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2013年安徽省理科高考数学试卷(带详解)


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (安徽卷)
参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A 与 B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

1. 设 i 是虚数单位, 若 z ?zi+2=2z , 则 z= ( ) z 是复数 z 的共轭复数. A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【测量目标】复数的代数形式的四则运算,复数的基本概念. 【考查方式】给出复数的关系式,利用复数的四则运算化简,再根据复数的基本概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】设 z=a+bi(a,b∈R),则由 z ?zi+2=2z 得(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi), 即(a2+b2)i+2=2a+2bi, (步骤 1) 2 2 所以 2a=2,a +b =2b, 所以 a=1,b=1,即 z=a+bi=1+i.(步骤 2) 2. 如图所示, 程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( )

第 2 题图

1 A. 6

25 B. 24

3 C. 4

11 D. 12

【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出具体的程序框图,根据算法求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】开始 2<8, s ? 0+ 返回,4<8, s ?

1 1 ? ,n=2+2=4; (步骤 1) 2 2

1 1 3 ? ? ,n=4+2=6;(步骤 2) 2 4 4 3 1 11 返回,6<8, s ? ? ? ,n=6+2=8; (步骤 3) 4 6 12 11 返回,8<8 不成立,输出 s ? .(步骤 4) 12
3.在下列命题中,不是 公理的是( .. ). A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【测量目标】平面的基本性质及其应用. 【考查方式】给出 4 个命题,根据平面的基本性质进行判断.

【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】由立体几何基本知识知,B 选项为公理 2,C 选项为公理 1,D 选项为公理 3,A 选项不是公 理. 4.“a ? 0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】函数图象的应用,函数单调性的判断,充分、必要性. 【考查方式】给出两个条件,画出函数的图象先判断函数的单调性,再根据充分、必要性得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】函数 f(x)的图象有以下三种情形:

a=0 a> 0 a<0 由图象可知 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增时,a ? 0,故选 C. 5.某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学 测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一 定正确的是 ( ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出实际问题情境,利用平均数与方差的计算进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】五名男生成绩的平均数为 五名女生成绩的平均数为 五名男生成绩的方差为

1 (86+94+88+92+90)=90, 5

1 (88+93+93+88+93)=91,(步骤 1) 5

?86 ? 90?2 ? ?94 ? 90?2 ? ?88 ? 90?2 ? ?92 ? 90?2 ? ?90 ? 90?2 s = 5
2 1

=8, 五名女生成绩的方差为 s2 2

2?88 ? 91?2 ? 3?93 ? 91?2 ? 6, 5 所以 s12 ? s22 ,故选 C. (步骤 2)
= 6. 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 ? x x ? ?1或x ?

? ?

1? 则 f(10x)>0 的解集为 ?, 2?

(

)

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 【测量目标】指数方程与对数方程,函数的定义域. 【考查方式】给出不等式的解集,利用等价变换进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】由题意知-1<10x< 所以 x< lg

1 , 2

1 =-lg 2,故选 D. 2
).

7.在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=2

π (ρ∈R)和 ρcos θ=2 2 π C.θ= (ρ∈R)和 ρcos θ=1 2
B.θ= D.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=1 【测量目标】坐标系与参数方程. 【考查方式】给出圆的参数方程,利用极坐标方程与普通方程的互化求出普通方程,从而求出圆的切线方 程,最后转化为极坐标形式. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】由题意可知,圆 ρ=2cos θ 可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.(步骤 1) 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为 θ=

π (ρ∈R)和 ρcos θ=2,故选 B.(步骤 2) 2
8 .函数 y = f(x) 的图象如图所示,在区间 [a , b] 上可找到 n(n … 2) 个不同的数 x1 , x2 , … , xn ,使得

f ? xn ? f ? x1 ? f ? x2 ? ,则 n 的取值范围是 = =…= x1 x2 xn
A.{3,4} C.{3,4,5} B.{2,3,4} D.{2,3}

(

)

