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函数的极限


函数的极限
一、数列的极限两点补充 1、 、无理式型
方法:见“ - ”就有理化,再转化为不含“ - ”的无理分式型,再分子分 母同除以 n 的最高次数幂。 例 1、求下列极限: ①

lim ?
n ??

n2 ? n ? n

?



lim


n ??

n?3 n ?1



lim
n ??

n ?1 ? n n ? n ?1

? 6 ? 例 2、已知 a ? 0 , lim ? ? a 2 ? a ?n ? ?a ,求 a 的值。 ? ? n ?? ? n ?

2、关于对 lim a n ? lim a n ?1 及 lim s n ? lim s n ?1 的理解。
n ?? n ?? n?? n??

例 1、已知

?n ? 1?2 ,且 b ? an ,求 b 。 n?n ? 1? ? an ? lim n n 2 2 n?n ? 1? n??

例 2、求 lim 2 2 ? 2 ? ??? ? n ?? ??
n个

例 3 、设有数列 ?a n ? ,若 a1 , a2 ,? an ,? 为复数方程 an?1 x 2 ? an x ? 1 ? 0 ,都有根 α 和 β ,且 3? ? ?? ? 3? ? 1 ,求 lim a n 。
n??

练习:① lim n ( n ? 1 ? n ) 等于(
n ??

) (A)

1 3

(B)0

(C)

1 2

(D)不存在
2 ? An lim ? n ?? 8 ? 3 A n



若 (2 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? (B) 1 (C) 1

? an xn , An ? a1 ? a2 ?
(D) ? 1 8
n

? an , 则

(

)

( A) ? 1 3

11
n

4

③ 在二项式 (1 ? 3x) 和 (2 x ? 5) 的展开式中,各项系数之和记为 an , bn , n 是正整数,则 1/1

lim
n ??

④ 已知无穷等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? N ,公比为 q ,且 1 ? N , S n ? a1 ? a 2 ? ? ? an ,且
q

an ? 2bn = 3an ? 4bn

.

lim S n ? 3 ,则 a1 ? a 2 ? _____ .
n??

⑤ 已知数列{ an }前 n 项和 Sn ? ?ban ? 1 ?
n ?? n ??

1 , 其中 b 是与 n 无关的常数,且 0<b<1, (1 ? b)n

若 lim S n ? 存在,则 lim S n ? ________.

二、函数的极限 (1) 函数的六种极限定义: ① lim f ( x) ? a 的意义是当自变量 x 取正值并且无限增大时, f ( x) 无限趋进于一个常数 a ;
x ???

② lim f ( x) ? a 的意义是当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时, f ( x) 无限趋进于一个常数 a ;
x ???

③ lim f ( x) ? a ? lim f ( x), lim f ( x ) 都存在,且等于 a ;
x ?? x ??? x ???

④ lim f ( x) ? a 的意义是当自变量 x 从 x ? x0 右侧(即 x ? x0 )无限趋近于常数 x0 (但不等于 ?
x ? x0

x0 )时,如果函数 f ( x) 无限趋近于一个常数 a ;
⑤ lim? f ( x) ? a 的意义是当自变量 x 从 x ? x0 右侧(即 x ? x0 )无限趋近于常数 x0(但不等于 x0 ) 时,
x ? x0

如果函数

f ( x) 无限趋近于一个常数 a ; f ( x) 无限趋近于

⑥ lim f ( x) ? a 的意义是当自变量 x 无限趋近于常数 x 0 (但不等于 x 0 )时,如果函数 ?
x ? x0

一个常数 a ;

注: lim f ( x) ? a ? lim f ( x) , lim f ( x) 都存在,且等于 a ; ? ?
x ? x0

x ? x0

x ? x0

(2)函数极限的运算法则: 如果 lim f ( x ) , lim g ( x) 存在,且 lim f ( x) ? a , lim g ( x) ? b x? x
0

x ? x0

x ? x0

x ? x0

那么 lim ? f ( x) ? g ( x)? ? a ? b , lim ? f ( x) g ( x) ? ? ab , lim f ( x) ? a (b ? 0) .这些法则对于其他情况仍然成立.
x ? x0

x ? x0

x ? x0

g ( x) b

⑶几个常用极限: ① lim 1 ? 0 ;② lim a x ? 0 (0< a <1); lim a x ? 0 ( a >1)③ lim sin x ? 1 ? lim x ? 1 x ??? x ??? n ?? x ?0
x
x ?0

x

sin x

(4)两个重要极限

lim sin x ? 1 ? x ?0 x

x ??

lim(1? 1 ) x ? e ? x

2/2

例题选讲: 例1

2 ? ? 1 lim ? ? ? 的值等于( x ?1 1 ? x 1 ? x2 ? ?
1 2 ( B) 0 (C ) ? 1 2



( A)

( D) 不存在

例 2.

lim
x ?0

1 ? x ?1 ? ( x

)

(A)

1 2

(B)1

(C)2

(D)0

例 3.

ax 2 ? bx ? 1 ? 3 ,则 b 的值为 ( 已知 lim x ?1 x ?1
tan x x ?0 x

) (A)4 (B)-5 (C)-4 (D)5

例 4、求:① lim

② lim
x ?0

1 ? cos x x2

例 5、求:① lim?1 ? ?
x ???

