:∵tanx=sin(x+2)=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得 sinx= 2 .答案: 2 6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. 解析: 由 cosθ(sinθ+cosθ)=1?sinθ·cosθ=1-cos2θ=sin2θ?sinθ(sinθ-cosθ)=0?sinθ=0 或 sinθ-cosθ=0, 又∵θ∈[0, π π π),∴θ=0 或4.答案:0 或4 π 1 7π 7.已知 sin(α+12)=3,则 cos(α+12)的值等于________. 7π π π π 1 解析:由已知,得 cos(α+12)=cos*(α+12)+2]=-sin(α+12)=-3.

1 答案:-3 8.(2008 年高考浙江卷改编)若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________. 解析:由?

?cosα+2sinα=- 5, ?sin2α+cos2α=1, ②



2 5 5 将① 代入② 得( 5sinα+2)2=0,∴sinα=- 5 ,cosα=- 5 ,∴tanα=2. 答案:2 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ 2 ) 31π 9.已知 f(α)= ,则 f(- 3 )的值为________. cos(-π-α) sinα·cosα·cotα 31 π 1 1 解析:∵f(α)= =-cosα,∴f(- 3 π)=-cos3=-2.答案:-2 -cosα 2π 4π 10.求 sin(2nπ+ 3 )·cos(nπ+ 3 )(n∈Z)的值. 2π 4π 2π π 解:(1)当 n 为奇数时,sin(2nπ+ 3 )·cos(nπ+ 3 )=sin 3 · cos[(n+1)π+3] π π π π 3 1 3 =sin(π-3)· cos3=sin3· cos 3= 2 ×2= 4 . 2π 4π 2π 4π π π π π 3 1 3 (2)当 n 为偶数时,sin(2nπ+ 3 )·cos(nπ+ 3 )=sin 3 · cos 3 =sin(π-3)·cos(π+3)=sin3· (-cos3)= 2 ×(-2)=- 4 . 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角.

?sinA= 2sinB, 解:由已知,得? ? 3cosA= 2cosB,
2 ① 2+② 2 得:2cos2A=1,即 cosA=± 2 .

① ②

2 3 π π 7 2 (1)当 cosA= 2 时,cosB= 2 ,又 A、B 是三角形内角,∴A=4,B=6,∴C=π-(A+B)=12π.(2)当 cosA=- 2 时,cosB 3 3 5 π π 7 =- 2 .又 A、B 是三角形内角,∴A=4π,B=6π,不合题意.综上知,A=4,B=6,C=12π. 12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). π cos( 2-α)· sin(π+2α) (1)若 a∥b, 且 α∈*0,2π), 将 m 表示为 α 的函数, 并求 m 的最小值及相应的 α 值; (2)若 a⊥b, 且 m=0, 求 cos(π-α) 的值. π 解:(1)∵a∥b,∴ 3cosα-1·(sinα-m)=0,∴m=sinα- 3cosα=2sin(α-3). π 又∵α∈*0,2π),∴当 sin(α-3)=-1 时,mmin=-2. π 3 11 此时 α-3=2π,即 α= 6 π. 3 (2)∵a⊥b,且 m=0,∴ 3sinα+cosα=0.∴tanα=- 3 .

π cos( 2-α)· sin(π+2α) sinα·(-sin2α) ∴ = =tanα·2sinα·cosα cos(π-α) -cosα 2sinα·cosα 2tanα 1 =tanα· =tanα· = . sin2α+cos2α 1+tan2α 2 第三节 A组 正弦函数与余弦函数的图像与性质

π 1.(2009 年高考四川卷改编)已知函数 f(x)=sin(x-2)(x∈R),下面结论错误的是. π ① 函数 f(x)的最小正周期为 2π② 函数 f(x)在区间[0,2]上是增函数 ③ 函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④ 函数 f(x)是奇函数 π 解析:∵y=sin(x-2)=-cosx,y=-cosx 为偶函数, π ∴T=2π,在[0,2]上是增函数,图象关于 y 轴对称.答案:④ π 2.(2009 年高考广东卷改编)函数 y=2cos2(x-4)-1 是________. π π ① 最小正周期为 π 的奇函数 ② 最小正周期为 π 的偶函数 ③ 最小正周期为2的奇函数 ④ 最小正周期为2的偶函数 π π 解析:y=2cos2(x-4)-1=cos(2x-2)=sin2x,∴T=π,且为奇函数. 答案:① π 3.(2009 年高考江西卷改编)若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x<2,则 f(x)的最大值为________. sinx π 解析:f(x)=(1+ 3· cosx=cosx+ 3sinx=2sin(x+6), cosx)· π π π 2π π π ∵0≤x<2,∴6≤x+6< 3 ,∴当 x+6=2时,f(x)取得最大值 2.答案:2 π 4.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x=12,则 a 的值为________. π π π π 3 解析:∵x=12是对称轴,∴f(0)=f(6),即 cos0=asin3+cos3,∴a= 3 . 3 答案: 3 π 5.(原创题)设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x=3对称,它的最小正周期是 π,则 f(x)图象上的一个对称中 心是________(写出一个即可). 2π π π π 解析:∵T= ω =π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线 x=3对称,所以有 sin(2×3+φ)=±1,∴φ=k1π-6(k1∈Z),由 π π π π π sin(2x+k1π-6)=0 得 2x+k1π-6=k2π(k2∈Z),∴x=12+(k2-k1)2,当 k1=k2 时,x=12,∴f(x)图象的一个对称中心 π π 为(12,0).答案:(12,0)

3 6.(2010 年宁波调研)设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- 2 . (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在*0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. 3 1 3 3 1 π 解:(1)f(x)= 2 (cos2x+1)+2sin2x- 2 = 2 cos2x+2sin2x=sin(2x+3), π π π 5 π 故 T=π.由 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z),得 kπ-12π≤x≤kπ+12, 5 π 所以单调递增区间为*kπ-12π,kπ+12](k∈Z). π π π π π (2)令 f(x)=1,即 sin(2x+3)=1,则 2x+3=2kπ+2(k∈Z).于是 x=kπ+12(k∈Z),∵0≤x<3π,且 k∈Z,∴k=0,1,2,则12 π π 13π +(π+12)+(2π+12)= 4 . 13 ∴在*0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 4 π. B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin(3x+2)+sin3x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 2x 2x 2x π 2π T 3π 3π 解析:f(x)=cos 3 +sin 3 = 2sin( 3 +4),相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,T= 2 =3π,∴2= 2 .答案: 2 3 π 2.(2010 年天津河西区质检)给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x=3对称.则下列四个函数中,同时具有性 质 ab 的是________. x π ① y=sin(2+6) π ② y=sin(2x+6) π ③ y=sin|x| ④ y=sin(2x-6)

2π π π π π 解析:④ 中,∵T= ω =π,∴ω=2.又 2×3-6=2,所以 x=3为对称轴. 答案:④ π π 3.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)若4<x<2,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为__. π π 2tan4x 2(t+1)2 1 解析:4<x<2,tanx>1,令 tan2x-1=t>0,则 y=tan2xtan3x= = =-2(t+ t +2)≤-8,故填-8.答案:- 1-tan2x -t 8 2 4.(2010 年烟台质检)函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[-3π,θ+上的最大值为 1,则 θ 的值是________. 2π 解析:因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[- 3 ,θ+上的最大值为 1,可知 θ 只 π π 能取-2. 答案:-2 2π 2π 5.(2010 年苏北四市调研)若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[- 3 , 3 ]上单调递增,则 ω 的最大值为________. 2π 2π 3 3 3 解析:由题意,得4ω≥ 3 ,∴0<ω≤4,则 ω 的最大值为4.答案:4

π π 6.(2010 年南京调研)设函数 y=2sin(2x+3)的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[-2,0],则 x0=________. π π π π 解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y=2sin(2x0+3)=0,x0∈[-2,0],得 x0=-6.答案:-6 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为2,直线 x=3是其图象的一条对称轴,则下 面各式中符合条件的解析式是________. π π π π ① y=4sin(4x+6)② y=2sin(2x+3)+2③ y=2sin(4x+3)+2 ④ y=2sin(4x+6)+2
?A+m=4 ? 2π π 解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0,所以? ,解得 A=m=2,又最小正周期为 ω =2,所以 ω=4, ? m - A = 0 ?

π π π 4π π 5π 又直线 x=3是其图象的一条对称轴,将 x=3代入得 sin(4×3+φ)=±1,所以 φ+ 3 =kπ+2(k∈Z),即 φ=kπ- 6 (k∈Z), π 当 k=1 时,φ=6.答案:④ π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin2x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的最小值是 ________. π 5 解析:函数 y=sin2x 的周期 T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则 t≥4T=5.答案:5 9. (2009 年高考安徽卷改编)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0), y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是________. π 解析:∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+6),且由函数 y=f(x)与直线 y=2 的两个相邻交点间的距离为 π 知,函数 y=f(x) 2π π π π π π π 的周期 T=π, ∴T= ω =π, 解得 ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+6). 令 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z), 得 kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z). 答 π π 案:*kπ-3,kπ+6](k∈Z) 10.已知向量 a=(2sinωx,cos2ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 f(x)图象的相邻两对称轴间的距 π π 离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[6,3],恒有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 的取值范围. π 解: (1)f(x)=a· b=(2sinωx, cos2ωx)·(cosωx,2 3)=sin2ωx+ 3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+3)+ 3.∵相邻两对称轴的距离为 π, 2π 1 ∴2ω=2π,∴ω=2, π ∴f(x)=2sin(x+3)+ 3. π π π π 2π (2)∵x∈[6,3],∴x+3∈[2, 3 ],∴2 3≤f(x)≤2+ 3.又∵|f(x)-m|<2, π π ∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意 x∈[6,3],恒有|f(x)-m|<2 成立,则有

?-2+m≤2 3, ? 解得 3≤m≤2+2 3. ?2+m≥2+ 3,
11.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m).

(1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π+上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0,6]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. π 解:(1)∵f(x)=a· b=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+6)+m+1, 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π 2π 在[0,π+上的单调递增区间为[0,6],[ 3 ,π+. π π (2)当 x∈[0,6]时,∵f(x)单调递增,∴当 x=6时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m+3=4,解之得 m=1,∴m 的值为 1. ωx 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2 2 +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π+时,函数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB+cos(A-C),求 sinA 的值. π 解:(1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+6)-1+m. 2π 2 依题意,函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 ω =3π,解得 ω=3. 2x π ∴f(x)=2sin( 3 +6)-1+m. π 2x π 5π 1 2x π 当 x∈[0,π+时,6≤ 3 +6≤ 6 ,2≤sin( 3 +6)≤1, 2x π ∴f(x)的最小值为 m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin( 3 +6)-1. 2C π 2C π (2)由题意,得 f(C)=2sin( 3 +6)-1=1,∴sin( 3 +6)=1. π 2C π 5π 2C π π π π 而6≤ 3 +6≤ 6 ,∴ 3 +6=2,解得 C=2.∴A+B=2. π 在 Rt△ABC 中,∵A+B=2,2sin2B=cosB+cos(A-C). -1± 5 5-1 ∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得 sinA= 2 .∵0<sinA<1,∴sinA= 2 . 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com) 第四节 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像 A组 1.(2009 年高考浙江卷改编)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________. 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u

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2π 解析:函数的最小正周期为 T=|a|,∴当|a|>1 时,T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图形中周期与振幅的关系,发现④ 不符合要求.答案:④ π 2.(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin(x-6)的图象,则 φ 等 于________. π π 11π 11π 解析:y=sin(x-6)=sin(x-6+2π)=sin(x+ 6 ).答案: 6 3. 将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位, 所得图象对应的函数为奇函数, 则 φ 的最小值为________. π 解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x-6),f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小值 5π 为6. 5π 答案: 6 4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π), 命题的序号为________. π ① 函数 f(x)的最小正周期为2; ② 函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③ 函数 f(x)的一条对称轴方程为 x=12π; π 7 ④ 函数 f(x)的单调递增区间为[12,12π+; 2 ⑤ 函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x-3π). T 5π π 7π 7π 2π 解析:据图象可得:A= 3,2= 6 -3?T=π,故 ω=2,又由 f(12)= 3?sin(2×12+φ)=1,解得 φ=2kπ- 3 (k∈Z), 2π 2π 7π 又-π<φ<π,故 φ=- 3 ,故 f(x)= 3sin(2x- 3 ),依次判断各选项,易知① ② 是错误的,由图象易知 x=12是函数图象的 π 7π 一条对称轴,故③ 正确,④ 函数的单调递增区间有无穷多个,区间[12,12]只是函数的一个单调递增区间,⑤ 由上述推导易 知正确.答案:③ ⑤ π 6.(2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx·sin(ωx+2)+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右侧的第一个最高 x∈R 的部分图象,则下列命题中,正确