【测量目标】函数图象的应用,直线的斜率. 【考查方式】给出自变量和因变量之间的关系式,转化为直线的斜率关系式,再利用函数的图象求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】

f ? xn ? f ? xn ? ? 0 f ? x1 ? f ? x2 ? f ? x1 ? ? 0 f ? x2 ? ? 0 可化为 ,(步骤 1) = =? = = =? = x1 x2 xn x1 ? 0 x2 ? 0 xn ? 0

故上式可理解为 y=f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等, 即 n 可看成过原点的直线与 y=f(x)的交点 个数.如图所示,由数形结合知识可得,①为 n=2,②为 n=3,③为 n=4.(步骤 2)

OB ? 2 , 则 点 集 9 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 是 坐 标 原 点 , 两 定 点 A , B 满 足 OA = OB ? OA?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?P OP=? OA+? OB, ? ?
??? ? ??? ? ??? ?
A. 2 2

? ? 1, ? ? R 所表示的区域的面积是

?

(

)

B. 2 3

C. 4 2 D. 4 3 【测量目标】平面向量基本定理及其应用,向量的数量积运算,平面向量在平面几何中的应用,判断不等式 组表示的平面区域. 【考查方式】给出问题情境,根据向量的数量积运算求出定点的坐标,再利用平面向量的基本定理确定动 点的坐标取值范围,从而根据图象求解面积. 【难易程度】较难 【参考答案】D 【试题解析】以 OA , OB 为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使 A,B 两点 关于 x 轴对称,由已知| OA |=| OB |= OA ? OB =2,可得出∠AOB=60° ,(步骤 1) 点 A( 3 ,1),点 B( 3 ,-1),点 D( 2 3 ,0). (步骤 2)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

现设 P(x,y),则由 OP =λ OA +μ OB 得(x,y)=λ( 3 ,1)+μ( 3 ,-1),即 ? 由于|λ|+|μ| ? 1,λ,μ∈R, (步骤 3) 可得 ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 3 ? ? ? ? ? ? x, ? ? ? ? ? ? ? y.

? 3, ? ? 3 剟x 画 出 动 点 P(x , y) 满 足 的 可 行 域 为 如 图 阴 影 部 分 , 故 所 求 区 域 的 面 积 为 ? ??1 剟 y 1,

2 3 ? 2=4 3 .(步骤 4)

10.若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的

不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【测量目标】函数图象的应用,函数零点的求解与判断,利用导数求函数的极值. 【考查方式】给出函数的关系式和极值点,利用导数的运算求出导函数再利用特殊值法求解方程的根,最 后根据图象进行判断. 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】由 f ?( x ) =3x2+2ax+b=0 得,x=x1 或 x=x2, 即 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的根为 f(x)=x1 或 f(x)=x2 的解. (步骤 1) 如图所示, x1<x2 x2<x1

由图象可知 f(x)=x1 有 2 个解, f(x)=x2 有 1 个解, 因此 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为 3. (步 骤 2) 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答,在试题卷上答题无效. ..... .......... 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

a ? ? 11.若 ? x ? 3 ? 的展开式中 x4 的系数为 7,则实数 a=__________. x? ?
【测量目标】二项式定理. 【考查方式】给出二项式和二项式中特定项的系数值,根据二项式的展开式定理求出通项,从而根据系数 求解. 【难易程度】容易 【参考答案】

8

1 2
8

1 ? a ? ? r 8? r r 【试题解析】∵ ? x ? 3 ? 的通项为 C8 x a ( x 3 )r x? ?