?

k? x?

x

?k ? N ?
?

② lim?1 ? x ? x
x ?0

3

例 6、求 lim

3

x ?2

x ??8

1? x ? 3

例 7、已知函数 f ?x ? ? lim

2n ? x n 2n ? x n

n ??

,试求:

① f ?x ? 的定义域,并画出其图像; ②求 lim? f ?x ? 和 lim? f ?x ? ,并指出 lim f ?x? 是否存在。
x??2 x??2 x??2

例 8、已知 f ?x ? 为多项式,且 lim

f ?x ? ? 2 x 3 x
2

x ??

? 5 , lim

f ?x ? ? 2 x 3 x
2

x ??

? 5 , lim
x ?0

f ?x ? ? 3 ,求 f ?x ? 。 x

3/3

三、函数的连续性: (1)定义:如果函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处及其附近有定义,而且 lim f ( x) ? f ( x0 ) ,就说函数 f ( x) 在点 x0 处连续. x? x
0

(2)函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处连续的充要条件是 lim f ( x) ? f ( x0 ) .注:等式 lim f ( x ) ? f (x0 ) 的含义有三点: x? x x? x
0
0

① f ( x) 在点 x ? x0 处及其附近有定义; ② lim f ( x ) 存在;
x ? x0

③ f ( x) 在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值 f ( x0 ) . (3) “ 函数 y ? f ( x ) 在点 x0 处不连续”就说 y ? f ( x ) 的图象在点 x ? x0 处间断. (4) 函数 y ? f ( x ) 在区间上连续: ①若函数 y ? f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内每一点处连续,就说函数 y ? f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内连 续 ;

, ② 若 函 数 y ? f ( x) 在 开 区 间 (a b
x ?b

) 每 一 点 处 连 续 , 并 且 内

x?a?

l i m f x ? ( f )a , lim (? f ( )x) ? f (b) 就说函数 y ? f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上连续.

(5)初等函数在其定义域内每一点处都连续. (6) 连续函数的性质 : 闭区间 ? a, b? 上的连续函数 f ( x) 的图象是坐标平面上的一条有始点

(a, f (a)) 和终点 (b, f (b)) 的连续曲线.它有如下性质:
①(最大值和最小值定理)
若 f ( x) 是闭区间 ? a, b? 上的连续函数,则 f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上有最大、最小值.

②零点定理:


f ( x) 是闭区间 ? a, b? 上的连续函数,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (a , b ) 上至

少有一个实数解.

③介值定理: 设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a, b] 上 连 续 , 且 在 这 区 间 的 端 点 取 不 同 函 数 值 ,

f (a) ? A, f (b) ? B , 那么对于 A, B 之间任意的一个数 C , 在开区间 ( a, b) 内至少有一点 ? ,
使得 f (? ) ? C ( a < ? < b ). 例题选讲: 例 1. 极限 lim f ( x ) 存在是函数 f ( x) 在点 x ? x0 处连续的(
x ? x0



(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件

(D)既不充分也不必要的条件

4/4

例 2. 如果 f ( x) ? ? (A)-1

?e x x?0 是连续函数,则 a 等于( ?x ? a x ≥ 0
(B)0



(C)1 (D)2 f ( x) 例 3. 设函数 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,且 lim ? 2 ,则 f (1) 等于( x ?1 x ? 1 (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 )
?1 ? x ( x ? 1) 例 4、.函数 在 x=1 处不连续是因为( ? f ( x ) ? ? 0 ( x ? 1) ? x ( x ? 1) ? ?



(A)f(x)在 x=1 处无定义 (B) lim f(x)不存在(C) lim f(x)≠f(1)(D) lim f(x)≠ lim f(x) ? ?
n ?1 n ?1 n ?1
n ?1

例 5、 为使函数 f ( x ) ?

1? x 在 x ? ?1 处连续,则定义 f ( ?1) ? __________. 1? x2
1 ? xn ,则 f ( x) 的定义域为 n ?? xn
.

