当前位置:首页 >> 数学 >>

河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(八)


河北定州中学 2015—2016 学年度第二学期数学周练(八)
一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分 1.以下四个命题中,正确的个数是( ) ①命题“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是三角函数”的否命题是“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 不 是三 角函数” ;②命题“存在 x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“

对于任意 x ? R, x 2 ? x ? 0 ” ;③在 ?ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”成立的充要条件;④若函数 f ( x) 在 (2015 ,2017) 上有零点,则一定 有

f (2015 ) ? f (2017 )?0.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )

2.若 m ? 6, n ? 4 ,按照如图所示的程序框图运行后,输出的结果是(

A.

1 100

B. 100

C. 10

D. 1

3.函数 f ? x ? ? 2 sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ( )

? ?

??

? 17? ? 的部分图象如图所示,则 f ? 0 ? ? f ? 2? ? 12

? ? 的值为 ?

1

A. 2 ? 3

B. 2 ? 3

C. 1 ?

3 2

D. 1 ?

3 2

?e 2 x ? 1 ( x ? 0) 4.已知函数 f ( x ) ? ? ,把函数 p( x) ? f ( x) ? x ? 0 的零点从小到大的顺序排成 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
一列,依次为 x1 , x2 , x3 ,?,则 x3 ? x5 与 2 x4 大小关系为( A. x3 ? x5 ? 2 x4 5.已知函数 f ( x) ? B. x3 ? x5 ? 2 x4 ) D.无法确定

C. x3 ? x5 ? 2 x4

ax2 ? 1 (e 为自然对数的底数) ,函数 g ( x) 满足 g ?( x) ? f ?( x) ? 2 f ( x) ,其中 ex

f ?( x), g ?( x) 分别为函数 f ( x) 和 g ( x) 的导函数,若函数 g ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数,则实数 a 的
取值范围为( A. a ? 1 ) B. ?

1 ? a ?1 3

C. a ? 1

D. a ? ?

1 3


6.设向量 e1 , e2 是两个互相垂直的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? e2 ,则 a ? 2b ? ( A. 2 2 B. 5 C. 2 D. 4

7.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ?
1 A . ( ,1) 3

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2

1 B. (??, ) ? (1, ??) 3

1 1 C. ( ? , ) 3 3

1 1 D. (??, ? ) ? ( , ??) 3 3

?1 , x?0 ? ?2x 8 . 函 数 f ( x) ? ? 若 x1 , x2 , x3 是 方 程 f ( x) ? a ? 0 三 个 不 同 的 根 , 则 ? ?2 sin(2 x ? ),0 ? x ? ? ? 6 ?

x1 ? x2 ? x3 的范围是(
A. (?1,



?
2

)

B. (

?

? 1, ) 3 3

?

C. (

?
3

? 1,

?
3

? 1)

D. (

? ? , ? 1) 6 6
2

9.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (0,1)

2 的零点所在的大致区间是 ( x
C. (2,3)

) D. (3,4)

B. (1,2)

10.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,且在区间 [0,2]上 f ( x) ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga x 有三个不同的根,则 a 的范围为( A. ( 2,4)
x

) D. ( 6, 10)

B. (2,2 2 )

C. ( 6, 2 2)

11.函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B. (0,1) C. (-1,0) 12.已知曲线 C :

D.(1,2) )

x| x| y| y| ,下列叙述中正确的是( ? 2 ?1( a ? b ? 0 ) a2 b A.垂直于 x 轴的直线与曲线 C 存在两个交点 B.直线 y ? kx ? m ( k , m ? R )与曲线 C 最多有三个交点 C.曲线 C 关于直线 y ? ? x 对称
D.若 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 为曲线 C 上任意两点,则有

y1 ? y 2 ?0 x1 ? x2

二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分 13.下列叙述: ①函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

3 3? ) 是偶函数; ②函数 f ( x) ? cos(2 x ? 2
③函数 f ( x) ?

) 的一条对称轴方程为 x ? ?

?
12



2 sin(2 x ? ) , x ? [0, ] ,则 f ( x) 的值域为 [0, 2] ; 4 2 cos x ? 3 ? ? ④函数 f ( x ) ? , x ? ( ? , ) 有最小值,无最大值. cos x 2 2
则所有正确结论的序号是 .

?

?

?2 x ?1 ? 1,0 ? x ? 2, ? 14. 已知函数 f ( x) 是定义在 (??,0) ? (0,??) 上的偶函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 1 f ( x ? 2), x ? 2, ? ?2
则函数 g ( x) ? 2 f ( x) ? 1 的零点个数为____个. 15.已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? n2 ? 2n ? 1,则数列 ?an ?的通项公式为______.

?x ? 0 ? 16.若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

.