=C a x

r 8

r

8? r

x

?

r 3

?C a x
r 8 r

8? r ?

r 3



r =4,解得 r=3. 3 1 3 3 ∴ C8 a ? 7 ,得 a ? . 2
∴8-r- 12. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B, 则角 C=__________. 【测量目标】正弦定理,余弦定理. 【考查方式】给出三角形边长、内角之间的关系式,根据正弦定理将内角的关系式转化为边长的关系式, 再利用余弦定理求解角度. 【难易程度】中等

【参考答案】

2 π 3

【试题解析】∵3sin A=5sin B,∴3a=5b.①(步骤 1) 又∵b+c=2a,②

5 7 b ,c ? b, (步骤 2) 3 3 2 2 ?5 ? ?7 ? 2 b ? ? b? ?? b? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? ? 3 ? ? ? 1 ,∴ C ? 2 π .(步骤 3) ? ∴ cosC ? 5 3 2ab 2 2? b?b 3
∴由①②可得, a ? 13.已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取 值范围为__________. 【测量目标】函数图象的应用,向量的数量积运算,向量的坐标运算. 【考查方式】给出问题情境,先将函数问题转化为向量坐标问题,再利用向量的坐标运算求解. 【难易程度】中等 【参考答案】[1,+∞) 【试题解析】如图,设 C(x0, x0 2 )( x0 2 ≠a),A( ? a ,a),B( a ,a), 则 CA =( ? a ? x0 , a ? x0 2 ), CB =( a ? x0 , a ? x0 2 ). (步骤 1) ∵CA⊥CB,∴ CA ? CB =0, 即-(a- x0 2 )+(a- x0 2 )2=0 ? (a- x0 2 )(-1+a- x0 2 )=0,∴ x0 2 =a-1 …0,∴a …1.(步骤 2)

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

14.如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式 是__________.

【测量目标】几何证明选讲,数列的通项. 【考查方式】给出问题情境,利用三角形的相似求出面积之比,再根据相似比求解线段之间的比值,进而 转化为数列问题从而求解. 【难易程度】较难 【参考答案】 an ? 3n ? 2 【试题解析】设 S△OA1B1 =S, ∵a1=1,a2=2,OAn=an,

∴OA1=1,OA2=2.(步骤 1) 又易知△OA1B1∽△OA2B2, ∴

S△OA1B1 S△OA2 B2

?

?OA1 ?2 ? 1 ? 1 ?? ? ? . 2 ?OA2 ? ? 2 ? 4

2

∴ S梯形A B B A =3 S△OA1B1 =3S.(步骤 2)
1 1 2 2

∵所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等, 且△OA1B1∽△OAnBn, ∴

S?OA1B1 OA1 S 1 a 1 ? ? ? .∴ 1 ? ,∴ an ? 3n ? 2 .(步骤 3) OAn S?OAn Bn S ? 3? n ? 1?S 3n ? 2 an 3n ? 2

15.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号). ①当 0<CQ< ②当 CQ=

1 时,S 为四边形 2

1 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 4 6 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 2

【测量目标】几何证明选讲. 【考查方式】给出问题情境,画出图象进行判断. 【难易程度】较难 【参考答案】①②③⑤

1 5 5 时,D1Q2= D1C12 +C1Q2= ,AP2=AB2+BP2= ,所以 D1Q=AP,又因为 2 4 4 1 AD1∥2PQ,所以②正确;当 0<CQ< 时,截面为 APQM,且为四边形,故①也正确,如图(1)所示; (步 2
【试题解析】当 CQ= 骤 1)

1 3 1 CQ C R CR 如图(2),当 CQ= 时,由△QCN∽△QC1R 得 1 ? 1 ,即 4 ? 1 ,C1R= ,故③正确; (步 3 4 3 CQ CN 1 4
骤 2)

如图(3)所示,当

3 <CQ<1 时,截面为五边形 APQMF,所以④错误; (步骤 3) 4

当 CQ=1 时,截面为 APC1E,

可知 AC1= 3 ,EP= 2 ,且四边形 APC1E 为菱形,S 四边形 APC1E=

6 ,故⑤正确. (步骤 4) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答 题卡上的指定区域内. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=4cos ωx ? sin ? ? x ? (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间 ?0, ? 上的单调性. 2 【测量目标】二倍角,两角和的正弦,函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质,三角函数的单调性、周期性. 【考查方式】给出三角函数的解析式和周期, (1)利用三角恒等变换求解函数的周期,从而求解; (2) 利用函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质进行分类讨论函数的单调性. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)f(x)=4cos ωx ?sin ? ? x ?

