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高中数学复习学(教)案(第2讲)含绝对值的不等式及一元二次不等式


题目 第一章集合与简易逻辑 高考要求
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含绝对值的不等式及一元二次不等式

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1 掌握 ax ? b ? c 与 ax ? b ? c(c ? 0) 型不等式的解法,并能熟练地
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应用它解决问题; 掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参 数的不等式; 2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象 法解一元二次不等式的方法; 掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等 式的解法
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3.掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 知识点归纳 1 绝对值不等式
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x ? a 与 x ? a(a ? 0) 型不等式 ax ? b ? c 与 ax ? b ? c(c ? 0) 型
不等式的解法与解集: 不等式 x ? a(a ? 0) 的解集是 x ? a ? x ? a ; 不等式 x ? a(a ? 0) 的解集是 x x ? a, 或x ? ?a 不等式 ax ? b ? c(c ? 0) 的解集为

?

?

?

?

?x | ?c ? ax ? b ? c?(c ? 0) ;

不等式 ax ? b ? c(c ? 0) 的解集为 ?x | ax ? b ? ?c, 或ax ? b ? c?(c ? 0) 2 解一元一次不等式 ax ? b(a ? 0)
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① a ? 0, ? x x ?

? ?

b? ? a?

② a ? 0, ? x x ?

? ?

b? ? a?

3 韦达定理:
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方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的二实根为 x1 、 x 2 ,
2

b ? x1 ? x 2 ? ? ? 2 a 则 ? ? b ? 4ac ? 0 且 ? c ? x1 x 2 ? a ?

?? ? 0 ? ①两个正根,则需满足 ? x1 ? x 2 ? 0 , ?x x ? 0 ? 1 2 ?? ? 0 ? ②两个负根,则需满足 ? x1 ? x2 ? 0 , ?x x ? 0 ? 1 2
③一正根和一负根,则需满足 ? 4.一元二次不等式的解法步骤
2

?? ? 0 ? x1 x 2 ? 0
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对于一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? , 设相应
2

的 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,
2

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:

??0
y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

??0
y ? ax2 ? bx ? c
y

??0
y ? ax2 ? bx ? c
y

y

y ? ax ? bx ? c
2

( a ? 0 )的图象

x1

o

x2 x
o x1=x2 x
o x

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax ? bx ? c ? 0
2

?a ? 0?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ?x2?

?

?

方程的根→函数草图→观察得解,对于 a ? 0 的情况可以化为 a ? 0 的情况解决
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注意: 含参数的不等式 ax 2 +bx+c>0 恒成立问题 ? 含参不等式 ax 2 +bx+c>0 的解集是 R; 其解答分 a=0(验证 bx+c>0 是否恒成立)、 (a<0 a≠0 且△<0)两种情况 题型讲解
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例 1 解不等式(1) 3 ? x ? 2 ? 9 ; (2) 3x ? 4 ? 1 ? 2 x

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解: (1)原不等式化为: ?

? x ? 2 ? 3 ? x ? ?1或x ? 5 ? ?? ? x ? 2 ? 9 ?? 7 ? x ? 11 ?
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? 原不等式的解为: ? 7 ? x ? ?1, 或5 ? x ? 11} {x
(2)原不等式化为: ? 解得

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?3x ? 4 ? 0 ?3x ? 4 ? 0 或? ?3x ? 4 ? 1 ? 2 x ?4 ? 3x ? 1 ? 2 x

x ? 5或x ?

3 5

3 ? 不等式的解集为: x ? , 或x ? 5} {x 5
例 2 解不等式 x ? 5 x ? 6 ? x ? 4
2 2

解: (1)当 x ? 4 ? 0 时,不等式的解集为 ?
2

(2)当 x ? 4 ? 0 即 x ? ?2或x ? 2 时,有
2

? 1 ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ? x ? 或x ? 2 ? ( x ? 4) ? x ? 5 x ? 6 ? x ? 4 ? ? ?? 2 ? 5 x ? 10 ? 0 ? ?x ? 2 ?
2 2 2

综上所述,原不等式的解集为 {x x ? 2} 例 3 解不等式:|x-3|-|x+1|<1 分析:关键是去掉绝对值
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方法 1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)

①当 x ? ?1时, x ? 3 ? 0, x ? 1 ? 0 ∴ ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ②当 ?1 ? x ? 3 时 ∴ ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ? x ? ③当 x ? 3 时 ∴ 4<1

? x ??