3

三、解答题:共 8 题 共 70 分 17.已知函数 f ( x) ? e x (sin x ? ax2 ? 2a ? e) ,其中 a ? R , e ? 2.71828 ? ? ? 为自然对数的底数. (1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当

1 ? a ? 1时,求证:对任意的 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 . 2
x

18.设函数 f ? x ? ? ln x ? ax, g ? x ? ? e ? ax ,其中 a 为实数. (1)若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论. 19 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 A B C, D A/ D / , 且 B , C ? AD CD

A D? C D ?2

2 , B? C4

,点 2, P ? A 2M 在 PD 上.

(1)求证: AB ? PC ; (2)若二面角 M ? AC ? D 的大小为 45°,求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值. 20.如图所示, MA 为以 AB 为直径的圆 O 的切线, A 为切点, C 为圆周上一点, BC // OM ,直 线 MC 交 AB 的延长线于点 E .

(1)求证:直线 MC 是圆 O 的切线; (2)若 AB ? 2 , MA ? 3 ,求线段 BC 的长. 21.某网络营销部门为了统计某市网友 2015 年 11 月 11 日在某网店的网购情况,随机抽查了该市

4

100 名网友的网购金额情况,得到如下频率分布直方图.

(1)估计直方图中网购金额的中位数; (2)若规定网购金额超过 15 千元的顾客定义为“网购达人” ,网购金额不超过 15 千元的顾客定义 为“非网购达人” ;若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率,从全市任意 选取 3 人,则 3 人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为 X ,求 X 的分布列与 数学期望. 22.已知各项均不为 0 的等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,满足 S4 ? 2a5 , a1a2 ? a4 ,数列 {bn } 满足

bn?1 ? 2bn , b1 ? 2 .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 2 1 ? 2 ln x 23.已知函数 f ( x ) ? . x2
(2)设 cn ? (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)存在 x1 , x2 ? (1,??) 且 x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k ln x1 ? ln x2 成立,求 k 的取值范围. 24. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 3a cos C ? 2c cos A ,且 b ? 2 5, c ? 3 . (1)求 a 的值; (2)求 sin( B ?

?
4

) 的值.

5

参考答案 1.B 【解析】 试题分析:对于①命题“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是三角函数”的否命题是“若 f ( x) 不是周 期函数,则 f ( x) 不是三角函数” ,①错;对于②,命题“存在 x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“对于任

a b ? sin A sin B 有 a ? b , 由大边对大角 有 A ? B , 当 A ? B 时 , 得 a ? b ,由正弦 定理有 sin A ? sin B ,所 以
意 x ? R, x2 ? x ? 0 ” ,②错;对于③,在 ?ABC 中,当 sin A ? sin B 时,由正弦定理 “ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”成立的充要条件, ③正确;对于④,举例函数 f ( x) ? ( x ? 2016)2 , 在 (2015 ,2017) 上有零点 x ? 2016 ,但 f (2015) ? f (2017) ? 1 ? 0 不符合.故只有1 个正确. 考点:1.四种命题的形式;2.特称命题的否定形式;3.充分条件与必要条件的判断;4.函数零点存 在定理. 【易错点晴】本题分为 4 个小题,都是对平时练习中易错的知识点进行考查,属于基础题.在①中,注 意 命 题 的 否 定 与 否 命 题 的 区 别 ; 在 ② 中 , 是 对 特 称 命 题 的 否 定 , 已 知 p : ? x? M, p( x), 否 定

?p : ?x ? M, ?p( x);在③中,注意正弦定理和大边对大角、大角对大边的运用;对于④,是考查零
点存在定理,要说明这个命题是错误的,只需举出一个反例即可. 2.D 【解析】 试题分析:当 m ? 6, n ? 4 ,满足 m ? n ,所以 y ? lg(m ? n) ? lg10 ? 1 ,输出结果为1 ,故选 D. 考点:程序框图. 3.A 【解析】 试题分析:由图象可知 T ?

2?

?? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ,?? ? 2 ,由此可知 f ? x ? ? 2sin ? 2x ? ? ? ,所以 ? ? 6 12 ?


? ? ? ?? ? ? ? ? , 所 以 ? ?? f ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? ?2 , ? ? 2k? ? , k ? ?, 又 ? ? 3 2 3 6? ? 12 ? ?

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ,所以 f ? 0 ? ? 3? ?
考点:正弦函数的图象与性质. 4.B 【解析】

? 17? f? ? 12

? ? ?? ? 5? ? ? 2sin ? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? 2

? ? ? 2 ? 3, 故选 A. ?