? ?

π? ? (ω>0)的最小正周期为 π. 4?

? π? ? ?

? ?

π? ? 4?

= 2 2 sin ωx ?cos ωx+ 2 2 cos2ωx = 2 (sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2

π? ? ? 2sin ? 2? x ? ? ? 2 .(步骤 1) 4? ?
因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0,

2π =π ,故 ω=1.(步骤 2) 2? π? ? (2)由(1)知,f(x)= 2sin ? 2 x ? ? ? 2 . 4? ? π π π 5π 若 0? x? ,则 剟2x ? .(步骤 3) 2 4 4 4 π π π π 当 剟2x ? ,即 0 剟x 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 剟2x ? ,即 剟 x 时,f(x)单调递减. (步骤 4) 2 4 4 8 2 ? π? ?π π? 综上可知,f(x)在区间 ?0, ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减. (步骤 5) ? 8? ?8 2?
从而有 17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}. (1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k ? a ? 1+k 时,求 I 长度的最小值. 【测量目标】函数零点的求解,利用导数求函数的最值,导数的运算. 【考查方式】(1)给出函数的关系式,转化为方程零点的问题,从而求解.(2)根据导数的运算求出导函数根 据 k 的取值讨论单调性,从而找出最值点并计算求解. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根 x1=0, x2 ? 故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2}.(步骤 1)

a , 1 ? a2

a a ? ? ,I 的长度为 .(步骤 2) 2 ? 1 ? a2 ? 1? a ? a 1 ? a2 (2)设 d(a)= ,则 d ′ ( a ) = . 1 ? a2 ?1 ? a 2 ?2
因此区间 I ? ? 0, 令 d′(a)=0,得 a=1. 由于 0<k<1,故当 1-k ? a<1 时,d′(a)>0,d(a)单调递增; 当 1<a ? 1+k 时,d′(a)<0,d(a)单调递减. 所以当 1-k ? a ? 1+k 时,d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得. (步骤 3)

1? k d ?1 ? k ? 1 ? ?1 ? k ?2 2 ? k 2 ? k 3 ? ? ? 1, 而 1? k d ?1 ? k ? 2 ? k2 ? k3 1 ? ?1 ? k ?2
故 d(1-k)<d(1+k). 因此当 a=1-k 时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值 18.(本小题满分 12 分)设椭圆 E:

1? k .(步骤 4) 2 ? 2k ? k 2

x2 y2 ? =1 的焦点在 x 轴上. a2 1 ? a2

(1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,

并且 F1P⊥F1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 【测量目标】椭圆的标准方程与简单几何性质,直线的斜率与方程,两条直线的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的关系式, (1)根据椭圆的几何性质求解标准方程; (2)根据直线的斜率求证. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)因为焦距为 1,所以 2a2-1= 解得 a2=

1 , 4

5 . 8

8x2 8 y 2 ? =1 .(步骤 1) 故椭圆 E 的方程为 5 3
(2)设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中 c ? 2a2 ?1 . 由题设知 x0≠c,

y0 , x0 ? c y0 直线 F2P 的斜率 kF2 P = , x0 ? c y0 故直线 F2P 的方程为 y= (步骤 2) ( x ? c) . x0 ? c cy0 当 x=0 时,y= , c ? x0 cy0 即点 Q 坐标为 (0, ). c ? x0 y0 因此,直线 F1Q 的斜率为 k F1Q = .(步骤 3) c ? x0
则直线 F1P 的斜率 k F1P = 由于 F1P⊥F1Q, 所以 kF1P ? kF1Q =

y0 y ? 0 =-1.(步骤 4) x0 ? c c ? x0

化简得 y02 ? x02 ? (2a2 ?1) .① 将①代入椭圆 E 的方程,由于点 P(x0,y0)在第一象限,解得 x0=a2,y0=1-a2,即点 P 在定直线 x+ y=1 上. (步骤 5) 19.(本小题满分 13 分)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5° ,AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60° . (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

【测量目标】线面平行的判定,平面的基本性质,二倍角,面面垂直,线面角. 【考查方式】给出问题情境, (1)利用线线平行到线面平行,再利用平行的传递性求证; (2)先利用射影 定理找出线面角,再利用二倍角在三角形中求解. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)证明:设面 PAB 与面 PCD 的交线为 l.