π 点的横坐标为6. (1)求 ω; π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移6个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y =g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 3 1 3 π 3 解:(1)f(x)= 2 sin2ωx+2cos2ωx+2=sin(2ωx+6)+2, π π π 令 2ωx+6=2,将 x=6代入可得:ω=1. π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+6)+2, 1 π 3 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin(2x-6)+2, 4 5 当 x=4kπ+3π,k∈Z 时,函数取得最大值2. π 1 π 3 令 2kπ+2≤2x-6≤2kπ+2π(k∈Z), 4π 10 ∴4kπ+ 3 ≤x≤4kπ+ 3 π(k∈Z). 4π 10 即 x∈*4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 π+,k∈Z 为函数的单调递减区间. B组 1.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________. T 3 解析:由图可知,2=2π-4π, 5 2π 5 4 ∴T=2π,∴ ω =2π,∴ω=5, 4 ∴y=sin(5x+φ). 4 3 又∵sin(5×4π+φ)=-1, 3 ∴sin(5π+φ)=-1, 3 3 ∴5π+φ=2π+2kπ,k∈Z. 9 ∵-π≤φ<π,∴φ=10π. 9 答案:10π φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ

2 . (2010 年南京调研 ) 已知函数 y = sin(ωx + =________. 2π π 解析:由图象知 T=2( 3 -6)=π. 2π π π π π π ∴ω= T =2,把点(6,1)代入,可得 2×6+φ=2,φ=6.答案:6

π 3.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象, 只要将 y=f(x)的图象________.

π 解析:∵f(x)=sin(ωx+4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, 2π ∴ ω =π,故 ω=2. π π π π 又 f(x)=sin(2x+4)∴g(x)=sin[2(x+8)+4]=sin(2x+2)=cos2x. π 答案:向左平移8个单位长度 4 . (2009 年 高 考 辽 宁 卷 改 编 ) 已 知 函 数 f(x) = 则 f(0)=________. T 11 7 π 2π 解析:2=12π-12π=3,∴ω= T =3. 7 又(12π,0)是函数的一个上升段的零点, 7 3π π ∴3×12π+φ= 2 +2kπ(k∈Z),得 φ=-4+2kπ,k∈Z, π 2 2 2 2 代入 f(2)=-3,得 A= 3 ,∴f(0)=3. 2 答案:3 π 2 Acos(ωx+φ) 的图象如图所示, f(2)=-3,

π π 5.将函数 y=sin(2x+3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(-12,0)中心对称. π π π π 解析:由 y=sin(2x+3)=sin2(x+6)可知其函数图象关于点(-6,0)对称,因此要使平移后的图象关于(-12,0)对称,只 π π 需向右平移12即可.答案:右 12 6. (2010 年深圳调研)定义行列式运算: ?

? 3 cosx? ?a1 a2? 将函数 f(x)=? ?的图象向左平移 m 个单位(m>0), ?=a1a4-a2a3, ?a3 a4? ?1 sinx ?

若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是________. 3 1 π 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( 2 sinx-2cosx)=2sin(x-6), π π π 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x-6+m),平移后其对称轴为 x-6+m=kπ+2,k∈Z.若为偶函数,则 x=0, 2π 2π 2π 所以 m=kπ+ 3 (k∈Z),故 m 的最小值为 3 .答案: 3 π π 3π 3π 5π 7.给出三个命题:① 函数 y=|sin(2x+3)|的最小正周期是2;② 函数 y=sin(x- 2 )在区间*π, 2 ]上单调递增;③ x= 4 是函 5π 数 y=sin(2x+ 6 )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是________. π π π 3π 解析:由于函数 y=sin(2x+3)的最小正周期是 π,故函数 y=|sin(2x+3)|的最小正周期是2,① 正确;y=sin(x- 2 )=cosx, 3π 5π 5π 5π 5π π 5π 5π 3 该函数在*π, 2 )上单调递增, ② 正确;当 x= 4 时,y=sin(2x+ 6 )=sin( 2 + 6 )=sin(2+ 6 )=cos 6 =- 2 ,不等于函 5π 5π 数的最值,故 x= 4 不是函数 y=sin(2x+ 6 )的图象的一条对称轴,③ 不正确.答案:2

πx 8.(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 时,不等式 sin 2 ≥kx ________. πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 2 的图象如图所示,y=kx 的 下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1]上的图象恒在 x 轴下方, πx 当 k>0,kx≤sin 2 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. πx 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sin 2 ≥kx.答案:k≤1

恒成立,则实数 k 的取值范围是

图象在 [0,1] 之间的部分应位于此图象 原不等式成立.

2π 9.(2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 3 .(1)求 ω 的值;(2)若函数 y=g(x) π 的图象是由 y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. π 2π 2π 解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx·cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin(2ωx+4)+2,依题意,得2ω= 3 , 3 故 ω=2. π π 5π (2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x-2)+4]+2= 2sin(3x- 4 )+2. π 5π π 2 π 2 7π 由 2kπ-2≤3x- 4 ≤2kπ+2(k∈Z),解得3kπ+4≤x≤3kπ+12(k∈Z). 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为[3kπ+4,3kπ+12](k∈Z). π 10.(2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ<2)的周期为 π,且图象上一个最低点为 2π M( 3 ,-2). π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0,12]时,求 f(x)的最值. 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( 3 ,-2)得 A=2.由 T=π 得 ω= T = π =2. 2π 4π 4π 由点 M( 3 ,-2)在图象上得 2sin( 3 +φ)=-2,即 sin( 3 +φ)=-1, 4π π 11π π π ∴ 3 +φ=2kπ-2(k∈Z),即 φ=2kπ- 6 ,k∈Z.又 φ∈(0,2),∴φ=6, π ∴f(x)=2sin(2x+6). π π π π π π π π π (2)∵x∈[0,12],∴2x+6∈[6,3],∴当 2x+6=6,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;当 2x+6=3,即 x=12时,f(x)取得 最大值 3. π 11.(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|<2. π 3π (1)若 cos4cosφ-sin 4 sinφ=0,求 φ 的值;

π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3,求函数 f(x)的解析式;并求最小正实数 m,使 得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数. π 3π π π 解:法一:(1)由 cos4cosφ-sin 4 sinφ=0 得 cos4cosφ-sin4sinφ=0, π π π 即 cos(4+φ)=0.又|φ|<2,∴φ=4. π T π 2π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+4).依题意,2=3,又 T= ω ,故 ω=3, π ∴f(x)=sin(3x+4).函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 π π π g(x)=sin[3(x+m)+4],g(x)是偶函数当且仅当 3m+4=kπ+2(k∈Z), kπ π π 即 m= 3 +12(k∈Z).从而,最小正实数 m=12. 法二:(1)同法一. π T π 2π (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+4).依题意,2=3.又 T= ω ,故 ω=3, π ∴f(x)=sin(3x+4). π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+4]. g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π 亦即 sin(-3x+3m+4)=sin(3x+3m+4)对 x∈R 恒成立. π π ∴sin(-3x)cos(3m+4)+cos(-3x)· sin(3m+4) π π =sin3xcos(3m+4)+cos3xsin(3m+4), π π π π kπ π 即 2sin3xcos(3m+4)=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+4)=0,故 3m+4=kπ+2(k∈Z),∴m= 3 +12(k∈Z),从而,最小 π 正实数 m=12. 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com) 第六章 三角恒等变形 第一节 同角三角函数的基本关系 A组 5 10 1.已知 sinα= 5 ,sin(α-β)=- 10 ,α、β 均为锐角,则 β 等于________. π π 3 10 解析:∵α、β 均为锐角,∴-2<α-β<2,∴cos(α-β)= 1-sin2(α-β)= 10 . w 5 5 2 5 w ∵sinα= 5 ,∴cosα= 1-( 5 )2= 5 . w 2 . ∴sinβ=sin*α-(α-β)+=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 2 . k s 5 u .

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π π π ∵0<β<2,∴β=4.答案:4 π 3 3 2.已知 0<α<2<β<π,cosα=5,sin(α+β)=-5,则 cosβ 的值为________. π π π 3 4 4 解析:∵0<α<2,2<β<π,∴2<α+β<2π.∴sinα=5,cos(α+β)=-5, 4 3 3 4 24 24 ∴cosβ=cos*(α+β)-α+=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-5)×5+(-5)×5=-25.答案:-25 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 sin(α+β) =________. cos(α-β)

sin(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ 解析:tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,则 = cos(α-β) cosαcosβ+sinαsinβ = tanα+tanβ 3 3 3 = =-2.答案:-2 1+tanαtanβ 1-3

π 4 7π 4.(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α-6)+sinα=5 3,则 sin(α+ 6 )的值是___. 3 1 4 1 3 4 解析:由已知得 2 cosα+2sinα+sinα=5 3,即2cosα+ 2 sinα=5, π 4 7 π 4 4 得 sin(α+6)=5,sin(α+6π)=-sin(α+6)=-5.答案:-5 5.(原创题)定义运算 a π 解析:sin12 1+2 3 案:- 4 π α α 6 6.已知 α∈(2,π),且 sin2 +cos2= 2 . 3 π (1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=-5,β∈(2,π),求 cosβ 的值. α α 6 1 解:(1)因为 sin2+cos2 = 2 ,两边同时平方得 sinα=2. π 3 又2<α<π.所以 cosα=- 2 . π π π π π (2)因为2<α<π,2<β<π,所以-π<-β<-2,故-2<α-β<2. 3 4 又 sin(α-β)=-5,得 cos(α-β)=5. cosβ=cos*α-(α-β)+=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 4 3+3 3 4 1 3 =- 2 ×5+2×(-5)=- 10 . B组 cos2α 1+tanα 1. · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα 解析: cos2α 1+tanα cos2α-sin2α 1+tanα · = · 1+sin2α 1-tanα (sinα+cosα)2 1-tanα π b=a2-ab-b2,则 sin12 π cos12=________.

1+2 3 π π π π π π π 1 π π π 1 π cos12=sin212-sin12cos12-cos212=-(cos212-sin212)-2×2sin12cos12=-cos6 -2sin6=- 4 .答



cosα-sinα 1+tanα 1-tanα 1+tanα · = · =1. sinα+cosα 1-tanα 1+tanα 1-tanα

sin2x-2sin2x π 3 2.已知 cos(4+x)=5,则 的值为________. 1-tanx π 3 3 解析:∵cos(4+x)=5,∴cosx-sinx=5 2, sin2x-2sin2x 2sinx(cosx-sinx) 18 7 7 ∴1-sin2x=25,sin2x=25,∴ = =sin2x=25. 1-tanx cosx-sinx cosx π π 3.已知 cos(α+3)=sin(α-3),则 tanα=________. π π π 1 3 π 解析:cos(α+3)=cosαcos3-sinαsin3=2cosα- 2 sinα,sin(α-3) π π 1 3 =sinαcos3-cosαsin3=2sinα- 2 cosα, 1 3 1 3 由已知得:(2+ 2 )sinα=(2+ 2 )cosα,tanα=1. π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈(4, 4 ),β∈(0,4),cos(α-4)=5,sin( 4 +β)=13,则 sin(α+β)=________. π 3π π π π 3 π 4 解析:α∈(4, 4 ),α-4∈(0,2),又 cos(α-4)=5,∴sin(α-4)=5. π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∵β∈(0,4),∴ 4 +β∈( 4 ,π).∵sin( 4 +β)=13,∴cos( 4 +β)=-13, π 3π ∴sin(α+β)=-cos*(α-4)+( 4 +β)+ π 3π π 3π 3 12 4 5 56 =-cos(α-4)· cos( 4 +β)+sin(α-4)· sin( 4 +β)=-5×(-13)+5×13=65, 56 即 sin(α+β)=65. 1 1 π 5.已知 cosα=3,cos(α+β)=-3,且 α,β∈(0,2),则 cos(α-β)的值等于________. π 1 7 4 2 解析:∵α∈(0,2),∴2α∈(0,π).∵cosα=3,∴cos2α=2cos2α-1=-9,∴sin2α= 1-cos22α= 9 ,而 α,β∈(0, π 2 2 ) ,∴ α + β ∈ (0 , π) ,∴ sin(α + β) = 1 - cos2( α + β ) = 2 3 ,∴cos(α-β)=cos*2α-(α+β)+=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α 7 1 4 2 2 2 23 +β)=(-9)×(-3)+ 9 × 3 =27. π 1+ 2cos(2α-4) 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα=5,则 =________. π sin(α+2) π 2 2 1+ 2cos(2α-4) 1+ 2( 2 cos2α+ 2 sin2α) 2cos2α+2sinαcosα 3 4 解析:∵α 在第一象限,且 cosα=5,∴sinα=5,则 = = = π cosα cosα sin(α+2)