?e 2 x ? 1 ( x ? 0) 0 试题分析:因为函数 f ( x ) ? ? ,所以 f ? 0? ? e ?1 ? 0, f ?1? ? f ? 0? ?1 ? 1, ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

6

f ? 2? ?

f ?1? ?1 ? 2, f ?3? ? f ? 2? ?1 ? 3, f ? 4? ? f ?3? ?1 ? 4, f ?5? ? f ? 4? ?1 ? 5,





p( x) ? f ( x) ? x 的零点即是 f ( x) ? x ? 0 的根,所以 x3 ? 2, x4 ? 3, x5 ? 4, x3 ? x5 ? 2x4 ,故选 B.
考点:1、分段函数的解析式;2、函数的零点与方程的根之间的关系. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点与方程的根之间的关系,属于难题判断 函数 y ? f ? x ? 零点个数的常用方法:(1)直接 法: 令 f ? x ? ? 0, 则方程实根的个数就是函数零点的 个数;(2)零点存在性定理法:判断函数在区间 ? a, b? 上是连续不断的曲线,且 f ? a ??f ? b ? ? 0, 再结 合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数;(3)数形结合 法:转化为两 个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的 个数,本题就利用了方(1)直接求解方程根的. 5.B 【解析】 试 题 分 析 :

f ?( x) ?

2axex ? (ax2 ? 1)e x 2ax ? ax2 ? 1 ? (e x ) 2 ex









g ?( x) ? f ?( x) ? 2 f ( x) ?

ax2 ? 2ax ? 1 , ex

因为 g ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数,则当 ? 1 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 恒成立或 g ?( x) ? 0 恒成立.又因为

g ?(0) ? 1 ? 0 , 所 以 当 ? 1 ? x ? 1 时 , g ?( x) ? 0 恒 成 立 必 定 无 解 . 所 以 必 有 当 ? 1 ? x ? 1 时 , g ?( x) ? 0 恒成立,设 ? ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ,当 a ? 0 时,? ( x) ? 1 成立;当 a ? 0 时,由于 ? ( x) 在
[ ?1,1] 上是单调递增,所以 ? (?1) ? 0 得 a ? 1 ;当 a ? 0 时,由于 ? ( x) 在在 [ ?1,1] 上 是单调递减,
所以 ? (1) ? 0 得 a ? ? . 综上: ?

1 3

1 ? a ? 1. 3

考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、不等式恒成立问题. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式 恒 成 立 问 题 常 见 方 法 : ① 分 离 参 数 a ? f ( x) 恒 成 立 ( a ? f ( x)min 即 可 ) 或 a ? f ( x) 恒 成 立 ( a ? f ( x)max 即可) ; ②数形结合; ③讨论最值 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 恒成立; ④讨论参数. 本 题是利用③求解实数 a 的取值范围为的. 6.B 【解析】 试题分析:因为 e1 ? e2 ,所以 e1 ? e2 ? 0 ,

? ?

?? ?

?? ?? ?

7

? ? a ? 2b ?

? a ? 2b ?

?

?

2

?2 ? ? ?2 ? a ? 4a ? b ? 4b ?

? 2e ? e ?
1 2

?? ?? ?

2

?? ?? ? ?? ? ?? ?2 ?? ?? ? ? 4 2e1 ? e2 ? e2 ? 4e2 ? 5 ? 4e1 ? e2 ? 5

?

?

. 考点:向量的数量积运算. 7.A 【解析】 试题分析:由已知函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? 且当 x ? 0 时, 函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? 则
1 f ( x) ? f (2 x ? 1) ? x ? 2x ? 1 ? x2 ? (2 x ? 1)2 ? ? x ? 1 ,选 A 3 1 的定义域为 R,? f ? ? x ? ? f ? x ? ? 函数 f ? x ? 为偶函数, 1 ? x2

1 单调递增, 则根据偶函数的性质可知要使 f ( x) ? f (2 x ? 1) , 1 ? x2

考点:函数恒成立问题 【名师点睛】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题,属于中档题.解题时根 据偶函数的性质得到 f ( x) ? f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ? 1 是解题 的关键 8.B 【解析】 试题分析: 作出函数 f ( x ) 图像(略) ,方程 f ( x) ? a ? 0 有三个互不相等的实根等价于函数 y ? f ( x ) 与直线

y ? ? a 图 像 有三 个 交点 , 由图像 易 知 ?1 ? a ? ?2 . 当 方 程 f ( x) ? a ? 0 存 在三 个不 等 的实 根

? ? ( ? 1, 0) 内,关于 x ? 对称;一个根在区间 内,故 x1,x2,x3 时,其中有两根在区间 ? 0, ) 3 6 ? ? x1 ? x2 ? x3 的取值范围是 ( ? 1, ) ,故选 B. 3 3
考点:分段函数的概念;指数函数、正弦函数的图象;数形结合思想;函数方程的概念. 9.B 【解析】 1) ? ln( 1 ? 1) ? 2 ? ln2 ? 2<0 ,而 f(2) ? ln3 ? 1>lne ? 1 ? 0 , 试题分析:∵ f( ∴函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2 的零点所在区间是 (1,2) ,故选 B. x

