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立体几何判定方法总结


立体几何判定方法总结
A.判定方法
一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3、 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 6、 据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7、 如 果 平 面 外 的 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 , 则 这 条 直 线 和 这 个 平面平行 8、 两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 9、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 10、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、 定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、 定义:成 90 ? 角 2、 直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜 线垂直 4、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射 影垂直 5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、 定义:两面成直二面角,则两面垂直

2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为 90 ? 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90 ? 2、直线与平面所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90 ? 3、斜线与平面所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90 ?

?0?,90??

?0?,90??
?0?,90?? ?0?,180??

4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是: 0? ? ? ? 180 ? 十、三角形的心 1.内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 2.外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 3.重心:中线的交点 4.垂心:高的交点

B.常用公式
一、面积: 1、 s直棱柱侧

? ch

? s斜棱柱侧 ? c`l ?c`为直截面周长
s` ? s 2

s圆柱侧 ? cl ? 2?rh
2、中截面面积: s0 ? 3、 s正棱锥侧 ?

1 ch ` 2

s圆锥侧 ?

1 cl ? ?rl 2

4、 s正棱台侧

?

1 ?c ? c`?h` 2

s圆台 ?

1 ?c ? c`?l ? ? ?r ? r`?l 2

5、预备定理 s球内接圆台,圆柱,圆 锥 ① 球 ③

? 2?ph

s ? 4?r 2

② 球带

s

? 2?rh

s球冠 ? 2?rh ? ? (r 2 ? h2 )
r ? ? 2? ? 2? ? sin l 2

6、面积比是相似比的平方,体积比是相似比的立方 7、圆锥轴截面的顶角α 和侧面展开图的圆心角θ 的关系为: ? ?

8、圆台上、下底面半径为 r`、r,母线为 l,圆台侧面展开后所得的扇环圆心角为θ , 则:

??

r ? r` r ? r` c ? c` ? 360 ? ? ? 2? ? l l l

9、圆锥中,过两母线的截面面积为 s 当轴截面顶角 ? ? ?0?,90?? 时, s截面最大 当轴截面顶角 ? ? ?90?,180?? 时,

? s轴截面 ?

1 2 l sin ? 2

s截面最大 ?

1 2 1 l sin 90? ? l 2 ? s轴截面 2 2
l ) R

10、球面距离 l ? R ? ? (θ 用弧度表示, ? ? 二、体积 1、 V棱柱

? sh ? s`l (s`为直截面面积)
1 sh 3

V圆柱 ? ? ? r 2h ? sh
1 1 V圆锥 ? ? ? r 2 h ? sh 3 3

2、 V棱锥 ?

3、 V棱台

?

1 h( s ? s ? s` ? s`) 3

1 V圆台 ? ?h( r 2 ? rr `? r`2 ) ? 1 h( s ? s ? s` ? s`) 3 3

V ? 4、 球

4 3 ?R 3
1 1 ?h(3r 2 ? h 2 ) ? ?h 2 (3R ? h ) 6 3

5、 V球缺 ?

6、 V体

?

1 S ?r (适用于有内切球的多面 体) 3 表 内切球半径


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