4 3 14 2(sinα+cosα)=2(5+5)= 5 . π 2 π 7.已知 a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈(2,π),若 a· b=5,则 tan(α+4)的值为________. 2 3 π 4 解析:a· b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=5,∴sinα=5,又 α∈(2,π),∴cosα=-5,tanα 3 π tanα+1 1 =-4,∴tan(α+4)= = . 1-tanα 7 tan10°tan70° 8. 的值为______. tan70°-tan10°+tan120° tan70°-tan10° 解析:由 tan(70°-10°)= = 3, 1+tan70°· tan10° 故 tan70°-tan10°= 3(1+tan70°tan10°),代入所求代数式得: tan70°tan10° tan70°tan10° tan70°tan10° 3 = = =3 . 3(1+tan70°tan10°)+tan120° 3(1+tan70°tan10°)- 3 3tan70°tan10° π sin(α+4)

9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 π sin(α+4) 1 2 解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=-4,∴ =4cosα=- 2. sin2α+cos2α+1 cos20° 10.求值: sin20°· cos10°+ 3sin10°tan70°-2cos40°. cos20°cos10° 3sin10°sin70° 解:原式= sin20° + -2cos40° cos70° = = = = cos20°cos10°+ 3sin10°cos20° -2cos40° sin20° cos20°(cos10°+ 3sin10°) -2cos40° sin20° 2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°) -2cos40° sin20° 2cos20°sin40°-2sin20°cos40° =2. sin20°

x x 11.已知向量 m=(2cos2,1),n=(sin2,1)(x∈R),设函数 f(x)=m· n-1. 5 3 (1)求函数 f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)=13,f(B)=5,求 f(C)的值. x x x x 解:(1)f(x)=m· n-1=(2cos2,1)· (sin2,1)-1=2cos2sin2+1-1=sinx. ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 5 3 (2)∵f(A)=13,f(B)=5,∴sinA=13,sinB=5. 12 4 ∵A,B 都为锐角,∴cosA= 1-sin2A=13,cosB= 1-sin2B=5. ∴f(C)=sinC=sin*π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

5 4 12 3 56 56 =13×5+13×5=65.∴f(C)的值为65. π π 1 4 12.(2010 年南京调研)已知:0<α<2<β<π,cos(β-4)=3,sin(α+β)=5. π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+4)的值. π π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos(β-4)=cos4cosβ+sin4sinβ= 2 cosβ+ 2 sinβ=3, 2 2 7 ∴cosβ+sinβ= 3 ,∴1+sin2β=9,∴sin2β=-9. π π 7 法二:sin2β=cos(2-2β)=2cos2(β-4)-1=-9. π π π 3π π 3π π (2)∵0<α<2<β<π,∴4<β-4< 4 ,2<α+β< 2 ,∴sin(β-4)>0,cos(α+β)<0. π 1 4 π 2 2 3 ∵cos(β-4)=3,sin(α+β)=5,∴sin(β-4)= 3 ,cos(α+β)=-5. π π π π ∴cos(α+4)=cos*(α+β)-(β-4)]=cos(α+β)cos(β-4)+sin(α+β)sin(β-4) 3 1 4 2 2 8 2-3 =-5×3+5× 3 = 15 . 第六章 第二节 A组 三角恒等变形 两角和与差及二倍角的三角函数

3 π π 5π 1.若 sinα=5,α∈(-2,2),则 cos(α+ 4 )=________. π π 3 4 5π 2 2 解析:由于 α∈(-2,2),sinα=5得 cosα=5,由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ 4 )=- 2 (cosα-sinα)=- 10 . 3 2.已知 π<θ<2π,则 1 1 2+2 1 1 2+2cosθ =________.

3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< 2 ,∴2<2< 4 ,4<4< 8 . 1 1 2+2 = 1 1 2+2cosθ= 1 1 2+2 θ cos22

1 1 θ θ - cos = sin 2 2 2 4.

cos10°+ 3sin10° 3.(2010 年南京市调研)计算: =________. 1-cos80° cos10°+ 3sin10° 2cos(10°-60°) 2cos50° 解析: = = = 2. 2sin240° 2sin40° 1-cos80° 4.(2009 年高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1 π = 2sin(2x+4)+1≥1- 2.

1 1 5.(原创题)函数 f(x)=(sin2x+2010sin2x)(cos2x+2010cos2x)的最小值是________. (2010sin4x+1)(2010cos4x+1) 解析:f(x)= 20102sin2xcos2x = 20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+1 20102sin2xcos2x

2011 2 2 =sin2xcos2x+20102sin2xcos2x-2010≥2010( 2011-1). π π 6.已知角 α∈(4,2),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. π π (1)求 tan(α+4)的值;(2)求 cos(3-2α)的值. 解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈(4,2),∴tanα=3,sinα=5,cosα=5, 4 3+1 π (1)tan(α+4)= π= 4=-7. 1-tanαtan4 1-3 7 24 (2)cos2α=2cos2α-1=-25,sin2α=2sinαcosα=25, π π π 1 7 3 24 24 3-7 cos(3-2α)=cos3cos2α+sin3sin2α=2×(-25)+ 2 ×25= 50 . B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)=5,tan(β-4)=4,则 tan(α+4)=_____. 2 1 -4 5 π π 3 解析:tan(α+4)=tan*(α+β)-(β-4)]= π = 2 1=22. 1+tan(α+β)tan(β-4) 1+5×4 1 2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则 的值为________. cos2α+sin2α sin2α+cos2α 9sin2α+sin2α 10 1 解析:由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则 = = = . cos2α+sin2α cos2α+2sinαcosα 9sin2α-6sin2α 3 6 3.设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c= 2 ,则 a、b、c 的大小关系是 解析:a= 2sin59°,c= 2sin60°,b= 2sin61°,∴a<c<b. 1 3 1 3 3 或 a2=1+sin28°<1+2=2,b2=1+sin32°>1+2=2,c2=2,∴a<c<b. 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 5.若 tanα+tanα= 3 ,α∈(4,2),则 sin(2α+4)的值为_________. 1-tan2α π 2 2tanα 3 4 π 解析:由题意知,tanα=3,sin(2α+4)= 2 (sin2α+cos2α),而 sin2α= =5,cos2α= =-5.∴sin(2α+4) 1+tan2α 1+tan2α π tan(α+β)-tan(β-4) π tanα+tan4

23 4 2 = 2 (5-5)=- 10 . 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=2sin4x,所以 T= 4 =2. 2cos5°-sin25° 7.(2010 年无锡质检) 的值为________. cos25° 2cos(30°-25°)-sin25° 3cos25° 解析:由已知得:原式= = cos25° = 3. cos25° 8.向量 a=(cos10°,sin10°),b=(cos70°,sin70°),|a-2b|=________________. 解析:|a-2b|2=(cos10°-2cos70°)2+(sin10°-2sin70°)2=5-4cos10°cos70°-4sin10°sin70°=5-4cos60°=3,∴|a-2b| = 3. 1-cos2α 1 9.(2010 年江苏省南通市调研)已知 sinαcosα =1,tan(β-α)=-3,则 tan(β-2α)=________. 1-cos2α 1-tan2α 1 2tanα 1 解析:因为 sinαcosα =1,即 1- = × ,所以 2tanα=1,即 tanα=2,所以 tan(β-2α)=tan(β-α-α)= 1+tan2α 2 1+tan2α 1 1 -3-2 tan(β-α)-tanα = 1 =-1. 1+tan(β-α)tanα 1-6 sin2α+cos2(π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+4)的值;(2) 的值. 1+cos2α π 1+tanα π 1+2 解:(1)∵tan(α+4)= ,tanα=2,∴tan(α+4)= =-3. 1-tanα 1-2 sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α 2sinα+cosα 1 5 (2) = = 2cosα =tanα+2=2. 2cos2α 1+cos2α 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在 3 4 的交点,△AOB 是正三角形,若点 A 的坐标为(5,5),记 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α 3 4 解:(1)∵A 的坐标为(5,5),根据三角函数的定义可知, 1+2sinαcosα 49 2cos2α =18. 3 1 4 3 3-4 3 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60°.∴cos∠COB=cos(α+60°)=cosαcos60°-sinαsin60°.=5×2-5× 2 = 10 , 3-4 3 7+4 3 ∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos∠COB=1+1-2× 10 = 5 . 12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB sinC sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= ,即cosC= , cosA+cosB cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, sinA+sinB ,sin(B-A)=cosC.(1)求角 A, cosA+cosB 1+sin2α 4 3 sinα = 5 , cosα = 5 , ∴ = 1+cos2α 第一、二象限,点 C 是圆与 x 轴正半轴 ∠COA=α.

得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C=3,所以 B+A= 3 . 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC=2,则 B-A=6或 B-A= 6 (舍去), π 5π π π 得 A=4,B=12.故 A=4,C=3. 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC=2acsinB= ac=3+ 3,又sinA=sinC,即 = , 8 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3. 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com) 第七章 解三角形 第一节 正弦定理与余弦定理 高 1.(2008·陕西理,3)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,b= 6 ,B=120°,则 a 等于 考 ( ) 资 源 A. 6 B.2 C. 3 D. 2 w 网 答案 D w ( w w . w 2.(2008·福建理,10)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3 ac,则角 B 的值为( k w ? ? ? ? 5 ? 2 ? s . 6 A. 5 B. 3 C. 6 或 6 D. 3 或 3 k 答案 u D s 3.下列判断中正确的是 ( ) . 5 A.△ ABC 中, a=7 , b=14 , A=30 ° , 有两解 c u B.△ ABC 中, a=30,b=25,A=150 °,有一解 o . C.△ ABC 中, a=6,b=9 , A=45 °,有两解 m c D.△ ABC 中, b=9,c=10,B=60 ° , 无解 o 来 答案 B m 源 4. : 在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 ( ) ) A.等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 高 答案 考 B sin B 资 5. 源 在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 sin C 的值为 ( ) 8 5 5 3 网 5 8 3 5 A. B. C. D. 答案 D 6.△ABC 中,若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C 的度数是 A.60° B.45°或 135° C.120° 答案 B ( D.30° )

)

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7 ,c= 3 ,则 B= 答案
5? 6

.

8. 在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为 答案
10 3

.

9. (2008·浙江理,13)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA= 答案
3 3

.

10. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 和 c. 解 ∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解.

3 sin 45? a sin B 3 2 b 2 由正弦定理得 sinA= = = ,

则 A 为 60°或 120°. ①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,
b sin C

2 sin 75?

2 sin( 45? ? 30?)

6? 2

sin 45? 2 c= sin B = sin 45? = = ②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,
b sin C 2 sin 15? sin B sin 45? = c= =

.

2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 sin 45? 2 = .

6? 2 6? 2 2 2 故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c= 或 A=120°,C=15°,c= .
cos B b 11. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos C =- 2a ? c .

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积. 解
a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 2ac 2ab (1)由余弦定理知:cosB= ,cosC= .

a2 ? c2 ? b2 2ab b b cos B 2 2 2 cos C 2 a ? c 2 ac a ? b ? c 2 a 将上式代入 =得: · =- ? c a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 2 ac 2 ac 整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB= = =- 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= 3 ? . 2 13 (2)将 b= ,a+c=4,B= 3 ? 代入 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac-2accosB

? 1? 1 3 3 ?1 ? ? 2 ? ,∴ac=3.∴S△ABC= 2 acsinB= 4 . ∴b2=16-2ac ?

