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江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


临川一中 2015-2016 学年度上学期期中考试 高二数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的.)
2 1.设集合 A ? {

x | x ? y 2 ? 1} , B ? { y | y ? x 2 ? 1} ,则 A ? B =( 2



A. [?1,

2]

B. {(?

6 1 6 1 , ),( , )} 2 2 2 2

C. {(?

6 1 6 1 , ),( , ),(0, ?1)} 2 2 2 2
??? ?

D. [ ?

2, 2]
) D. (2, 2)

2.已知平面向量 AB ? ?1, 2 ? , AC ? ? 3, 4 ? ,则向量 CB = ( A. ( ?4, ?6) 3. k ? 3 是方程 B. (4, 6) C. ( ?2, ?2)

????

??? ?

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线是椭圆的( ) k ?3 k ?7

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表:

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 y ? 8.8 x ? a ,则 a 的值为( ) A.65 B.74 C.56 D.47 5. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下:74,74,79,79,86,87,87,90,91,92. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 5 后所得数据,则 A,B 两样本 的下列数字特征对应相同的是( ) A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 6. 下列说法中正确的是 ( ) A.“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件;

1

B.若 .则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ; C.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题; D.“若 ? ?

? ,则 ? 1 1 sin ? ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ”. 6 6 2 2

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为 ( )

A.

2 2

B.

6 2

C.

5 2

D. 3

8. 已知点 C 在直线 AB 上,且对平面任意一点 O, OC ? xOA ? yOB, x ? 0, y ? 0 则

1 1 ? 的最小值为( ) x y
B.4 C. 6 D.8

A. 2

? x ? y ?1 ? 9.已知不等式组 ? x ? y ? ?1 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? kx ? 3 与平面区域 ? y?0 ?
D 有公共点,则 k 的取值范围为是 ( ) 1 1 A. [?3,3] B. ( ??, ? ] ? [ , ?? ) C. ( ??, ?3] ? [3, ??) 3 3
D. [ ? , ]

1 1 3 3

O为底面 ABCD 的中心 , 10. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中,M是棱DD1的中点,
P为棱A1 B1上 任一点,则直线 OP与AM 所成角为( )
A. 45 ? B. 60 ? C. 90 ? D.不能确定 11. 执行如图所示的程序框图, 要使输出的 S 的值小于 1, 则输入的 t 值不能是下面的 ( )

2

A.8 12. 已知数列 {an } 满足 A. e 29

B.9

C.10

D.11

ln an 3n ? 2 ln a1 ln a2 ln a3 ( n? N* ) ,则 a10 ? ( ) ? ? ?? ? ? 2 5 8 3n ? 1 2 B. C. e35 D. e32 e 26

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.) 13.已知 ?an 为等差数列, a4 ? a7 ? 2 ,则 a1 ? a10 ? 14. 已知抛物线方程 x ? 2 y 2 ,其焦点坐标为 .

?



15.由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 引切线,则切线长的最小值 为 . .

16. 若函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)已知 S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和,且 S n ? 2 n ⑴求 ?a n ? 的通项公式; ⑵设 bn ? an ? n ,求 b1 ? b2 ? ? ? b10 的值。 18. (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

b2 ? c 2 ? a 2 ? bc .
⑴ 求角 A 的大小; ⑵ 设函数 f ( x) ?

x x x 3 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) = 时,判断 ?ABC 的形状. 2 2 2 2

3

19.(本小题满分 12 分)已知函数

f ? x ? ? ( x ? 2m)( x ? m ? 3) (其中 m ? ?1 ) ,

g ? x ? ? 2x ? 2 .
⑴ 若命题 p : log2 [ g ( x)] ? 1 是假命题,求 x 的取值范围; ⑵ 若命题 q : x ? (??,3) , 命题 r : x 满足 f ? x ? ? 0 或 g ? x ? ? 0 为真命题,若

?r 是 ?q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围.
20.(本小题满分 12 分)设有关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 . ⑴ 若 a 是从 0, 1 , 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 1 , 2 三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率; ⑵ 若 a 是从区间 [0, 3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,求上述方程 有实根的概率. 21.(本小题满分 13 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 ABC ,

?ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 ? 2, E , F 分别是 CC1 , BC 的
中点. ⑴ 求证: EF ? 平面 AB1 F ; ⑵ 求三棱锥 B1 ? AEF 的体积.