例 6、设 n ? N * , 若函数 f ( x) ? lim

?a sin x ? b, x ? 0 ? x ? 0 ,当 a,b 取值何值时, lim f ( x ) 存在,其值为多 例 7. 已知 f ( x) ? ?0, x?0 ?cos x ? 1, x ?0 ?
少.

? sin x ? x ?x ? 0 ? ? 例 8、设 f ?x ? ? ? k ?x ? 0 ? (k 为常数) ,问当 k 为何值时, f ?x ? 在 x=0 处连续? ? x ? 1 ?x ? 0? ? ?
?a ? x ? x ? 0 ? k ?x ? 0 ? 呢? ? 2 x ?x ? 0 ? ?

? 若将 f ?x ? 改为 f ?x ? ? ?

5/5

练习(A) : 1. lim? f(x)= lim? f(x)=a 是 f(x)在 x0 处存在极限的
x ? x0 x ? x0





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.

?2 x x ? 1, f(x)= ? 下列结论正确的是 ?0 x ? 1,
x?1
x ?1





A. lim f(x) f ( x) = lim ? ? C. lim f (x)=0, lim f ( x) 不存在 ? ?
x ?1

B. lim f ( x) =2, lim f ( x) 不存在 ? ?
x?1 x?1

x?1

D. lim f (x)≠ lim f (x) ? ?
x ?1 x ?1

3. 函数 f(x)在 x0 处连续是 f(x)在点 x0 处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.





lim
x ?1

x2 ? x ? 2 =________________. x2 ? x x 2 ? ax ? 3 =2, 则 a=__________. x2 ? 3

5.

若 lim
x ?1

6、求下列各极限:

4 1 ; ? ) ; (2) lim ( ( x ? a)( x ? b) -x) x ?2 x ?? x ?4 x?2 x cos x (3) lim ; (4) lim . π x ?0 | x | x x x? ? sin 2 cos 2 2
(1) lim (
2

?2 x ? b ? ? 7、设 f(x)= ?0 ? ?1 ? 2 x ?

x ? 0, x ? 0, 试确定b的值, 使 lim f ( x)存在; ;
x ?0

x ? 0,

8、f (x)为多项式,且 lim

x ??

f ( x) ? 4 x 3 f ( x) =1, lim =5,求 f(x)的表达式. x ?0 x x

6/6

9、 讨论函数 f (x)= lim

1 ? x 2n 1 ? x 2n

n ??

·x (0≤x<+∞)的连续性,并作出函数图象.

练习(B) : 1、已知函数 f (x)是偶函数,且 lim f (x)=a,则下列结论一定正确的是
x???

A. lim f (x)=-a
x???

B. lim f (x)=a
x???

C. lim f (x)=|a|
x???

D. lim f(x)=|a|
x???

2. lim
x ?1

x2 ? x ? 2 等于 ( x 2 ? 4x ? 5
B.1



A. 3.

1 2

C.

2 5
x ? x0

D.

1 4
x ? x0

已知函数 y=f (x)在点 x=x0 处存在极限,且 lim? f (x)=a2-2, lim? f (x)=2a+1,

则函数 y=f (x)在点 x=x0 处的极限是____________. 4. 5. 若 f (x)=

x ?1 ?1
3

x ?1 ?1

在点 x=0 处连续,则 f (0)=__________________.

设函数 f (x)=ax2+bx+c 是一个偶函数,且 lim f (x)=0, lim f (x)=-3,求出这一
x ?1 x ??2

函数最大值.

6、 在一个以 AB 为弦的弓形中,C 为弧 AB 的中点,自 A、B 分别作弧 AB 的切线,交于 D 点,设 x 为弦 AB 所对的圆心角,求 lim
x ?0

S ?ABC . S ?ABD

7/7

7、 当 a>0 时,求 lim
x ?0

x2 ? a2 ? a x2 ? b2 ? b

.

8、 设 f(x)是 x 的三次多项式,已知 lim =
x?2a

f ( x) f ( x) = lim =1. x ? 4 a x ? 2a x ? 4a

试求 lim

x ?3a

f ( x) 的值(a 为非零常数). x ? 3a

9、① 求: lim tan x ? sin x . 3
x ?0

x

(1 ? cos x ) 2 sec x . ② lim ?
x? 2

●思悟小结 1. lim f(x)=A ? lim f(x)= lim f(x)=A,
x ??

x???

x???

x ? x0

lim f(x)=A ? lim? f(x)= lim? f(x)=A.
x ? x0 x ? x0

2.函数 f(x)在 x0 处连续当且仅当满足三个条件: (1)函数 f(x)在 x=x0 处及其附近有定义; (2) lim f(x)存在;
x ? x0

(3) lim f(x)=f(x0).
x ? x0

3.要会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.

8/8


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