12. 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B) ,判断三 角形的形状. 解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B) ]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为:sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA

∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 ?
? ? 得 2A=2B 或 2A= -2B,即 A=B 或 A= 2 -B,∴△ABC 为等腰或直角三角形.

方法二 同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB
b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 2bc 2ac 由正、余弦定理,可得 a2b = b2a

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)

即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b 或 a2+b2=c2∴△ABC 为等腰或直角三角形. 13. 已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,求 tanC 的值. 解 依题意得 absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.
C C 2 所以,absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC,所以 2sin cos 2 C =4cos2 2

C 2 4 C 2 C 1 ? tan 2 =- 3 . 化简得:tan 2 =2.从而 tanC= 2 tan

14. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差数列,且 2cos2B-8cosB+5=0,求角 B 的大小 并判断△ABC 的形状. 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
1 3 1 ? 2 2 2 ? 解得 cosB= 或 cosB= (舍去).∴cosB= .∵0<B< ,∴B= 3 .

a2 ? c2 ? b2 2ac ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.∴cosB= =

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 1 2 2ac =2,

? 化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c.又∵B= 3 ,∴△ABC 是等边三角形.

方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
1 3 1 ? 2 2 2 ? 解得 cosB= 或 cosB= (舍去).∴cosB= ,∵0<B< ,∴B= 3 ,

? ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin 3 = 3 .
? 2? ? 2? 2? ? A? ? cos A sin A 3 3 ? ? 3 ∴sinA+sin = ,∴sinA+sin -cos 3 = 3.

?? ? 3 3 ?A? ? 6? 3 ? 2 2 化简得 sinA+ cosA= ,∴sin =1.
? ? ? ? ∴A+ 6 = 2 ,∴A= 3 ,∴C= 3 ,∴△ABC 为等边三角形.

15. (2008·广东五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7 ,且 4sin2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.
A? B 7 7 C 2 2 2 解 (1)∵A+B+C=180°,由 4sin2 -cos2C= ,得 4cos2 -cos2C= 2 , 1 ? cos C 7 1 2 2 ∴4· -(2cos2C-1)= ,整理,得 4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC= 2 ,

A? B 7 2 -cos2C= 2 .

∵0°<C<180°,∴C=60°.

(2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab,
1 1 3 3 3 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= 2 absinC= 2 ×6× 2 = 2 .

高中数学一轮复习资料 第八章 数列 1 .已知数列

?an ? 满足条件 ( n ? 1 )an?1 ? ( n ? 1 )( an ? 1 ) , 且 a2 ? 6 , 设 bn ? an ? n , 那么数列 ?an ? 的通项公式是

a n ? 2n2 ? n
2、x= ab 是 a、x、b 成等比数列的( A.充分非必要 B.必要非充分 D ) 条件 D.既非充分又非必要 )

C.充要

3、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a ? R, a ? 0 ),则数列{an} ( C

A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是等比 D.既非等差又非等比 4、弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛,使剩下的弹子尽可能的少,那么剩余的 弹子有 ( B ) A. 0 颗 B.4 颗 C.5 颗 D.11 颗 5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元,为还清这笔贷款,该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还确定的金额,计划恰好在贷款的 m 年后还清,若银行按年利息为 p 的复利计息(复 利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息) ,则该学生家长每年的偿还金额是 ( D )

a A. m
6、已知 7、数列 则 a11 ?

ap(1 ? p) m?1 m ?1 ?1 B. (1 ? p)

ap(1 ? p) m?1 pm ?1 C.

ap(1 ? p) m m D. (1 ? p) ? 1
3 , n? 6

?an ?为等比数列, a1 ? 2, q ? 3 ,又第 m 项至第 n 项的和为 720 (m ? n) ,则 m ? ?an ?对任意 n ? N * 都满足 an?2 2 ? an ? an?4 ,且 a3 ? 2, a7 ? 4, an ? 0 ,
8

f ( x) ?
8、已知函数

7 1 1 1 x2 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 2 2 3 4 1 ? x ,那么

9、一个项数为偶数的等比数列,首项是 1,且所有奇数项之和是 85,所有偶数项之和是 170,则此数列共有___8 _项 10、在各项为正数的等比数列

?an ?中,已知 a3 ? a4 ? 11a2 ?a 4 ,且前 2n 项的和等于它的前 2n 项中偶数项之和的 11 倍,
1 10n ? 2
。 。 12 项。

则数列

?an ?的通项公式 an ?

| a | ? | a2 | ? ?? | a30 | 的值为 765 11、已知数列 ?a n ? 中, a1 ? ?60, a n ?1 ? a n ? 3 ,那么 1
12、等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 0 ,且 3a8 ? 5a13 ,则 {S n } 中最大项为

S 20

13、已知一个等差数列前五项的和是 120,后五项的和是 180,又各项之和是 360,则此数列共有

f ( x) ?
14 、 设

1 3 ? 3 , 利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 前 n 项 和 的 公 式 的 方 法 , 可 求 得 :
x

f (?12) ? f (?11) ? f (?10) ? ? ? f (0) ? ? ? f (11) ? f (12) ? f (13) 的值为
15、已知数列

13 3 3
1 ? (2n ? 1)2 n

?an ?的通项 an ? (2n ?1) ? 2 n?1 ,前 n 项和为 S n ,则 S n =



1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 ,? 16、数列 1 ? 2 2 ? 4 3 ? 6 4 ? 8 前 n 项的和等于
2

3 2n ? 3 ? 4 2( n ? 1)(n ? 2)

。 )

17、已知数列

{an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是等比数列,则其公比为( B

18、已知在数列

?an ? 中, a1 ? 1, a2n ? qa2n?1,a2n?1 ? a2n +d

( q、d ? R,q >0) .

a ,a a (1)若 q ? 2, d ? ?1, 求 3 4 并猜测 2006 ;
(2)若

?a2n ?1?是等比数列,且 ?a2n ?是等差数列,求 q, d 满足的条件.
? a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a2 ? 1 ? 1, a4 ? 2a3 ? 2,?猜测 a2006 ? 2 .
0)

解: (1) (2)由

a2n ? qa2n ?1,a2n ?1 ? a2n + d (q, d 喂R, q

,得

a2n ?1 ? qa2n ?1 ? d .

a ? qa2n ?1 , ?a2n ?1?是等比数列. 当 d ? 0 时,显然 2n ?1 a ? 1 时, ?a2n ?1?才是等比数列. 当 d ? 0 时,因为 a1 ? 1, 只有 2n ?1
由 由 当

a2n ?1 ? qa2n ?1 ? d ,得 q ? d ? 1, 即 d ? 0, q ? 0 ,或 q + d = 1 .

a2n ? qa2n ?1,a2n ?1 ? a2n ?2 ? d



a2n ? qa2n ? 2 ? qd(n ? 2) .

q ? 1, a2n ? a2n ?2 ? d (n ? 2) ,显然 ?a2 n ?是等差数列,

当 q ? 1 时, a2 ? qa1 ? q , 只有 由

a2 n ? q 时, ?a2 n ?才是等差数列.

a2n ? 2 ? q(a2n ? d ) ,得 q ? d ? 1, 即 q ? 1, q ? d ? 1.

综上所述: q + d = 1 . 19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310,前 20 项和是 1220,试求其前 n 项和。

解 : 由 题 设 :

S10 ? 310

S 20 ? 1220

得 :

? 10a1 ? 45d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1220

?a ? 4 ?? 1 ?d ? 6



S n ? 4n ?

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

第九章 平面向量 1.已知三个向量 a=(cos ? 1 ,sin ? 1 ),b=(cos ? 2 ,sin ? 2 ),c=

(cos? 3

,sin ? 3 ),满足 a ? b ? c ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为

2 ? 3
2、 .下列命题: (1)若 a 与 b 为非零向量,且 a∥b 时,则 a—b 必与 a 或 b 中之一的方向相同; (2)若 e 为单位向量,且 a∥e,则 a=|a|e; (3)a·a·a=|a|3 (4)若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线 (5)若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AC+BD=BC+AD 正确的命题个数为( D ) A、1 B、2 C、3 D、0

? ? ? ? ? ? B e A B 3、若 o 为平行四边形 ABCD 的中心, =4 1, C ? 6e2 , 则3e2 ? 2e1 等于( B ? ? ? ? A. AO B. B O C. CO D. DO



19 ? ? ? ? ? 4、若 a ? (5,?7), b ? (?1,2) ,且( a ? ?b ) ? b ,则实数 ? 的值为______ 5 ______.
5、已知 | a |?| b |? 2 , a 与 b 的夹角为 3 ,则 a ? b 在 a 上的投影为

?

3



6、在直角坐标平面上,向量 OA ? (4,1) ,向量 OB ? (2,?3) ,两向量在直线 l 上的正射影长度相等,则直线 l 的斜率为

3或 -

1 2
1 1 (??,? ) ? (? ,2) 2 2

7、设平面向量 a =(-2,1), b =(1, ? ),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是



8、 .已知向量 OB ? (2,0), OC ? (2,2), CA ? ( 2 cos ? , 2 sin? ) ,则向量 OA, OB 的夹角范围是

[

, ] 12 12

? 5?


?

9、将函数 y ? 2 x 的图象按向量 a 平移后得到 y ? 2 x ? 6 的图象,给出以下四个命题:

a 的坐标可以是 (?3,0) ; ① a 的坐标可以是 (0,6) ; ③
上述说法正确的是 10、已知 ?ABC 中,
?

?

a 的坐标可以是 (?3,0) 和 (0,6) ; ② a 的坐标可以有无数种情况。 ④

?

?

①②③④

CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0, S ?ABC ?

15 , | a |? 3, | b |? 5 0 4 ,则 a 与 b 的夹角为 150



11、若△ABC 三边长 AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 等于

?5

。 .

12.已知 | a |? 4, | b |? 3, a, b 的夹角为 120°,且 c ? a ? 2b , d ? 2a ? kb ,当 c ? d 时,k= 13.已知 A(3,y) ,B( ? 5 ,2) ,C(6, ? 9 )三点共线,则 y=_________. 14. 若 a =(1,2) , b =( ? 3 ,2) , k 为何值时: (1)k a + b 与 a -3 b 垂直; (2)k a + b 与 a -3 b 平行?

15. 已知| a |=4,| b |=3, (2 a -3 b ) · (2 a + b )=61,求:(i) a 与 b 的夹角θ ; (ii) | a ? 2b | .

16. 已知 ?ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2) ,B(2,3) ,C(-2,5) ,求 cos A .

2 2 2 2 a b 17. 设 =(sinx-1,cosx-1) , =( , ). (1)若 a 为单位向量,求 x 的值; (2)设 f(x)= a · b ,则函数

y=f(x)的图象是由 y=sinx 的图象如何平移得到?

3 3 x x ? a ? (cos x,sin x), b ? (cos , ? sin ) x ?[0, ] 2 2 2 2 ,且 2 . 18.已知
a?b (i)求 a ? b 及 ;
第十章 算法 第一节 程序框图 A组 (ii)求函数

f ( x) ? a ? b ? a ? b sin x

的最小值.

1.(2009 年高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图,

运行相应的程序, 输出的结果是________.

解析:试将程序分步运行: 1 第一循环:S= =-1,n=2; 1-2 1 1 第二循环:S= = ,n=3; 1-(-1) 2 1 第三循环:S= 1=2,n=4.答案:4 1-2 2. (2009 年高考宁夏、 海南卷改编)如果执行如图的程序框图, 输入 x=-2, h=0.5, 那么输出的各个数的和等于________. 解析:由框图可知,当 x=-2 时,y=0; 当 x=-1.5 时,y=0;当 x=-1 时,y=0; 当 x=-0.5 时,y=0;当 x=0 时,y=0; 当 x=0.5 时,y=0.5;当 x=1 时,y=1; 当 x=1.5 时,y=1;当 x=2 时,y=1. ∴输出的各数之和为 3.5. 答案:3.5 3.(2009 年高考山东卷改编)执行下面的程序框图,输出的 T=________.