1 1 ,∴ {x | ? x ? 3} 2 2
∴ {x | x ? 3}
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( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ? -4<1 ? x ? R
综上,原不等式的解集为 {x | x ? } 也可以这样写: 解:原不等式等价于 ①?

1 2

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? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 3 或② ? ?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ?x ? 3 , ?( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1

或 ③?

解①的解集为φ ,②的解集为{x| ∴原不等式的解集为{x|x> 方法 2:数形结合

1 <x<3},③的解集为{x|x ? 3}, 2

1 } 2

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从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到 3 和-1 两点的距离 之差小于 1 的点
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-1

O

1

2

3

x

∴原不等式的解集为{x|x>
2

1 } 2

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{ 例 4 已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0的解集为 x ?5 ? x ? 1}
求a、b的值

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解:由题意可知 a ? 0 且-5 和 1 是方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两根
2

1 ? b ? ?? a ? (?5) ? 1 ? ?4 ?a ? ? 5 ? ? ?? ?? ? 1 ? ?5 ?b ? ? 4 ?a ? 5 ? ?
故 a, b 的值分别为 ?

1 4 ,? 5 5

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例 5 解关于 x 的不等式 a x ? b (1 ? x) ? [ax ? b(1 ? x)] , (a ? b)
2 2 2

解:原不等式化为
2 2 (a 2 ? b 2) x ? b 2? (a ? b) x ? 2(a ? b)bx ? b 2

? ( a ? b) 2 ( x 2 ? x ) ? 0 ? a ? b ? ( a ? b) 2 ? 0 ? x 2 ? x ? 0则0 ? x ? 1
故原不等式的解集为{x 0 ? x ? 1}
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2 x 2 ? 2k x ? k ? 1 对于 x 取任何实数均成立,求 k 的取 例 6 若不等式 4x 2 ? 6x ? 3
值范围 解:∵
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2 x 2 ? 2k x ? k 2 x 2 ? 2kx ? k ?1 ? ?1 ? 0 4x 2 ? 6x ? 3 4x 2 ? 6x ? 3

?

2 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ?0 4x 2 ? 6x ? 3

? 2 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ? 0 (∵4x2+6x+3 恒正),
∴原不等式对 x 取任何实数均成立,等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k>0 对 x 取任何实数均成立
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∴ ? =[-2(k-3)]2-8(3-k)<0 ? k2-4k+3<0 ? 1<k<3 ∴k 的取值范围是(1,3)
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逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系数

法的一部分

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例 7 已知方程 2(k+1) x +4kx+3k-2=0 有两个负实根,求实数 k 的取值 范围
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2

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解:要原方程有两个负实根,必须:

?k ? 1 ? 0 ?k ? ?1 ? 2 ?2( k ? 1) ? 0 ?? 2 ? k ? 1 ?k ? k ? 2 ? 0 ?? ? 0 ? ? ? ? 4k ? ?? ? 0 ? ?k ? 0或k ? ?1 ? x1 ? x 2 ? 0 ? ? 2(k ? 1) ? ? x1 x 2 ? 0 ? 3k ? 2 ?k ? 2 或k ? ?1 ? ? ?0 ? 3 ? ? 2(k ? 1) 2 ? ?2 ? k ? ?1或 ? k ? 1 3 2 ∴实数 k 的取值范围是{k|-2<k<-1 或 <k<1} 3
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小结: 1 含绝对值不等式的解法: 解含绝对值不等式, 既要明确不等式的基本性质, 又要根据绝对值的代数及几何意义, 去掉绝对值符号, 将其转化为一般的不 等式(组)来解 2 一元二次不等式的解法:将一元二次不等式与相应的一元二次方程和二次 函数结合起来,主要是根据二次函数的图像来解二次方程 如果不等式的系数含有字母,则应该根据情况予以讨论,如开口方向, 两根的大小等等,这是数学中的分类讨论思想 学生练习
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1 不等式 8 ? 3 x ? 0 的解集是( )
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A?
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BR
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C {x | x ? }
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8 3