考点:函数的零点的判定定理. 10.D 【解析】 试题分析: 因为 f ( x ? 4) ? f ( x) 所以此函数为周期函数, 且周期为 4; 因为在区间[0, 2]上 f ( x) ? x , 且函数 f ( x ) 为定义在 上的偶函数,则在区间 [?2, 0] 上 f ( x) ? ? x ;当 x ??0,10 ? 时函数图像如图

8

所示

;要使方程

有三个不同的根则有

,解得

6 ? a ? 10.故选 D.
考点:函数的奇偶性和单调性. 11.B 【解析】 试题分析:因为 f ? 0? ? ?1 ? 0 , f ?1? ? e ?1 ? 0 ,所以函数零点在区间 ? 0,1? .故选 B. 考点:函数零点的判定定理. 12.B 【解析】

? x2 ? a2 ? 2 ?x ? ? a2 试题分析:由题去绝对值的得: ? 2 ?y ? b2 ? 2 ?x ? ? a2

y2 b2 y2 ? 2 b x2 ? 2 a y2 ? 2 b ?

? 1, 第一象限 ? ?1,第二象限
,结合方程可得图像,

? 1,第三象限 ? 1,第四象限

则易得:B 正确。 考点:去绝对值与分类思想及圆锥曲线方程的综合运用. 13.①④ 【解 析】 试题分析:①将 x ? ?

?
12

代入 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,得 f (?

?
12

) ? ?1 ,故 x ? ?

?
12

是函数 f ( x) 的

一条对称轴;② f ( x) ? cos(2 x ?

3? ? ) ? ? sin 2 x ,可知函数 f ( x) 为奇函数;③当 x ? [0, ] , 2 2 cos x? 3 ? ? 5? 3 2 x ? ? [ , ] , 可 得 f ( x) 的 值 域 为 [?1, 2 ] ; ④ f ( x ) ? ? 1? ,当 4 4 4 cos x cos x x ? (?

? ?

, , ) cos x ? (0,1] ,故 f ( x) 有最小值,无最大值. 2 2

考点:三角函数图象的性质. 【思路点睛】 本题主要考查三角函数的图象与性质.对函数 y ? A sin(?x ? ? ) 或 y ? A cos(?x ? ? ) ,
9

当函数取得最值时, 函数取得对称轴, 由于 f ( x) ? cos(2 x ? 故函数 f ( x) ? cos(2 x ? 解得 2 x ?

?
4

3? ? ? ) 为奇函数,对于函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) 的值域,可由 x ? [0, ] , 2 4 2 2 sin(2 x ? ) 的值域,而由于 x ? ( ? , ) , 4 2 2

3? ) ? ? sin 2 x , 可知 f (? x) ? ? f ( x) , 2

的取值范围,进而确认函数 f ( x) ?

?

? ?

cos x ? (0,1] ,故 f ( x ) ?
14. 6 【解析】

cos x ? 3 有最小值,无最大值. cos x

试题分析:函数 g ( x) ? 2 f ( x) ? 1 的零点个数等价于函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 点个数 . 由已知条件作出函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ?

1 的图象的交 2

1 的图象 , 如下草图 . 由图可知 , 函数 2

y ? f ( x) 的图象与直线 y ?

1 的图象有 6 个交点. 2

考点:1.偶函数的性质;2.数形结合思想;3.方程根的个数的判断. 【方法点晴】本题考查了偶函数图象的特征 , 利用数形结合求方程根的个数 , 属 于中档题 . 函数

g ( x) ? 2 f ( x) ? 1 的零点个数等价于函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ?

1 的图象的交点个数 .先由已 2

知条件作出函数 y ? f ( x) 在 x ? 0 时的图象,再利用对称性,作出 (??, 0) 上的图象.由图可知, 函数

y ? f ( x) 的图象与直线 y ?
本题的关键. 15. an ? ? 【解析】

1 的图象有 6 个交点.利用分段函数的表达式 ,作出 y ? f ( x) 的图象是 2

n ?1 ?4, ?2n ? 1, n ? 2
2

2 试题分析:由已知得,当 n ? 2 时,有 an ? S n ? S n ?1 ? n ? 2n ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1 ? 2n ? 1 ,

当 n ? 1 时 , 有 a1 ? S1 ? 12 ? 2 ?1 ? 1 ? 4 , 不 满 足 an ? 2n ? 1 , 故 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为

n ?1 ?4, . an ? ? ?2n ? 1, n ? 2
考点:数列通项公式及前 n 项和公式的关系. 16. 6 【解析】

10

试题分析:由题:做出不等式组所表示的可行域, 是位于△ABO 及其内部的阴影部分.

