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高中数学 第二章 正余弦定理常见解题类型典型例题素材 北师大版必修5


正余弦定理常见解题类型
1. 解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题: ①已知两角和任一边, 求其他两边和 一角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角. 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:①已知三边,求三个角;②已知两边 和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 例1 已知在 △ ABC 中, ?A ? 45?,a ? 2,c ? 6 ,解此三角形.

解:由余弦定理得 b2 ? ( 6)2 ? 2 6b cos 45? ? 4 , 从而有 b ? 3 ? 1 . 又 ( 6)2 ? b2 ? 22 ? 2 ? 2b cos C ,

1 得 cos C ? ? , ?C ? 60? 或 ?C ? 120? . 2
??B ? 75? 或 ?B ? 15? .

因此, b ? 3 ? 1 , ?C ? 60? , ?B ? 75? 或 b ? 3 ? 1 , ?C ? 120? , ?B ? 15? . 注:此题运用正弦定理来做过程会更简便,同学们不妨试着做一做.

2. 判断三角形的形状 利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、 角关系转化为角的关系或 边的关系,一般的,利用正弦定理的公式 a ? 2 R sin A,b ? 2 R sin B,c ? 2R sin C ,可将边转 化为角的三角函数关系, 然后利用三角函数恒等式进行化简, 其中往往用到三角形内角和定 理: A ? B ? C ? ? ;利用余弦定理公式 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 , , cos B ? 2bc 2ac

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ,可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知 2ab

识来解决问题. 例2 在 △ ABC 中,若 b2 sin 2 C ? c2 sin 2 B ? 2bc cos B cos C ,判定三角形的形状.

解:由正弦定理

a b c ? ? ? 2R , R 为 △ ABC 外接圆的半径, sin A sin B sin C

可将原式化为 8R2 sin 2 B sin 2 C ? 8R2 sin B sin C cos B cos C ,

∵ sin B sin C ? 0 ,
? sin B sin C ? cos B cos C ,即 cos( B ? C ) ? 0 .

? B ? C ? 90? ,即 A ? 90? ,故 △ ABC 为直角三角形.

3. 求三角形中边或角的范围 例3 在 △ ABC 中,若 ?C ? 3?B ,求

c 的取值范围. b

解:∵ ?A ? ?B ? ?C ? ? ,??A ? ? ? 4?B .

? 0 ? ?B ?

? 1 .可得 0 ? sin 2 B ? . 4 2

c sin C sin 3B 又∵ ? ? ? 3 ? 4sin 2 B , b sin B sin B
?1 ? 3 ? 4sin 2 B ? 3 .故 1 ?

c ?3. b

点评:此题的解答容易忽视隐含条件 ?B 的范围,从而导致结果错误.因此,解此类问 题应注意挖掘一切隐含条件.

4. 三角形中的恒等式证明 根据所证等式的结构,可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式. 例4 在 △ ABC 中,若 a2 ? b(b ? c) ,求证: A ? 2B .

证明:∵cos B ?

a2 ? c2 ? b2 bc ? c2 b ? c a , ? ? ? 2ac 2ac 2a 2b a2 a2 ? 2b2 b2 ? bc ? 2b2 c ? b . ?1 ? ? ? 2 4b 2b2 2b2 2b

?cos 2B ? 2cos2 B ? 1 ? 2 ?
又∵cos A ?

b2 ? c2 ? a2 b2 ? c2 ? (bc ? b2 ) c ? b , ? ? 2bc 2bc 2b

? cos A ? cos 2 B ,而 A,B 是三角形内角,? A ? 2B .

一般的,能用正弦定理解的三角形问题,也可用余弦定理去解.在具体的解题过程 中,同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式.



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