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曲线曲面


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一、平面方程

垂直于某平面 的非零矢量称为该平面的法线矢量,记作



点法式方程:已知平面 过点 量),求平面方程。

,且与非零矢量

垂直(法矢

在平面上任取一点 所以有

,作矢量


,则



此称为平面的点法式方程。

一般式方程:

其中:法矢量



截矩式方程:

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注:三元一次方程表示一个平面。 特殊位置的平面方程:

(1)过原点 (



(2)平行于坐标轴

平行于 x 轴(



过 X 轴(



平行于 y 轴(



过 Y 轴(



平行于 z 轴(



过 Z 轴(



(3)垂直于坐标轴

垂直于 x 轴(平行于 YOZ 坐标面)

垂直于 y 轴(平行于 XOZ 坐标面)

垂直于 z 轴(平行于 XOY 坐标面)

例 1 求过点(6,2,-2)且与平面

平行的平面方程。

解 所求平面方程法矢量为

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由点法式得



例 2 求过三点

的平面方程。

解 作矢量

取法矢量

由点法式





此题也可用下面的方法求解:

设平面方程为

因平面过





三点,将三点的坐标代入方程,得

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解出







即可。

例 3 求过三点

的平面方程。

例 4 过点 面方程。

作垂直于两平面



的平面, 求此平

解 设 为所求平面法向量

可取

由点法式得



例 5 求过点(1,-2,1)且与平面 的平面方程。

都垂直

例 6 求平面

外一点

到该平面的距离 。

解 在平面上任取一点

,作矢量

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如:点(1,-1,2)到平面

的距离为

二、 直线方程

平行于某直线 L 的非零矢量称为该直线的方向矢量,记为

对称式方程:已知直线 L 过点 线方程。

且方向矢量

,求此直

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在直线上任取一点

,作矢量



∥ ,

所以有

,此称为直线的对称式方程。

注:当

中有零时,直线仍可写成对称式形式如

应理解

为两个平面的交线,即



参数式方程:

其中

为直线上一点。

一般式方程:

其中

例 7 求平行于直线

且过点

的直线方程。

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解 所求直线方向矢量

所求直线方程为

例 8 化直线

为对称式方程。

解 令 z=-5,解方程组



,点

在直线上。

对称式方程为

三、两平面、两直线、平面与直线的交角及平行与垂直的条件

两平面的夹角:指它们的法矢量间的夹角 (取锐角)







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的充要条件:

,即



的充要条件:



,即

例 9 研究下列各组平面的位置关系

(1)





(2)





(3)





解 (1)

,所以相交,夹角

(2)

∥ 平面上)。

平行,但不重合。(因为点

在第一个平面上,但不在第二个

(3)



平行,且重合。

例 10 设有两平面

,求这两平面的夹角。



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所以

例 11 设有两平面 ?

,如果两平面垂直,则





两直线的夹角:指它们的方向矢量间的夹角 (取锐角)







充要条件:

,即

充要条件:



,即

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例 12 求两条直线



的夹角。





所以

平面与直线的夹角:指直线与它在平面上的投影直线间的夹角 (取锐角)

设平面 :

直线 L:

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的充要条件: ∥ ,即

∥ 的充要条件:

,即

例 13 求直线

与平面

的交点和夹角。

解 直线的参数方程为

代入平面方程 解得 t=-1 ,代入直线的参数方程中得交点(1,2,2)

例 14 求过平面 方程。

的交线, 且与第二个平面垂直的平面

解 法一:设所求平面 的法线矢量为 ,由题意 过直线

将其化为对称式 令 z=2,解得直线过点(-1,-1,2)

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直线对称式方程为

又因为 的法线垂直于

的法矢量且垂直于



在所求平面

上,由点法式得



法二:设所求平面 的方程为



注:这是过两平面交线的平面束方程。

又 垂直于平面

,由两平面垂直的充要条件

解出

,代入上面方程得

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例 15 求过直线

且与平面

垂直的平面方程。

解 设所求平面方程为



因所求平面方程与 垂直,所以

所求平面方程为



例 16 求过点

且与平面

都平行的直线方程。



所求直线为

例 17 求过点

及直线

的平面方程。

解点

在所求平面上,作

直线的方向矢量

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所求平面方程法矢量

所求平面方程为





例 18 求过两条直线



的平面方程。



上的点



上的点

均在所求平面上,



所求平面法矢量为 ,有



可取

所求平面方程为




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