将直线 l:z=x+2y 进行平移,可知越向上平移, z 的值越大,当 l 经过区域的右上顶点 A 时,z 达到最 大值由解得 A(2,2)∴zmax=F(2,2)=2+2×2=6 考点:用线性规划求最值. 17. (1)函数 f ( x) 在 R 上为减函数; (2)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)对函数 f ( x) 求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数 f ( x) 的单调性; (2)
2 对任意的 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 等价于对任意的 x ? [0,??) , sin x ? ax ? 2a ? e ? 0 ,再构造函数

g ( x) ? sin x ? ax2 ? 2a ? e ,求导,利用导数,求出 g ( x) 的最大值小于零.
x 试题解析:解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? e (sin x ? e) , x ? R ,

f ?( x) ? e x (sin x ? cos x ? e) ? e x [ 2 sin( x ?
∵当 x ? R 时, 2 sin( x ? ∴ f ( x) 在 R 上为减函数.

?
4

) ? e] ,

?
4

) ? 2 ,∴ f ?( x) ? 0 .

(2)设 g ( x) ? sin x ? ax ? 2a ? e , x ? [0,??) , g ?( x) ? cos x ? 2ax ,
2

令 h( x) ? g ?( x) ? cos x ? 2ax , x ? [0,??) ,则 h?( x) ? ? sin x ? 2a , 当

1 ? a ? 1时, x ? [0,??) ,有 h?( x) ? 0 , 2

∴ h( x) 在 [0,??) 上是减函数,即 g ?( x ) 在 [0,??) 上是减函数,

11

又∵ g ?(0) ? 1 ? 0 , g ?( ) ?

?

4

∴ g ?( x ) 存在唯一的 x0 ? (0,

?
4

2 ? ax ? 2

2? 2

?
2 ?0,

) ,使得 g?( x0 ) ? cos x0 ? 2ax0 ? 0 ,

∴当 x0 ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (0, x0 ) 单调递增; 当 x0 ? ( x0 ,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ( x0 ,??) 单调递减,
2 因此在区间 [0,??) 上 g ( x)max ? g ( x0 ) ? sin x0 ? ax0 ? 2a ? e ,

∵ cos x0 ? 2ax0 ? 0 ,∴ x0 ?

g ( x) max

1 cos x0 ,将其代入上式得 2a 1 1 1 ? sin x0 ? cos 2 x0 ? 2a ? e ? sin 2 x0 ? sin x0 ? ? 2a ? e , 4a 4a 4a

令 t ? sin x0 , x0 ? (0,

?
4

) ,则 t ? (0,

1 2 1 2 2 t ?t ? ? 2a ? e , t ? (0, ) ,即有 p (t ) ? ), 4a 4a 2 2 1 2 ) 上是增函数,且 ? a ? 1, 2 2

∵ p(t ) 的对称轴 t ? ?2a ? 0 ,∴函数 p(t ) 在区间 (0,

∴ p(t ) ? p(

2 2 1 2 15 1 )? ? ? 2a ? e ? ? ? e ? 0, ( ? a ? 1) , 2 2 8a 2 8 2

即任意 x ? [0,??) , g ( x) ? 0 , ∴ f ( x) ? e g ( x) ? 0 ,因此任意 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 .
x

考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.导数的综合应用. 【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的综合应用等知识点,是压轴题.在(2) 中 , 注 意 等 价 转 换 , 对 任 意 的 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 等 价 于 对 任 意 的 x ? [0,??) ,

sin x ? ax 2 ? 2a ? e ? 0 , 再构造函数 g ( x) ? sin x ? ax2 ? 2a ? e , 利用单调性, 求出函数 g ( x) 的最
大值 , 即 g ( x) max ? sin x0 ?

1 1 1 cos 2 x0 ? 2a ? e ? sin 2 x0 ? sin x0 ? ? 2a ? e , 把 sin x0 看成 4a 4a 4a 1 1 或 a ? 0 时, f ? x ? 有 1 个零点;当 0 ? a ? 时, f ? x ? 有 2 个零点. e e

一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化,难度大,综合性强. 18. (1) a ? e ; (2)当 a ? 【解析】 试题分析: ( 1 ) 由 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 是 单 调 减 函 数 可 得 a ? 1 , 讨 论 1 ? a ? e ,

a?e 时
1 e

(2)由 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数得 a ? , g ? x ? ? ex ? ax 在 ?1, ?? ? 上是否有最小值即可;

12

讨论 0 ? a ? 个数.