第2题 解析:据框图依次为: S=5, ? ? ?n=2, ? ?T=2, S=10, ? ? ?n=4, ? ?T=6, S=15, ? ? ?n=6, ? ?T=12,

第3题 S=20, ? ? ?n=8, ? ?T=20, S=25, ? ? ?n=10, ? ?T=30,

故此时应输出 T=30.答案:30 4.(2010 年南京市高三调研)阅读下面的流程图,若输入 a=6,b=1,则输出的结果是________. 解析:a=6,b=1,则 x=5>2,再次进入循环得 a=4,b=6,此时 x=2,退出循环.故输出 2.答案:2 5.(2010 年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 的值是多少?

第5题 第6题 解析:由循环结构可得 S=100+99+…+3+2=5049. 故输出的变量 S 的值为 5049.答案:5049 6.(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头 a 指向① 时,输出的结果为 S=m,当箭头 a 指向② 时,输出的结 果为 S=n,求 m+n 的值. 解:(1)当箭头 a 指向① 时,输出 S 和 i 的结果如下: S 0+1 0+2 0+3 0+4 0+5 i 2 3 4 5 6 ∴S=m=5. (2)当箭头 a 指向② 时,输出 S 和 i 的结果如下: S 0+1 0+1+2 0+1+2+3 0+1+2+3+4 i 2 3 4 5 S 0+1+2+3+4+5 i 6 ∴S=n=1+2+3+4+5=15,于是 m+n=20. B组 1.(2010 年温州调研)如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 s=720,则在判断框中应填入的关于 k 的判断条件 是__________. 解析:s=10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8,判断条件为“是”时进入循环体,7≥8 判断条件为“否”,跳出循环,输出 s.答案:k≥8

(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2.若 R=8,则下列流程图的运行结果为___4___. 3.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等,则 x 的可能值的个数为________.

解析:x≤2 时,x2=x,∴x=0 或 x=1;2<x≤5 时,2x-3=x,∴x=3; 1 x>5 时,x =x,∴x=-1 或 x=1(都舍去).所以共有 3 个可取值.答案:3 4.如图,该程序运行后输出的结果为________. 解析:A=1≤9,“是”,则 S=0+1,A 变为 2;A=2≤9,“是”,则 S=0+1+2,A 变为 3;…;A=9≤9,“是”,则 S=0+1 +…+9,A 变为 10;A=10≤9,“否”,则输出 S=45. 答案:45 5.已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断框内① 处应填____. 解析:a=1 时进入循环,此时 b=21=2;a=2 时再进入循环,此时 b=22=4;a=3 时再进入循环,此时 b=24=16, ∴a=4 时应跳出循环,∴循环满足的条件为 a≤3,∴填 3. 答案:3

(第 4 题) (第 5 题) (第 6 题) 6.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是________. 解析:A=1≤M,“是”,则 S=2×1+1=3,A 变为 2; A=2≤M,“是”,则 S=2×3+1=7,A 变为 3; A=3≤M,“是”,则 S=2×7+1=15,A 变为 4; A=4≤M,“是”,则 S=2×15+1=31,A 变为 5; A=5≤M,“是”,则 S=2×31+1=63,A 变为 6; A=6≤M,“否”,则跳出循环,故填 5. 7.(2009 年高考广东卷改编)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 5 a5 6 a6

下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填______,输出的 s=______. (注:框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“:=”)

(第 7 题)

(第 8 题)

解析:由题意该程序框图实际上是求该 6 名队员在最近三场比赛中投进三分球总数,故判断框应填 i≤6 或 i<7,输出 s 为 a1+a2+a3+a4+a5+a6. 8.(2009 年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是________. 解析:由程序框图的条件结构知:x>1 时,y=x-2;x≤1 时,y=2x.
? ?2x (x≤1), 故 y=? ?x-2 (x>1). ?

9.某流程如图所示,现输入如下四个函数 1 ① f(x)=x2;② f(x)=x ;③ f(x)=lnx;④ f(x)=sinx. 则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________. 解析:由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时,输出与输入函数必是同一函数,分析上述四个函数,易知只有 y=sinx 满足条件.答案:④

(第 9 题)

(第 10 题)

π π ? ? ? π 3π 10.如图所示的算法中,令 a=tanθ,b=sinθ,c=cosθ,若在集合?θ -4<θ< 4 ,θ≠0,4,2 ?中,给 θ 取一个值,输 ? ? ? 出的结果是 sinθ,求 θ 值所在的范围. π 3 解:由框图知,要输出 a、b、c 中最大的,当 θ∈(2,4π)时,sinθ 最大. π 3 ∴θ 值所在的范围为(2,4π). 1 1 1 1 11.画出计算 1+2+3+…+9+10值的一个算法的流程图.

(第 11 题) (第 12 题) 12.到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时,银行要收取一定的手续费.汇款额不超过 100 元,收取 1 元手续费; 超过 100 元但不超过 5000 元,按汇款额的 1%收取;超过 5000 元,一律收取 50 元手续费.设计算法求汇款额为 x 元时, 银行收取的手续费 y 元,只画出流程图. 1 (0<x≤100), ? ? 解:要计算手续费,首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式,依题意知 y=?x×0.01 (100<x≤5000), ? ?50 (5000<x≤1000000). 流程图如上图所示. 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com)

第十章 算法 第二节 程序语句 A组 1.(2010 年徐州调研)如图,给出一个算法的伪代码, w w w . k s 5 u . c o m 来 源 : 高 考 资 源

T←1 I←3 While I<50 T←T+I I←I+2

高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

则 f(-3)+f(2)=____-8____. Input x If x<0 Then y←(x + 1)(x - 1) Else y←(x-1)2 End If Print y End

End While Print T

(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2.输入 x=5,运行下面的程序之后得到的 y 等于___16_____. 3.(2010 年泰州质检)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为___625_____. 4.(2009 年高考安徽卷改编)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是___127_____. Input n S←0 I←1 While________ S←S+I I←I+1 Wend Print “S=”;S End Input x If x≤0 Then f(x)←4x Else f(x)←2x End If Print f(x) 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 (第 4 题) (第 5 题) (第 6 题) 5. (原创题)编写程序求 S=1+2+3+…+n 的和(n 由键盘输入), 程序如图, 则横线上应填_____ I≤n ___. 6.(2009 年高考江苏卷改编)下图是一个算法的流程图,求最后输出的 W 的值. 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com)

w w w . 解:第一次:T=1,S=12 k -0=1; s 5 u .

第二次:T=3,S=32-1=8; 第三次:T=5,S=52-8=17. 此时满足 S≥10. 所以 W=S+T=17+5=22. B组 1.右面程序执行后输出的结果是___0_____. 2.下列程序的功能是:判断任意输入的数 x 是否是正数,若是,输出它的平方值;若不是,输出它的 相反数.则填入的条件应该是_____ x≤0___. x←Input(“x=”) If________ y←-x; Else y←x2 End If Print y

n←5 S←0 While S<15 S←S+n n←n-1 End While Print n

3.程序如下: a←Input(“a=”) b←Input(“b=”) c←Input(“c=”) a←b b←c c←a Print a,b,c 若输入 10,20,30,则输出结果为____20,30,20____. 4.(2010 年南通调研)程序如下: t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i+1 End While Print t 以上程序输出的结果是____24____. 5.有下面算法: 5.有下面算法: p←1 For k From 1 To 10 Step 3 p←p+2×k-6 End For Print p

则运行后输出的结果是____21____. 6.(2010 年南京第一次调研)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为___5_____. S←1 I←1 While S<5 I+1 S←S× I I←I+1 End While Print I 1 1 1 7.现欲求 1+3+5+…+ 的和(其中 n 的值由键盘输入),已给出了其程序框图,请将其补充完整并设计出程序. 2n-1 1 解:① i←i+1 ② S←S+ 2i-1 程序如下: Input n S←0 i←0 While i<n i←i+1 1 S←S+ 2i-1 Wend Print S End

8.已知函数 y=x2+2x(x∈[-10,10],x∈Z),编写程序,求该函数的最大值.

第十一章

不等式

x 1}, 若A ? B ? ?, 则实数a 的取值范围为 2、已知 a>0,集合A ? {x || x ? 2 | <a}, B ? {x | a >

A、 ( 2,?? )

B(0,1)

C、 (0,1) ? ( 2,?? )

D、 (0,1) ? (1,?? )

3、已知奇函数 f ( x)在(??,0)上单调递减,且f (2) ? 0, 则不等式( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0的解集为

?x | ?3 ? x ? ?1? A、

?x | ?1 ? x ? 1或1 ? x ? 3? C、 ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? B、

y

?x | ?3 ? x ? 1或x ? 2?4、 f ( x) 是定义在(0,3)上的函 D、

数, f ( x) 的图象如图所示,则不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集 A. (0,1) ? (2,3)B. C. (0,1) ? 2
( ,3) (1,

?
2

)?(

?
2

,3)
O

1

.

?

.

2

. 3

x

D. (0,1) ? (1,3)

3 2 5、函数 f ( x ) 在(-1,1)上有定义且 f ( x) ? x ? x,当f (1 ? a) ? f (1 ? a )>0时a 的取值范围为

A、 (-2,1)

B、 (0, 2 )

C、 (0,1)

D、 (-2, 2 )

6、已知函数 f ( x) ?| log 3 x | ,若 f ( x) ? f (3.5) ,则 x 的取值范围为
2 7 (0, ) ? (1, ) 7 2 A、 7 ( ,?? ) B、 2 2 7 (0, ) ? ( ,?? ) 7 2 C、 2 7 ( , ) 7 2 D、

2 7、设奇函数 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数,且 f ( ?1) ? ?1 ,若函数 f ( x) ? t ? 2at ? 1 对所有的 x ? [ ?1,1] 都成立,当 a ? [ ?1,1] 时 t

的取值范围为 A、[-2,2] B、
[? 1 , 1 ]
2 2

C、 (?? ,?2]?]2,?? ) ? {0}

D、

(??,? 1 ] ? [ 1 ? ?) ? {0}
2 2

?x ? 0, y ? 0 (a, b)在区域? 内,则点(a ? b, a ? b) ? x? y ? 2 8、设点 所在的区域的面积为

y

A、1 B、2 C、4 D、8 9、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) , a(1, z ? x ? ay 目标函数 取得最优解有无数个,则 a 的一个可能值为 O 1) A、-3 B、3 D、-1 D、1
2 10、若关于 x 不等式 x | x ? a |? 2a (a ? (??,0)) 的解集为

C(4, 2) B(5, 1)

x



2 2 11 、 若 关 于 x 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的解集为? ? x ? ?,其中? ? ? ? 0,则不等式cx ? bx ? a ? 0 的 解 集




( ?? ,3]

12、 若关于 x 不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1 | <a的解集为?,则a 的取值范围是

, 若此不等式有解, 则 a 的取值范围是

(3, ?? )

f ( x) ? 0的解集为 (m, n),g ( x) ? 0的解集为 (m , n ),其中 0?m? n 2 2 2, 13、 f ( x )、 g ( x ) 为定义域为 R 的奇函数,不等式
则不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集为
ax ? 5
2 2 14、已知关于 x 的不等式 x ? a


<0的解集为M, 3 ? M且5 ? M , 则实数a的

取值范围为 ; ;



4 2 15、不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为

16、已知

x, y ? R?且x ? y ? 4, 则使不等式 1 ? x

4 y

?m

恒成立的实数 m 的取值范围为
b?2 a ?1

2 17、关于 x 的方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两根分别在区间(0,1)与(1,2),则

的取值范围为



18、设 19、设 20、设

x, y ? R?且x ? y ? 1, 则xy ?

1 xy

的最小值为 的最大值为


; ;

x, y ? R? 且x2 ?

1 4

y 2 ? 1, 则x 1 ? y 2

a ? b ? 0,则a 2 ?

16 的最小值为 b ( a ?b )
ax

21、解关于 x 的不等式 x?1

?1

第十二章 立体几何 第一节 简单几何体 A组 1.下列命题中,不正确的是______. ① 棱长都相等的长方体是正方体 ② 有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 ③ 有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 ④ 底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 解析:由平行六面体、正方体的定义知① ④ 正确;对于② ,相邻两侧面垂直于底面,则侧棱垂直于底面,所以该棱柱为直棱 柱,因而② 正确;对于③ ,若两侧面平行且垂直于底面,则不一定是直棱柱.答案:③ 2.(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体 的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图的平面图形,则标“△”的面的方位是________.