D{ }
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8 3

2 设 M ? {x x ? 2}, N ? {x x ? 3} ,则下列结论正确的是(
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A M ?N ?M
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B M ? N ? {x 2 ? x ? 3}
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C M ?N ?R
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D M ? N ? {x x ? ?2}
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3 绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 A3 B2 C -2
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D -5
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4 不等式 x 2 ? x ?
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AR
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1 ? 0 的解集是( ) 4 1 1 B {x | x ? } C {x | x ? } 2 2
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D {x | x ? }
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1 2

5 设 A ? {x x ? 2 ? 3}, B ? {x x ? 1 ? 1}, 则A ? B等于
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( )

A {x ? 1 ? x ? 0或2 ? x ? 5}
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B {x ? 1 ? x ? 5}
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C {x ? 1 ? x ? 0}
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D {x x ? 0或x ? 2}
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6 若 0 ? a ? 1, 则不等式(a ? x)( x ?
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A

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1 ?x?a a

B a?x?
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1 a

1 ) ? 0 的解是( ) a 1 1 C x ? a或x ? D x ? 或x ? a a a
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7 不等式 ( x ? 2)(1 ? x) ? 0 的解集是( )
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A {x x ? ?2或x ? 1}
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B {x x ? ?1或x ? 2}
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C {x ? 2 ? x ? 1}
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D {x ? 1 ? x ? 2}
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8 (1 ? x )(1 ? x) ? 0 的解集为( )
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A {x ? 1 ? x ? 1}
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B {x x ? ?1或x ? 1}
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C {x x ? 1}
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D {x x ? 1且x ? ?1}
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9 不等式
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2 ? 3 的解集是 x

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2 10 已知不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集为 {x ? 5 ? x ? 1} ,则 m =
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,n=

11 不等式 1 ? 3 x ? 5 ? 9 的解集为
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12 不等式 x ? x ? k ? 0 恒成立,则 k 的取值范围是
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2

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13 方程 x ?2 x ? 3a ? 4a ? 0 有一正根,一负根,则实数 a 的取值范围是
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2

4

2

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14 解不等式: x ? 1 ? 2 ? x ? 2
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15 解不等式:
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x 2 ? 5 x ? 17 ?1 ? x 2 ? 2x ? 2

16 解关于 x 的不等式 mx ? 1 ? 3
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17 若 1 ? x ? 2时,不等式x ? 2ax ? a ? 0恒成立,求实数a 的取值范
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2

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18 解下列不等式:(1) 2 ? 2 x ? 5 ? 7 (2) x ? 1 ? x ? 1
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2

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19. 已知不等式 x ? 2 ? a (a ? 0) 的解集为 ?x ? R | ?1 ? x ? c?, a ? 2c 求 的值
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20 解关于 的不等式 2 x ? 3 ? 1 ? a (a ? R)
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参考答案: 1C
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2C 3D 4D 5A
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6B
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7C 8D
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9 (? , 0) ? (0, )
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2 3

2 3

10 m ? ?4, n ? ?5
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11 [? ,1) ? (2,
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4 3

14 1 ] 12 k ? 3 4
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13 (?
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2 3 2 3 , 0) ? (0, ) 3 3

14 (??, ) ? ( , ??)
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1 2

5 2

15 ( ?
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3 ,5) 2

16 m ? 0 ? x ? R; m ? 0 ? ?
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2 4 4 2 ? x ? ;m ? 0 ? ? x ? ? m m m m
3 7 ? 或 ? x ? 6? (2) ?x ? R | x ? 0? 2 2 ?

17 a ?
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4 3

18 (1) ? x ? R | ?1 ? x ?
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? ?