1 , a ? 0 , a ? 0 ,分别利用导数研究其单调性及最值,从而得到不同范围内的零点 e 1 1 ? a ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,则 a ? , x ? ?1, ?? ? . x x

试题解析: (1) f ? ? x ? ?
x

故: a ? 1, g? ? x ? ? e ? a , 若 1 ? a ? e ,则 g? ? x ? ? e ? a ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,
x

此时, g ? x ? ? e ? ax 在 ?1, ?? ? 上是单调增函数,无最小值,不合;
x



x ? ax 在 ?1,ln a ? 上 是 单 调 减 函 数 , 在 ?1na, ??? 上 是 单 调 增 函 数 , a ? e , 则 g ? x? ? e

gmin ? x ? ? g ? ln a ? 满足,故 a 的取值范围为: a ? e .
(2) g? ? x ? ? e ? a ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,则 a ? e ,
x
x

故: a ?

1 1 1 ? ax . f ?? x? ? ? a ? ? x ? 0? . e x x 1 ? 1? ,令 f ? ? x ? ? 0 得增区间为 ? 0, ? ; e ? a?

①若 0 ? a ?

令 f ? ? x ? ? 0 得减区间为 ?

?1 ? , ?? ? . ?a ?

当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?? ;当 x ??? 时, f ? x ? ? ?? ; 当x?

1 时, a

1 ?1? f ? ? ? ? ln a ? 1 ? 0 ,当且仅当 a ? 时取等号, e ?a?

故:当 a ? ②

1 1 时, f ? x ? 有 1 个零点;当 0 ? a ? 时, f ? x ? 有 2 个零点. e e

若 a ? 0 ,则 f ? x ? ? ? ln x ,易得 f ? x ? 有 1 个零点.

③若 a ? 0 ,则 f ? ? x ? ?

1 ? a ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, x

即: f ? x ? ? ln x ? ax 在 ? 0, ??? 上是单调增函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?? ;当 x ??? 时, f ? x ? ? ?? ,此时, f ? x ? 有 1 个零点. 综上所述:当 a ?

1 1 或 a ? 0 时, f ? x ? 有 1 个零点;当 0 ? a ? 时, f ? x ? 有 2 个零点. e e

考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数研究函数的极值、最值及零点. 【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值及零点 ,属

13

于难题.利用导数研究函数 f ? x ? 的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数 f ? x ? 的定义域; ②对 f ? x ? 求导;③令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得 x 的范围就是递增区间;令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得 x 的范围就是递减区间;④根据单调性求函数 f ? x ? 的极值及最值;⑤已知单调性求参数范围时,可 转化为不等式恒成立问题求解.本题(1) 、 (2)解题过程都是利用了⑤. 19. (1)证明见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)由 PA ? 平面 ABCD 得 AB ? PA ,再由 ?BAC ? 450 ? 450 ? 90o 得 AB ? AC , 进而得 AB ? 平面 PAC ; ( 2 )建立空间直角坐标系 A ? xyz ,求出平面 AMC 的一个法向量为

5 3 . 9

?? ? 2? ? ,再利用空间两向量所成角的余弦公式求得 BM 与平面 PAC 所成角的正弦 n1 ? ? ? 2, 2, ? ?1 ? ? ?
值. 试题解析: (1)取 BC 中点 E ,连结 AE ,则 AD ? EC, AD / / EC ,所以四边形 AECD 为平行四
0 边形,故 AE ? BC ,又 AE ? BE ? EC ? 2 2 ,所以 ?ABC ? ?ACB ? 45 ,

故 AB ? AC ,又 AB ? PA, AC ? PA ? A ,所以 AB ? 平面 PAC , 故有 AB ? PC .

(2)如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

? ? ? ???? ? ??? ? 设 PM ? ? PD ? ? 0, 2 2? , ?2? ? ? 0 ? ? ? 1? , 易得 M ? 0, 2 2? , 2 ? 2? ?
设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,

则 A ? 0, 0, 0 ? , B 2 2, ?2 2, 0 , C 2 2, 2 2, 0 , P ? 0, 0, 2 ? ,

?

??

14

?? ???? ? ? n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 则 ? ?? ???? , ? n ? AM ? 2 2 ? y ? 2 ? 2 ? z ? 0 ? ? ? 1 ? 2? 令 y ? 2 ,得 x ? ? 2, z ? , ? ?1
即 n1 ? ? ? 2, 2,

?? ? ?

2? ? ? ?1 ? ?

.

又平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ? 0,0,1? ,

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 ?? ?? ? cos n1 ? n2 ? ?? ?? ? ? n1 ? n2

2? ? ?1 ? 2? ? 4?? ? ? ? ?1 ?
1 , ?,
2

? cos 450







??

1 2





M 0 ??? ?

?

,

?

???? ?

2 ? B ? ,M

?

2

2

,

3

2

,

1

而 AB ? 2 2, ?2 2, 0 是平面 PAC 的一个法向量, 设直线 BM 平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? cos BM , AB ?

?

?

???? ? ??? ?

?8 ? 12 4?3 3

?

