当前位置:首页 >> 数学 >>

定态与守恒量的性质及例题选讲


定态:体系的一种特殊的状态——能量的本征态。 定态的性质:在定态下,一切力学量(不显含t)的取值概率分布和平均值都不随 时间改变。

(1)在定态下,一切力学量(不显含时间t)的取值概率分布不随时间改变。
设体系的定态波函数为 ?( x, t ) ? ?( x)e
i ? Et ? ,其中

E 是常数。

r />? 的本征函数 ? n ( x) 展开: 将 ? ( x, t ) 按任意力学量算符 F

?( x, t ) ? ? cn (t )? n ( x) ?( x,0) ? ? cn (0)? n ( x)
n n

cn (t ) ? ?? ( x) ? ( x, t ) dx ? ?? ( x) ? ( x)e
* n * n

i ? Et ?

? dx ? ? ? ?? ( x) ? ( x) dx ? e
* n

i ? Et ?

又 得到 于是有

* cn (0) ? ?? n ( x) ? ( x, 0) dx

cn (t ) ? cn (0)e
n

i ? Et ?

? cn (t ) ? cn (0)
i ? Et ?

2

2

?( x, t ) ? ? cn (0)? n ( x)e

?? (r ) ? f ? (r ),对任意的算符 A ? ,可以 ? 的本征值方程为 F 预备知识:设厄密算符 F n n n 证明下式成立
? ?F ? , ? ? ? d?? * (r ) ? F ? A n ? ? ? , ? ?? (r ) ? 0. A ? n

? ,有 解: 对任意的算符 A
* ? ?? ( r ) ?,A d ? ? F ? n (r ) ? ? ? n * ? ? ? (r ) ? ? ? AF ? ? d? ? n (r ) FA n * ? ? ? (r ) ? d? ? * (r ) AF ? ? d? ? n (r ) FA n ? n ? ? ? n (r )

?

?

? ? (r ) ? d? ? * (r ) Af ? ? (r ) ?? (r ) ? A ? ? d? ? F n n n n n ? ? ? ? ? (r ) ? f d? ? * (r ) A ?? (r ) ? ? d? ? f n? n (r ) ? A n n? n n
* * ? ? (r ) ? f d? ? * (r ) A ?? (r ) ? ? d? f n*? n (r )A n n? n n * ? ? (r ) ? f d? ? * (r ) A ?? (r ) ? f n ? d?? n (r )A n n? n n

*

?0

(2)在定态下,一切力学量(不显含时间t)的平均值不随时间改变。

? ?2 ? p ? ? 解:设哈密顿量为 H ? ? V ? r ? ,它的任意一个束缚定态为? n ? r , t ?,相应的 2? 本征值为 E ,即 n ? ? ?? ? r H ,t ? ? E ? ?r ,t ?
n n n

定态就是能量取确定值的状态。由定态薛定谔方程可知,哈密顿(能量)算符的
本征态就是能量取确定值的状态,所以哈密顿算符的本征态就是定态。

? ,有 对不显含时间力学量 F

? d F

1 1 * ? ? ?, H ? ?? d? ? ? ? ? F , H ? ? F n ? ? n dt i? ? i? ? ? 1 ? * ? ? * ? ? ? ?? n FH? n d? ? ?? n HF? n d? i? i? * ? En ? * ? ? ?? d? ? ? F ? d ? ? H ? F n n n n i? ? i? ? ? En ? En * ? * ? ? ? F ? d ? ? ? n n n F? n d? ? 0 ? ? i? i?

?

?

(3)在定态下,粒子坐标的概率密度和概率流密度不随时间改变。

证明:(略)

位力(Virial)定理的三种证明
若哈密顿算符为

1 2 ? ? ? ? ?V ?r ? H ? T ?V ? p 2m
对于定态而言,则有

(1)

? ? ? ?1 r T ??V ? r ? 2
证明方法之一:坐标的标度变换 因为
2 2 2 2 2 ? ? p ? ? ? ? ? ? H ?V ? ? ? 2? 2? 2 2? 2? ? ?x ?y ?z

(2)

? ? ? V ? x, y , z ? ?

改变现行的长度单位,能量的单位不变:
2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?? H ? ? ? 2 2 2 ? ? ? (? x) ? (? y ) ? (? z ) 2

? ? ? V ? ? x, ? y , ? z ? ?