19 a ? 3, c ? 5 ? a ? 2c ? 13
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20 a ? ?1 ? x ?? , a ? ?1 ? x ? (?
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a?4 a?2 , ) 2 2

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课前后备注 1.不等式|x-4|+1>0 的解集是( ) A {x| x>5 或 x<3} B {x| 3<x<4} C R D ? ?
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答案:C 2.不等式|1-2x|<3 的解集是( ) A {x| x<-1} B {x| -1<x<2} C {x| x>2} D {x| x<-1 或 x>2} 答案:B 3.不等式 1<|x|<2 的解集是( ) A {x| -2<x<2}B {x| x<-1 或 x>1}C {x| -2<x<-1 或 1<x<2}D {x| 1<x<2} 答案:C 4.一元二次不等式 x2-7x+12<0, -2x2+x-5>0, x2+2>-2x 的解集分别 是 M、N、P,则有( ) AN?M?P BM?N?P CN?P?M DM?P?N
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答案:A 提示:M={x| 3<x<4}, N= ? , P=R, ∴N ? M ? P ?
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5.抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点为(- 2 , 0), ( 2 , 0),则 ax2+ bx+c>0 的解集是( ) A - 2 <x< 2
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B x> 2 或 x<- 2
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C x≠± 2
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D 不确定,与 a 的符号有关
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答案:D 提示:当 a>0 时, x∈{x| x> 2 或 x<- 2 }, 当 a<0 时, x∈{x| -
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2 <x< 2 }, ∴选 D
6.若不等式 ax2+8ax+21<0 的解集是{x| -7<x<-1},那么 a 的值是( ) A1 B2 C3 D4
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答案:C 提示:
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21 =7, ∴a=3 a
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7.不等式(2―a)x2―2(a―2)x+4>0 对于一切实数 x 都成立,则( ) A {a| -2<a<2} B { a| -2<a≤2} C {a| a<-2} D {a| a>2} 答案:B 提示:当 a=2 时, 不等式成立,当 2-a>0 且△<0 时,解得-2<a<0 8.若二次方程 2(kx-4)x-x2+6=0 无实根,则 k 的最小整数值是( ) A -1 B 2 C 3 D 4
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答案:B 提示:二次方程 2(kx-4)x-x2+6=0 无实根,则△<0, 解得 k>
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11 , 6

∴k 的最小整数值是 2 9.不等式|x-a|>b (b<0)的解集是( ) A {x| x∈R 且 x≠a} B R C {x| x<b} D {x| x<a-b 或 x>a+b} 答案:B
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10.不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B,不等 式 x2+ax+b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于( ) A -3 B 1 C -1 D 3 答案:A 提示:A={x| -1<x<3}, B={x| -3<x<2}, ∴ A∩B={x| -1<x<2}, ∴a=-1, b=-2, a+b=-3 11.下列不等式中无解的一个是( ) A 2x2-3x+2>0 B x2+4x+4≤0 C 4-4x-x2<0 D -2+3x-2x2>0 答案:D
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12.不等式组 ?

?x 2 ? 4x ? 3 ? 0 ? 2x ? 5
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的解集是( )

A 1<x<3 B
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5 5 <x<3 C x<1 或 x>3 D x<1 或 x> 2 2
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答案:B 13.若|3x-1|<3,化简 9 x ? 24 x ? 16 ? 9 x ? 12 x ? 4 的结果是( )
2 2

A 6x-2 B -6 C 6 D 2-6x
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答案:C 提示:∵|3x-1|<3,∴ -

2 4 <x< , 3 3

9 x 2 ? 24 x ? 16 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4 =|3x-4|+|3x+2|=4-3x+3x+2=6

14. x=a 是不等式组 ? 若

? (2 x ? 1)( x ? 3) ? ?2 ? 5x ? 6 的解, P(a+2, a-2)在 则 ( ) 2( x ? 2) ? ?1 ? 3 ?
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A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
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答案: 提示: C 不等式组 ?
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? (2 x ? 1)( x ? 3) ? ?2 ? 5x ? 6 的解是 x<-3, ∴a+2<0, a 2( x ? 2) ? ?1 ? 3 ?