解析:将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让东面指向东, 让“上”面向上可知“△”的方位为北.答案:北 3.(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号). ① 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ② 由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③ 若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④ 任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积; ⑤ 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析: ② 中的四面体如果对棱垂直, 则垂足是△BCD 的三条高线的交点; ③ 中如果 AB 与 CD 垂直, 则两条高的垂足重合. 答 案:① ④ ⑤ 4.下列三个命题,其中正确的有________个. ① 用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;② 两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③ 有两个面互相平行,其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台. 解析:① 中的平面不一定与底面平行,② ③ 可用反例图去验证.答案:0 5.下面命题正确的有________个. ① 长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 ② 过圆锥侧面上一点有无数条母线 ③ 三棱锥的每个面都可以作为底面 ④ 圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形 解析:① ② 错,③ ④ 正确.① 错在绕一条直线,应该是绕长方形的一条边所在的直线;② 两点确定一条直线,圆锥的母线必过 圆锥的顶点,因此过圆锥侧面上一点只有一条母线.答案:2 6.如图所示,长方体的长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,5 cm,一只蚂蚁从 A 到 C1 点沿着表面爬行的最短距离是多少?

解:长方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面可如下图三种方法展开后,A、C1 两点间的距离分别为: (5+4)2+32=3 10, (5+3)2+42=4 5, (3+4)2+52= 74,三者比较得 74是从点 A 沿表面到 C1 的最短距离, ∴最短距离是 74 cm.

B组 1.(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________. ① 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ② 由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③ 若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④ 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤ 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析: ② 中的四面体如果对棱垂直, 则垂足是△BCD 的三条高线的交点; ③ 中如果 AB 与 CD 垂直, 则两条高的垂足重合. 答 案:① ④ ⑤ 2.下面是关于三棱锥的四个命题: ① 底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ② 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③ 底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④ 侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是______.(写出所有真命题的编号) 解析:对于① ,设四面体为 D-ABC,过棱锥顶点 D 作底面的垂线 DE,过 E 分别作 AB,BC,CA 边的垂线,其垂足依次为 F,G,H,连结 DF,DG,DH,则∠DFE,∠DGE,∠DHE 分别为各侧面与底面所成的角,所以∠DFE=∠DGE=∠DHE, 于是有 FE=EG=EH,DF=DG=DH,故 E 为△ABC 的内心,又因△ABC 为等边三角形,所以 F,G,H 为各边的中点,所 以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD,故 DA=DB=DC,故棱锥为正三棱锥.所以为真命题.对于② ,侧面为等腰 三角形,不一定就是侧棱为两腰,所以为假命题.对于③ ,面积相等,不一定侧棱就相等,只要满足斜高相等即可,所以 为假命题.对于④ ,由侧棱与底面所成的角相等,可以得出侧棱相等,又结合① 知底面应为正三角形,所以为真命题.综 上,① ④ 为真命题.答案:① ④ 3.关于如图所示几何体的正确说法为________. ① 这是一个六面体 ② 这是一个四棱台 ③ 这是一个四棱柱 ④ 这是一个四棱柱和三棱柱的组合体 ⑤ 这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱 答案:① ② ③ ④ ⑤ 4.(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD,下列命题正确 的是________. ① 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ② 由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③ 若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合;

④ 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤ 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析: ② 中的四面体如果对棱垂直, 则垂足是△BCD 的三条高线的交点; ③ 中如果 AB 与 CD 垂直, 则两条高的垂足重合. 答 案:① ④ ⑤ 5.给出以下命题:① 底面是矩形的四棱柱是长方体;② 直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥;③ 四棱 锥的四个侧面可以都是直角三角形.其中说法正确的是__________. 解析:命题①不是真命题,因为底面是矩形,若侧棱 不垂直于底面,这时四棱柱是斜四棱 柱;命题②不是真命题,直角三角形绕着它的一条直 角边旋转一周形成的几何体叫做圆 锥,如果绕着它的斜边旋转一周,形成的几何体则是 两个具有共同底面的圆锥;命题③是 真命题,如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,则可以得到 四个侧面都是直角三角形.故填③. 答案:③ 6.下列结论正确的是 ① 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ② 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③ 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥 ④ 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析:① 错误.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥. ② 错误.如图(2)(3)所示,若△ABC 不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.

③错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要 大于底面边长. ④正确.答案:④ 7.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60°,则该截面的面积是________. 解析:设截面的圆心为 O′ ,由题意得:∠OAO′ =60°,O′ A=1,S=π·12=π.答案:π 8.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是________. ① 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ② 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③ 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④ 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析:①如图,∵SA=SB=SC=SD,∴∠SAO=∠SBO=∠ SCO=∠SDO,即等腰四棱锥腰与底面所 成的角相等,正确;②等腰四棱锥的侧面与底面所成 的二面角相等或互补不一定成立;③如 图,由 SA=SB=SC=SD 得 OA=OB=OC=OD,即等腰四棱 锥的底面四边形存在外接圆,正确;④ 等腰四棱锥各顶点在同一个球面上,正确.故选② . 答案:② 9. (2008 年高考江西卷)如图(1), 一个正四棱柱形的密 闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的 正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有 a 升水时,水面 恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器 倒置,水面也恰好过点 P(图(2))

有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是:______(写出所有真命题的代号). 1 2 解析:设正四棱柱底面边长为 b,高为 h1,正四棱锥高为 h2,则原题图(1)中水的体积为 b2h2-3b2h2=3b2h2, 图(2)中水的体积为 b2h1-b2h2=b2(h1-h2), 2 5 所以3b2h2=b2(h1-h2),所以 h1=3h2,故 A 错误,D 正确. 对于 B,当容器侧面水平放置时,P 点在长方体中截面上,又水占容器内空间的一半,所以水面也恰好经过 P 点,故 B 25 2 正确.对于 C,假设 C 正确,当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,经计算得水的体积为36b2h2>3b2h2,矛盾,故 C 不 正确.答案:BD 10.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1,h2,h3,求 h1∶h2∶h3 的值. 解:选依题意,四棱锥为正四棱锥,三棱锥为正三棱锥,且棱长均相等,设为 a,h2=h3,h1= h2= 3 6 a2-( 3 a)2= 3 a, 2 2 a2-( 2 a)2= 2 a,

故 h1∶h2∶h3= 3∶2∶2. 11.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为 2,求该三角形的斜边 长. 解: 如图, 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, △ABC 为正三角形, 2 DF 为斜边,设 DF 长为 x,则 DE=EF= 2 x,作 DG⊥BB1, 则 EG = 2 DE2-DG2 = x2 2 -4 , FI = EF2-EI2 = 边长为 2,△DEF 为等腰直角三角形, HG⊥CC1,EI⊥CC1, x2 2 -4 , FH = FI + HI = FI + EG = +(2 x2 2 -4))2,解得 x=2 3.即该三

x2 2 -4,在 Rt△DHF 中,DF2=DH2+FH2,即 x2=4

角形的斜边长为 2 3. 12.(2009 年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体, 比值.

求地球上北纬 60°纬线长和赤道线长的

1 解:设地球的半径为 R,那么对应的赤道线的大圆的半径为 R,而对应的北纬 60°纬线所在的小圆的半径为2R,那么它们

1 1 对应的长度之比为2R∶R=2. 1 即所求比值为2. 第二节 空间图形的基本关系与公理 A组 1.以下四个命题中,正确命题的个数是________. ① 不共面的四点中,其中任意三点不共线; ② 若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③ 若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④ 依次首尾相接的四条线段必共面. 解析:① 正确,可以用反证法证明;② 从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③ 不正确,共面不具有传递性;④ 不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上.答案:1 2.给出下列四个命题: ① 如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; ② 两条直线可以确定一个平面; ③ 若 M∈α,M∈β,α∩ β=l,则 M∈l; ④ 空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. 其中真命题的个数为________. 解析:根据平面的基本性质知③ 正确.答案:1 3.(2009 年高考湖南卷改编)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为________. 解析:根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面,可得 CD、BC、BB1、AA1、C1D1 符合条件.答案:5 4. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P、 Q、 R 分别是 AB、 AD、 B1C1 的中点. 那么, 正方体的过 P、 Q、 R 的截面图形是________. 2 解析:边长是正方体棱长的 2 倍的正六边形.答案:正六边形 5.(原创题)已知直线 m、n 及平面 α,其中 m∥n,那么平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是:(1)一条 直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是________. 解析:如图 1,当直线 m 或直线 n 在平面 α 内且 m、n 所在平面与 α 垂直时不可能有符合题意的点;如图 2,直线 m、n 到已知平面 α 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 α 垂直,则已知平面 α 为符合题意的点;如图 3,直线 m、n 所 在平面与已知平面 α 平行,则符合题意的点为一条直线.

答案:(1)(2)(4) 6.如图,已知平面 α、β,且 α∩ β=l.设梯形 ABCD CD,l 共点(相交于一点). 证明:∵梯形 ABCD 中,AD∥BC,∴AB,CD 是 ∴AB,CD 必定相交于一点. 如图,设 AB∩CD=M. 又∵AB?α,CD?β, ∴M∈α ,且 M∈β , ∴M∈α ∩β . 又∵α ∩β =l,∴M∈l,

中, AD∥BC, 且 AB?α, CD?β.求证: AB, 梯形 ABCD 的两腰,

即 AB,CD,l 共点 B组 1.有以下三个命题: ① 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点; ② 直线 l 在平面 α 内,可以用符号“l∈α”表示; ③ 若平面 α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交,则 α 与 β 相交,其中所有正确命题的序号是______________. 解析:表示线与面的关系用“?”或“?”表示,故② 错误.答案:① ③ 2.(2010 年黄冈调研)下列命题中正确的是________. ① 若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线;② 若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直线共面;③ 空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面. 解析:在① 中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上,又在平面 α 上,所以这三点必在平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、 R 三点共线,故① 正确;在② 中,因为 a∥b,所以 a 与 b 确定一个平面 α,而 l 上有 A、B 两点在该平面上,所以 l?α,即 a、b、l 三线共面于 α;同理 a、c、l 三线也共面,不妨设为 β,而 α、β 有两条公共的直线 a、l,∴α 与 β 重合,即这些 直线共面,故② 正确;在③ 中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定 7 个平面,故③ 错.答案:① ② 3.对于空间三条直线,有下列四个条件: ① 三条直线两两相交且不共点② 三条直线两两平行③ 三条直线共点 ④ 有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有:________. 解析:易知① 中的三条直线一定共面,④ 中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三 条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:① ④ 4.(2008 年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得________. ① a?α,b?α ② a?α,b∥α ③ a⊥α,b⊥α ④ a?α,b⊥α 解析:不相交的直线 a、b 的位置有两种:平行或异面.当 a、b 异面时,不存在平面 α 满足① 、③ ;又只有当 a⊥b 时④ 才 成立.答案:② 5.正方体 AC1 中,E、F 分别是线段 C1D、BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是________. 解析:直线 AB 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF?平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.答案:相 交 6.(2010 年湖南郴州调研)设 α,β,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ① 若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α; ② 若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β; ③ 若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α; ④ 若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________. 解析:① 错误,l 可能在平面 α 内;② 正确,l∥β,l?γ,β∩ γ=n?l∥n?n⊥α,则 α⊥β;③ 错误,直线可能与平面相交;④ 正确.故填② ④ .答案:② ④ 7.(2009 年高考广东卷改编)给定下列四个命题: ① 若一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④ 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是________. 解析:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故① 不对;由平面与平面垂直的判定定理可知 ② 正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,相交也可以异面,故③ 不对;若两个平面垂直,只有在一个平面 内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直, 故④ 正确.答案:② ④ 8.(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如图所示,正方 体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段

2 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 2 ,则下列结论中错误的是________. ① AC⊥BE ② EF∥平面 ABCD ③ 三棱锥 A-BEF 的体积为定值 ④ 异面直线 AE,BF 所成的角为定值 解析:∵AC⊥平面 BB1D1D,又 BE?平面 BB1D1D, ∴AC⊥BE.故① 正确. ∵B1D1∥平面 ABCD,又 E、F 在直线 D1B1 上运 ∴EF∥平面 ABCD.故② 正确. ③ 中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变, 故△BEF 2 为 2 ,故 VA-BEF 为定值. 当点 E 在 D1 处,F 为 D1B1 的中点时, 建立空间直角坐标系, 如图所示, 可得 A(1,1,0), 1 → 1 -1,1),B F =(2,-2,1), 3 2 3 6 3 → → → → → → ∴A E · B F =2.又|AE|= 2,|BF|= 2 ,∴cos〈A E ,B F 〉= =2, 2· 6 2 ∴AE 与 BF 成 30°角.当 E 为 D1B1 中点,F 在 B1 处时, 1 ? → ? 1 → ?1 1 ? 此时 E 2,2,1 ,F(0,1,1),∴A E = -2,-2,1 ,B F =(0,0,1), ? ? ? ? → → → ∴A E · B F =1,|A E |= 3 → → 2,∴cos〈A E ,B F 〉= 2 6 3 错. 3= 3 ≠ 2 .故④ α ,B∈β ,A、B 到 l 的距离分别是 a 内的射影分别是 m 和 n.若 a>b, 则θ → ?1 1 ? B(0,1,0), E(1,0,1), F 2,2,1 .∴A E =(0, ? ?