? ? ?2

?2 p ? V ? ? x, ? y , ? z ? 2?

标度变换后的哈密顿算符
2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?? H ? ? ? 2 2 2 ? ? ? (? x) ? (? y ) ? (? z ) 2

? ? ? V ? ? x, ? y , ? z ? ?

??

?2

?2 p ? V ? ? x, ? y , ? z ? 2?

?E ?0 ??

? ?2 1 ? ?H 1 p ? ?2 3 ? r ?V ?? x, ? y, ? z ? ?? ? 2? ?
由HF定理

? ? ?H ? ?E ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ??
?2 p 2? ? 1 ? r ? ?V 2

? ? ? ? ? ?1

于是有

证明方法之二:定态的性质

因为

d ? ? ? ? ? ? 1 ?r ?, H ?? r?p ? p ? dt i? ?

将(1)式代入上式,得到
2 2 ? ? ? ? ? ? d ? ? 1 p 1 p 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ?, ?, V ?r r?p r ? p ? V r ? r ? p ? r ? p ? ? ?? ? ? ? ? ? dt i? ? 2m i? ? 2m ? i? ?

其中

2 2 ? ? ?? ? ? p p ? ? r ? p, 2m ? ? i ? m , ? ?

? ? ? ? ? ? ?, V ?r ?r ? p ? ? i ? r ? ? V r ? ? ? ? ?

于是有

2 ? d ? ? p ? ? ? ?2 r?p ? r ? ?V ? r ? dt 2m

对于定态

d ? ? 1 ?? ? ? ?, H ?? ?0 r?p ? r ? p ? dt i? ?

即在定态下,一切力学量(不显含t)的平均值不随时间改变。
因此

?2 p 1 ? ? ? r ? ?V ? r ? 2m 2

证明方法之三:表象变换 I.在坐标表象 将?视为参数

? ? ? ?i??, p

? ? ? ?r r ,

2 ? ? ? ?? H ? 2 ? V (r ) 2?

? ?2 ?H ? 2 2 p ?? ? ? ? ?? ? ? 2?
? ?En ?H ? ?? ?? ?2 2 p ? ? 2?

由H-F定理

II.在动量表象

?2 ? ? ? ? p ? ? ? ? ? ? p ? p, r ? i? ? , H ? ? V ? i? ? ? ?p 2? ? ?p ?
? ? ?H ? ? ? ? ? ? ?r 1 ? ? V ? i? ? ? ? ? V ( r ) ? r ??V ?? ?? ? ?p ? ?r ?? ?

由H-F定理

?En 1 ? ? r ? ?V ?? ?
? 2 p2 1 ? ? r ??V ? 2? ?

? p2 1 ? ? r ??V 2? 2

守恒量:体系的一种特殊的力学量,与哈密顿量对易。 守恒量的性质:在一切状态下守恒量的平均值和取值概率分布都不随时间改变。 考虑

?, H ? ? ?0? F ?? ( x) ? f ? ( x), H ? ? ( x) ? E ? ( x) ?F n n n n n n ? ? ?和H ? 共同本征函数展开: 任意一个状态 ? ( x, t )按 F
* ?( x, t ) ? ? cn (t )? n ( x) ? cn (t ) ? ?? n ( x)?( x, t )dx n

将上式两端对时间求微商有
* dcn (t ) d ? ( x, t ) 1 1 * * ? ? ? ?? n ( x ) dx ? ?? n ( x) H ? ( x, t )dx ? ? ? H? n ( x) ? ? ( x, t )dx ? ? dt dt i? i? 1 1 1 * * ? ? ? En? n ( x) ? ? ( x, t )dx ? En ?? n ( x)? ( x, t )dx ? En cn (t ) i? i? i?



i ? Et dcn (t ) 1 ? En cn (t ) ? cn (t ) ? cn (0)e ? dt i?

于是有 故

?( x, t ) ? ? cn (0)? n ( x)e
2

i ? Et ?

cn (t ) ? cn (0)

n 2

cn (t ) 表示 t 时刻的取值概率;
cn (0) 表示 t ? 0时刻的取值概率。
2

2

例1. 若

? 、B ? 为守恒量,它们的对易子 ? A ?, B ? ? 也是守恒量吗? A ? ?
?

?, 解:计算对易子 ? A

? 的对易关系,即 ? ? 与哈密顿算符 H B ?