-2<0, P(a+2, a-2)在第三象限

3? x
15.使

2x ? 1 ? 4
3 2
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有意义的 x 的取值范围是( )

A -3≤x<
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B-
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5 5 3 <x≤3 C -3≤x<- 或 <x≤3 2 2 2
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D -3≤x≤3
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答案:C 提示:由 3-|x|≥0, |2x+1|-4>0,解得-3≤x<-
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5 3 或 <x≤3 2 2

16.不等式 4

3 ? 2 x -1≥0 的解集是 4

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1 1 或 x≥ } 4 2 17.若直角坐标系内的点 P(2a-1, a2-1)在第四象限,则 a 的取值范围是
答案: {x| x≤
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1 <a<1 2 18.若不等式 2x2+px+q<0 的解集为-2<x<1,则 p=
答案: 答案: p=2, q=-4
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;q=

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提示:-

p q =-2+1, =(-2)·1 2 2
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19.不等式 3≤|2-x|<9 的解集是 答案: -7<x≤-1 或 5≤x<1 20.不等式 x2+5x+m<0 的解集是{x| -7<x<2},则 m= 答案: m=-14
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? x 2 ? y 2 ? 25 21.若方程组 ? 有实数解,则 b∈ ? x? y ?b
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答案: -5 2 ≤b≤5 2 提示:将 y=b-x 代入 x2+y2=25, 得 2x2-2bx+
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b2-25=0, △≥0, 解得-5 2 ≤b≤5 2 22.解不等式:x2+3<4|x| 答案: {x| 1<x<3 或-3<x<-1} 提示:x>0 时,x2+3<4x, 解得 1<x<3;x<0 时,解得-3<x<-1 23.关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集为{x| x<α 或 x>β }, (α <β <0), 求不等式 ax2-bx+c>0 的解集 答案:{x| -β <x<-α } 提示:∵不等式 ax2+bx+c<0 的解集为{x| x<α 或 x>β },∴a<0, 且方程 ax2
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+bx+c=0 的两根为 x=α , x=β , α +β =- c=0 的两根为 m, n,则 m+n=

b c , α β = , 设方程 ax2-bx+ a a

b c , mn= , ∴m, n 分别为-α ,-β ,∴不等 a a

式 ax2-bx+c>0 的解集为{x| -β <x<-α } 24.一元二次方程 x2+4x-m=0 的两个实根之积的平方不大于 36,试求 m 的取值范围 答案: -4≤m≤6
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提示:设方程 x2+4x-m=0 的两个实根为α ,β , 则△≥0 且(α β )2≤36, ∴ 16+4m≥0, m2≤36, 解得-4≤m≤6 25. 取何值时, k 不等式(k+1)x2―2(k―1)x+3(k-1)≥0 对于任何 x∈R 都成 立? 答案: k≥1 提示:∵不等式(k+1)x2―2(k―1)x+3(k-1)≥0 对于任何 x∈R 都成立,∴k +1>0 且△≤0,∴ k>-1 且 k2+k-2≥0 解得 k≥1 26.要使关于 x 的二次方程 x2-2mx+m2-1=0 的两个实数根介于-2 与 4 之间, 求 m 的取值范围 答案: -1<m<3 提示:令 f (x)= x2-2mx+m2-1,由函数的图象知,f (- 2)>0, f (4)>0,且-2<m<4, 整理得 m2+4m+3>0, m2-8m+15>0 且-2<m<4, 解得-1<m<3 27.解关于 x 的不等式 2+a<a|x-1|
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答案: (I) 当 a=0 时, 解集是 ? (II) 当 a>0 时,解集是 x<- ? (III)当-2≤x<0 时,解集为 ? ? 提示:(I) 当 a=0 时, 解集是 ? ? (II) 当 a>0 时, |x-1|>1+ 或 x>2+

2 2 或 x>2+ a a 2 2 (IV) 当 a<-2 时,解集为- <x< +2 a a

2 2 2 2 , ∴x-1>1+ 或 x-1<-1- , 解得 x<- a a a a

2 a 2 2 2 , ∴ -1- <x-1<1+ , a a a

(III)当-2≤x<0 时,解集为 ? ? (IV) 当 a<-2 时,|x-1|<1+ 解得-

2 2 <x< +2 a a


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