因为 AB∥CD,AB 不在面 PCD 内, 所以 AB∥面 PCD.(步骤 1) 又因为 AB ? 面 PAB,面 PAB 与面 PCD 的交线为 l,所以 AB∥l. 由直线 AB 在底面上而 l 在底面外可知,l 与底面平行. (步骤 2) (2)解:设 CD 的中点为 F.连接 OF,PF. 由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD. 因为 OP⊥底面,CD ? 底面, 所以 OP⊥CD.(步骤 3) 又 OP∩OF=O,故 CD⊥面 OPF. 又 CD ? 面 PCD,因此面 OPF⊥面 PCD. 从而直线 OP 在面 PCD 上的射影为直线 PF, (步骤 4) 故∠OPF 为 OP 与面 PCD 所成的角. (步骤 1) 由题设,∠OPF=60° .设 OP=h, 则 OF=OP ?tan∠OPF=h ?tan 60° = 3 h.(步骤 5) 根据题设有∠OCP=22.5° ,

OP h ? .(步骤 6) tan ?OCP tan 22.5? 2 tan 22.5? 由 1=tan 45° = 和 tan 22.5° >0, 1 ? tan 2 22.5?
得 OC ? 可解得 tan 22.5° = 2-1, 因此 OC ?

h ? ( 2 ? 1)h .(步骤 7) 2 ?1

在 Rt△OCF 中,cos∠COF=

OF 3h ? ? 6? 3, OC ? 2 ? 1?h

故 cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1= 2( 6 ? 3)2 ?1=17 ?12 2 .(步骤 8)

20.(本小题满分 13 分)设函数 fn(x)= ?1 ? x ?

x 2 x3 xn ? ? ? ? (x∈R,n∈N*).证明: 2 2 2 2 3 n

(1)对每个 n∈N*,存在唯一的 xn∈ ? ,1? ,满足 fn(xn)=0; 1 (2)对任意 p∈N*,由(1)中 xn 构成的数列{xn}满足 0<xn-xn+p< . n 【测量目标】函数零点的应用,利用导数判断函数单调性,直接证明. 【考查方式】给出函数的解析式,(1)利用导数的运算求出导函数,再利用函数零点的定义求证; (2)利用 特殊值法代入求值,在利用放缩法求解不等式. 【难易程度】较难

?2 ? ?3 ?

x x n ?1 ? 【试题解析】证明:(1)对每个 n∈N ,当 x>0 时, f n ( x ) = 1+ ? ? ? >0,故 fn(x)在(0,+∞)内单 2 n
*

调递增(步骤 1) 由于 f1(1)=0,当 n …2 时,fn(1)=

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 >0,故 fn(1) …0. 2 2 3 n

2 n ?1 k ?2? ? ?2? ? ?2? ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 k ? 2 n ? 1 1 n 2 1 1 ?3? ? 1 ?2? ? 3? ?2? ? ? ?3? ? 又 f n ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ( ) ? ? ? ?? ? ? ? ? 0, 2 3 k ?2 k 3 4 k ?2 3 3 4 3 ?3? ?3? 1? 3

(步骤 2) 所以存在唯一的 xn∈ ? ,1? ,满足 fn(xn)=0.(步骤 3) (2)当 x>0 时,fn+1(x)=fn(x)+

?2 ? ?3 ?