5 3 . 9

故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

5 3 . 9

考点:1、线面垂直的判定定理;2、空 间两向量所成角的余弦公式. 20. (1)证明见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)连接 OC 根据平行线的性质以及等腰三角形的性质证明 ?COM ? ?AOM ,进而证

10 . 5

明 ?OCM ? ?OAM ,得

?OCM ? ?OAM ?

?
2 ,可得结论; (2)先根据勾股定理求 MO ,再根

据 ?ABC ∽ ?MOA 求得线段 BC 的长. 试题解析: (1)连接 OC , BC // OM ? ?BCO ? ?COM , ?AOM ? ?CBO , 又 OC ? OB ? ?CBO ? ?BCO ,所以 ?COM ? ?AOM ,又 OC ? OA, OM ? OM ,

? ?O A M , 所 以 ?O C M ? ?O A M , 因 为 MA 为 圆 O 的 切 线 , 所 以 所 以 ?O C M
?O C M ? ?O A M ?

?

2

,直线 MC 是圆 O 的切线;

15

(2) Rt ?MAO 中, MO ? 所以 BC ? AB ? BC ? OA OM

AM 2 ? AO2 ? 10 ,连接 AC ,则 ?ABC ∽ ?MOA ,
10 . 5

考点:1、三角形全等及三角形相似;2、平行线的性质及切线的性质. 21. (1) 13 ; (2) 1.74 . 【解析】 试题分析: (1)设中位数为 10 ? x ,则 5 ?0.04 ? x ? 0.1 ? 5? ? x ? 0.1 ? (0,05 ? 0.01 ? ) 5

? 解得 x ? 3

进而得中位数; (2)从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从 B(3,0.3) ,可以直接利用二项分 布数学期望公式求解. 试题解析: (1)由初步判定中位数在第二组,设中位数为

10 ? x ,则 5 ? 0.04 ? x ? 0.1 ? ?5 ? x ? ? 0.1? (0,05 ? 0.01) ? 5 解得 x ? 3 ,则中位数是 13 ;
(2)依题意,从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从 B(3,0.3) ,所以 X 可能取值为 1,3 ,且
3 0 P( X ? 3) ? C3 0.33 ? C3 0.73 ? 0.37 , 1 2 P( X ? 1) ? C3 0.31 ? 0.7 2 ? C3 0.32 ? 0.71 ? 0.63

所以 X 的分布列为

数学期望 EX ? 1 ? 0.63 ? 3 ? 0.37 ? 1.74 . 考点:1、利用直方图求中位数;2、二项分布的分布列及期望. 22. (1) an ? 2n ; (2) Tn ? (n ? 2)2n?1 ? 2 . 【解析】 试题分析: (1)根据 S4 ? 2a5 , a1a2 ? a4 可列出关于等差数列 {an } 的首项 a1 和公差 d 的方程组, 解出 a1 和 d 可得数列 {an } 的通项公式,根据等比数列的性质直接写出 {bn } 的通项公式即可; ( 2)
16

符合错位相减法求和的条件,直接用错位相 减法求和即可得结论. 试题解析: (1) 4a1 ? 6d ? 2 ? a1 ? 4d ? , a1 ? a1 ? d ? ? a1 ? 3d 得 a1 ? 2, d ? 2 则 an ? 2n ; bn ? 2n . (2) cn ?

anbn ? n 2n , 2

则 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n2n

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? n2n?1
两式相减得 ?Tn ? 1? 21 ? 1? 22 ? 1? 23 ? ... ? 2n ? n2n?1 整理得 Tn ? (n ? 2)2n?1 ? 2 . 考点:1、等差、等比数列的定义及通项;2、错位相减法求和. 23. (1) f ( x) 单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1,??) ; (2) k ? 【解析】 试题分析: (1)先求 f ?( x) ?

2 . e

?4 ln x ,再由 f ?( x) ? 0 得增区间,由 f ?( x) ? 0 得减区间; (2)先转 x3

化为 h( x) ? f ( x) ? k ln x 在 (1,??) 上存在减区间,即 h?( x) ?

kx2 ? 4 ln x ? 0 有解,分离参数得 x3

4 ln x 4 ln x 有解,只需 k ? ( 2 ) max 即可. 2 x x ? 4 ln x 试题解析: (1) f ?( x ) ? ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 , x3 k?
x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;
综上, f ( x) 单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1,??) . (2)不妨设 x1 ? x2 ? 1 ,由(1)知 x ? (1,??) 时, f ( x) 单调递减.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k ln x1 ? ln x2 等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? k (ln x1 ? ln x2 ) ,
即 f ( x2 ) ? k ln x2 ? f ( x1 ) ? k ln x1 , 存在 x1 , x2 ? (1,??) 且 x1 ? x2 ,使 f ( x2 ) ? k ln x2 ? f ( x1 ) ? k ln x1 成立. 令 h( x) ? f ( x) ? k ln x , h( x) 在 (1,??) 上存在减区间.

h?( x) ?

kx2 ? 4 ln x 4 ln x 4 ln x ? 0 有解,即 k ? 2 有解,即 k ? ( 2 ) max . 3 x x x

17

令 t ( x) ?