?, B ?B ?, H ?B ?, H ??, H ? ? ? ?A ? ?B ?A ? ? ? ?A ?, H ? ? ? ?B ?A ?? ?? A ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?B ?, H ?, H ? ?0 ?, H ? ? ? ?A ??B ? ?B ? ?A ? ? ? ?B ?, H ??A ?A ? ? ? ? ? ? ? ?
? 、B ? 为守恒量的性质,即 最后一步用到了 A
?, H ? ? ? ?B ?, H ???0 ?A ? ? ? ?

? 为守恒量,A ? 不显含时间,力学量算符 B ? ,力学量算符 A ? 例2. 若体系哈密顿算符为 H
为非守恒量,也不显含时间。问:

? 是否一定取确定值, B ? 是否一定取确定值,为什么? (1)在定态下,A ? 的测量几率是否随时间变化?试证明之。 (2)在任意态下, A ? 取确定值。 解:(1)因是定态,故 H ? 为守恒量,故 ? A ?, H ???0。 A ? ? ?, H ? ? ? 0 ,故 A ?, H ?, H ? 有共同本征函数,A ? 可以同时有确定值, 由 ?A ? ? ? ,H ? ? ? 0, L ? 一定取确定值。如 ? L ? 为守恒量,但 L ? 不一 但并不是说 A x x x ? ?
因 定取确定值。

?, H ? ? ? 0,B ? 非守恒量,故 ? B ? 和H ? 没有共同的本征函数, H ?取 B ? ? ? 没有确定值。 确定值, B
因为

? 的测量几率不随时间变化,论证如下: (2)在任意态下,A
考虑

?, H ?? ( x) ? a ? ( x), H ? ? ?0? A ?? ( x) ? E ? ( x) ?A n n n n n n ? ? ? 和H ? 共同本征函数展开: 任意一个状态 ? ( x, t ) 按 A
* ?( x, t ) ? ? cn (t )? n ( x) ? cn (t ) ? ?? n ( x)?( x, t )dx n

将上式两端对时间求微商有
* dcn (t ) d ? ( x, t ) 1 1 * * ? ? ? ?? n ( x ) dx ? ?? n ( x) H ? ( x, t )dx ? ? ? H? n ( x) ? ? ( x, t )dx ? ? dt dt i? i? 1 1 1 * * ? ? ? En? n ( x) ? ? ( x, t )dx ? En ?? n ( x)? ( x, t )dx ? En cn (t ) i? i? i?



i ? Et dcn (t ) 1 ? En cn (t ) ? cn (t ) ? cn (0)e ? dt i?

于是有 故

?( x, t ) ? ? cn (0)? n ( x)e
n
2 2

i ? Et ?

cn (t ) 表示 t 时刻的测量几率;
cn (0) 表示 t ? 0时刻的测量几率。
2

2

cn (t ) ? cn (0)

例3. 质量为 m 的粒子,在阱宽为 a 的非对称一维无限深方势阱中运动,当 时,粒子处于状态

t ?0

? ( x, 0) ? ?1 ( x) ? ?2 ( x) ? ?3 ( x)
其中,?n ( x)为粒子的第 n 个能量本征态。 (1)求 t = 0 时能量的取值概率及平均值; (2)求 t > 0 任意时刻的波函数 ? ( x, t ) ; (3)求 t > 0 时能量的取值概率及平均值。

1 2

1 4

1 4

解:非对称一维无限深方势阱中粒子的本征解为

?n ?

2 ? n? sin ? a ? a

? x? ?

(阱内)

? 2 ?2 2 En ? n 2 2? a

( n ? 1, 2, 3, ?)

(1) 首先将 ? ( x, 0) 归一化,由

?? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ? 1 ? ?? 2 ? ? 4 ? ? 4 ? ? ?
可知归一化常数为

c?
于是归一化后的波函数为

8 3

? ( x,0) ?
能量的取值概率为

2 ?1 ( x) ? 3

1 ? 2 ( x) ? 6

1 ?3 ( x) 6
1 6

2 W ( E1 , 0) ? ; 3

1 W ( E2 , 0) ? ; 6

W ( E3 , 0) ?