x n?1 >fn(x),故 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. ? n ? 1?2

由 fn+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,xn+1<xn,故{xn}为单调递减数列, (步骤 4) * 从而对任意 n,p∈N ,xn+p<xn. 对任意 p∈N*,

xn 2 xn n ? ? ? ? 0 ,① 22 n2 xn? p 2 xn? p n xn? p n?1 xn? p n? p fn+p(xn+p)= ?1+xn+p ? 2 ? ? ? 2 ? ??? ? 0 .② 2 n ? n ? 1?2 ? n ? p ?2 ①式减去②式并移项,利用 0<xn+p<xn ? 1, k k n? p n? p n x xn? p k xn? p k n ? p ? xn 得 xn-xn+p= ? ? ? ? 2 k? 2 k2 k ?2 k ? n ?1 k ?n ?1 k n? p n? p 1 1 1 1 1 ? ? ? .(步骤 5) ? ? 2? ? n n? p n k ? n ?1 k k ? n ?1 k (k ? 1) 1 因此,对任意 p∈N*,都有 0<xn-xn+p< .(步骤 6) n
由于 fn(xn)= ?1 ? xn ? 21.(本小题满分 13 分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老 师和张老师负责.已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数).假 设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到.记 该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 X. (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (2)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 【测量目标】对立事件的概率,排列与组合及其应用,不等式的基本性质. 【考查方式】给出问题情境,(1)根据相互独立事件概率公式求解;(2)先分类讨论,再根据排列与组合求解 概率,再利用不等式的性质求解. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)因为事件 A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B:“学生甲收到张老师所发信息”是相
?1 k Ck k n ?1 互独立的事件,所以 A 与 B 相互独立.由于 P(A)=P(B)= k ? ,故 P( A )=P( B )= 1 ? ,因此学生 n Cn n

2 ? k ? 2kn ? k 甲收到活动通知信息的概率 P ? 1 ? ?1 ? ? ? .(步骤 1) n2 ? n?

2

(2)当 k=n 时,m 只能取 n,有 P(X=m)=P(X=n)=1. 当 k<n 时,整数 m 满足 k ? m ? t,其中 t 是 2k 和 n 中的较小者.
2 由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给 k 位同学”所包含的基本事件总数为 (Ck n) .

当 X=m 时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为 2k-m.仅收到李老师或仅收到张老师转发 信 息 的 学 生 人 数 均 为 m - k. 由 乘 法 计 数 原 理 知 : 事 件 {X = m} 所 含 基 本 事 件 数 为
2k ?m m?k m?k m?k Ck Cn?k ? Ck n Ck n Ck Cn?k .(步骤 2)

2 k ?m m?k ?k m ?k Ck C n ? k Cm n Ck k Cn ? k . ? 2 k (Ck Cn n) ?k m?k ?1?k m?1?k ? Cm 当 k ? m<t 时,P(X=m) ? P(X=m+1) ? Cm Cn?k k Cn?k k 2? ? (m-k+1) (n-m)(2k-m)

此时 P(X=m)=

(k ? 1) 2 .(步骤 3) n?2 (k ? 1) 2 假如 k ? 2k ? <t 成立,则当(k+1)2 能被 n+2 整除时, n?2 (k ? 1) 2 (k ? 1) 2 ? t. ? 2k ? 1 ? k ? 2k ? n?2 n?2 (k ? 1) 2 (k ? 1) 2 故 P(X=m)在 m= 2k ? 和 m= 2k ? 1 ? 处达最大值; n?2 n?2

? m ? 2k ?

当(k+1)2 不能被 n+2 整除时, P(X=m)在 m= 2k ? ?

? (k ? 1) 2 ? (步骤 4) ? 处达最大值. ? n?2 ?

(注:[x]表示不超过 x 的最大整数)

(k ? 1) 2 下面证明 k ? 2k ? <t. n?2 (k ? 1) 2 kn ? k 2 ? 1 k ? k ? 1? ? k 2 ? 1 k ? 1 厖 ? 因为 1 ? k<n,所以 2k ? -k= n?2 n?2 n?2 n?2 2 2 (k ? 1) ? n ? k ? 1? ?n ? ? <0 , 而 2k ? n?2 n?2 (k ? 1) 2 故 2k- <n. n?2 (k ? 1) 2 显然 2k ? <2k. n?2 (k ? 1) 2 因此 k ? 2k ? <t.(步骤 5) n?2

0.


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