4 ln x 4(1 ? 2 ln x) , t ?( x) ? , 2 x x3

x ? (0, e ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, x ? ( e ,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,
∴(

4 ln x 2 2 ) max ? ,∴ k ? . 2 x e e

考点:1、利用导数研究函数的单调性及最值;2、不等式有解求参数范围问题. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值及不等式有解问题,属于难题.不等式 有解问题不能只局限于判别式是否为正,不但可以利用一元二次方程根的分布列不等式组解答,还 可以转化为 a ? f ( x) 有解( a ? f ( x)max 即可)或转化为 a ? f ( x) 有解( a ? f ( x)min 即可),本题 (2)就是用这种方法求得 k 的取值范围的. 24. (1) a ? 5 ; (2)

10 . 10

【解析】 试题分析: ( 1 )因为 3a cos C ? 2c cos A ,由余弦定理将 cos C 、 cos A 表示成边,化简后将 (2)由余弦定理得 cos B 的值,进而求得 sin B ,再用两角和的正弦公式 b ? 2 5, c ? 3 代入即可; 将 sin( B ?

?
4

) 展开即可.

试题解析: (1)因为 3a cos C ? 2c cos A ,由余弦定理得

3a ?

a 2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a 2 1 2 2 2 ? 2c ? ,化简得 a ? c ? b , 5 2ab 2bc

2 因为 b ? 2 5, c ? 3 ,所以 a ? 5 ,即 a ? 5 .

(2)由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 5 ? 9 ? 20 5 . ? ?? 2ac 5 6 5
2

因为 0 ? ?B ? ? ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ?

1 2 5 ? . 5 5

故 sin(B ?

?
4

) ? sin B cos

?
4

? cos B sin

?
4

?

2 5 2 5 2 10 . ? ? ? ? 5 2 5 2 10

考点:1、两角和差的正弦公式;2、正弦定理余弦定理的应用.

18


相关文章:
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(二)
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(二)_数学_高中教育_教育专区。...12.若集合 A. (2,3] 1,3,4? B. ? A ? x1 ? 2x ? 8 B. [2,...
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(二)
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(二)_数学_高中教育_教育专区。...12.若集合 A. (2,3] 1,3,4? B. ? A ? x1 ? 2x ? 8 B. [2,...
河北省定州中学2016届高三生物下学期周练试题(八)
河北省定州中学2016届高三生物下学期周练试题(八)_理化生_高中教育_教育专区。河北定州中学 2015—2016 学年度第二学期生物周练(八)一、单选题:共 20 题 每题...
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(一)
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(一)_数学_高中教育_教育专区。...(0,1). 8 (2)设 F(x)=f(x)-(a-2)x=ax2-ln x-(a-2)x. 因为...
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(一)
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(一)_数学_高中教育_教育专区。...(0,1). 8 (2)设 F(x)=f(x)-(a-2)x=ax2-ln x-(a-2)x. 因为...
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(五)
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(五)_数学_高中教育_教育专区。...2 2 2? 2 ? 8 考点:1、函数及函数的求导运算; 2、数列与函数的关系及...
河北省定州中学2016届高三政治下学期周练试题(五)(新)
河北省定州中学2016届高三政治下学期周练试题(五)(新)_数学_高中教育_教育专区...考点:对传统文化的创新与发展 8.D 【解析】 试题分析:该中心推出了“惠民票价...
河北省定州中学2016届高三政治下学期周练试题(五)
河北省定州中学2016届高三政治下学期周练试题(五)_数学_高中教育_教育专区。...考点:对传统文化的创新与发展 8.D 【解析】 试题分析:该中心推出了“惠民票价...
河北省定州中学2016届高三政治下学期周练试题(八)(新)
河北省定州中学2016届高三政治下学期周练试题(八)(新)_政史地_高中教育_教育专区。河北定州中学 2015—2016 学年度第二学期政治周练(八)一、单选题:共 20 题...
河北省定州中学2016届高三地理下学期周练试题(五)
河北省定州中学2016届高三地理下学期周练试题(五)_数学_高中教育_教育专区。...8.地形剖面示意图中 M 点对应左图中点( ) A.① B.② C.③ D.④ 9....
更多相关标签:
河北省定州市 | 河北省定州市黑社会 | 河北省对定州的规划 | 河北省定州市房价 | 河北省保定市定州市 | 河北省定州市永征苗圃 | 河北省定州永征苗圃场 | 河北省定州 |