能量取其它值的概率皆为零。 t=0 时能量的平均值为

E ? ? EnW ( En , 0) ?
n ?1

3

2 1 1 E1 ? E2 ? E3 3 6 6

? 2 ?2 ? 2 2 1 2 1 2 ? 17? 2 ?2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? 2 2? a ? 3 6 6 ? 12? a

(2) 因为哈密顿算符不显含时间,故 t > 0 时的波函数为

? ( x, t ) ?

2 ? i ? ?1 ( x) exp ? ? E1 t ? ? 3 ? ? ? 1 ? i ? ?3 ( x) exp ? ? E3 t ? 6 ? ? ?

1 ? i ? ?2 ( x) exp ? ? E2 t ? ? 6 ? ? ?

(3) 由于哈密顿量是守恒量,而守恒量的的取值概率与平均值皆不随时间改变, 所以 t > 0 时能量的取值概率及平均值与 t = 0 时相同。 换句话,只要计算出 t=0 时能量的取值概率及平均值,就知道了 t > 0 时能

量的取值概率及平均值。

? 例4. 若 C

? ? 是否为厄密算符? 态? BA
解:由

? ? ? 1, C ?? ? ?? 。问 ? ? A ?, A ?? 是否为 C ? ? 是厄密算符,且 ? B ? 的本征 ? AB ? ?

? ?? ? ABA ? ? ?? ? A ? AB ? ? ?1 ? ? A ? C ? ?1 ? CA ? ?? ? A ?? ? A ? ?? ? A ?? ? ? A ?? ? A ?? ? AC ?? ? ? ? ? 1? A

?

?

?

?

所以 ? 由

?? 是 C ? ?A

的本征态,其本征值为 ? ? 1 。

? ? ? 1,所以 ? ? ? AB BA
* ?? * ? ? * ? ? * ? BA ? d ? ? ? AB ? 1 ? d ? ? ? AB ? d ? ? ? ? ? ? ? ? d?

?

?

? ? ? ? 1?? ? d? ? ? AB ? ? ??C ? ? ? ? ? ? 1?? ? ? d? ? ?? ? ? d? ? ? ? BA
* * * * *

?? d? ? ? *? d? ? C ?? ? d? ? ? *? d? ? ?? C ? ? ?


相关文章:
数理统计例题选讲
数理统计例题选讲_理学_高等教育_教育专区。例题选讲:[注:蓝色字体为填空、R 软件中输入及显示的内 容;绿色字体为解释说明的内容。 ]一、填空题 若要将 d...
例题选讲
1财富值 矩形典型例题选讲 4页 免费 集合例题选讲 17页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
第十四章课后习题选讲
第​十​四​章​课​后​习​题​选​讲 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 离​散​数​学​复​习​ ​答​案​ ​p...
基本不等式经典例题选讲
基本不等式经典例题选讲_数学_高中教育_教育专区。囊括高考基本不等式基本题型 基本不等式选讲 例 1:求下列函数的值域 1 2 (1)y=3x + 2 2x 例 2:已知 x...
概率例题选讲
概率例题选讲_数学_高中教育_教育专区。例题选讲:例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有 一个是红球的...
概率统计理科典型例题选讲
概率统计理科典型例题选讲_数学_高中教育_教育专区。...根据统计图: (1)甲、乙两个网站点击量的极差分别...【答案】(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+...
数列典型例题选讲
最好的数列习题,方法库!最好的数列习题,方法库!隐藏>> 数列典型例题选讲例 1.设 {an } 是等差数列(1)若 a1 ? a2 ? a3 ? 1, an ? an?1 ? an?2...
平面向量经典例题选讲
平​面​向​量​经​典​例​题​选​讲平面向量例题选讲例题一、 (1)已知| a |=4,| b |=3, (2 a -3 b )·(2 a + b )=61...
第三章习题选讲
第一章习题选讲 第二章习题选讲 第四章习题选讲...(IV)线性表出,考查向 量组(V): α i1 , α...(2) 利用连续函数的性质.做矩阵 A + tE ,取 t...
概率统计理科典型例题选讲
概率统计理科典型例题选讲_数学_高中教育_教育专区。概率统计理科典型例题选讲 1 .某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率分...
更多相关标签:
动量守恒定律典型例题 | 动量守恒定律例题ppt | 化学质量守恒定律例题 | 动量守恒例题 | 动量守恒定律经典例题 | 电荷守恒例题 | 角动量守恒 例题 | 机械能守恒例题 |