(3)若点 M 是 AB 上一点,求 FM ? MB1 的最小值.
C1 A1 E C A B B1

F

22.(本小题满分 13 分)已 知 圆 C 的 圆 心 为 C ? m,0? , m ? 3 , 半 径 为

5,圆

1 C 与 离 心 率 e ? 的 椭 圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的其中一个公共点为 A ? 3,1? , a b 2
F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点.
⑴ 求圆 C 的标准方程; ⑵ 若点 P 的坐标为 ? 4, 4 ? ,试探究直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和 直线 PF1 的方程;若不能,请说明理由.
4

x2

y2

临川一中 2015-2016 学年度上学期期中考试 高二数学(文)参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案) 1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.C 10.C 11.A 12.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 14. ? ,0 ?

?1 ? ?8 ?

15. 7

16. ?? 1,0? 证明过程或演算步骤)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明, 17. ?1?an ? ?

? 2 n ?1 ?2?1079 n ?1 n?2 ?2

18.(1) A ?

? ; (2)△ABC 为等边三角形. 3
2 2 2 2 2 2

【解析】 (1)在△ABC 中,因为 b +c -a =bc,由余弦定理 a = b +c -2bccosA cosA= ∵ 0<A<π ∴ A?

可得

1 . 2

? . 3
x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2

(2) f ( x) ?

? 1 ? sin( x ? ) ? , 6 2
∵ A?

? 3

∴ B ? (0,

2? ) 3



? ? 5? ? B? ? 6 6 6

∴当 B ?

? ? ? 3 ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 6 2 2 3

又∵ A ?

? , 3

∴C ?

? 3

∴△ABC 为等边三角形.

19. (1) x ? 2 (2) ?6 ? m ? ?1

20. (1)

3 2 (2) 4 3
5

【解析】设事件 A 为“方程 a 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根” . 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b . (1)基本事件共 12 个:

(0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2) .其中第一个数表示 a 的
取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P ( A) ?

9 3 ? . 12 4

0≤b≤2 . (2)试验的全部结束所构成的区域为 ( a,b) | 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2,a ≥ b . 构成事件 A 的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,

?

?

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3
21.(1)证明:由条件知 AF ? 平面 CC BB1 ,令 AC ? 1

? AF ? EF ,经计算得 B1 F ?

6 3 3 , EF ? , B1 E ? 2 2 2

? B1 E 2 ? B1 F 2 ? EF 2 ,即 B1 F ? EF ,又因为 B1F ? AF ? F ? EF ? 平面 AB1F
(2)1 (3) 10
2 22. (1) ? x ? 1? ? y ? 5 ; 2

(2) 能相切,直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为
2 【解析】 (1)由已知可设圆 C 的方程为 ? x ? m ? ? y ? 5 ? m ? 3? , 2

x2 y 2 ? ?1. 18 2

将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得 ? 3 ? m ? ? 1 ? 5 ,
2

即 ? 3 ? m ? ? 4 ,解得 m ? 1 或 m ? 5 ,
2

Q m ? 3 ,? m ? 1 .
? 圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 5 .
2

6

(2)直线 PF1 与圆 C 相切,依题意设直线 PF1 的方程为 y ? k ? x ? 4? ? 4 , 即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 , 若直线 PF1 与圆 C 相切,则

k ? 0 ? 4k ? 4 k 2 ?1

? 5.

? 4k 2 ? 24k ? 11 ? 0 ,解得 k ?
当k ?

11 1 或k ? . 2 2

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11 1 当 k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ?4 , 2
? c ? 4 , F1 ? ?4,0 ? , F2 ? 4,0? .

? 由椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ?
? a ? 3 2 ,? e ?

? 3 ? 4?

2

? 12 ?

?3 ? 4?

2

? 12 ? 6 2 ,

4 3 2

?

2 2 1 ? ,故直线 PF1 能与圆 C 相切. 3 2
x2 y 2 ? ?1. 18 2

? 直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为

7


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