动, 的面积为定值. 又点 A 到平面 BEF 的距离

答案:④ 9.(2008 年高考陕西卷改编)如图,α ⊥β ,α ∩β =l,A∈ 和 b,AB 与α 、β 所成的角分别是θ 和φ ,AB 在α 、β 与φ 的大小关系为______,m 与 n 的大小关系为______. 解析:AB 与 β 成的角为∠ABC=φ, AB 与 α 成的角为∠BAD=θ, a sin φ=sin∠ABC=|AB|, b sinθ=sin∠BAD=|AB|. ∵a>b,∴sinφ>sinθ.∴θ<φ. AB 在 α 内的射影 AD= AB2-b2, AB 在 β 内的射影 BC= AB2-a2, ∴AD.BC,即 m>n. 答案:θ<φ m>n 10.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F

分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩ BD=P,

A1C1∩ EF=Q,若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,试确定 R 点的位置. 解:在正方体 AC1 中,连结 PQ, ∵Q∈A1C1,∴Q∈平面 A1C1CA.又 Q∈EF, ∴Q∈平面 BDEF,即 Q 是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点, 同理, P 也是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点. ∴平面 A1C1CA∩ 平面 BDEF=PQ. 又 A1C∩ 平面 BDEF=R, ∴R∈A1C, ∴R∈平面 A1C1CA, R∈平面 BDEF. ∴R 是 A1C 与 PQ 的交点.如图. 11.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 为平面 BCC1B1 的中心. (1)过 O 作一直线与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q(只写 (2)求 PQ 的长. 解:(1)连结 ON,由 ON∥AD 知,AD 与 ON 确定一 图所示). ∵三个平面 α,β 和 ABCD 两两相交,有三条交线 不平行且共面. ∴DA 与 CM 必相交,记交点为 Q,∴OQ 是 α 与 β 连结 OQ 与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q, 故直线 OPQ 即为所求作的直线. (2)在 Rt△APQ 中,易知 AQ=1,又易知△APQ ∽ AP AQ 5 5 ∴PN=NO=2,AN= 2 ,∴AP= 3 , 14 ∴PQ= AQ2+AP2= 3 . 12.(2008 年高考四川卷)如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD, 1 1 BAD=∠FAB=90°,BC 綊2AD,BE 綊2FA,G、H 分别为 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (3)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. 解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 1 1 所以 GH 綊2AD.又 BC 綊2AD,故 GH 綊 BC.所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠ FA、FD 的中点. 中,M 为 AB 的中点,N 为 BB1 的中点,O 作法,不必证明); 个平面 α.又 O、 C、 M 三点确定一个平面 β(如 OP、CM、DA,其中交线 DA 与交线 CM 的交线.

△OPN,

1 由 BE 綊2AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF,所以 EF∥ 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面. 又点 D 在直线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共面. (3)证明:连结 EG.由 AB=BE,BE 綊 AG 及∠BAG=90°

BG.



ABEG 是正方形, 故 BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB 两两垂直,故 AD⊥平面 FABE, 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影.根据三垂线定理,BG⊥ED. 又 ED∩ EA=E,所以 BG⊥平面 ADE. 由(1)知,CH∥BG,所以 CH⊥平面 ADE. 由(2)知 F∈平面 CDE,故 CH?平面 CDE,得平面 ADE⊥平面 CDE. 第三节 平行关系 A组 1.已知 m、n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,下列命题中的真命题是_. ① 如果 m?α,n?β,m∥n,那么 α∥β ② 如果 m?α,n?β,α∥β,那么 m∥n ③ 如果 m?α,n?β,α∥β 且 m,n 共面,那么 m∥n ④ 如果 m∥n,m⊥α,n⊥β,那么 α⊥β 解析:m?α,n?β,α∥β?m,n 没有公共点.又 m,n 共面, 所以 m∥n.答案:③ 2.已知 m、n 是不同的直线,α、β 是不重合的平面,给出下列命题: ① 若 m∥α,则 m 平行于平面 α 内的无数条直线; ② 若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n; ③ 若 m⊥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β; ④ 若 α∥β,m?α,则 m∥β. 其中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) 解析:② 中 α∥β,m?α,n?β?m∥n 或 m,n 异面,所以② 错误.而其它命题都正确.答案:① ③ ④ 3.(2010 年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题: ① 若 m?α,l∩ α=A,点 A?m, 则 l 与 m 不共面; ② 若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③ 若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④ 若 l?α,m?α,l∩ m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是________. 解析:③ 中若 l?β,m?α,α∥β?l∥m 或 l,m 异面,所以② 错误.而其它命题都正确.答案:① ② ④ 4.(2009 年高考福建卷改编)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个 充分而不必要条件是________. ① m∥β 且 l1∥α ② m∥l1 且 n∥l2 ③ m∥β 且 n∥β ④ m∥β 且 n∥l2

解析:∵m∥l1,且 n∥l2,又 l1 与 l2 是平面 β 内的两条相交直线, ∴α∥β,而当 α∥β 时不一定推出 m∥l1 且 n∥l2,可能异面.答案: ② 5.(原创题)直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线有________条. 答案:1 或 0 6.如图,ABCD 为直角梯形,∠C=∠CDA=90°,AD =2BC=2CD,P 为平面 ABCD 外一点, 且 PB⊥BD. (1)求证:PA⊥BD; (2)若 PC 与 CD 不垂直,求证:PA≠PD; (3)若直线 l 过点 P,且直线 l∥直线 BC,试在直线 l 上找一点 E,使得直线 PC∥平面 EBD. 解:(1)证明:∵ABCD 为直角梯形,AD= 2AB= 2 BD, ∴AB⊥BD,PB⊥BD,AB∩ PB=B, AB,PB?平面 PAB,BD⊥平面 PAB, PA?平面 PAB,∴PA⊥BD. (2)证明:假设 PA=PD,取 AD 中点 N,连结 PN, BN,则 PN⊥AD,BN⊥AD, AD⊥平面 PNB,得 PB⊥AD, 又 PB⊥BD,得 PB⊥平面 ABCD, ∴PB⊥CD. 又∵BC⊥CD,∴CD⊥平面 PBC, ∴CD⊥PC,与已知条件 PC 与 CD 不垂直矛盾. ∴PA≠PD. (3)在 l 上取一点 E,使 PE=BC,连结 BE,DE, ∵PE∥BC,∴四边形 BCPE 是平行四边形, ∴PC∥BE,PC?平面 EBD,BE?平面 EBD, ∴PC∥平面 EBD. B组 1.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是________. ① 若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β ② 若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β ③ 若 m∥n,m∥α,则 n∥α ④ 若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β 解析:① 错,两平面也可相交;② 错,不符合面面平行的判定定理条件,需两平面内有两条相交直线互相平行;③ 错,直线 n 不一定在平面内;④ 由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行,命题正确.答案:④ 2.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ① 若 m∥n,n?α,则 m∥α; ② 若 m⊥n,m⊥α,n?α,则 n∥α; ③ 若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n; ④ 若 m,n 是异面直线,m?α,n?β,m∥β,则 n∥α.其中正确的命题有_. 解析:对于① ,m 有可能也在 α 上,因此命题不成立;对于② ,过直线 n 作垂直于 m 的平面 β,由 m⊥α,n?α 可知 β 与 α 平行,于是必有 n 与 α 平行,因此命题成立;对于③ ,由条件易知 m 平行于 β 或在 β 上,n 平行于 α 或在 α 上,因此必 有 m⊥n; 对于④ , 取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立. 综上可知② ③ 正确.答案:② ③ 3.已知 m,n 是平面 α 外的两条直线,且 m∥n,则“m∥α”是“n∥α”的________条件. 解析:由于直线 m,n 在平面外,且 m∥n,故若 m∥α,则必有 n∥α,反之也成立.答案:充要 4.设 l1,l2 是两条直线,α,β 是两个平面,A 为一点,下列命题中正确的命题是________. ① 若 l1?α,l2∩ α=A,则 l1 与 l2 必为异面直线 ② 若 α⊥β,l1?α,则 l1⊥β ③ l1?α,l2?β,l1∥β,l2∥α,则 α∥β ④ 若 l1∥α,l2∥l1,则 l2∥α 或 l2?α

解析:① 错,两直线可相交于点 A;② 错,不符合面面垂直的性质定理的条件;③ 错,不符合面面平行的判定定理条件;④ 正确,空间想象即可.答案:④ 5.(2010 年广东深圳模拟)若 a 不平行于平面 α,且 a?α, 则下列结论成立的是________. ① α 内的所有直线与 a 异面 ② α 内与 a 平行的直线不存在 ③ α 内存在唯一的直线与 a 平行 ④ α 内的直线与 a 都相交 解析:由题设知,a 和 α 相交,设 a∩ α=P,如图,在 α 内 过点 P 的直线与 a 共面,① 错;在 α 内不 过点 P 的直线与 a 异面,④ 错;(反证)假设 α 内直线 b∥a,∵a?α,∴a∥α,与已知矛盾,③ 错.答案:② 6.设 m、n 是异面直线,则(1)一定存在平面 α,使 m?α 且 n∥α;(2)一定存在平面 α,使 m?α 且 n⊥α;(3)一定存在 平面 γ,使 m、n 到 γ 的距离相等;(4)一定存在无数对平面 α 与 β,使 m?α,n?β,且 α∥β.上述 4 个命题中正确命题 的序号为________. 解析:(1)成立;(2)不成立,m、n 不一定垂直;(3)过 m、n 公垂线段中点分别作 m、n 的平行线所确定平面到 m、n 距离 就相等,(3)正确;满足条件的平面只有一对,(4)错.答案:(1)(3) 7.如图,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分 别是下底面的棱 A1B1、B1C1 的中点, a P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP=3,过 P、M、N 的平面 =______. 2 2 答案: 3 a 8.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号). N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ

解析:① ∵面 AB∥面 MNP,∴AB∥面 MNP. ② 若下底面中心为 O,易知 NO∥AB,NO?面 MNP,∴AB 与面 MNP 不平行. ③ 易知 AB∥MP,∴AB∥面 MNP. ④ 易知存在一直线 MC∥AB,且 MC?平面 MNP,∴AB 与面 MNP 不平行. 答案:① ③ 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、 F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点,N 是 BC 中点.点 M 在四边形 EFGH 上及 其内部运动,则 M 满足条件________时, 有 MN∥平面 B1BDD1. 答案:M∈FH

10.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1= 点 M 为棱 AA1 的中点. (1)证明:DE⊥平面 A1AE; (2)证明:BM∥平面 A1ED. 证明:(1)在△AED 中,AE=DE= 2,AD=2, ∴AE⊥DE.

2,AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点,

∵A1A⊥平面 ABCD, ∴A1A⊥DE, ∴DE⊥平面 A1AE. (2) 设 AD 的中点为 N,连结 MN、BN. 在△A1AD 中, AM=MA1, AN=ND, ∴MN∥A1D, ∵BE∥ND 且 BE=ND, ∴四边形 BEDN 是平行四边形, ∴BN∥ED, ∴平面 BMN∥平面 A1ED, ∴BM∥平面 A1ED. 11. (2010 年扬州调研)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

M,N 分别是 AB,BC 的中点.

(1)求证:平面 B1MN⊥平面 BB1D1D; (2)若在棱 DD1 上有一点 P,使 BD1∥平面 PMN,

求线段 DP 与 PD1 的比 解:(1)证明:连结 AC,则 AC⊥BD , 又 M,N 分别是 AB,BC 的中点, ∴MN∥AC,∴MN⊥BD. ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴BB1⊥平面 ABCD, ∵MN?平面 ABCD, ∴BB1⊥MN, ∵BD∩ BB1=B, ∴MN⊥平面 BB1D1D, ∵MN?平面 B1MN, ∴平面 B1MN⊥平面 BB1D1D. (2)设 MN 与 BD 的交点是 Q,连结 PQ,PM,PN ∵BD1∥平面 PMN,BD1?平面 BB1D1D,平面 BB1D1D∩ 平面 PMN=PQ, ∴BD1∥PQ, ∴DP∶PD1=DQ∶QB=3∶1.

12.如图,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 ABE,F (1)求证:AE⊥BE; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中 证明:(1)因为 BC⊥平面 ABE,AE?平面 ABE,

为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. 点.求证:MN∥平面 DAE.

所以 AE⊥BC, 又 BF⊥平面 ACE,AE?平面 ACE, 所以 AE⊥BF, 又 BF∩ BC=B,所以 AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,所以 AE⊥BE. (2)取 DE 的中点 P,连结 PA,PN,因为点 N 为线段 1 所以 PN∥DC,且 PN=2DC, 又四边形 ABCD 是矩形,点 M 为线段 AB 的中点,

CE 的中点.

1 所以 AM∥DC,且 AM=2DC,

所以 PN∥AM,且 PN=AM,故四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN∥AP, 而 AP?平面 DAE,MN?平面 DAE,所以 MN∥平面 DAE. 第四节 垂直关系 A组 1.(2010 年宁波十校联考)设 b、c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题是真命题的是________. ① 若 b?α,c∥α,则 b∥c ② 若 b?α,b∥c,则 c∥α ③ 若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β ④ 若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β 解析:① 中,b,c 亦可能异面;② 中,也可能是 c?α;③ 中,c 与 β 的关系还可能是斜交、平行或 c?β;④ 中,由面面垂直 的判定定理可知正确. 答案:④ 2.(2010 年青岛质检)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,下面有三个命题: ① α∥β?l⊥m;② α⊥β?l∥m;③ l∥m?α⊥β.则真命题的个数为________. 解析:对于① ,由直线 l⊥平面 α,α∥β,得 l⊥β,又直线 m?平面 β,故 l⊥m,故① 正确;对于② ,由条件不一定得到 l ∥m,还有 l 与 m 垂直和异面的情况,故② 错误;对于③ ,显然正确.故正确命题的个数为 2.答案:2 个 3.(2009 年高考山东卷改编)已知 α、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________ 条件. 解析:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线,m⊥β,则 α⊥β,反过来则不一定.所以“α⊥β” 是“m⊥β”的必要不充分条件. 答案:必要不充分 4.(2009 年高考浙江卷)如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点.现 将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是 ________.

解析:如图,过 D 作 DG⊥AF,垂足为 G,连结 GK,∵平面 ABD⊥平面 ABC,又 DK⊥AB, ∴DK⊥平面 ABC,∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面 DKG,∴AF⊥GK. 容易得到,当 F 接近 E 点时,K 接近 AB 的中点, 当 F 接近 C 点时,K 接近 AB 的四等分 1 1 点.∴t 的取值范围是(2,1).答案:(2,1) 5.(原创题)已知 a、b 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,且 a⊥α,b⊥β,则下列命题中假命题的有________. ① 若 a∥b,则 α∥β;② 若 α⊥β,则 a⊥b;③ 若 a、b 相交,则 α、β 相交;④ 若 α、β 相交,则 a,b 相交.

解析:若 α、β 相交,则 a、b 既可以是相交直线,也可以是异面直线. 答案:④ 6.(2009 年高考山东卷)如图,在直四棱柱 ABCD- AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1 分别 (1)设 F 是棱 AB 的中点, 证明: 直线 EE1∥平面 FCC1; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 证明: (1)法一: 取 A1B1 的中点为 F1, 连结 FF1, C1F1.

A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, 是棱 AD,AA1 的中点.

由于 FF1∥BB1∥CC1, 所以 F1∈平面 FCC1. 因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1. 连结 A1D,F1C, 由于 A1F1 綊 D1C1 綊 CD, 所以四边形 A1DCF1 为平行四边形, 因此 A1D∥F1C.又 EE1∥A1D, 得 EE1∥F1C. 而 EE1?平面 FCC1,F1C?平面 FCC1, 故 EE1∥平面 FCC1. 法二:因为 F 为 AB 的中点, CD=2,AB=4,AB∥CD, 所以 CD 綊 AF, 因此四边形 AFCD 为平行四边形, 所以 AD∥FC. 又 CC1∥DD1,FC∩ CC1=C,FC?平面 FCC1,CC1 ?平面 FCC1,AD∩ DD1=D,AD?平面 ADD1A1,DD1?平面 ADD1A1. 所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1?平面 ADD1A1,所以 EE1∥平面 FCC1. (2)连结 AC,在△FBC 中,FC=BC=FB, 又 F 为 AB 的中点,所以 AF=FC=FB. 因此∠ACB=90°,即 AC⊥BC. 又 AC⊥CC1,且 CC1∩ BC=C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 而 AC?平面 D1AC, 故平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. B组 1.设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则能得出 a⊥b 的是____. ① a⊥α,b∥β,α⊥β ② a⊥α,b⊥β,α∥β ③ a?α,b⊥β,α∥β ④ a?α,b∥β,α⊥β 解析:由 α∥β,b⊥β ?b⊥α,又 a?α,故 a⊥b.答案:③ 2.设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是________. ① 若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β ② 若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α ③ 若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β ④ 若 α⊥β,α∩ β=n,m⊥n,则 m⊥α 解析:由 n⊥α,n⊥β 可得 α∥β,又因 m⊥β,所以 m⊥α.答案:② 3.设 m,n 是两条不同的直线, α,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是.

① m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥β ② α∥β,m⊥α,n∥β ?m⊥n ③ α⊥β,m⊥α,n∥β ?m⊥n ④ α⊥β,α∩ β=m,n⊥m?n⊥β 解析:① 错,不符合面面垂直的判断定理的条件;② 由空间想象易知命题正确;③ 错,两直线可平行;④ 错,由面面垂直的 性质定理可知只有当直线 n 在平面 α 内时命题才成立.答案:② 4.已知两条不同的直线 m,n,两个不同的平面 α,β,则下列命题中正确的是_. ① 若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n ② 若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n ③ 若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n ④ 若 m∥α,n⊥β,α⊥β,则 m∥n 解析:易知① 正确.而② 中 α⊥β 且 m⊥α?m∥β 或 m∈β,又 n∥β,容易知道 m,n 的位置关系不定,因此② 错误.而③ 中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定,因此③ 错误.而④ 中因为② 不对,此项也不对.综上可知① 正确.答案:① 5.设 a,b,c 表示三条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题的逆命题不成立的是________. ① c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β ② b?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥c,则 a⊥b ③ b?β,若 b⊥α,则 β⊥α ④ b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c 解析:当 b?β,若 β⊥α,则未必有 b⊥α.答案:③ 6.已知二面角 α-l-β 的大小为 30°,m、n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 m、n 所成的角为________. 解析:∵m⊥α,n⊥β, ∴m、n 所成的夹角与二面角 α-l-β 所成的角相等或互补. ∵二面角 α-l-β 为 30°, ∴异面直线 m、n 所成的角为 30°.答案:30° 7.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC= 90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上 的射影 H 必在直线______上. 解析:由 AC⊥AB,AC⊥BC1,AC⊥平面 ABC1,AC?平 面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC,C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上. 答案: AB 8.(2010 年江苏昆山模拟)在矩形 ABCD 中,AB=3,AD =4,P 在 AD 上运动,设∠ABP=θ, 将△ABP 沿 BP 折起,使得平面 ABP 垂直于平面 BPDC, AC 长最小时 θ 的值为________. 解析: 过 A 作 AH⊥BP 于 H, 连 CH, ∴AH⊥平面 BCDP. ∴在 Rt△ABH 中,AH=3sinθ,BH=3cosθ. 在△BHC 中,CH2=(3cosθ)2+42-2×4×3cosθ×cos(90° -θ), ∴在 Rt△ACH 中, AC2=25-12sin2θ, ∴θ=45°时,AC 长最小.答案:45° 3 9.在正四棱锥 P-ABCD 中,PA= 2 AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条. 3 解析: 设正四棱锥的底面边长为 a, 则侧棱长为 2 由 PM⊥BC, ∴PM= 2 ? 3 ? ?a? ? 2 a?2-?2?2= 2 a, ? ? a.

连结 PG 并延长与 AD 相交于 N 点, 2 则 PN= 2 a,MN=AB=a, ∴PM2+PN2=MN2,

∴PM⊥PN,又 PM⊥AD, ∴PM⊥面 PAD, ∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直.答案:无数 10.如图,在三棱锥 S-ABC 中,OA=OB,O 为 BC 中点,SO⊥平面 ABC,E 为 SC 中点,F 为 AB 中点. (1)求证:OE∥平面 SAB; (2)求证:平面 SOF⊥平面 SAB. 证明:(1)取 AC 的中点 G,连结 OG,EG, ∵OG∥AB,EG∥AS,EG∩ OG=G,SA∩ AB=A, ∴平面 EGO∥平面 SAB,OE?平面 OEG ∴OE∥平面 SAB (2)∵SO⊥平面 ABC, ∴SO⊥OB,SO⊥OA, 又∵OA=OB,SA2=SO2+OA2,SB2=SO2+OB2, ∴SA=SB,又 F 为 AB 中点, ∴SF⊥AB,∵SO⊥AB, ∵SF∩ SO=S,∴AB⊥平面 SOF, ∵AB?平面 SAB,∴平面 SOF⊥平面 SAB. 11.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1 分别是棱 AA1,BB1,A1B1 的中点. (1)求证:CE∥平面 C1E1F; (2)求证:平面 C1E1F⊥平面 CEF. 证明:(1)取 CC1 的中点 G,连结 B1G 交 C1F 于点 F1, 连结 E1F1,A1G,FG, ∵F 是 BB1 的中点,BCC1B1 是矩形, ∵四边形 FGC1B1 也是矩形, ∴FC1 与 B1G 相互平分,即 F1 是 B1G 的中点. 又 E1 是 A1B1 的中点,∴A1G∥E1F1. 又在长方体中,AA1 綊 CC1,E,G 分别为 AA1,CC1 的中点, ∴A1E 綊 CG,∴四边形 A1ECG 是平行四边形, ∴A1G∥CE,∴E1F1∥CE. ∵CE?平面 C1E1F,E1F1?平面 C1E1F, ∴CE∥平面 C1E1F. (2)∵长方形 BCC1B1 中,BB1=2BC,F 是 BB1 的中点, ∴△BCF、△B1C1F 都是等腰直角三角形, ∴∠BFC=∠B1FC1=45°, ∴∠CFC1=180°-45°-45°=90°, ∴C1F⊥CF. ∵E,F 分别是矩形 ABB1A1 的边 AA1,BB1 的中点, ∴EF∥AB. 又 AB⊥平面 BCC1B1,又 C1F?平面 BCC1B1, ∴AB⊥C1F,∴EF⊥C1F. 又 CF∩ EF=F,∴C1F⊥平面 CEF. ∵C1F?平面 C1E1F,∴平面 C1E1F⊥平面 CEF.

12.(2010 年江苏淮安模拟)如图,已知空间四边形 中点. 求证:(1)AB⊥平面 CDE; (2)平面 CDE⊥平面 ABC; (3)若 G 为△ADC 的重心, 试在线段 AE 上确定一点 F, 证明:(1) BC=AC? ?
? AE=BE ? ??CE⊥AB,同理,

ABCD 中,BC=AC,AD=BD,E 是 AB 的

使得 GF∥平面 CDE.

? AD=BD? ? AE=BE ?

??DE⊥AB,

又∵CE∩ DE=E,∴AB⊥平面 CDE. (2)由(1)知 AB⊥平面 CDE, 又∵AB?平面 ABC, ∴平面 CDE⊥平面 ABC. AG 2 (3)连结 AG 并延长交 CD 于 H, 连结 EH, 则GH=1, AF 2 在 AE 上取点 F 使得 FE =1, 则 GF∥EH,


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